09/05/07 16:10:16
>>476のやり方できちんとやるにはこうするだけのこと：
cos(t)=1-(1/2)t^2+o(t^2) (t→0)
log(1+x)=x+o(x) (x→0)
∴ y^2 log(cos(1/y))
= y^2 log{1-(1/2)(1/y^2)+o(1/y^2)} (y→∞)
=y^2 [ {-(1/2)(1/y^2)+o(1/y^2)} + o{-(1/2)(1/y^2)+o(1/y^2)} ] (y→∞)
=y^2 [ -(1/2)(1/y^2) + o(1/y^2) ] (y→∞)
=-(1/2) + o(1) (y→∞)
e^x = 1 + x + o(x) (x→0)だから,
(cos(1/y))^(y^2) = e^{y^2 log(cos(1/y))} = e^{-(1/2) + o(1)} = e^{-(1/2)}・e^o(1)= (1/√e)・( 1 + o(1) ) (y→∞)
∴lim[y→∞](cos(1/y))^(y^2) = 1/√e
機械的にでき、「面倒で説明できない」ような要素はない。
>>480
正確に書くなら、（f(x)がx=0で微分可能であるとして）f'(0)とlim[x→0]f'(x)が一致するための十分条件は「lim[x→0]f'(x)が存在する」こと。
（平均値の定理により示せる）