09/07/05 20:51:36
>>50
a_n = n!(e^n)/n^(n +1/2),
とおくと、>>44-45 より
a_k / a_(k-1) = e･{(k-1)/k}^(k -1/2) <1,
∴ a_n は単調減少。
lim[n→∞) a_n = c,
とおけば、
c < a_n ≦ e, (等号成立は n=1)
次に c=√(2π) を示す。
b_m = (a_m)^2 /{a_(2m)} = (4^m)(√2)/{Ｃ[2m,m] √m},
とおくと
lim[m→∞) b_m = c,
ところで、I_n = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ とおくと、
I_n = {(n-1)/n}I_(n-2), I_0 = π/2, I_1 = 1,
より
I_(2m-1) = (4^m)/{2m･Ｃ[2m,m]} = b_m /√(8m),
I_(2m) = (π/2)Ｃ[2m,m] / (4^m) = π/{b_m･√(2m)}
I_(2m+1) = {2m/(2m+1)}I_(2m-1),
明らかに
I_(2m+1) < I_(2m) < I_(2m-1),
∴ √(2π) < b_m < √{2π(2m+1)/(2m)},
∴ c = lim[m→∞) b_m = √(2π), (終)
ちっとも代数的ぢゃねぇが･･･