09/03/29 13:19:29
GREからの問題です。
Let R be a ring without identity and without zero divisons. Let S be the ring whose additive group is (R×Z,+) and where
(r_1,z_1),(r_2,z_2):=(r_1r_2+z_2r_1+z_1r_2,z_1z_2).
Let A:={(r,z)∈S;rx+zx=0 for every x∈R}.
(1) Show that S/A has identity and contains a subring isomorphic to R.
(2) Show that S/A has no zero divisors.
((1)の証)
単位元として(0,1)A∈S/A={(r,z)A;(r,z)∈S}が採れます。B:={(r,0)A;r∈R}とすると,BはRに同型だと思います。f((r,0)A):=rと定義すればfは同型写像。
それでこのBがS/Aの部分環になっていると思いますが
Bは単位元(0,1)Aを含まなくなってしまいます。何処が間違ってますか?
((2)の証)
もし(2,0)Aと(-2,2)Aを採れば(2,0)A・(-2,2)A=(0,0)Aとなり,零因子をS/Aは持つ事になり,問題に矛盾します。この場合は何処が間違ってますか?