09/09/07 23:15:09
3問目の出題
lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ
451:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
452:１３２人目の素数さん
09/09/08 21:19:39
〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>450
e^(-2)
453:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:01:52
>>452 正解
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった
もう一問 こっちのがメンドイ
lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕
454:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:09:51
>>453
1/2
すたーりんぐデ１コロ
log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････
455:１３２人目の素数さん
09/09/09 06:38:40
糞みたいな問題ばかり出題するなよ
456:１３２人目の素数さん
09/09/09 08:42:31
5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。
457:１３２人目の素数さん
09/09/09 11:26:44
>>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?
458:１３２人目の素数さん
09/09/09 12:32:05
m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)
が成り立つことを証明せよ。ただし、
(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1) とする。
459:１３２人目の素数さん
09/09/09 15:46:07
一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。
460:１３２人目の素数さん
09/09/09 16:48:21
１
461:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:38:46
>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。
462:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:46:58
>>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適
463:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:56:17
5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ
464:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:02:18
>>463
０点
x≒1.765でも交わる
465:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:07:00
>>463
出鱈目。
466:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:11:19
1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936
467:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:18:13
461,462に463あわせたら答えか
468:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:21:57
>>463 正解 です
469:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:29:06
a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。
470:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:03:45
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ
471:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:38:51
>>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？
472:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:56:52
>>470
じゅうかいの時があるだろ
473:１３２人目の素数さん
09/09/10 00:16:33
長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。
474:413
09/09/10 09:13:09
>>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。
硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。
475:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:15:29
よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。
476:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:26:59
>>>473
※以下、答えではない。
====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)
と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。
477:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:30:31
>>413
>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。
478:476
09/09/10 11:10:17
>>473
内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）
479:１３２人目の素数さん
09/09/10 11:50:40
>>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な 枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？
480:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:00:00
>>469
最初だけ。
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。
f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
}
= 0
よって、g(x) =
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？
481:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:02:55
>>479
＞n円玉 ？？？
２円玉？
１００００円記念硬貨？
482:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:21:37
>>481
イエス
483:あぼーん
あぼーん
あぼーん
484:１３２人目の素数さん
09/09/10 21:40:32
cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2), p-2p/√(1+p^2))
か？
485:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:10:40
正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。
（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？
486:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:12:15
>>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？
もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・
487:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:27:40
〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>453, 486
それは確かにメンドイな…
488:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:48:42
>>487
その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
Q(h/L,0,0) R(0,h/m,0) S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc, (←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
x/a + y/b + z/c = 3,
489:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:06:02
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…
490:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:33:10
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
β = arctan( √2) = 0.9553166…
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…
491:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:58:52
誰か>>380解いて
492:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:04:39
初投稿です。簡単ですかね。
5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。
493:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:53:46
400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17>>29>>54>>61>>76>>79>>123>>144>>187>>190>>191>>216>>236>>261>>329>>342>>358>>370>>378>>380>>384>>398
494:１３２人目の素数さん
09/09/13 00:19:33
>>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01 → log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない
495:１３２人目の素数さん
09/09/13 05:20:00
0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.
496:１３２人目の素数さん
09/09/13 19:16:40
ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．
497:496
09/09/13 19:18:18
× (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
498:492
09/09/13 19:52:11
>>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。
499:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:17:45
完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？
500:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:41:27
500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ
501:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:44:35
Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)
(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ
(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ
(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか
502:492
09/09/13 20:45:15
>>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。
503:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:47:14
「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。
504:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:59:23
>>500
A_k=|f(k)-ax| ?
505:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:08:50
>>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で
506:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:14:34
>>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。
507:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:28:45
>>506は釣り
508:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:35:13
>>500
aの値によっては発散するんじゃないの？
509:１３２人目の素数さん
09/09/14 22:33:52
x,yについての方程式
a(x^3-y^3)+b(x^2-y^2)+c(x-y)=0
がx≠yなる実数解をもつための実数定数a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。
510:１３２人目の素数さん
09/09/14 22:45:27
ax^3+bx^2+cx=ay^2+by+cyがx≠yの解を持てばいいので
f(t)=at^3+bt^2+ctとしたとき
f(t)が極値を持つことが必要十分
あとはa=0のときとa≠0のときで場合分けしてうんたらかんたら…
ちょっと前にコピペされてた問題を簡単にした感じかな
511:１３２人目の素数さん
09/09/15 00:02:37
次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．
1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．
# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，入試問題として既出であれば教えて下さい．
512:１３２人目の素数さん
09/09/15 12:23:30
無理数は有理数より多い。
513:１３２人目の素数さん
09/09/15 17:25:40
>>512
なんぞ
514:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:06:37
>>512
だからそれは自明だけど範囲外だって。
515:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:08:45
それを認めたとして、証明できるの？
516:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:13:44
↑ｱﾎ????????
517:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:15:29
できるから問題になっていると恩われ
518:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:35:10
>>380 , >>491
(4n-4)!!･(2n-3)!!/{(4n-1)!!･(2n-2)!!} = (4n-4)!!･(2n-2)!･(4n)!!/{(4n)!･(2n-2)!!^2} = 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!}
次のマクローリン級数を考える。
f(x) = Σ[n=1,∞) 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {(1/2)(3/2)････(n - 3/2)}^2 ／{(5/4)(9/4)･････(n - 3/4)・(7/4)(11/4)････(n - 1/4)} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)/Γ(1/2)}^2 ／{Γ(n + 1/4)/Γ(5/4)・Γ(n + 3/4)/Γ(7/4)} x^(n-1)
= (1/3){Γ(5/4)Γ(7/4)/Γ(1/2)^2}Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)^2 ／Γ(n + 1/4)・Γ(n + 3/4)} x^(n-1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; x), ････ 「一般化 超幾何級数」とか言うらしい。
ここで x=1 とおく。 Whipple の恒等式より
(与式) = f(1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; １)
= (π/6)Γ(5/4)Γ(7/4)／{Γ(9/8)Γ(7/8)}^2
= (π/6)(1/4)(3/4)Γ(1/4)Γ(3/4)／{(1/8)Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2πΓ(1/4)Γ(3/4)／{Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2{sin(π/8)}^2／sin(π/4)
= 2{sin(π/8)}^2／{2sin(π/8)cos(π/8)}
= tan(π/8),
519:518
09/09/15 22:51:04
>>380 , >>491
〔Whipple 恒等式〕
一般化 超幾何級数 3Ｆ2(a,b,c; d,e; x) について
3Ｆ2((1/2)+a', (1/2)-a', c; (1/2)+c+e', (1/2)+c-e'; 1)
= {2^(1-2c)}πΓ((1/2)+c+e')Γ((1/2)+c-e')／{Γ((1+a'+c+e')/2)Γ((1+a'+c-e')/2)Γ((1-a'+c+e')/2)Γ((1-a'+c-e')/2)},
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
〔系〕
3Ｆ2(1/2, 1/2, 1; 3/2 +e', 3/2 -e'; 1)
= (π/2)Γ((3/2)+e')Γ((3/2)-e')／{Γ((2+e')/2)Γ((2-e')/2)}^2
520:518
09/09/15 23:03:12
↑では
Γ(k)Γ(1-k) = π/sin(kπ), (0<k<1)
を使いますた。
521:１３２人目の素数さん
09/09/15 23:09:52
>>518-520
Chapeau!
522:１３２人目の素数さん
09/09/16 00:24:54
明らかに東大入試の問題には不適
523:１３２人目の素数さん
09/09/16 11:06:45
なんか一気につまんねースレになったな
524:１３２人目の素数さん
09/09/16 13:52:05
出題者が高校範囲で解ける解答を持っていなければスレ違い
525:１３２人目の素数さん
09/09/16 14:38:46
スレ違いとかどうでもいいよ
細かいこといちいち指摘してんじゃねぇ
526:１３２人目の素数さん
09/09/16 17:29:39
y=e^xとy=log(x+a)がただ1つの共有点をもつとき、2＜a＜3であることを示せ。
527:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/16 17:39:13
いやいや、この手の計算は確かにChapeauですよね。
こういう計算の中にもいい数学が一杯詰まっていますからね。
528:１３２人目の素数さん
09/09/16 19:42:04
>>526
e^x=log(x+a)⇔e^(e^x)-x=a
f(x)=e^(e^x)-xとおくと
f'(x)=e^(x+e^x)-1
よってf(x)はx+e^x=0の解αで極大値をとりその値f(α)がaに等しい
ここでx+e^x=0はただひとつの解をもち
-1/2+e^(-1/2)>0…(1)
-2/3+e^(-2/3)<0…(2)
なので-2/3<α<-1/2また
a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
a=e^(-α)-α
ここでe^(-x)-xは明らかに単調減少であり
2<e^(1/2)+1/2<e^(-α)-α<e^(2/3)+2/3<3 …(3)
(3)より2<a<3
(1)(2)(3)の証明はここでは省いた
529:１３２人目の素数さん
09/09/16 20:25:34
一応 >>528の(1)(2)(3)について
(1)の証明
2>√e より1/2<e^(-1/2)
(2)の証明
e*(2/3)^(3/2)>4√6/9>1より
(2/3)^(3/2)>1/e
2/3>e^(-2/3)
(3)の証明
(3/2)^2<eより3/2<e^(1/2)であるから
2<1/2+e^(1/2)
また
(7/3)^(3/2)>3>eより
e^(2/3)<7/3なので
2/3+e^(2/3)<3
530:１３２人目の素数さん
09/09/16 22:37:08
>>528
W･exp(W) = c, c≧0,
の唯一の実根を W(c)と定義する。（Lambertの W-函数)
然らば、
α = -W(1),
ここに
W(1) = 0.56714329040978387299996866221036････
はオメガ定数。
∴ a = W(1) + 1/W(1) = 2.3303661247616805832251704391621 のとき
両曲線は (x,y) = (-W(1), W(1)) で接する。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
531:１３２人目の素数さん
09/09/16 22:57:56
次の条件を満たす領域Ａの体積を求めよ。
☆領域Ａに含まれる任意の点Ｐはx軸、y軸、z軸までの距離がいずれもa(>0)以下。
532:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:12:39
>>531
x^2+y^2≦a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
で結局垂直三円柱の共通部分になる
んじゃね？
533:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:34:06
>>528のf(α)は極小値だった
534:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:53:49
>>532
です．
さすがに簡単すぎですかw
535:１３２人目の素数さん
09/09/17 00:40:19
>>534
2004年名市大に同一問題
536:１３２人目の素数さん
09/09/17 10:08:38
>>528
>a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
>a=e^(-α)-α
a=e^(e^α)-α=e^(-α)-α=-1/α-α
までやればもっと楽だと思う
αの範囲も-1<α<-1/2まで絞るだけでいいし
537:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:05:54
全ての自然数nに対して,|a[n]|<1ならば
lim[n→∞]a[1]a[2]…a[n]＝0
であるといえるか。
いえるなら証明し、いえないなら反例をあげよ。
538:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:07:03
↑「対して」の後の「,」は不要でした。
539:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:21:01
>>537
いえない
反例
a_n=(1/2)^{(1/2)^(n-1)}
のとき
積の極限は1/4
540:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:30:19
>>537
全ての自然数nに対してb_n<0ならば
Σ[1,∞]b_n=-∞は常に成り立つか？
って問題と同値
成り立つ訳ない
541:１３２人目の素数さん
09/09/17 22:24:08
>>537
家ない。
判例
a[k] = {(k+1)/k}{(k-1+α)/(k+α)},
のとき
a[1]a[2]……a[n] = (n+1){α/(n+α)} → α, (n→∞)
542:541
09/09/17 22:35:14
>>537
a[k] = 1 - (1-α)/{k(k+α)} < 1,
-1/3 < α < 1 より
|a[k]| < 1,
543:１３２人目の素数さん
09/09/18 01:37:32
f(x)=x^n/e^xとする．
全ての自然数nに対して、
lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dx
が収束することを示せ。
544:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:00:37
>>543
∫x^n*e^(-x)dx=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx
帰納法で終了
545:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:08:53
>>543 正解です。
あとは面倒なだけですねorz
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解が全て正の数であるとき、
ab/c>7を示せ。
546:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:15:43
ab/c≧9に訂正をば。
547:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:28:40
>>545
3つの正の解をα，β,γとすると
ab/c=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ=
(α+β+γ)(1/α+1/β+1/γ)≧(1+1+1)^2=9 (コーシ－シュワルツより)
548:１３２人目の素数さん
09/09/18 06:10:13
>>545
応用してみた。
x^3-ax^2+bx-c=0(a,b,cはともに実数)
(1)この方程式が正の解しか持たない時、ab/c≧9であることを示せ。
(2)いまサイコロを三回投げて、順に出た目をa,b,cに代入した。
この時、この方程式の解が正整数解しかもたない確率を求めよ。
549:１３２人目の素数さん
09/09/18 08:38:23
>>548
(1)>>547
(2)0<α≦β≦γとしておく
(1)よりab/c≧9なのでc≦4
c=1のとき、α=β=γ=1⇔a=3,b=3
c=2のとき、α=β=1,γ=2⇔a=4,b=5
c=3のとき、α=β=1,γ=3⇔a=5,b=7(不適)
c=4のとき、α=β=1,γ=4⇔a=6,b=9(不適)
または α=1,β=γ=2⇔a=5,b=8(不適)
求める確率は2/216=1/108
550:１３２人目の素数さん
09/09/18 09:10:42
東工大に類題あるな
551:１３２人目の素数さん
09/09/18 10:02:44
あまり(1)と(2)に関連がないような気もする
552:１３２人目の素数さん
09/09/18 14:55:23
3点P(0,0,1),Q(0,1,0),R(0,0,1)を頂点とする正三角形の板Sを考える。
(1)Sをz軸のまわりに1回転させたとき､Sが通過する点全体のつくる立体Tの体積を求めよ。
(2)Tをy軸のまわりに1回転させたとき､Tが通過する点全体のつくる立体Uの体積を求めよ。
553:１３２人目の素数さん
09/09/18 15:57:53
n,m,l,kを正の整数とする。
以下の式を満たすn,m.l.kの組を全て求め、
それが全てであることを示せ。
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k
554:１３２人目の素数さん
09/09/18 16:13:10
誰か >>511 をお願い
555:１３２人目の素数さん
09/09/18 16:53:52
>>553
n≦m<lで考える
n<m<lのとき
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k の両辺(n!)^kでわると
1+(P(m,m-n))^k=(P(l,l-n))^k …(1)
(1)の左辺はn+1で割って1余り右辺はn+1で割り切れるので不適
ゆえに m=nとなり
2(n!)^k=(l!)^k
両辺 (n!)^kで割って
2=(P(l,l-n))^k
これを満たす組み合わせは
k=1, m=n=1,l=2のみ
556:１３２人目の素数さん
09/09/18 17:10:02
>>555
正解、簡単すぎかな
スマートな面白さを求めたつもりだったけど・・・
557:１３２人目の素数さん
09/09/18 17:21:11
とりあえず回答が出てある程度時間経ったら出題者は自分の用意した回答だしてくれ
558:１３２人目の素数さん
09/09/18 22:23:53
>>543
f(x) = (x^n)･e^(-x),
は x=n で最大値 f(n) = (n/e)^n をとる。
y>0 のとき
f(2n+y) = f(2n)･(1 + y/2n)^n･e^(-y) < f(2n)･e^(y/2)･e^(-y) = f(2n)･e^(-y/2),
a>2n のとき
(与式) = ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[2n,a] f(x)dx
= ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[0,a-2n] f(2n+y)dy
< ∫[0,2n] f(n)dx + f(2n)∫[0,a-2n] e^(-y/2)dy
= 2n･f(n) + 2･f(2n){1 - e^(-(a-2n)/2)}
→ 2n･f(n) + 2･f(2n), (a→∞)
559:558
09/09/18 22:28:54
>>543
>558 より与式は有界。
また、与式はaについて単調に増加するから、収束する。
560:１３２人目の素数さん
09/09/18 23:57:00
>>554
>>511は簡単すぎて誰もﾄﾅｶｲ
561:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:01:35
簡単とか難しい以前に解こうかなって思わせる要素が全くない、面白くない
あれだったら自分の用意してた答え書いてみ
562:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:04:16
と解けない人が回答を欲しがっています
563:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:05:14
>>560
トナー買うなら･･･
URLﾘﾝｸ(www.tonakaibin.com)
564:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:06:47
>>563
ﾄﾅｶｲの便w
565:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:16:06
２/３＝１/２＋１/６
１１／１４＝
566:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:17:44
>>552 (1)
Rを頂点とする2つの円錐と、xy-平面とで囲まれた部分。→ T
外側の円錐は、RP,RQを通り、底半径1,
内側の円錐は、PQの中点を通り、底半径1/√2,
V(T) = (1/3)π- (1/6)π = π/6,
567:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:18:26
>>561の面白い問題投下に期待
568:１３２人目の素数さん
09/09/19 02:04:03
確かに解答者の解答が示されないと面白みが半減するな
569:１３２人目の素数さん
09/09/19 02:04:27
一辺が10の立方体がある。
この中に半径1/√5の球を立方体からはみださないようにいれていく。
立方体に詰めることができる球の最大の個数を求めよ。
570:１３２人目の素数さん
09/09/19 08:45:57
>>569
秋山仁乙
571:１３２人目の素数さん
09/09/19 10:03:36
>>568
解けていないのに,解いて欲しいが為に出題する奴が多いから無理
572:１３２人目の素数さん
09/09/19 10:13:21
>>511の出題者は、「問題」を思いついただけで、
高校課程の知識での解等例はおろか
「もちろん，大学以降の知識を使えば自明」な解答すら実は書けないのではないか。
573:511
09/09/19 11:23:26
高校範囲内の解答はもちろん用意していますが、
誰もﾄﾅｶｲのでお蔵入りです。
574:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:46:09
そりゃ残念だったな
575:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:48:47
真っ赤なIDのトカナイさん
576:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:55:38
有理数と有理数の間には必ず無理数が存在し、
無理数と無理数の間には必ず有理数が存在することをいえばよいのかな？
577:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:59:41
↑スルーしてくださいorz
578:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:06:31
>>512がといてるやん
579:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:11:25
無理数はいくらでも有理数で近似できることを用い、連続性の定義を振り返ればよい
580:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:37:26
>>578
>>512は範囲外だろ。
581:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:50:21
どいつもこいつも歯切れが悪くてイライラするぜ
582:１３２人目の素数さん
09/09/19 13:26:03
>>570はげ山仁がだしてたの？
研究室で結晶格子みながらこのスレみたから投下してみた
583:１３２人目の素数さん
09/09/19 13:58:47
半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。
P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。
584:１３２人目の素数さん
09/09/19 14:07:13
>>565
1/2 + 1/4 + 1/28 =11/14
585:１３２人目の素数さん
09/09/19 14:07:34
>>583
計算による問題は既出。
幾何的に解くのは，大数1対1対応の演習（旧課程版）にあり。
586:１３２人目の素数さん
09/09/19 16:20:55
一辺が2の正三角形ABCがある。
辺AB,辺BC,辺CAを軸に正三角形ABCを回転させてできる立体の共通部分の体積を求めよ。
587:１３２人目の素数さん
09/09/19 16:33:13
東大志望だけどこのスレ見てると死にたくなったｗｗ勉強してくる
588:１３２人目の素数さん
09/09/19 18:16:30
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)とか他にも出題スレはあるよ
589:１３２人目の素数さん
09/09/20 00:26:32
大数かなんかの裏表紙の広告にあった問題
正七角形ＡＢＣＤＥＦＧにおいてＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＡＤ＝ｚとおくと
y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5となることを示せ。
590:１３２人目の素数さん
09/09/20 01:32:15
>>583
問題の半円から、中心(-1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と、 中心(1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と を除いた領域。
(x + 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2, (x - 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,
R(x,y) がこの領域内にある ⇔ Rを通りORに垂直な直線と半円とが２点で交わる(P,Q)。
591:１３２人目の素数さん
09/09/20 02:47:14
>>589
外接円の半径をR とする。
x = AB = 2R･sin(∠AOB/2) = 2R･sin(π/7) = －2R･sin(8π/7),
y = AC = 2R･sin(∠AOC/2) = 2R･sin(2π/7),
z = AD = 2R･sin(∠AOD/2) = 2R･sin(3π/7) = 2R･sin(4π/7),
よって
y/x = 2cos(π/7),
z/y = 2cos(2π/7),
x/z = －2cos(4π/7) = 2cos(3π/7),
よって
(y/x)^2 = 2{1 + cos(2π/7)},
(z/y)^2 = 2{1 + cos(4π/7)},
(x/z)^2 = 2{1 + cos(6π/7)},
よって
(与式) = 5 + {1 + 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)}
= 5 + Σ[k=0,6] cos(2kπ/7)
= 5,
-------------------------------------------------
(注) cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) は
1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 -4u +4u^2 +8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの、すなわち
1 -4u +4u^2 +8u^3 = 0,
の3根である。（本問では使わないが）
592:591
09/09/20 02:52:37
>591 の訂正
1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 +4u -4u^2 -8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの。
ｽﾏｿ.
593:１３２人目の素数さん
09/09/20 03:01:35
1の７乗根ζは難問の宝庫
ζ＋ζ^2＋ζ^4 の値を求めよ
594:１３２人目の素数さん
09/09/20 04:30:19
>>593
とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？
595:１３２人目の素数さん
09/09/20 04:51:26
>>594
z = ζ + ζ^2 + ζ^4 とおく。
z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3,
z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1,
zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2,
Z^2 + Z +2 = 0,
∴ z = {-1 + (√7)ｉ}/2,
596:１３２人目の素数さん
09/09/20 06:25:34
>>586
A(√3,0) B(0,1) C(0,-1)
とする。
AB: y = 1 - x/√3,
AC: y = x/√3 -1,
領域D:
1 - (√3)x < y < (√3)x - 1, {(1/√3) < x < (√3)/2}
(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3), {(√3)/2 < x < √3}
の体積を求めて3倍する。
x '(y) = (√3)(1-|y|),
z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2},
V = ∫_D z(x,y) dxdy = ･･･
597:１３２人目の素数さん
09/09/20 07:49:27
>>558
〔補題〕
x>0 のとき
(1 + x/n)^n < e^x,
(略証)
(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k
< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k
< e^x,
598:１３２人目の素数さん
09/09/20 08:25:15
>>560 >>563
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:22 モー娘。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:52 歌詞付
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:15 池田淳子
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) MP3TUBE
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 03:04
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:35
599:１３２人目の素数さん
09/09/20 08:28:20
日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････
これも今は昔、奈良に、蔵人得業 恵印といふ僧ありけり。
鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。
なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。
--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より--
600:１３２人目の素数さん
09/09/20 14:45:48
>>579
できればもっと詳しくお願いします
601:１３２人目の素数さん
09/09/20 18:45:59
>>600
？
この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君
602:１３２人目の素数さん
09/09/20 20:13:08
>>601
お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？
603:清書屋
09/09/20 20:44:25
>>510
a≠0 のとき f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項, (T = t + b/3a)
f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a),
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ … ○
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない … ×
a=0 のとき
b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ … ○
b=0 のとき、f(t)は1次式
c≠0 のとき、極値を持たない … ×
c=0 のとき、定数 … ○
∴ 求める条件は
a≠0 かつ ac-b^2 < 0,
a=0 かつ b≠0,
a=b=c=0,
のいずれか。
604:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:13:43
>>593
2000年4月号の学力コンテストに類題あり、
a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。
605:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:47:17
>>604
こんな簡単な問題が出るかなぁ
606:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:50:05
>>593
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7) を求めよ
なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？
範囲外か
607:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:52:10
>>606
sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。
数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。
608:595
09/09/20 21:55:55
>>604
a^8 = b^4 = c^2 = a,
a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。
∴ a^7 =1, a≠1,
∴ a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ, (1≦k≦6)
以下 >>595 と同じ。
609:607
09/09/20 21:56:44
ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。
この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。
610:１３２人目の素数さん
09/09/20 22:49:23
>>602
無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で
高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。
611:１３２人目の素数さん
09/09/21 03:12:58
>>398（訂正版 >>404）
n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。
（n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる）
a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。
ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。
素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。
よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。
ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、
任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。
従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。
帰納的に～あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。
あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。
612:１３２人目の素数さん
09/09/21 05:41:45
>>610
ヒント 中間値の定理
613:１３２人目の素数さん
09/09/21 19:05:26
なるほど
614:１３２人目の素数さん
09/09/21 20:56:20
面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う．
入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが．
n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．
y＝[n]√(x^m)
615:１３２人目の素数さん
09/09/21 21:58:54
xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか
616:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:04:40
>>615
mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？
617:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:07:06
x^(m/n)じゃなくて？
618:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:13:44
>>614
ガウス記号かと思った
619:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:21:19
俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った
620:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:46:46
>>615
実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。
y＝√x のときに x＞0 とか書かない。
621:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:51:25
>>616
ちょっと全然違う。
622:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:02:27
>>614
{ [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n－1)＝(m/n) [n]√{ x^(m－n) }
ではどこがあかんのですか？
623:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:20:13
f(x)=e^(m/n)logx
f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x
=m/n*x^(m/n-1)
これなら教科書にも載ってるしな
624:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:21:26
>>619
>>622
俺もそう思った。
625:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:24:47
どうも、思いつき、が多いなあ。
626:614
09/09/21 23:30:00
どうも出題意図が上手く伝わらない．
ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正．
y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ．
627:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:37:51
え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では?
628:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:45:45
もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？
629:１３２人目の素数さん
09/09/22 00:05:55
ちゃいますがな
630:１３２人目の素数さん
09/09/22 00:10:21
「面白さ」を含めて解説きぼんぬ
631:１３２人目の素数さん
09/09/22 03:09:25
d/dx(|x|)=sgn(x)
632:sage
09/09/22 07:15:42
どっかで同じような流れを見たことがあるような…。
多分出題者は[n]√(x^m)とx^(m/n)の表す意味合いは微妙に違うみたいなことを言いたいんだろう。
後者だとx<0は扱えない。高校の教科書の定義は確かそうだったはず。
まぁ「面白さ」は今ひとつ感じないが。
>>627
x=-8とすると
[3]√(-8)=-2
[6]√(-8)^2=2
とかになるが…
633:１３２人目の素数さん
09/09/22 07:17:43
なんで名前のほうにsageって書いたんだろう。ちょっと吊ってくる。
634:１３２人目の素数さん
09/09/22 08:06:23
>>626
y＝[3]√(x) において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{－(-x)^(1/3)}'＝－(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝1/[3]√(x^2)
よって x≠0 のとき y'＝1/[3]√(x^2)
y＝[6]√(x^2)において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{(-x)^(1/3)}'＝(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝－1/[3]√(x^2)
635:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:49:04
>>634
ｱﾅﾙほど
636:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:54:44
原点を通らず、全実数で定義される関数f(x)は、原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということは正しいか？
正しいなら証明を与え異なれば反例を与えよ
637:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:59:42
正しい訳ないじゃん。
ﾚｷﾞｭﾗりﾃｨｰに関する記述がない。
638:１３２人目の素数さん
09/09/22 10:24:33
y=[x]+1とか
もちろん[ ]はガウス記号
639:１３２人目の素数さん
09/09/22 17:55:31
>>634
そうすると y=[3]√x を微分するとき
安直に y=x^(1/3) とかするのは本当は駄目なんだね
640:１３２人目の素数さん
09/09/22 18:12:24
f(x)=|x|+1とかいくらでもあるわな
641:１３２人目の素数さん
09/09/22 18:15:11
>>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ
642:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:33:02
半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ.
643:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:46:26
線積分すりゃいいよ
644:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:11:45
>>636
「原点を通ら(ない)・・・関数」
という表現は、
カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、
東大入試ではあるはずがない。
645:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:16:06
(0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。
646:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:54:32
いやです。
647:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:42:24
>>644
なぜ？
648:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:54:12
>>647
「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは
しないってことだよ。
649:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:01:40
>>645はどう書けば満足なんだ？
きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。
重箱の隅を突付いて嬉しいか？
650:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:30:08
>>639
有体に言えばそういうことだ
651:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:10:05
>>649
きちんとしてるかどうかは別として、
高校数学においても関数とグラフは別物だろ。
「2次関数～～とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、
教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、
これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。
そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。
ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、
「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。
652:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:11:51
まず教科書に定義を書いているかが問題だ
653:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:31:20
全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、
原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。
ただし、f(0)≠0である。
だったら正しい？
問題出したというより疑問として出したんだけど
654:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:44:16
＞問題出したというより疑問として出したんだけど
655:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:52:35
>>634
目から鱗です。。。
656:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:07:51
今日、来年理１受けることを決めたｗ
で、問題。
=========================================================================================
ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。
=========================================================================================
って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）
657:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:13:02
もひとつ。
=========================================================================================
ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。
=========================================================================================
（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）
658:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:17:16
2^X=X^2の実数解Xを求めよ。
こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…
659:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:42:30
>>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4
660:１３２人目の素数さん
09/09/23 01:30:23
>>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。
661:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:09:08
>>660
なるほどなあ いい問題や
662:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:10:43
じゃあオレからも一題。
y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。
663:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:11:27
どこがいい問題なんだか
664:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:07:28
円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ
665:>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 03:13:11
>>660
あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・
あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。
たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。
666:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:45:46
>>656
難易度A*だな
667:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:11:34
秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。
668:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:40:47
命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ
669:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 05:05:50
>>667
それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）
>>668
Ans,
命題「>>668」は真か偽か不明である。
670:１３２人目の素数さん
09/09/23 09:18:18
数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。
(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)
671:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:15:09
誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。
672:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:57:12
ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？
673:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:21:55
X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)
さて…?
674:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:27:06
x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの
675:うんこ
09/09/23 14:05:12
-0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。
676:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:45:30
任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.
677:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:46:56
× a^n+b^n=c^(km+1)
○ a^m+b^m=c^(km+1)
678:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:10:21
>>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO
679:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:11:16
実際つまらんから言われても当然
680:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:12:21
{a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。
681:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 18:19:45
>>656 で出題したやつのかんたんな解答例
nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1
===============================
>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。
===============================
>>676 (>>677）
a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、
682:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:25:07
>>681
＞4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである
ダウト
例えば非負整数=5では？
683:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:37:10
>>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題
684:681
09/09/23 18:39:42
>>681
の
====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）
正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝
685:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:50:05
関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。
*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。
686:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:53:26
>>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ
意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。
687:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:55:47
>>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。
688:687
09/09/23 18:57:33
>>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？
689:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:01:02
4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・
690:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:27:21
>>679
多分おまえの方がつまらない
691:297
09/09/23 19:29:58
>>670
(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴ α = (a[1] + 2a[2])/3,
a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},
692:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:50:19
>>685
y=6x^2+ax+b
693:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:52:52
>>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。
694:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:56:38
>>693は勘違い
電電無視してくれ
695:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:59:31
でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。
696:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:04:09
確かに
誰かギリギリの条件の模索頼む
697:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:07:37
>>658
x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、
x<eで単調増加、x>eで単調減少。
2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。
x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x
が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。
y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2)
(LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数)
698:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:22:21
任意の自然数k,mについて
a^m+b^m=c^(km+1)
が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.
699:１３２人目の素数さん
09/09/23 22:20:32
>>698
これは簡単すぎだろ
700:１３２人目の素数さん
09/09/24 00:07:46
このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな
701:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:12:35
>>700
作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう
702:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:15:19
>>698
>>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？
703:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:44:37
>>671の解答って結局
X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？
グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？
704:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:45:54
>>671じゃなくて>>658だた
訂正
705:１３２人目の素数さん
09/09/24 02:10:07
ニュートン法。
706:１３２人目の素数さん
09/09/24 05:49:12
>>703-705
X = -0.7666646959621230931112044225103･･･
707:１３２人目の素数さん
09/09/24 06:02:36
>>685の解法おしえて
708:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:00:00
三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。
709:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:04:57
☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆
友人、知人、親類縁者、あらゆるつながりを駆使して巨大地震がくることを教えて下さい。
四川地震より大きいのが来る可能性があります。
URLﾘﾝｸ(goldenta)<)
ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３
ｽﾚﾘﾝｸ(eq板)
e-PISCO Part11
ｽﾚﾘﾝｸ(eq板)
ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
カナダの世界的科学者ロザリー・バーテルはハープが地震兵器や脳を損傷させる兵器の疑い
があるので情報を公開するように要請している
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
710:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:35:01
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。
※log_[x]（…)は底がxということです。
711:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:37:39
任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ
712:710
09/09/24 08:50:18
【訂正】
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。
713:うんこ
09/09/24 12:52:27
>>712 かなり数が汚くなるなあ
一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。
f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0.
よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる
714:１３２人目の素数さん
09/09/24 14:59:26
s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。
u*s^3 + v*t^3 = 0 ①
u*s^2 + v*t^2 = 2/3 ②
u*s + v*t = 0 ③
u + v = 2 ④
715:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:02:13
u，vは複素でもいいんかい?
716:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:05:01
いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉
717:714
09/09/24 18:26:55
>>715
成立するなら、いいよ。
718:１３２人目の素数さん
09/09/24 19:19:25
>>714
us(t-s)(t+s)=0
簡単杉
宿題か?
719:714
09/09/24 19:28:24
>>718
実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。
720:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:02:57
>> 713 正解
721:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:15:19
次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。
722:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:27:18
>>721
b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。
b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。
723:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:43:02
>>722
30点ぐらいかな
724:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:45:27
東大数学は1問20点です。
725:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:47:26
>>716
そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。）
に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して
このcは有理数。すると z|→cなる単射が作れたことになる。
さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？
726:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:29:27
>>658
〔類題〕
g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}
とおくとき、 次を示せ。
2^X ≠ X^2 ⇒ 0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････
727:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:54:44
Wて？
728:１３２人目の素数さん
09/09/24 23:56:15
>>725
以下背理法による略解
ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M－m)(x-c)/(d－c)＋m－f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
729:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:19:56
>>707
x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6
微分方程式みたいなもん。
730:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:22
>>728
よく思いつくな
731:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:44
>>721
p＝a(a+2)
732:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:30:53
>>730
有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を
数式化しただけ
733:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:33:28
>>729
よくわからん
734:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:34:51
>>732
その発想が上手いと思った
今日は良い夢が見れそうだ
735:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:38:58
>>734
ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う
736:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:40:41
>>733
>>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理
737:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:43:35
>>736
なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ
738:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:47:54
>>728
細かいが訂正
× 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0
739:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:34:21
>>728
ほう
なるほどな
褒美にメロンパンをやろう つ（＃）
740:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:39:16
上半期一番の作問だね。
年度賞の第一候補。
741:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:32:37
それはない
742:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:34:46
これは有名問題だから作問とは言えないね・・・
743:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:40:02
上半期？
744:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:58:50
Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。
745:１３２人目の素数さん
09/09/25 17:46:38
>>742
あまり見た事ないけど。
解法も有名なやつ？
746:１３２人目の素数さん
09/09/25 22:07:35
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(2)
π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ
(3)
e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ
747:ゆう
09/09/25 22:10:22
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ
748:１３２人目の素数さん
09/09/25 23:10:43
>>746訂正
nは非負整数
749:１３２人目の素数さん
09/09/26 02:39:21
∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。
750:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:25:13
√(x^2-1)が虚数になるんだが
751:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:45:29
>>746
(1)
tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴ (与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0～π/4)
= 1/(n+1),
(2)
(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx (n→∞)
= 4[ arctan(x) ](x=0～1)
= π,
(3)
Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
→ ∫[0,1] 1/(1+x) dx
= [ log(1+x) ](x=0～1)
= log(2),
∴ lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,
752:１３２人目の素数さん
09/09/26 06:19:48
>>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。
この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)
753:１３２人目の素数さん
09/09/26 11:34:04
>>751
そういう方法もあるのか～
一応(1)使う方針は
S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…①
(2)nが偶数の時
S_0=∫(0→π/4)dx=π/4
①より
π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n)
=Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)
+-S_n
n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0)
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される
(3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです
754:ゆう
09/09/26 21:25:52
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ
755:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:07:19
>>754
方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ
756:ゆう
09/09/26 22:29:02
もう他のところでおしえてもらったんでいいです!
757:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:34:35
無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ
758:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:36:12
A
無限は無限だと思います。
759:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:15:42
無限って、何？
760:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:41:11
無毛
761:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:40:23
>>755
yはxの関数ってことだろ。
=が入ってれば何でもかんでも方程式って…
762:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:44:24
2元方程式でしょ。
763:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:45:50
>>761
764:１３２人目の素数さん
09/09/27 01:00:43
683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90
ラメ入りいうてもヒラヒラついてる
V系のコがきてそうな奴やで？
なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても
紐にウンコついてそうやからスル～したぞ！！
前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって
こんなんやろか？普通だれもいらんで！
765:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:08:56
451はどうやるの？
解いた人いないかしら。
766:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:30:52
スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。
767:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:53:53
>>759
もちろん、HONDA | 無限 MUGEN だが。
URLﾘﾝｸ(www.mugen-power.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 01:32 FORZA Z
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 03:21 INSIGHT
768:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:58:19
>>757
2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。
そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。
結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。
中ry)
F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。
マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。
中ry)
ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。
実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。
トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。
URLﾘﾝｸ(www5f.biglobe.ne.jp)
769:１３２人目の素数さん
09/09/27 04:08:15
>>761
因数分解するのは函数じゃなくて多項式。
>>754
因数分数って何。
770:１３２人目の素数さん
09/09/27 14:15:21
>>768
考えというかただの感想じゃん
771:１３２人目の素数さん
09/09/27 15:14:54
>>757
あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。
無碍に … 思った通りに
あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。
無下にする … それより下はない事をする。 お話にならないことをする。
772:１３２人目の素数さん
09/09/27 18:18:06
《問題》
体積の等しい立方体と球がある。
この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。
最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。
773:１３２人目の素数さん
09/09/27 21:13:28
感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。
774:765
09/09/28 01:07:31
少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。
解いて欲しそうだったので解いてみました。
>>451さん、解答を教えてもらえませんか。
775:１３２人目の素数さん
09/09/28 04:30:24
>>772
5?
776:１３２人目の素数さん
09/09/28 14:05:43
【問】
y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ
777:１３２人目の素数さん
09/09/28 15:45:18
>>776
y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ)
= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ),
-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ),
-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、
-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
W は Lambert-W函数。
y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
と表わされるが....
778:１３２人目の素数さん
09/09/28 16:54:39
>>777
関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず
【問】
(2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ
779:１３２人目の素数さん
09/09/28 17:26:36
△ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。
このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。
780:１３２人目の素数さん
09/09/28 22:44:58
>>779
AB↑=b↑ ,AC↑=c↑
重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする
AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1)
重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると
b↑,c↑が一次独立なので
sp=(1-s)q=1/3
p≠0,q≠0なので
1/p+1/q=3
相加相乗より
pq≧4/9
等号はp=q=2/3で成立
すなわち…(略)
駅弁レベルだとリアルに出るかもね
781:１３２人目の素数さん
09/09/29 02:12:19
>>778の補足
f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数
782:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:09:39
>>772
大阪大学乙
783:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:26:57
>>782 その通り なかなか良問ですよね これ
784:１３２人目の素数さん
09/09/30 00:14:40
動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める.
a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ.
785:１３２人目の素数さん
09/10/01 22:11:34
数列｛a(n)｝を次のように定める.
a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k
このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2) となるような自然数mが存在することを示せ.
簡単過ぎ？
786:785
09/10/01 22:12:30
ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す.
787:１３２人目の素数さん
09/10/01 23:38:17
>>785
√a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？
788:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:00:12
>>787
それa_(n-1)だと思うぞ
文脈からして
789:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:25:40
>>784
まづ、線分PQが通過する領域を求める。
直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。
F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t)
= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y),
その包絡線は、
F(t) =0, (∂F/∂t) =0
からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。
本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って
D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1)
= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1)
= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1)
= 0,
∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)}, (････楕円の一部)
これと直線PQ との接点は
( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ),
特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ),
よって PQ の通過する領域は
x^2 ≦ y ≦ -ax, (-a ≦ x ≦ -a/(a+1))
x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)}, (-a/(a+1) ≦ x ≦ 0)
790:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:57:39
正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。
791:１３２人目の素数さん
09/10/02 09:11:03
座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。
三角形APQの面積の最大値を求めよ。
792:１３２人目の素数さん
09/10/02 09:18:11
よくそんなつまらん問題思いつくな
793:１３２人目の素数さん
09/10/02 10:52:44
>>785
簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k）
漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、
b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)])
であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である
今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞）
m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると
[b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2
∴[b(m+1)] ≦ k
これは m の最大性に反する
∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m)
ぬるぽ
794:１３２人目の素数さん
09/10/02 10:58:10
>>793
二点修正
×b(n)^2 = a(n)
○b(n) = √a(n)
×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である
○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である
795:１３２人目の素数さん
09/10/02 12:36:13
>>746
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(π/4)/(tan^(n+2)+tan^n)
796:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/10/02 13:41:50
>>790
これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？
自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、
文系数学の範囲でゴーインにといてみた。
てか、見にくくてスマソ
↓
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
ま、たんに、xy座標平面で、
p=(m,n)とおいて、
△ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１）
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２）
両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。
797:１３２人目の素数さん
09/10/02 14:03:35
>>790
Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば
偏差値65以上の中学生でも解ける
798:796
09/10/02 14:25:43
>>797
あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。
題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。
799:785
09/10/02 19:22:42
>>785
に追加問題
あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく.
例えば、f(2)=3 f(3)=7である.
lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k)
を求めよ.
800:１３２人目の素数さん
09/10/02 21:13:16
>>799
f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k
勘だけど
801:１３２人目の素数さん
09/10/02 21:32:28
>>800
そんな予想は誰でもできます.
その証明が問題なんです.
802:１３２人目の素数さん
09/10/03 03:00:17
>>785
【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,
(略証)
nについての帰納法による。
a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺),
また、
a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2, (k:奇数)
a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数)
いづれの場合も
√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1,
∴ [√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],
∴ a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k, (終)
じゅうぶん大きいnについて等号成立。
【単調性】a(n-1) ≦ a(n),
(略証)
nについての帰納法による。
a(2) - a(1) = k ≧ 1,
a(n) - a(n-1) ≧ 0,
とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから
a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0, (終)
→ a(n) は有界な単調列だから、収束する。
803:802
09/10/03 03:15:30
>>799
・kが偶数のとき
f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4),
1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4),
･ｋが奇数にとき
f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8},
1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8}, むむ…
804:１３２人目の素数さん
09/10/03 05:47:00
>>802
(有界性) は
k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L,
a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2,
√a(n-1) < L+1,
[√a(n-1)] ≦ L,
805:１３２人目の素数さん
09/10/03 07:06:14
>>784
S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a),
S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2},
S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx
= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0)
= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a))
= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a),
S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3,
806:805
09/10/04 11:30:32
訂正、ｽﾏｿ
S_2(a) = ･･････
= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a))
= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a),
807:805-806
09/10/04 11:43:59
これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ
808:１３２人目の素数さん
09/10/04 17:01:57
>>744はどうやるだ？
809:１３２人目の素数さん
09/10/04 22:01:19
>>808
OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？
どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ
Qを求めたところで詰む
810:１３２人目の素数さん
09/10/05 03:09:16
>>805-807
まとめると
S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)},
= (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + ……
だが。
811:１３２人目の素数さん
09/10/06 00:51:05
f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．
(1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題
ただし，
極限 lim[x→0]f(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝－∞
とする．
812:811
09/10/06 00:58:22
訂正．
f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．
(1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題
ただし，
極限 lim[x→0]f’(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝－∞
とする．
813:１３２人目の素数さん
09/10/06 00:58:56
>>811
何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。
逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。
814:１３２人目の素数さん
09/10/06 01:35:53
(1)
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ) （ξ：0とhの間、平均値の定理）
より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*)
(2)f(x)=x^2sin(1/x) （x≠0），0 （x=0） が反例。
(3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、
認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。)
(4)(2)が反例。
815:１３２人目の素数さん
09/10/06 07:06:07
>>814
(3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない．
認めないと，証明は自明ではない．
(*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ．
816:１３２人目の素数さん
09/10/06 07:11:32
また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは
f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので，
結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと，
あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける．
817:１３２人目の素数さん
09/10/06 08:40:48
>>812に追加．
(5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M )
818:１３２人目の素数さん
09/10/06 13:12:00
>>814
＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし
これは間違い。
819:１３２人目の素数さん
09/10/06 13:43:38
自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める.
(1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ.
(2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!) をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ.
820:１３２人目の素数さん
09/10/06 17:17:35
× 無限に存在する
◎ 無数に存在する
821:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:17:01
>>816
書き方が悪かったのか？
(1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。
(3)は
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)
なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは
∀K＞0に対して∃δ＞0 s.t. |x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。
このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K
すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K
これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。
(1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。
これで問題ないんじゃない？
ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば
f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
は常に正しいと書いた。
(3)の反例としては、f(x)=√x （x≧0），-√(-x) （x＜0）
822:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:49:30
>>821
物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ．
lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない．
∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る．
823:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:57:05
>>822
だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。
でも間違ってはないだろ？
てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。
824:１３２人目の素数さん
09/10/06 22:39:15
無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな
825:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:08:58
そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。
δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。
しかもここは工房相手の作問スレ。
826:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:14:40
そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな
827:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:52:01
>>721-722
少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？
問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。
l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、
aは無理数であることを示せ。
828:１３２人目の素数さん
09/10/07 01:04:05
>>819
(1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて
1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが…
(2)は皆目見当がつきません。
829:１３２人目の素数さん
09/10/07 02:20:32
>>828
(2)の問題は、以前出した>>698の応用。
(1)
1/41の循環節が５であることはすぐ分かる.
ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう.
たとえば、f(4)=1111である.
f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる.
よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである.
f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111
≡8・f(6m)+28 (mod49)
で、f(6)≡28(mod49)から
計算していくと、
f(12)≡7(mod49)
f(18)≡-14(mod49)
f(24)≡14(mod49)
f(30)≡42(mod49)
f(36)≡21(mod49)
f(42)≡0(mod49)
よって、1/49の循環節は42である.
以上より、N=210n（nは自然数）
(2)
(1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる.
したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である.
a=x・(x^2009+y^2009)^Z
b=y・(x^2009+y^2009)^Z
とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい.
a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!)
∴c=x^2009+y^2009