09/09/09 21:38:46
>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。