09/10/07 02:20:32
>>828
(2)の問題は、以前出した>>698の応用。
(1)
1/41の循環節が５であることはすぐ分かる.
ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう.
たとえば、f(4)=1111である.
f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる.
よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである.
f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111
≡8・f(6m)+28 (mod49)
で、f(6)≡28(mod49)から
計算していくと、
f(12)≡7(mod49)
f(18)≡-14(mod49)
f(24)≡14(mod49)
f(30)≡42(mod49)
f(36)≡21(mod49)
f(42)≡0(mod49)
よって、1/49の循環節は42である.
以上より、N=210n（nは自然数）
(2)
(1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる.
したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である.
a=x・(x^2009+y^2009)^Z
b=y・(x^2009+y^2009)^Z
とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい.
a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!)
∴c=x^2009+y^2009
830:１３２人目の素数さん
09/10/07 12:20:07
>>817は真っぽいでけど証明ができない．
831:１３２人目の素数さん
09/10/07 17:18:01
>>830
偽っぽいでけど反例が思いつかない
832:１３２人目の素数さん
09/10/07 17:59:11
>>830
反例：f(x)=tanx
833:１３２人目の素数さん
09/10/07 21:20:31
大学入試史上、最も難しかった数学問題を教えてください。
834:１３２人目の素数さん
09/10/07 21:23:03
>>832
お前は何を言っているんだ
835:１３２人目の素数さん
09/10/07 21:56:08
>>831
x^(3/2) sin(1/x) だとどうかな。
836:１３２人目の素数さん
09/10/07 21:58:06
>>834
f(x)=tanxは微分可能でf’(x)=1+(tanx)^2、f’(0)=1だが
f’(x)は有界でない
837:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:30:32
>>836
池沼は黙ってろｗ
838:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:42:15
>>835
惜しいが関数が x＞0 で定義できない
[5]√(x)^4 sin(1/x) とかでFA
839:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:54:01
× 惜しいが関数が x＞0 で定義できない
○ 惜しいが関数が x＜0 で定義できない
840:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:54:37
>>837
俺何か見落としてる？マジでどこがいけないのか分からない教えろ
いや、教えてくださいお願いします。
841:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:57:42
>>826
工房向けでない可能性があるのは (3) だけ。
やっぱ (3) はε-δ論法無しでは無理なんだろうか？
842:１３２人目の素数さん
09/10/07 22:59:10
>>840
＞f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
843:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:01:46
f(x)=tan(x) がx＝0 を含む開区間(-π/2,π/2)で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
844:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:03:31
>>842
f(x)=tanxは開区間(-π/2,π/2)で連続で、(-π/2,π/2)-{0}でf’(x)は存在するけど？
え？マジでどういうこと？
845:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:29:43
2曲線 x^2/4＋y^2＝1，x^2＋(y－t)^2/4＝1 が共有点を持つ t の必要十分条件を t∈[a，b] とする．
その共有点の x 座標は最大４個あり，それらを重複を含めて a(t)，b(t)，c(t)，d(t) ．．．① とする．
その4つの関数 ① が，任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ．
846:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:40:08
で、どうなんだ？>>837,842よ
俺を池沼呼ばわりしたんだから
それなりの根拠があるんだろ？
847:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:41:42
× 任意の t∈[a，b] において不連続となる
○ 任意の t∈[a，b] において不連続と成りうる
848:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:46:54
>>846
x＝0 を含む “任意の” 開区間での反例を示さないと意味をなさないだろ。
849:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:48:22
>>846
馬鹿は黙ってろ
850:１３２人目の素数さん
09/10/07 23:53:49
数学では、いや、数学でこそ、馬鹿は免罪符にはならない。
851:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:01:16
× 任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ
○ t∈[c，d] ⊂ [a，b] なる任意の t∈[c，d] において不連続となる必要十分条件を c，d を用いて表せ
もうわけワカメ
852:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:03:02
>>848
>>812の問題文が
f(x) がx＝0 を含む任意の開区間で連続で，
と書いてあればその主張は受け入れられるがそうではないだろ。
さらに任意のx=0を含む開区間で連続であることとR上連続であることは同値、
x=0を含む任意の開区間でx≠0で微分可能であることとR-{0}で微分可能であることは同値。
したがって、>>812が「任意の開区間」という意味で「開区間」と書いたとは考えにくい。
以上より、>>848は認められない。
853:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:05:31
100100010101は素数か.
854:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:07:35
>>852
それは題意を曲解した場合。
もしそう曲解した場合問題はとるに足らない。
題意を善意に解釈した場合，>>835>>838と答えるのが普通。
855:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:11:48
>>852
頭悪いんだなお前って・・・
856:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:19:17
>>854
ほう、そうか。善意の解釈ね。
>>855
そうだよ。だから訊いてるんだよ。
具体的に俺のどういった部分がそう思わせているのか提示してくれ。
俺はこれまで別に間違ったことは書いてないはずだが。
857:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:20:04
題意をはっきりさせない出題者が一番悪い
実数全体で連続って言えば明解だろうに
858:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:38:07
もし曲解した場合、星の数ほどある取るに足らない反例の一つを
鬼の首を取ったみたいに書き込んだ行為が反感を呼んだ。
859:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:41:46
>>857
仮定は弱く、結論は強くが普通の考え。
そういう捻くれものには“x＝0 を含む閉区間”と書けば良かったのだろう。
でも常識的に考えれば何を問うてｲﾙｶは自明。
tan x は頂けない。
860:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:43:13
お前の言うように題意を取ったら中学生でも判例作れるだろ。
みんながそうしてないのはなぜか空気を読め。
861:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:55:11
でもやっぱり「任意の」は省いてはイカン
862:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:55:37
>>857
そうだよね。分かってくれるやつが一人でもいてよかったよ。
f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，
って書かれたら、fの定義域の宣言とそこでは連続だという言及くらいに取るのが普通だと俺は思うんだ。
でも今日ので俺の思い込みだったことが判明した。
>>858
曲解したわけではないんだよ。
素でそう思ってたんだよ。
曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
だからこれでいいじゃんくらいの気分で書いただけ。
>>860
しかし、必要十分でより簡潔な表現があるのに何故そちらを使わなかったのかに疑問が残る。
それならば俺も間違って解釈することはなかった。
俺が善意に問題を解釈できなかったとはいえ、
このスレで俺という解釈間違いを起こした者がいる以上、
本試験で出せばある程度の人数が間違う勘定になると思われる。
863:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:56:03
消防の会話のAがおまい
A 「日曜日は学校はあるか？」
B 「ないよ」
A ｢学校自体はあるだろw｣
B 「何それ？」
864:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:58:34
>>857だけどお前の曲解は稀だし、お前はウザイ
865:１３２人目の素数さん
09/10/08 00:58:47
＞曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
そんな事はないよ。素で思ってこそ曲解。
866:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:01:09
>>865
広辞苑には
相手の言動・心中を、素直でなくわざと曲げて解釈すること。
とあるが・・・
867:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:01:57
昔，青ﾁｬｰﾄでこんな問題があったのを思い出した。
「砂糖は甘い」の否定命題を作れと。
868:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:03:23
>>867
甘くない砂糖が存在する
869:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:07:24
>>868
そうそう。
「(すべての)砂糖は甘い」の「すべて」が省略されている。
厳密な数学においても、混乱の恐れがないない場合は許される事が多いが、
読者を選ぶのは言うまでもない。
870:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:08:55
>>867
「砂糖は甘い」は命題にすらなってない
871:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:12:23
もうひとつ数セミの記事を思い出した。
大森英樹先生だっけかな。
星が無限個あるとする。
「殆どすべての星は赤い」の否定命題を作れ。
ただし，「殆どすべて」とは「有限個の例外を除いて」の意味とする。
872:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:14:20
>>870
そういう人がいると思ったよ。
>>869を参照しる。
873:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:16:08
甘いってのは主観的じゃん、人によって判断が異なるじゃん
874:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:18:22
>>871
赤くない星が無限個存在する
875:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:19:29
>>873
そう思う。
876:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:20:00
>>817
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２。
877:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:20:19
そうだ！kingに聞こう
878:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:22:51
だから“混乱”する人が少数いるのは想定済み。
でも少し考えれば，何を問うているかは自明だろう。
879:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:24:21
>>874
正解。
これは無限を理解しているかどうかのﾘﾄﾏｽ試験紙になるらしい。
880:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:25:49
人間には2種類ある。
>>863のAとBだ。
おまいはどっちだ？
881:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:26:29
しかし，tanx はいただナイト
882:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:28:46
>>880
どっちでもないよ
俺はお茶を飲みすぎた変態紳士なのだから
883:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:31:26
>>881
ごめんなさい。
884:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:32:21
>>882
お茶の水博士なのか？
それは失敬した。
885:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:36:18
>>876はｳｨｯﾄに富んだｱﾝﾁﾃｰｾﾞだな。
886:１３２人目の素数さん
09/10/08 01:43:10
>>884
ティータイムはどんな作業も中断します
887:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/10/08 06:42:33
Reply:>>877 この世ではファジー曲線と呼ばれるものがある。
888:１３２人目の素数さん
09/10/09 11:14:56
>>887
荒らすな。
889:１３２人目の素数さん
09/10/10 21:56:42
当たりくじ付きの棒アイスがあり，この棒アイスを1本買ったときの「アタリ」の出る確率は
p （0＜p＜1）である．この棒アイスは，「アタリ」5本で新しい棒アイス1本と交換できる．
初めてこの棒アイスを買い始めてから，「アタリ」が5本出るまでに買わなければならない
棒アイスの本数の期待値を求めよ．
890:１３２人目の素数さん
09/10/10 23:01:23
kを正の定数とする
漸化式 a_(n+1)=|a_n(a_n-k)|+1 で定まる数列について以下の問いに答えよ
(1)数列{a_n}が発散する初期値a_1の必要十分条件を求め
それを示せ
(2)数列{a_n}が収束する初期値a_1の必要十分条件を求め
その極限値を求めよ
891:１３２人目の素数さん
09/10/11 01:45:14
(k-1)x^2+ky^2-xy＝０をみたす０でない実数x,yが存在するような実数kの値の範囲を求めよ.
892:１３２人目の素数さん
09/10/11 06:55:20
(1-√2)/2≦k≦(1+√2)/2
893:１３２人目の素数さん
09/10/11 09:15:48
円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.
894:１３２人目の素数さん
09/10/11 16:47:59
>>890
ありきたりだがちょとむず杉
895:１３２人目の素数さん
09/10/11 19:44:08
>>891
とりあえず対角化だな。
k の掛かった項は x^2 +y^2 だから、回転の影響はないだろう。
そこで軸を回して 残りの -x^2 -xy を対角化しよう。
軸を π/8 (=22.5ﾟ) 回して、
(1/2)(√(2+√2))･x + (1/2)(√(2-√2))･y = u,
(1/2)(√(2-√2))･x - (1/2)(√(2+√2))･y = v,
とおくと、
(左辺) = {k - (√2 +1)/2}u^2 + {k + (√2 -1)/2}v^2,
原点が極値でない（鞍馬点・峠点である）条件は、2つの係数の符号が異なること。
∴ {k - (√2 +1)/2}{k + (√2 -1)/2} ≦ 0, >>892
896:１３２人目の素数さん
09/10/11 20:16:59
>>891
固有値だけ分かればいいなら、固有多項式
| k-1-λ, -1/2 |
| -1/2, k-λ|
= (k-1-λ)(k-λ) - 1/4
= (k -1/2 -λ)^2 - 1/2,
から
λ = k - (1±√2)/2,
897:１３２人目の素数さん
09/10/11 21:57:50
ここに問題を書きこんだが、Easyのほうは宮廷入試としては中の下くらいだろう。
Extremely Hardのほうは1990年数学オリンピック問題3の超難問。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:399番)
898:１３２人目の素数さん
09/10/11 22:02:32
>>897
easyの方、位数の活用無しに解けるか？
899:１３２人目の素数さん
09/10/11 22:30:00
(1+1)^n+1=3+an.
900:１３２人目の素数さん
09/10/11 22:39:11
なるほど
901:Queen ◆xeS.CIM.Jk
09/10/12 01:49:50
nを自然数とする。
(1)
３つの数 n、n+1、n+2の積は６の倍数であることを示せ。
(2)
３つの数 n、n+2、n+4が全て素数であるようなnを全て求めよ。
902:１３２人目の素数さん
09/10/12 07:23:45
>>901
(1)厨房問題
(2)は未解決問題
903:１３２人目の素数さん
09/10/12 08:26:33
n=1、2のときは条件を満たさない。
n=3とする。
3、5、7はすべて素数であるから、n=3は条件を満たす。
n≧4の時を考える。mは自然数でm≧2として、
n=3mのとき、nは3の倍数なのでダメ。
n=3m+1のとき、n+2=3m+3は3の倍数なのでダメ。
n=3m+2のとき、n+4=3m+6は3の倍数なのでダメ。
よって、n、n+2、n+4がすべて素数となるのはn=3のときのみ。
やった！未解決問題を解決した！
904:１３２人目の素数さん
09/10/12 09:15:03
↑ジャムパン買ってこいよ
905:１３２人目の素数さん
09/10/12 09:24:27
俺は定番だがﾒﾛﾝﾊﾟﾝな
906:猫は珍獣 ◆ghclfYsc82
09/10/12 09:34:10
ワシもﾒﾛﾝﾊﾟﾝが大好きやねん。
猫
907:１３２人目の素数さん
09/10/12 09:54:35
予め未解決問題であることを示した上で、
どこまで思考出来るのかを試すって形式なら出題出来ない事も無いかも
908:１３２人目の素数さん
09/10/12 10:58:04
>>902
未解決は双子の場合だろ
三つ子が3,5,7の組だけってのは有名
909:１３２人目の素数さん
09/10/12 11:01:10
nとn+2とn+4のどれかは3の倍数なのに
未解決問題ってｗ
910:１３２人目の素数さん
09/10/12 15:03:21
>>909
911:１３２人目の素数さん
09/10/12 15:35:46
括弧の中に適当な言葉を入れよ．(15点)
三つ子素数の[ ]百まで
912:１３２人目の素数さん
09/10/12 16:04:45
>>910
913:１３２人目の素数さん
09/10/12 17:22:03
半径1の円に内接する正n角形の面積をS(n),外接する正n角形の面積をT(n)とする。
lim[n→∞]n^p｛T(n)-S(n)｝が0でない数に収束するときのpの値を求めよ。
914:１３２人目の素数さん
09/10/12 18:28:40
>>913
(面積) = n・(中心と一辺が作る二等辺△の面積)
= n・(1/2)(一辺の長さ)(中心から辺の中点までの距離）
を使うと、
S(n) = n・cos(π/n)sin(π/n),
T(n) = n・tan(π/n),
∴ T(n) - S(n) = T(n){1 - cos(π/n)^2} = T(n)sin(π/n)^2,
π - (π/6)(π/n)^2 < n・sin(π/n) < π < n・tan(π/n) < π + (π/3)(π/n)^2,
n→∞ のとき
lim[n→∞) n･sin(π/n) = π = lim[n→∞) n･tan(π/n),
よって
p=2 のとき、極限値 π^3,
蛇足だが････
{S(n) + 2T(n)} /3 = π + (2/15)π^5･(1/n)^4 + ････
lim[n→∞) n^4･{S(n)+2T(n)}/3 = (2/15)π^5,
915:１３２人目の素数さん
09/10/12 18:32:53
>>914
ねーよ
916:914
09/10/12 18:40:51
>>913 (追加)
よって
p=2 のとき
n^2 {T(n)-S(n)} = T(n) {n･sin(π/n)}^2 → π・π^2, (n→∞)
蛇足
lim[n→∞) n^2･{π - S(n)} = (2/3)π^3,
lim[n→∞) n^2･{T(n) - π} = (1/3)π^3,
lim[n→∞) n^4･{[S(n)+2T(n)]/3 - π} = (2/15)π^5,
917:１３２人目の素数さん
09/10/12 19:51:44
>>908 >>911
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498-499番)
双子素数
918:１３２人目の素数さん
09/10/12 21:17:33
>>901の（２）とは全然関係無いから
919:１３２人目の素数さん
09/10/13 00:07:53
大体、正確に未解決問題を書き写したらなおのこと、大学入試問題にはならないだろ。
ちなみに、よく分からないので聞きたいんだが、入試問題的に見て、受験生が誰も解けなかった問題ってのは良い問題なのかな、悪い問題なのかな？
ここでいう誰も解けないは、部分点も無かったってことね。
少なくともその問題は受験生の能力差を見るのに役立たなかった訳だから、悪い問題と見なすべきなきがするけど……
実際は部分点ぐらいあるだろうから問題ないのかな？
920:１３２人目の素数さん
09/10/13 01:23:24
部分点もなかったと言っておきながらすぐ下で部分点ぐらいあると言う。
921:１３２人目の素数さん
09/10/13 01:26:09
>>890
を誰か解いて下洒落
922:１３２人目の素数さん
09/10/13 02:04:58
y=|x(x-k)|+1とy=xのグラフを書く
→kで場合分け
だけど「発散」が振動を含むのか含まないのか分からん
どっちの語法もあるからはっきりしてほしい
あと場合分けがめんどくさそう
923:１３２人目の素数さん
09/10/13 02:14:22
>>890みたいなただ面倒なだけの有名問題はやめてくれよ
解きつくされてるんだから
924:１３２人目の素数さん
09/10/13 16:08:01
絶対値絡みは珍しいと思うけど？
925:１３２人目の素数さん
09/10/13 19:27:22
ただ場合分けがより面倒になりますというだけだけどね
926:１３２人目の素数さん
09/10/13 22:09:53
3^3^3^3^3と10^10^10^10の大小を比較せよ。
但しlog10_3=0.4771...である。
難しくないと思うのだけど、
入試問題として類題をほとんどみないせいか、
周りの東大志望の出来は意外と良くなかった。
927:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:05:49
log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
= 9log3^3^3 = ... = 81log3
log 10^10^10^10 = 1000log10
log10/log3=0.477より後者の方がでかい
案外簡単だな
928:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:08:44
>>927
お前馬鹿だろ
929:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:20:03
入試問題でも
f(t)=e^t^2+...
という式がeの肩にt^2が乗ってることを表してたし、
(a^b)^c=a^bcという規則があるから、
特に括弧をつけずにa^b^cと書いた場合
a^(b^c)のように後ろから計算するものだと思ってたので
ここはそのように考えてください。
930:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:33:02
>>927
えくせれんと
931:１３２人目の素数さん
09/10/13 23:34:28
>>927
＞log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
正しくは
log 3^3^3^3^3 = 3^3^3^3*log3
だね
932:１３２人目の素数さん
09/10/15 22:33:38
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F (x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_n-1*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（ずっと前の大数の宿題から）
933:１３２人目の素数さん
09/10/15 22:37:54
訂正
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F(x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_{n-1}*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（分かると思うが。）
934:１３２人目の素数さん
09/10/16 23:43:19
xyz空間において、相異なる格子点が９つある。
（なお、格子点とは・・・・ry）
この９点から２点を選びその点と点を結ぶ線分（３６本）を考える。
このうち、線分の中点もまた、格子点であるような線分が必ず存在することをしめせ。
935:１３２人目の素数さん
09/10/16 23:49:57
鋭角θにおいて、
θ < （Sinθ + Tanθ）/2
を証明せよ
936:１３２人目の素数さん
09/10/17 00:56:09
>>934
（x座標、y座標、z座標）の偶奇の組合せは2^3=8通りしかないので、
9個の格子点があれば、その中には各座標の偶奇が一致する2点が少なくとも1組存在する。
この2点の中点は格子点である。
937:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:36:06
正の素数を固定せよ。
また、nを任意の正の整数とする。
n！約数として現れるｐの個数をあらわす公式を求めよ
938:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:38:56
×n！約数として
○n！に約数として
939:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:40:18
>>935
tan(θ/2) = t とおく。
鋭角により 0 < t < 1,
(右辺) = t/(1+t^2) + t/(1-t^2) = 2t/(1-t^4) > 2t > θ,
940:Snellius
09/10/17 04:48:17
>>935
序でに･･･
{Cosθ + Cosθ + 1/(Cosθ)^2} /3 ≧ 1, (←相加･相乗平均)
をθで積分して、
(Sinθ + Sinθ + Tanθ) /3 ≧ θ,
941:１３２人目の素数さん
09/10/17 14:40:50
a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､
a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく．
ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、
θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。
θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。
942:１３２人目の素数さん
09/10/17 19:27:29
ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。
この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！
センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。
【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。
(辺の端点はとらないとする)
このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、
(AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1
であることを示せ。
943:942
09/10/17 19:37:16
例えば、
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)
の第3問のタ～トは瞬殺。
944:１３２人目の素数さん
09/10/17 22:14:51
>>941
a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。
a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)),
x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)}
= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k (← 等比級数)
= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)}
→ 1/{1-(1/2)exp(iθ)}
= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
実部と虚部に分けて
x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。
945:１３２人目の素数さん
09/10/17 22:38:35
>>941 (補足)
x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)},
x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)}
= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)},
辺々掛けて
| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2,
| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3,
946:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:21:43
n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。
947:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:23:33
a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝
a_(1)=2
で定められる数列a_(n)について、
lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ.
難。答え出たら多分感動する。
948:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:28:32
そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな
949:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:38:54
>>948
こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は
950:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:45:11
>>949
親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。
951:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:50:36
>>947
a_n=4(sin(θ_n))^2
a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2
∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]
952:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:53:03
やっぱり宿題だったんだ
953:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:58:36
>>942-943
確かに便利で砂
954:１３２人目の素数さん
09/10/18 00:10:56
>>947
a_n = 2(1-b_n) とおくと
b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
2･b_(n+1)^2 -1 = b_n, (←cosの倍角公式と同じ形)
b_1 = 0,
これを解いて
b_n = cos(π/2^n),
a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
(4^n)a_n → π^2 (n→∞).
>>941 (補足)
P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
φ = arctan(3･tan(θ/2)),
955:１３２人目の素数さん
09/10/18 02:24:36
【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい
956:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:01:46
>>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。
証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。
■□□□
１３２４
957:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:05:01
nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。
(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)
L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。
①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
958:１３２人目の素数さん
09/10/18 13:17:17
>>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど
959:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/10/18 17:01:31
Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。