09/05/25 21:20:10
〔問題〕k≧2 のとき
{1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k > e
を示してくださいです。
40:１３２人目の素数さん
09/05/25 21:21:09
>>39
2項定理より
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(k+1) = Σ[j=0,k+1] Ｃ[k+1,j] /(k^2 -1)^j > 1 + 1/(k-1) = k/(k-1),
∴ {k/(k-1)}^k > {(k+1)/k}^(k+1) > ･･･(単調減少)･･･ > lim[k→∞) (1 + 1/k)^k = e,
41:１３２人目の素数さん
09/05/26 04:59:36
〔問題〕k≧2 のとき
{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
を示してくださいです。
42:１３２人目の素数さん
09/05/26 05:15:46
>>41
・左側
{1,1,････,1,(k-1)/k} (k個) の相加･相乗平均から、
{(1-k^2)/k^2}^k > (k-1)/k,
∴ {k/(k-1)}^(k-1) < {(k+1)/k}^k < ････ < e, (単調増加)
・右側 >>40 または
{1,1,･･・･,1,k/(k-1)} (k+1個) の相加･相乗平均から、
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) > k/(k-1),
∴ e < ････ < {(k+1)/k}^(k+1) < {k/(k-1)}^k, (単調減少)
43:１３２人目の素数さん
09/05/26 13:30:46
おぉ、書き間違いがあったよ。どうりで誰も解いてくれないわけだ……
0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁以下の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] k*P(n,k)
を求めよ。
－－－－
わかりにくいと思うので、念のため説明
p(5,1) は、0.00001、0.00002、0.00003、……、0.20090、0.20091、……
の中から0.2009Xとなるものが現れる確率。
なので、P(5,1) = 10/99999です。