09/05/08 13:02:09
>>500
レスどうも。答はそれで合っているはずです。
実質的には>>481と同じ考え方をしているようです。（なぜ>>476,>>477でも
>y^x = exp(x・log(y)) だが、log(y)よりはたいてい x→0が勝つので、
>それ自体 1+x・log(y)で近似できて、
のように議論しなかったのかとは思いますが）
この議論の仕方を見て、数セミリーディングス「定理からの数学入門」所収の
笠原皓司氏の昔の記事を想起したので、少し長いが引っ張り出して引用します：
>オイラーはどのようにしてオイラーの公式を導いたかを述べよう. [中略]
>ここで, nを無限大とおき, θを無限小とおく. そしてnθ=xは有限になるようにする.
>するとcosθ=1, sinθ=θ=x/nとなるから（とオイラーはいう）, [中略]
>ここで, nは無限大だから, (1+ix/n)^n=e^{ix}である. [中略]
>何と, 魔術にかかったようではないか. 正に, 無限小解析の真髄を見る思いがする.
>sinθ=0とせずにθとするあたり, 「お主, できる！」という感じである.
>もちろん, 18世紀だからこれで通用したのであって, 今日ではこうはいかない.
>19世紀以降では, これらは次のように“合理化”される. [中略]
> このように, 極限概念と位数計算により, 魔術のような式変形は, 何の疑念も
>生じないやさしいものになったのである. しかし, 考えてみると,
>cosθ=1, sinθ=θ と cos(x/n)=1-O(x^2/n^2), sin(x/n)=x/n-O(x^3/n^3) は
>本質的に同じことを表しているのであって, 1/n^2の位数以上の項はこの際不要で
>あることをだまって用いるか, 明示して用いるかだけの差である.
>18世紀は極限概念がはっきりしていなかったので, それを明示するすべを
>もたなかっただけで, 達人は1/n^2と1/nは違うということを明確に認識して
>いたと思われる.
>19世紀は, 達人でなくても, そのような区別ができるように,
>極限概念を用意したのだった.
>>476の“言い訳”は、経験をつんで「達人」になってしまった、ともとれます。
現代人としてはせめて「=」のかわりに「～」を使ってほしいところではありますが。
（f～g は f=g+o(g) と同値で, fの主要部がgであることを表す）