09/09/15 22:35:10
>>380 , >>491
(4n-4)!!･(2n-3)!!/{(4n-1)!!･(2n-2)!!} = (4n-4)!!･(2n-2)!･(4n)!!/{(4n)!･(2n-2)!!^2} = 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!}
次のマクローリン級数を考える。
f(x) = Σ[n=1,∞) 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {(1/2)(3/2)････(n - 3/2)}^2 ／{(5/4)(9/4)･････(n - 3/4)・(7/4)(11/4)････(n - 1/4)} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)/Γ(1/2)}^2 ／{Γ(n + 1/4)/Γ(5/4)・Γ(n + 3/4)/Γ(7/4)} x^(n-1)
= (1/3){Γ(5/4)Γ(7/4)/Γ(1/2)^2}Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)^2 ／Γ(n + 1/4)・Γ(n + 3/4)} x^(n-1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; x), ････ 「一般化 超幾何級数」とか言うらしい。
ここで x=1 とおく。 Whipple の恒等式より
(与式) = f(1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; １)
= (π/6)Γ(5/4)Γ(7/4)／{Γ(9/8)Γ(7/8)}^2
= (π/6)(1/4)(3/4)Γ(1/4)Γ(3/4)／{(1/8)Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2πΓ(1/4)Γ(3/4)／{Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2{sin(π/8)}^2／sin(π/4)
= 2{sin(π/8)}^2／{2sin(π/8)cos(π/8)}
= tan(π/8),