09/02/04 11:42:34
>>764 ※「Hが垂心であるときこの式を満たす点Oは外心」という命題だと
もうちょっと楽なんだけどな。
定番の手順で、重心Gを介在させる。Oを始点とするA、B、C、Gの位置ベクトルを
それぞれa、b、c、gで表すと3g=a+b+c。またOが外心だから|a|=|b|=|c|
位置ベクトル3ｇで表される点をFとする。AF↑=3g-a = b+c = c+b。
BC↑=c-b。これらの内積はｃ・c-b・b=|c|^2-|b|^2=0。よって、
AF⊥BCが成り立つ。
同様にBF⊥AC、CF⊥ABも言えるから、このFは三角形ABCの垂心Hと同一の
点である。つまり、Hの位置ベクトルOH↑=a+b+c=OA↑+OB↑+OC↑が成立する。
※やはり重心を入れて図形的に相似で証明していく手もあったと思う。