09/07/19 00:23:29
a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。
a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。