09/10/06 21:17:01
>>816
書き方が悪かったのか？
(1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。
(3)は
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)
なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは
∀K＞0に対して∃δ＞0 s.t. |x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。
このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K
すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K
これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。
(1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。
これで問題ないんじゃない？
ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば
f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
は常に正しいと書いた。
(3)の反例としては、f(x)=√x （x≧0），-√(-x) （x＜0）