09/05/15 23:37:12
>>5
n>1 のとき、n,n+1,n+2 は 2,3,5 のいずれかを素因数に持つ。
また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
∴ 題意より n+1 は 2^a, 3^b, 5^c のいずれか。
・n+1 = 2^a のとき
n または n+1 は3^b,
・n+1 = 3^b のとき、
n,n+2 は偶数。
gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
・n+1 = 5^c のとき
n,n+2 は偶数。
gcd{n,n+2} = 2 より、gcd{n/2, (n+2)/2} =1,
{n/2, (n+2)/2} = {2^a, 3^b},
いづれの場合も、不定方程式 3^b -2^a = ±1 に帰着する。
これは Catalan予想 とよばれ、解は
3^2 - 2^3 = 1, 3^1 - 2^1 =1, 3^1 -2^2 = -1,
∴ n= 1,2,3,4,8.
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Catalan予想
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