09/10/13 23:05:49
log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
= 9log3^3^3 = ... = 81log3
log 10^10^10^10 = 1000log10
log10/log3=0.477より後者の方がでかい
案外簡単だな
928:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:08:44
>>927
お前馬鹿だろ
929:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:20:03
入試問題でも
f(t)=e^t^2+...
という式がeの肩にt^2が乗ってることを表してたし、
(a^b)^c=a^bcという規則があるから、
特に括弧をつけずにa^b^cと書いた場合
a^(b^c)のように後ろから計算するものだと思ってたので
ここはそのように考えてください。
930:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:33:02
>>927
えくせれんと
931:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:34:28
>>927
＞log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
正しくは
log 3^3^3^3^3 = 3^3^3^3*log3
だね
932:１３２人目の素数さん
09/10/15 22:33:38
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F (x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_n-1*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（ずっと前の大数の宿題から）
933:１３２人目の素数さん
09/10/15 22:37:54
訂正
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F(x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_{n-1}*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（分かると思うが。）
934:１３２人目の素数さん
09/10/16 23:43:19
xyz空間において、相異なる格子点が９つある。
（なお、格子点とは・・・・ry）
この９点から２点を選びその点と点を結ぶ線分（３６本）を考える。
このうち、線分の中点もまた、格子点であるような線分が必ず存在することをしめせ。
935:１３２人目の素数さん
09/10/16 23:49:57
鋭角θにおいて、
θ < （Sinθ + Tanθ）/2
を証明せよ
936:１３２人目の素数さん
09/10/17 00:56:09
>>934
（x座標、y座標、z座標）の偶奇の組合せは2^3=8通りしかないので、
9個の格子点があれば、その中には各座標の偶奇が一致する2点が少なくとも1組存在する。
この2点の中点は格子点である。
937:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:36:06
正の素数を固定せよ。
また、nを任意の正の整数とする。
n！約数として現れるｐの個数をあらわす公式を求めよ
938:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:38:56
×n！約数として
○n！に約数として
939:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:40:18
>>935
tan(θ/2) = t とおく。
鋭角により 0 < t < 1,
(右辺) = t/(1+t^2) + t/(1-t^2) = 2t/(1-t^4) > 2t > θ,
940:Snellius
09/10/17 04:48:17
>>935
序でに･･･
{Cosθ + Cosθ + 1/(Cosθ)^2} /3 ≧ 1, (←相加･相乗平均)
をθで積分して、
(Sinθ + Sinθ + Tanθ) /3 ≧ θ,
941:１３２人目の素数さん
09/10/17 14:40:50
a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､
a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく．
ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、
θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。
θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。
942:１３２人目の素数さん
09/10/17 19:27:29
ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。
この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！
センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。
【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。
(辺の端点はとらないとする)
このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、
(AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1
であることを示せ。
943:942
09/10/17 19:37:16
例えば、
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)
の第3問のタ～トは瞬殺。
944:１３２人目の素数さん
09/10/17 22:14:51
>>941
a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。
a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)),
x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)}
= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k (← 等比級数)
= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)}
→ 1/{1-(1/2)exp(iθ)}
= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
実部と虚部に分けて
x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。
945:１３２人目の素数さん
09/10/17 22:38:35
>>941 (補足)
x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)},
x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)}
= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)},
辺々掛けて
| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2,
| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3,
946:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:21:43
n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。
947:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:23:33
a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝
a_(1)=2
で定められる数列a_(n)について、
lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ.
難。答え出たら多分感動する。
948:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:28:32
そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな
949:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:38:54
>>948
こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は
950:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:45:11
>>949
親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。
951:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:50:36
>>947
a_n=4(sin(θ_n))^2
a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2
∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]
952:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:53:03
やっぱり宿題だったんだ
953:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:58:36
>>942-943
確かに便利で砂
954:１３２人目の素数さん
09/10/18 00:10:56
>>947
a_n = 2(1-b_n) とおくと
b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
2･b_(n+1)^2 -1 = b_n, (←cosの倍角公式と同じ形)
b_1 = 0,
これを解いて
b_n = cos(π/2^n),
a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
(4^n)a_n → π^2 (n→∞).
>>941 (補足)
P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
φ = arctan(3･tan(θ/2)),
955:１３２人目の素数さん
09/10/18 02:24:36
【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい
956:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:01:46
>>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。
証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。
■□□□
１３２４
957:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:05:01
nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。
(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)
L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。
①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
958:１３２人目の素数さん
09/10/18 13:17:17
>>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど
959:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/10/18 17:01:31
Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。