09/02/09 23:04:03 BE:227211438-PLT(51480)
・累乗 x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数 log_[3](9)=2（底は3）
・積分 ∫[x=1,3] (e^(x+3))dx ・数列の和 Σ[k=1,n]A(k)
・分数 (a+b)/(c+d) （分子a+b､分母c+d） ・ベクトル AB↑ a↑
＿ 。
, '´ ヽ ／／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
! i iﾊﾙ）))〉 ／ | 上記のように書いてローマ数字や丸付き数字などを
i!iiﾘﾟ ヮﾟﾉij ／ ＜ 避けて頂けると助かりますわ。
li/([ｌ个j]Ｐ´ | また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。
ノﾉく＿ 〉ﾘ ー―――――――――
,し'ﾉ ※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします
他の記号（>>2-3にもあります）と過去ログ
URLﾘﾝｸ(members.at.infoseek.co.jp)
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ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
よくある質問
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（その他注意・関連リンクは>>2>>3>>4辺りを参照）
2:１３２人目の素数さん
09/02/09 23:04:42 BE:454421568-PLT(51480)
●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ～おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...] （上下付き１成分表示）
●行列 M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j] M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可） ●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)
●関数・数列：f(x), f[x] a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y) ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x| ●共役複素数：z~ ●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）
3:１３２人目の素数さん
09/02/09 23:04:58 BE:189342645-PLT(51480)
●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨￢∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
4:１３２人目の素数さん
09/02/09 23:05:30 BE:454421568-PLT(51480)
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【業務連絡】
■レスの数が970ぐらいになったら新しいスレッドを立て、そちらには
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■単発質問スレと古いスレに書き込まれた質問は、このスレか関連スレに誘導して下さい。
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━━━━━━━━━━━━━━━
5:１３２人目の素数さん
09/02/10 12:03:52
1B
6:１３２人目の素数さん
09/02/10 13:04:43
スレ立て乙
7:１３２人目の素数さん
09/02/10 21:37:37
1000
8:１３２人目の素数さん
09/02/10 21:53:52
大学一年です。
z＝f（x，y）
x＝rcosθ
y＝rsinθ
のとき
（∂z/∂x）^2＋（∂z/∂y）^2＝（∂z/∂r）^2＋1（∂Z/∂θ）^2/r^2が成り立つことを示せ。という問題なんですが、何をどうしていいのか解りません。
どなたかご教授お願いします。
9:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:00:53
> 何をどうしていいのか解りません。
ただの計算問題です、ウダウダ言ってねーでとっとと両辺それぞれ計算しやがれヴォケ
10:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:08:24
てゆーか大学やめて働けよカス
11:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:09:05
ｽﾏｿﾝ
θで偏微分するのはどうやるの？
12:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:10:20
>>11
連鎖律（チェーンルール）
13:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:15:23
p=(p-n)(p-m)
素数は（p-1)(p-(p-1))=pだけ
合成数はそれ以外の合成数と(n,m)について同値関係がある
14:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:21:13
>>8
大学一年です。
二次元 ラプラシアン 極座標表示 で検索してみてはいかかでしょうか。
15:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:22:33
x＝rcosθ
は∂x/∂θでcosθ-sinθでおけ？
16:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:29:10
8=(8-4)(8-6)
x=(x-4)(x-6)
x^2-11x+24=0
(11+/-(121-96)^.5)/2=(11+/-5)/2=8,3
3=(3-4)(3-6)
17:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:32:22
>>15
rはxの函数でもあるのでθと独立にはなれない
18:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:38:17
(x-n)(x-m)-x=0
x^2-(n+m+1)x+nm=0
(x-a)(x-b)=0
x^2-(a+b)x+ab=0
a+b=n+m+1
ab=nm
8b=24->b=3
b=n+m+1-a=11-8=3
19:１３２人目の素数さん
09/02/10 22:44:02
pb=nm->p=nm/b NG
20:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:01:23
(2,2)->4,1 4=(4-2)(4-2),1=(1-2)(1-2)
(2,3)->x^2-6x+6=0 x=3+/-(9-6)^.5->null
(3,3)->x^2-7x+9=0 x=7+/-(49-36)^.5)/2->7+/-13^.5)/2->null
(n,m)->D=(n+m+1)^2-4nm=n^2+m^2+2(n+m)-2nm+1=z^2
21:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:02:29
p=(p-n)(p-m)が成立する整数p,n,mをすべてもとめよ
22:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:07:13
高校生スレが荒れているようなので
ここで質問してもよろしいでしょうか？
23:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:08:05
>>21
腐るほどあるが
24:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:22:48
1辺の長さが2の正方形ABCDの辺AD上に点Pをとり
線分BPと、頂点Bを中心とする
弧ACとの交点をQとする
このとき、扇形ABQと図形PQCDの
面積が等しくなるような
線分APの長さを求めよ
中1の息子に聞かれたのですが・・・？
どなたか教えて下さい。
A P D
□
B C
25:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:23:55
>>22
どうぞ
26:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:54:25
3つのさいころA、B、C を投げて、出た目をそれぞれa、b、cとしたとき
3次方程式 x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+c=0が相異なる3つの実数解をもつ確率を求めよ。
27:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:11:06
aを実数、kを正の数とし、
f(x)=x^2-2x+a
g(x)=x^2-2kx+ak^2
とする。
方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもち、なおかつ
方程式g{f(x)}=0が重解をもつような組(k,a)のうちで、
kが最小となるものを求めよ。
f(x)=0からD/4=1-a^2>0,
-1<a<1となるところまでは分かったのですが、
その先が全く分かりません。どなたか教えてください…。
28:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:14:10
>>27
g(x)=0の判別式D_[2]=0
29:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:17:00
>>27
そもそも判別式が違う
f(x)=0の判別式D_[1]=(-1)^2-a>0だからa<1
30:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:34:34
奇素数pが二つの平方数の和として表されることと(-1/p)=1は同値であることを示せ
どなたかお願いします･･･
31:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:39:18
>>24
手計算では無理じゃないか？
∠ＡＢＱ＝θとおくと、
２θ＝４－２tanθ－２cosθを解けばいいんだけど、
これ解けなくね？
32:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:40:18
p≡1 mod 4
33:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:51:04
△ABPと図形ACDの面積が同じになればいいので4-π
34:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:53:33
>>24
扇形ABQ+図形APQ=図形PQCD+図形APQ
つまり三角形ABP=図形ACD
35:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:54:26
>>29
そうでした…凡ミスしてました。
>>28
g(x)=0の判別式D/4が0となればいいということですか？
g{f(x)}の意味が分からなかったのですが…
36:１３２人目の素数さん
09/02/11 00:56:23
>>24
△ABP＝□ABCD－扇形B-A⌒C
37:30
09/02/11 01:07:17
>>32
ごめんなさい
それだけだとどうもわからないのでもう少し詳しくお願いしてもよろしいでしょうか
38:１３２人目の素数さん
09/02/11 02:20:18
x^2-11x+1≡0 mod9941 について、解が存在するかどうかを判別し、存在するならばすべての解を求めよ(9941は素数)
どう工夫すれば解けるでしょうか･･･
39:１３２人目の素数さん
09/02/11 05:23:18
>>38
判別式を D として
D ≡ (-11)^2 - 4*1*1 ≡ 117
(D/9941) = 1 なので解が存在する
計算すると 117 の平方根は ±1334
あとは簡単
平方根の求め方とか知ってるんだよね？
40:３８
09/02/11 06:18:21
>>39
回答ありがとうございます！
平方根は教科書、ノートにも書いておらずネットで調べてもよく理解できなかったです･･･
恐縮ですがもしよければそのあとも教えていただいてもよろしいでしょうか
41:１３２人目の素数さん
09/02/11 08:58:59
>>26をお願いします
42:24
09/02/11 10:08:03
みなさんありがとうございます
自分で関数電卓を使ってAPの数字を少しづつ変えて
0.86ってだしたのですがw
答えの4-πがどこからでてくるのかさっぱりわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
43:１３２人目の素数さん
09/02/11 10:15:58
絶対値の中に絶対値があるときはどうやって表現するといいのでしょうか?
例えば絶対値の中に行列式があるとき。
あと、絶対値の中でベクトルの外積を計算するとき。
44:１３２人目の素数さん
09/02/11 10:21:24
>>43
そういうときは、普通、違う記号を使うだろう。
|det(A)|とか、|Ａ↑×B↑|
45:１３２人目の素数さん
09/02/11 10:21:31
>>43
外側の絶対値記号を大きめに書くとか，
| det A | のような紛らわしくない表記を使うとか色々手はある。
46:１３２人目の素数さん
09/02/11 10:26:36
>>44-45
ありがとうございます。
そういえばdet A=|A|でしたね。
47:１３２人目の素数さん
09/02/11 10:46:13
>>46
細かいが |A| で det 以外のもの（全ての成分の絶対値を取るとか）を表す流儀もあるから
det A = |A| と盲目的に考えず、場面場面で適切な意味に解釈してね。
48:１３２人目の素数さん
09/02/11 12:09:16
>>40
平方根は結構面倒
以降 (mod 9941) は省略して書く
9941-1 = 4*2485 = 4*(2*1242+1)
117^1242 を根性で計算すると
117^1242 ≡ 3495
117^2485 ≡ 117^(2*1242+1) ≡ 3495^2 * 117 ≡ 1
117^(2485+1) ≡ 1*117 ≡ 117
だから 117 の平方根のうちのひとつは
117^((2485+1)/2) ≡ 117^(1242+1) ≡ 3495*117 ≡ 1334
49:３８
09/02/11 12:39:43
>>48
わかりやすい回答ありがとうございます！
おかげさまでなんとかできそうです
ありがとうございました
50:１３２人目の素数さん
09/02/11 13:57:26
>>43
「行列式の絶対値」は「絶対値の中に絶対値」では *** ない ***
51:１３２人目の素数さん
09/02/11 16:13:34
k
52:１３２人目の素数さん
09/02/11 17:45:30
整数線形計画問題はクラスPに属するか
53:１３２人目の素数さん
09/02/11 17:59:03
「xについての方程式を解く」というのはどういう概念なのでしょうか。
54:１３２人目の素数さん
09/02/11 18:43:30
>>52
NP困難であることが簡単に示せるので、
Pに属することがわかればP≠NPが解決する。
55:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:48:11
x^2-11x+1=0 mod 9941
(2x-11)^2=11^2-4=117 mod 9941
117^(9941-1)/2=117^4970=1 mod 9941
r^2=117=3^2*13 mod 9941
(117/4491)=(3/9941)^2(13/9941)=(9941/3)(-1)^2*9940/4(9941/13)(-1)^12*9940/4
=(9941/3)(9941/13)=(2/3)(6/13)=(2/3)(2/13)(3/13)=(2/3)(2/13)(1/3)=(-1)(-1)(1)=1
56:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:54:17
(2x-11)=r mod 9941
x=2^-1(r+11) mod 9941
2^-1*2=1 mod 9941
2^-1*2=9942 mod 9941
2^-1=4971 mod 9941
x=4941*(r+11) mod 9941
=4941r+4646 mod 9941
57:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:02:22
r=1334,8607
use calc
58:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:18:55
>>53
ｘが満たすべき条件という意味で必要条件としての値を求める処理。
59:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:22:22
左辺と右辺を計算して、じっとみつめてみる
60:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:23:23
>>58
私は>>53ではありませんが、例えば2x-1=0⇔x=1/2というのは必要十分な変形ではないのですか？
61:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:32:45
>>60
十分性の判定には前提条件が必要。
62:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:35:38
>>61
ありがとうございます。なんだかわかった気がします。
先の例でいけば「xは自然数」とかだと十分性が満たされないということですね。
63:１３２人目の素数さん
09/02/12 01:42:56
>>26をお願いします
64:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:00:30
>>63
聞くばっかりじゃなくてどこまで考えたか位書けよ。
65:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:35:24
>>64は無視で
66:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:42:52
>>64は
（＾ω＾∪）わんわんお！わんわんお！
みたいに典型的な
「 弱 い 犬 ほ ど よ く 吠 え る 」
ってやつだな
分からん馬鹿は黙っていればいいのに…
67:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:52:07
.
0.16(6の上のみに・)って0.1666666・・・のことですよね？
68:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:52:41
ごめんなさい、0の上の点は無視してください
69:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:54:37
>>67-68
そうです
70:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:56:38
>>63はきちんと書くとかなり面倒だから、質問者が分かってるところまで書くと無駄無駄無駄
71:１３２人目の素数さん
09/02/12 02:58:42
>>69
ありがとうございます
72:１３２人目の素数さん
09/02/12 03:24:03
>>26の方針ね。
関数f(x)=x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+c
のグラフをもとにして考える。
ここに極値の存在性を仮定して
極大値は正、極小値は負
とする。
ただ、どちらかというと計算が主体になってくるから
解答書く気はしない。
まじめにやったらかなり長くなる。
73:１３２人目の素数さん
09/02/12 04:22:44
行列ABの固有多項式は行列BAの固有多項式に等しいことを示せ
お願いします
74:１３２人目の素数さん
09/02/12 04:24:27
>>73
聞くばっかりじゃなくてどこまで考えたか位書けよ。
75:１３２人目の素数さん
09/02/12 04:29:06
>>74
行列式の定義に|xE-AB|と|xE-BA|を当て嵌めて比較したり
（xE-AB）=(√xE-A)(√xE-B)+√x(A+B)のように行列の式を変形して示そうとしましたがうまくいきませんでした
76:１３２人目の素数さん
09/02/12 04:34:51
>>75
転置行列の性質ってどれくらい知ってる？
77:１３２人目の素数さん
09/02/12 04:39:05
>>76
t(AB)=t(B)t(A)
t(A+B)=t(A)+t(B)
det(t(A))=det(A)
でしょうか
|xE-AB|=|xE-t(B)t(A)|までは分かるのですが右辺が|xE-BA|に等しいことが示せません
78:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:08:40
転置は関係無いな
Bが正則の場合は AB = B^(-1)(BA)B とでもやれば計算できる。
そうでない場合は正則な行列を B' := B + εE とでもとって
&esilon;↓0 とすればいい（この形で本当に正則になるかは忘れた）。
79:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:14:26
X=(x_ij)をn^2の変数からなる行列として
f(x,x_ij)=|xE-AX|-|xE-XA|
というn^2+1変数の多項式を考える
の方が好き
80:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:20:24
確かにf(x,X)|X|が常に0というのは目から鱗だよな
81:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:25:31
>>78
B'=B+εEとして
|xE-AB|
=|xE-B'^(-1)(B'A)B|
=|xE-B'^(-1)(BA-εA)B'-εB'^(-1)(BA-εA)|
=|xE-B'^(-1)(BA)B'+B'^(-1)(εA)B'-εB'^(-1)(BA-εA)|
→|xE-B'^(-1)(BA)B'| (ε→0)
ということでしょうか？
82:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:32:31
>>81
ちゃう、|xE-AB'|=|xE-B'A|は既に出てるからそこでε↓0にする。
83:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:36:43
>>82
納得しました
ありがとうございます
>>79の方の方法も一度寝てから考えることにします
ありがとうございました
84:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:37:21
>>78
＞ B' := B + εE とでもとって
＞ &esilon;↓0 とすればいい（この形で本当に正則になるかは忘れた）。
Bを上三角化しておけば良いんじゃない？
85:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:40:05
detの連続性使わないで出来ないのかなあ
>>79も連続性使うんだろ？
86:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:52:26
使わないと思うけど？
87:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:54:33
Bが正則ならf(x,B)=0, Bが正則で無いなら|B|=0だから
f(x,X)|X|は多項式として0だが|X|は多項式として0ではないので
f(x,X)が多項式として0
88:１３２人目の素数さん
09/02/12 05:54:53
あれ？ そうですか
それは失礼
89:１３２人目の素数さん
09/02/12 06:37:55
申し訳ありません。マルチポストですがお願いします
URLﾘﾝｸ(www2.uploda.org)
90:１３２人目の素数さん
09/02/12 06:52:23
マルチ氏ね
91:１３２人目の素数さん
09/02/12 10:56:04
X
92:１３２人目の素数さん
09/02/12 12:12:54
>>26
次の方針で分類するのはどうかな。
与えられた 3次方程式を変形すれば、x(x+1)(x+a+b) = bx^2-c.
左辺をxの関数とみなせば、これは -(a+b), 0,1で x軸とまじわる右あがり
3次関数。右辺は±√(c/b)でx軸にまじわるy軸対称の 2次関数。両者の
グラフ形状をかんがえれば、右辺左辺の等しくなる場合、もとの3次方程式
の 1実根は x<0の領域にあり、かつこれは必ず存在する。あとは x>0の
領域で 2つの解をもつ条件を求めればよい。左辺 3次曲線は μ = a+bを
パラメータに、右辺 2次曲線は λ = c/bをパラメータにして分類すると
よい。これで a,b,cの場合の数を求められるだろう。
93:92
09/02/12 12:21:28
× これは -(a+b), 0,1で x軸とまじわる右あがり3次関数。
○ これは -(a+b),-1, 0で x軸とまじわる右あがり3次関数。
解のひとつは x<-1 に確実にある。そのほかの解の探索は x>0 で
なく -1 < x < 0でやってくれ。
94:１３２人目の素数さん
09/02/12 17:25:22
以下の微分方程式をラプラス変換を使ってもとめよという問題が分かりません。
tX''-(1+t)x'+2x=t-1
x(1)=2 x'(1)=3
ラプラス変換して
-3X - sX' + (x(0)+x'(0)) / (s-1) = -1/s^2
というところまで解けましたが、
そのあとが、いまいち分かりません。
勝手な質問かもしれませんが、よろしくお願いします。
95:１３２人目の素数さん
09/02/12 17:27:42
limx(Π/2-arctanx) x→∞ の求め方と計算過程を教えてください。
おねがいします。
96:１３２人目の素数さん
09/02/12 18:05:40
>>95
lim(π/2-arctanx)/(1/x) で分母分子微分（ロピタル）。
π/2-arctanx=arctan(1/x)=1/x-1/(3x^3)+1/(5x^5)-…を使ってもOK
97:１３２人目の素数さん
09/02/12 18:15:22
ありがとうございます
98:１３２人目の素数さん
09/02/12 19:13:51
４元１次連立方程式ですが、解く度に解が異なってしまいます。
4a-b+2c-3d=0
a+4b+3c+2d=4
3a+b+c-2d=-4
-a+3b+2c+d=0
99:１３２人目の素数さん
09/02/12 19:54:55
しまいません。
100:１３２人目の素数さん
09/02/12 19:56:24
>>94
初期条件は無視して解くぞ。tf(t)をラプラス変換すると -s・(d/ds)F(s)
であることを加味すると、もとの微分方程式をラプラス変換し整理すれば
s(1-s)F'(s) + 3(1-s)F(s) = (1-s)/s^2. 両辺を 1-sで割って、
s F'(s) + 3 F(s) = 1/s^2. これを通常の常微分方程式として解けば、
Aを任意定数として F(s) = 1/s^2 + A/s^3. これをラプラス逆変換して
x(t) = t + At^2.
これでさしあたり問題の微分方程式は満たしている。あと初期条件に
ついては、自分でやって。
101:１３２人目の素数さん
09/02/12 20:25:59
>>95-96
質問者がもし高校生だとしたらの話、こういう問題を高校で出すのは反則なんじゃ？
ロピタル上等みたいな問題を高校で出すのは論外、テーラー展開を使わせるのもまだダメのはずだ
102:１３２人目の素数さん
09/02/12 20:58:01
>>101
何でそんなありもしない仮定を立てたいのか、それは反則でダメじゃないことか？
103:１３２人目の素数さん
09/02/12 21:00:33
>>101
ロピタルテーラー以前に、arctanって高校課程に入ってたっけ?
「ロピタル禁止」禁止言いたいだけとちゃうんか?
104:１３２人目の素数さん
09/02/12 21:47:11
>>103
ああ、そういえばarctan(x)も範囲外だったな
なぜこんなことを聞くのかと言えば、以前に高校生スレで>>95そっくりな
（今思うと、逆三角関数を使っているというだけであまり似ていなかったかも）問題を見つけたからなんだよ
正確にはある極限を求める方法として、その「そっくりな」式を挙げていた回答者がいたから気になった
他に方法があったのか、アレは・・・？
ちなみにPART２１８のレス番３６０が聞いた問題
幸いまとめサイトに残っており、回答者と問題は見つかった
しかし何度ワードを変えて検索しても回答者が見つからない
見つけた人、または自力でこの問題を解ける人がいたら助けておくれでないか
105:１３２人目の素数さん
09/02/12 22:26:03
>>101
高校範囲でも何の問題もないよ。
θ=π/2-arctanxとおくと、x=tan(π/2-θ)=1/tanθなので、
lim[x→∞]x(π/2-arctanx)
=lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]cosθ/(sinθ/θ)=1
106:１３２人目の素数さん
09/02/12 22:35:57
>>105
巧ぇ、と思っちゃう俺はバカなんだろうな
107:１３２人目の素数さん
09/02/12 22:58:43
結局、高校で逆三角関数は使っていいの？ダメなの？
現役高校生か、指導要綱に詳しいヒトがいたら教えて！
唯一の例外は定積分において頭の中で使う時だけだと思ってたんだよ
108:95
09/02/12 23:23:51
>>105 最後にlim[θ→0]cosθ/(sinθ/θ) が 0 になるのはなんでですか？
基本的なことなのかもしれませんが教えてください。
109:95
09/02/12 23:24:32
>>108 すいません、 0 じゃなくて 1 ですね・・・
110:１３２人目の素数さん
09/02/12 23:36:45
lim[θ→0]cosθ=1、lim[θ→0](sinθ/θ)=1だから。
たしか、lim[θ→0](sinθ/θ)=1は高校で、三角関数の微分の準備として幾何学的に証明するはず。
111:95
09/02/12 23:38:20
>>110 ありがとうございます。
112:１３２人目の素数さん
09/02/12 23:47:32
f(x)=log(x+(1+x^2)^1/2) のn次導関数に 0 を入れたものを求めよ。
という問題の解き方を教えてください。
113:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:04:11
>>112
いっけーべぼんのてーらーてんさいをせけぼんすりゃけーすーにあらはる。
114:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:07:03
>>112
(d/dx)(f)や(d^2/dx^2)(f)は計算してみたのか？
115:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:09:22
>>114 1回微分と２回微分はやったんですが、そのあとどうやって良いのかわからないんです。
116:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:12:09
>>107 ダメに決まってんだろ。
逆三角関数なんてちゃんと定義しってんのは
大学生でもごく少数。
117:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:17:40
>>115
(d^3/dx^3)を求めて、(d^2/dx^2)と比べてみれば答えの予想はつくと思うのだが。
(d^2/dx^2)は求めてあるんだからすぐ出来るはず。
118:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:18:30
わかりました。やってみます
119:１３２人目の素数さん
09/02/13 00:35:42
>>116
じゃあそれを>>105に言ってやってくれ
何の問題もないとのたまいおった
120:112
09/02/13 00:58:17
>>117 ３回微分、４回微分をやってみたのですが関連性がよくわかりませんでした。
解き方のヒントとして 『 f(0)=0, f'(0)=1 f"(x)*(1+x^2)+f'(x)*x=0 を導く』とあるのですが、
このことからなにがわかるんでしょうか？
121:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:01:31
定数をコンピュータで浮動小数表示するとき、シュワルツの不等式に
当てはまらない例を示せ。
この問題がわかりません。よろしくお願いします。
122:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:01:52
>>120
f"(x)*(1+x^2)+f'(x)*x=0 をk階微分する
123:112
09/02/13 01:05:29
>>122 この時に何か公式は使いますか？
124:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:12:50
(公式) k!=k*(k-1)!
125:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:13:20
>>123
ライプニッツの公式
126:112
09/02/13 01:14:08
>>125 わかりました。やってみます。
127:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:18:32
>>101-104
208 ：１３２人目の素数さん：2009/02/04(水) 09:13:22
以前高校生スレで、大学入試関連本からの記載らしいが
Ａランクの東京大・京都大なら、ロピタルの定理は（間違いなければ）使っても良いとのこと。
ただそれ以外のＢ～Ｆランクの大学については、知らない。
128:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:22:53
>>127
東大京大なんて全体の1％以下
そんな例外は出さなくてよろし
129:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:25:04
↑とFランが嫉妬してほざいておりますｗ
130:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:27:53
東大京大に受かるぐらいなら、ロピタルなんかに頼らなくても示せるだろw
131:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:29:08
Fラン駅弁は視野が狭く例外を無視する傾向にあるからな
あと無駄にプライドが高い
132:１３２人目の素数さん
09/02/13 01:32:50
すみません、教えて下さい。
三角形の３本の垂線から面積を求める公式って有りますか。
△ＡＢＣの垂線の足ＤＥＦで出来る垂足三角形△ＤＥＦの傍心三角形が△ＡＢＣらしいので、
ヘロンの公式に近いのがあるような気がしているのですが、自分でやってみても全然ダメでした。
よろしくお願いします。
133:94
09/02/13 01:44:13
>>100
ありがとうございます。返事が遅くなってすみません。
初期値がx(1)=2 x'(1)=3 なので、
A=1 となって、答えが x(t) = t + t^2
今回の場合は未知数？（Aのこと）が１つに対して、
x(1)とx'(1)の２つの条件が与えられているんですが、
x(1)とx'(1)に代入したとき、Aの値が異なる場合は
自分の答えが間違ってるってことですか？それとも答えが２つになるんですか？
134:１３２人目の素数さん
09/02/13 02:51:38
>>132
A,B,C から対辺に下ろした垂線に長さを、x,y,z とする
a = 2S/x
b = 2S/y
c = 2S/z
(S は △ABC の面積)
この a, b, c をヘロンの公式に代入してみる
135:１３２人目の素数さん
09/02/13 02:55:37
>>131
へぇ詳しいね
脳内以外のソースおくれ
136:１３２人目の素数さん
09/02/13 03:32:45
2分の1で当たるくじを40回試行して、
24回以上当たる確率を求めるには、どのような式を立てればよいのでしょうか？
137:１３２人目の素数さん
09/02/13 03:40:15
Σ_[n=24,40]C[40,n](1/2)^40
138:１３２人目の素数さん
09/02/13 03:50:33
>>137
ありがとうございます。
139:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:43:49
ピラミッドの本当の目的はなに。
１ 資材置き場
２ かんしとう
３ レーザー反射鏡
４ ｕｆｏ誘導物
５ ギネス
４だとおもいます。
巨石文明の時代世界中で巨大遺跡がほぼ同時に作られた
そのころ巨大小惑星が太陽系を通過し、人々は神だと思って、神殿やおそなえの台を競って作った。
天文学が高度に進化したのもそのとき
140:１３２人目の素数さん
09/02/13 07:49:17
(sinαconα-cosβsinβ)/(sinαcosα+cosβsinβ)＝(tan(α－β))/(tan(α＋β))
これを証明せよ。
加法定理を駆使して3時間以上考えているのですがまったくわかりません・・・。
141:１３２人目の素数さん
09/02/13 08:40:01
>>140
α+β=x
α-β=y
とおくと
左辺の分子={sin(x+y)-sin(x-y)}/2=cos(x)sin(y)
左辺の分母={sin(x+y)+sin(x-y)}/2=sin(x)cos(y)
になります以下略です
142:１３２人目の素数さん
09/02/13 08:48:51
1/7
143:１３２人目の素数さん
09/02/13 08:58:50
>>141
そこまでは理解できました！！
以下略というのはｘとyを元に戻して加法定理で展開すれば答えになりますか？
計算してみたのですが複雑すぎて結局答えにたどり着けませんでした・・・
144:１３２人目の素数さん
09/02/13 09:04:17
>>143
もう展開しなくていいです
tan(x)=sin(x)/cos(x)
tan(y)=sin(y)/cos(y)
なので
左辺=cos(x)sin(y)/{sin(x)cos(y)}=tan(y)/tan(x)=右辺
です
145:１３２人目の素数さん
09/02/13 09:11:08
>>144
なんてアホな勘違いをしてたんだろう・・・orz
すっきりしました！
本当にありがとうございます！！！
146:１３２人目の素数さん
09/02/13 09:20:23
∫[2→1] √(2x-x^2)dx
やり方教えてください
147:１３２人目の素数さん
09/02/13 09:27:44
∫[2→1] dx/√(2x-x^2)
これもお願いします
148:１３２人目の素数さん
09/02/13 11:24:09
>>146 >>147
x = t+1 に置換。ルートの中を √(1-t^2)とする。
149:１３２人目の素数さん
09/02/13 12:55:22
(1+x)^1/2 のマクローリン展開のやり方を教えてください。
150:１３２人目の素数さん
09/02/13 12:56:25
>>149
ただの二項定理。証明が知りたいということ？
151:１３２人目の素数さん
09/02/13 12:57:52
>>150 そうです。
152:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:02:34
>>150
0.5乗なので、「ただの」二項定理というわけにはいかないでしょう。
>>149
√(1+x)という関数を何度も微分し(できれば規則をみつけ)、そのn次微係数
に x=0 を代入する。
√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4 + …。
153:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:04:45
(1+x)^α α∈R も普通の二項定理とまったく同じように展開できる、という意味で書いたんだが。
マクローリン展開の「やり方」って、何を聞きたいのかよくわからん。
154:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:08:45
>>148
ありがとうございました
155:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:19:24
>>150 >>153 >>152
解決しました。ありがとうございます。
156:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:29:55
(X,M,μ)を測度空間とする。
f,g:X→[-∞,∞]を可測関数とする。
(1) f^k (但しkは自然数)も可測関数になる。
(2) もしf,gが有限値を採るならf+g,fgは可測になる。
で(1)は無限値でもOKなのに(2)は有限値でないといけないのは何故でしょうか?
(2)で無限値を採るならどういう不都合が生じるのでしょうか?
簡単な例をお教え下さい。
157:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:20:52
>>156
和については, 一方が+∞で他方が-∞の点があるとその点ではf+gが定義できないからじゃね?
積についても, ∞×0の既約がない場合は一方が+∞または-∞で他方が0のとき困る.
±∞×0=0と規約することもあるが, この既約をしない本も多い.
（たとえば伊藤清三は「してもいいが混乱の元なのでしない」と書いている.）
逆に, f+gやfgが「意味をもつ点」の集合をまず求めて, その集合の外では
f+gやfgを0であると約束して, (2)を「もし」無しの主張にしている本もある
（たとえば「現代数学概説２」）
158:１３２人目の素数さん
09/02/13 16:50:00
無理数って連続ですか？
159:１３２人目の素数さん
09/02/13 17:38:27
>>158
何の上の関数としてですか?
160:１３２人目の素数さん
09/02/13 17:58:09
おそらく >>158 は「連続」を「連続関数」の意味で使っているんじゃなくて
直感的に「無理数がびっしり詰まっているか？」（稠密）を知りたいんじゃね？
もしそうだとすると答えはYes。
161:１３２人目の素数さん
09/02/13 20:13:20
二次形式の問題なんですが
(1)n次元楕円体U＝（Ax↑,x↑）=ΣA[i,j]xixj の主軸の半分をai(i=1,....,n)、
U'＞Uとなる楕円体U'＝（Bx,x）の主軸の半分をbiとおくと、ai>biを示せ
という問題が解けません
トレースとか考えてΣb＞Σa とかなら示せるんですが、個々の項の比較となるといろいろ試しましたが示せませんでした。
もし、わかる人がいましたら、とき方を教えていただけないでしょうか？
162:１３２人目の素数さん
09/02/13 20:21:07
連続じゃないよ
無理数・整数・有理数・無理数・・・
163:１３２人目の素数さん
09/02/13 20:46:53
>>134
やってみました。
結局、ヘロンの公式とコンデンサーの直列の式を混ぜ合わせたようなのが出来ましたw
これで子供に教えられます、ありがとうございました。
164:１３２人目の素数さん
09/02/13 21:05:20
準同型定理などを使って様々な加群の同型をこれまでに調べてきたのですが、何のために加群として同型であるかどうかを調べる必要があるのでしょうか？加群として同型であれば、何か他への応用などで都合がよいことがあるのでしょうか？
165:１３２人目の素数さん
09/02/13 21:25:08
>>160
「実数の連続性」と同じような意味で使ってたら、完備性とかかも？
166:１３２人目の素数さん
09/02/13 21:27:12
1+√2/nとか考えれば完備ではない
167:１３２人目の素数さん
09/02/13 21:51:31
URLﾘﾝｸ(ja.uncyclopedia.info)
これの「4.2.4 複素数を使った証明」のどこが間違っているのでしょうか？
何回見直しても納得してしまいます。。。
168:１３２人目の素数さん
09/02/13 21:57:30
平方根の多価性を無視しているから
一般に√x√y＝√xyは成立しない
169:１３２人目の素数さん
09/02/13 22:00:57
>>167 他のも殆ど同じ理由による間違い
√2^√2^・・・とかはそもそも2=2にしかなってない
ただの書いた奴の勘違いだし。
170:１３２人目の素数さん
09/02/13 22:13:39
＞ルートを分子分母へ:
この部分が間違ってるのですね。
そっか、基本でしたね＞多価性
ありがとうございました。
171:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:00:13
tan1は有理数か。
tan1°ではなくtan1(ラジアン)です。
どのようにして証明していけばいいでしょうか？
172:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:31:32
リンデマンの定理より1は0でない代数的数なので
tan1は超越数である。
173:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:39:55
tan1=sin1/cos1より
tan^21=1/cos^21+1
cos^21=(cos2+1)/2
cos2=∑_[n=0,N][(-1)^m/(2m)!]・2^(2m+1)+R_N+1
(N+1)!*R_(N+1)→0より
cos2は無理数
したがってtan1も無理数とわかる。
174:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:28:37
>>171
tan1が有理数と仮定するとtan2も有理数
そしたら帰納的にtan30も有理数でこれは矛盾
175:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:29:58
>>174
どこが矛盾なの？
176:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:39:08
>>174
おーい。角度1はラジアンだってよ。
177:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:41:18
度数法にしたって tan(30°) = 1/√3 で無理数なわけだが
178:177
09/02/14 02:43:51
む、なんか勘違いしてた
179:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:45:02
tan30は有理数だろ
180:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:49:41
xが実数､y≧0で､x^2+y^2=2のとき､
(1)3x+4y
(2)x^2-3xy+2y^2
(3)x^3+y^3-3xy
のそれぞれの最大値､最小値をそれぞれ求めよ
(1)は解けたんですが以降がどうも
181:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:54:56
>>164
その質問は、
何のために (x+1)^2 と x^2+2x+1 が同じかどうかを調べる必要があるのか。
これらが同じであると何か他への応用で都合が良いことがあるのか。
という質問と大差ない。
つまり、それが分からない以上、加群について議論するためにはお話にならないけど、
加群を使わない人にとっては何のご利益も無い。
182:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:55:58
>>171
有理数n/mだと仮定すると，arctan(n/m)=1 …☆
arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…（永遠に）
x=n/mを代入すると無理数。何故なら，右辺にどんな（大きい）数を乗じても
整数にはならないから。
よって☆は矛盾。
183:182
09/02/14 02:57:53
どんな数×→どんな整数○
184:１３２人目の素数さん
09/02/14 02:59:00
>>182
10点中3点
185:182
09/02/14 02:59:13
>>179
はい！残念賞！
186:１３２人目の素数さん
09/02/14 03:00:04
>>182
＞…☆
と
＞…（永遠に）
がまず目に入って、ちょっとびっくりした
187:182
09/02/14 03:00:25
>>184
その心は？
188:182
09/02/14 03:02:18
>>186
スマン
189:１３２人目の素数さん
09/02/14 03:03:33
>>188
もっと反省しろ
190:182
09/02/14 03:07:45
>>189
マジっすか？ス、ス、ス、スマーーーーーン！
AAとか出来ないんでこれで勘弁
191:１３２人目の素数さん
09/02/14 03:08:02
>>182
その論法で行くと, 1は無理数だよな？
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + … （永遠に）
は無理数。何故なら，右辺にどんな（大きい）数を乗じても整数にはならないから。
192:182
09/02/14 03:08:35
>>190我ながらﾂﾏﾝﾈ
193:182
09/02/14 03:45:48
>>191
グッ...確かに...
1-1/3+1/5-…が無理数に収束することに縛られていたようだ。
つーことは1には収束しないことを示すのか。
この級数って収束スピードが遅いからﾒﾝﾄﾞそうだな。
194:１３２人目の素数さん
09/02/14 04:03:59
>>181
ご回答ありがとうございます。
私が調べてみた限りでは、
その群（集合）で解析を行う時の都合良さが判定できたり（Ａで解析を行い易ければ、Ａと同型なＢでも行い易い？）、
圏論によれば加群を圏、何かを関手の概念へと発展させることで、加群とその何かが位相空間の何かと何かの関係に同一視出来て位相空間（位相幾何学？）との融合が図れたり、
同様に圏論の概念によって解析学における何かと何かの関係に同一視出来て解析にも応用出来るとあった気がします。
これらについてご存じの方がいらっしゃいましたら、どうか不足を補って簡単にでも説明していただけないでしょうか？
参照に出来るサイト（ページ）を挙げていただけるだけでも助かりますので、どうかお願い致します。
195:194
09/02/14 04:09:42
>>194の補足ですが、
圏と関手の概念によって、代数学における加群と写像？の関係が、解析学においては集合と関数の関係と同じようにみなせる、とのことであったと思いますが、定かではありません。
196:１３２人目の素数さん
09/02/14 05:27:01
(x^2+y^2)e^(-sqrt(x^2+y^2))をx,y正の範囲で重積分するのですが、やり方がわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
197:１３２人目の素数さん
09/02/14 05:36:10
>>196
x = r cos(θ), y = r sin(θ) とする
∫[0≦x＜∞, 0≦y＜∞] (x^2+y^2)e^(-√(x^2+y^2)) dx dy
= ∫[0≦r＜∞, 0≦θ≦π/2] r^3 e^(-r) dr dθ
198:196
09/02/14 06:18:58
ありがとうございます！！