09/02/03 19:29:07
(1)f(x)をxの整式とし、{a[k]}はa[k]＜a[k+1](k=1,2,･･･)および
lim[k→∞]a[k]=∞を満たす数列とする。このときf(a[k])=0,k=1,2,･･･ならば
f(x)は整式として０であることを示せ。
次のような答案はダメでしょうか。
f(x)がｎ次式であると仮定すると、f(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+･･･+b[n]x^nとおけて、
f(x)=x^n(b[0]/x^n+b[1]/x^(n-1)+･･･+b[n])より、
f(a[k])=a[k]^n(b[0]/a[k]^n+b[1]/a[k]^(n-1)+･･･+b[n])
k→∞のときa[k]→∞なのでlim[k→∞]f(a[k])=+∞となり、f(a[k])=0に反する。
したがってf(x)は定数であり、f(a[k])=0よりf(x)=0である。 （証終）
よろしくお願いします。