面白い問題おしえて~な 十五問目at MATH
面白い問題おしえて~な 十五問目 - 暇つぶし2ch38:132人目の素数さん
09/01/19 00:40:35
点A,Bの座標を(0,0),(1,0)としてDの座標を計算すると
D=((tan39°+ αtan42° + β)/(tan39°+tan42°),(tan39°((α-1)tan42° + β))/(tan39°+tan42°))
である。
ただし上の式でαとβは
α=tan63° /(tan63°-tan81°)
β=tan63°tan81°/(tan63°-tan81°)
とする。
これで直線ADの傾きが出るのでtan15°と一致する事を示せばよい。
あとは誰か任せた

39:132人目の素数さん
09/01/19 00:59:05
良く考えたら一致するかどうか確かめるのは
tan15°じゃなくてtan(15°+∠ABD)だった。

40:132人目の素数さん
09/01/19 19:28:43
>>38
その方針でやってみたら、機械的に求まったけど、膨大な計算になった

AD の傾き a とすると
a = tan(∠BDA + ∠ABD) = tan(∠BDA + 39°)
∴ tan(∠BDA) = (a - tan(39°)) / (1 + a*tan(39°))
>>38 より
tan(∠BDA) = t39 (t81 - t63) (t39 + t42)
/ (t63(t39 + t42) + t81(t63 - t39) + (t39)^2 t81 (t42 + t63))
  (t39 は tan(39°) の意味、他も同様)

t39 = (4-3√3-2√5+√15 + (-1+2√3+√5)√(5-2√5)) / 2
t42 = (√3+√15 - (3+√5)√(5-2√5)) / 2
t63 = -1 + √5 + √(5-2√5)
t81 = 1 + √5 + (2+√5)√(5-2√5)
より
tan(∠BDA) = (297-170√3-131√5+76√15 + (-94+55√3+44√5-25√15)√(5-2√5))
/ (84-43√3-34√5+21√15 + (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5))

分母、分子に
84-43√3-34√5+21√15 - (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5)
を掛けて分母の √(5-2√5) を消す

tan(∠BDA)
= (89-53√3-41√5+23√15) / (19-17√3-13√5+5√15)
= 1/(2+√3)
= tan(15°)

41:132人目の素数さん
09/01/19 20:14:58
>>40に敬礼

42:132人目の素数さん
09/01/19 20:24:27
では次は初等幾何で。

43:132人目の素数さん
09/01/19 22:18:47
任意の三角形ABCにおいて、各辺を底辺とする三つの正三角形を△ABCの外部に描く。
三つの正三角形の重心を結んでできる三角形は、やはり正三角形であることを示せ

44:132人目の素数さん
09/01/19 22:29:33
>>36の証明を初等幾何で。

45:132人目の素数さん
09/01/20 03:33:59
>>43
ポルナレフの定理でつね

46:132人目の素数さん
09/01/21 14:39:16
2項係数C(n,k)=n!/{k!(n-k)!}が奇数であるための条件は、
n,kを2進数で表したとき、各位のビットについてそれぞれ
kのビットが1ならばnのビットも1であることである。
これを証明せよ。

47:132人目の素数さん
09/01/22 19:24:56
a[1]=b[1]=1
a[n+1]=a[n]-b[n]
b[n+1]=a[n]+3*b[n]
を満たす数列a[n],b[n]がある。
(1)a[n]+b[n]を求めよ
(2)a[n],b[n]を求めよ

48:132人目の素数さん
09/01/22 19:35:17
扉が左右2つあり一方は天国、もう一方は地獄への扉です
扉の前に門番が3人(3人ともどちらが天国への行き先か知っている)がいます
門番の内、
一人はいつでも正直な事を言う正直者
一人はいつでも嘘をつく嘘つき
一人は適当に「はい」か「いいえ」で答えます
3人の門番は見た目では区別できません
また、門番への質問は合わせて2回までしかできません
さらにこの3人の門番は「はい」か「いいえ」の2つの返事しかしません
この門番たちにどの様な質問をすればどちらが天国への扉かが判るでしょうか?

49:132人目の素数さん
09/01/22 19:59:47
1回でわかる気がするといってみるテスト

50:132人目の素数さん
09/01/22 20:18:27
京都+大阪=東京
これを証明せよ

51:132人目の素数さん
09/01/22 20:31:06
質問できる相手は1回にひとりなんじゃないの?

52:132人目の素数さん
09/01/22 21:33:23
まずランプの精を呼び出して質問の数を増やしてもらう

53:132人目の素数さん
09/01/23 00:58:35
>>47宿題乙
答えだけ書いとくね。
(1)2^n
(2)an=(2-n)2^(n-1),bn=n*2^(n-1)

54:132人目の素数さん
09/01/23 02:53:41
>>48
3人の門番をa、b、cと呼ぶ。
【1回目の質問】:aに対し、「あなたは、『bは適当に答える門番(以下Tと呼ぶことにする)
ですか?』と聞かれたら、『はい』と答えますか?」
aがTでないのなら、(仮に嘘つきであっても)「この質問へのaの返事が『はい』」⇔「bはT」
が成り立つことに注意すると、
「この質問へのaの返事が『はい』」ならば、aがTか、さもなくばbがTなので、
cはTでない。
「この質問へのaの返事が『いいえ』」ならば、aがTか、さもなくばbがTでないので、
bはTでない。
【2回目の質問】:1回目の質問で、Tでないと判明した門番に対し、
「あなたは、『右が天国への扉ですか?』と聞かれたら、『はい』と答えますか?」

55:132人目の素数さん
09/01/23 07:56:09
>>54
それだと、問題文に加えて
「3人の門番は、互いに、誰がどんな性格であるか知っている」
という条件が必要になるのでは。

56:132人目の素数さん
09/01/24 06:54:44
2つとも天国に行きますか?ー>いいえ、はい、?



57:132人目の素数さん
09/01/24 07:02:15
みぎは天国に行きますか?ー>いいえ、はい、? ー>左が正解



58:132人目の素数さん
09/01/24 10:13:04
URLリンク(www.sciencedaily.com)

59:132人目の素数さん
09/01/24 17:39:42
F(x)=x+(1-x)+(1,0)
F(0)=0+1+(1,0) 0+1+0->2=F 0+1+1->0=T
F(1)=1+0+(1,0) 1+0+1->T=1 1+0+0->T=1


60:132人目の素数さん
09/01/25 04:50:44
>>48の問題をクリアするには2つを満足させる必要がある。

1) どちらか一方の門が天国または地獄への門であることを確定させる。
2) 1)を確定させるための質問をする相手が、適当に答えるひと以外であることがわかっている。

1)はまあ当然として、2)については、質問の答がランダムな「はい/いいえ」でないための保障として必要。
もし尋ねた相手が適当に答えるひとだったら、その答には価値のある情報を含まないので。


正直、嘘吐きの定義からすると、はい、いいえ、で答えられない質問には答えてくれなさそうだ。
しかし、もうひとりは、どんな質問にでも「はい」か「いいえ」という答を返すようである。
たとえば、「あなたの年齢はいくつですか? 」という質問に、正直と嘘吐きは答えないが
適当なひとは、「はい/いいえ」のどちらかを答えるだろう。
先の質問は、質問した相手が適当に答える人なのかそうでない人なのかを特定することができそうだ。

そこから先は、もうよくある問題と同じ。


61:132人目の素数さん
09/01/25 12:56:25
基本は、1回目で適当に答える人ではない人を1人探すこと。

1回目の質問:正直者は「はい」、嘘つきは「いいえ」と答えるような質問をする。
(「あなたは門番ですか」等)
すると、適当に答える人はそのどちらかと答えが重複するので、重複しなかった人を対象に
2回目の質問をすればOK。

1回目でこの手のパズルでよくあるようなややこしい質問をしようと考えるから
かえって難しく見えるが、少数決に気付けば実はシンプルな問題。

62:132人目の素数さん
09/01/25 14:39:12
>>61
一度に複数の人に質問できるなら、そんなめんどくさいことしなくても
54の方法で「『右が天国への扉ですか?』と訊かれたら『はい』と答えますか」と訊けば49の言うように1度で済むじゃんよ


63:132人目の素数さん
09/01/25 15:03:35
>>62
そうか。通りがかりで適当に答えたら失敗したな。すまん。

では改訂版
1回目:「質問した相手が嘘つきか正直者だと仮定すると、残りの2人のうち嘘つきか正直者を特定できる」ような質問をする。
たとえばaに「『bが嘘つきであるか、またはcが正直者である』という命題は正しいですか?」ときく。
答えが「はい」なら、bが嘘つきまたは正直者、「いいえ」なら、cが嘘つきまたは正直者。
その結果嘘つきまたは正直者のどちらかであると判明した1人に2回目の質問をすればいい。

結局>>54と同じだな。(そこで終わってた話題であったか。重ねてすまん)
>>55の条件はやっぱり必須だろう。

64:132人目の素数さん
09/01/25 15:23:25
> >>55の条件はやっぱり必須だろう。

>>60で否定的に解決してるじゃん。

65:54
09/01/25 20:55:05
>>60はある意味とんちクイズみたいな答えだと思ったけど、
確かに問題文には、「はいかいいえで必ず答えられる
質問しかしてはいけない」(※)って断りはないね。

ところで>>55の条件が絶対要るって示せるんだろうか?
(正確には、それプラス上の※の条件)

古典的な命題論理みたいな議論でいけるかと思ったけど
頭が混乱してきてわからんくなった・・・。

xに対して真偽が問える命題の集合を、
Hx:xは正直者
Lx:xは嘘つき
Tx:xは適当に答える
R:天国への扉は右
とその論理演算で書けるもの全体として、
命題Pに対する返事が仮に「いいえ」だったら、
(Hx∧¬P)∨(Lx∧P)∨T

・・・みたいな感じで。



66:132人目の素数さん
09/01/25 23:57:54
>>50
KYOTO+OSAKA=TOKYO
これに数字を当てはめて完成させればいいの?

67:65
09/01/26 00:45:46
一応きちんと書いてみる。
(この定式化で果たして合っているんだろうか??当方論理学には不慣れなので・・・)
門番x(=a,b,cと名づける)に対して真偽が問える命題(>>65)のことを
P(x)などと書くことにして、
示すべきは、

『・Xa,Xb,Xc(X=H,L,T)の排他的論理和が真
・Hx,Lx,Tx(x=a,b,c)の排他的論理和が真



∀x,∀P(x),(

((Hx∧P)∨(Lx∧¬P)∨Tx

∀y,∀Q(y),(
(¬((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty→R)∧¬(((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty)→¬R)))
∨(¬((Hy∧¬Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧¬(((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty)→¬R))))



((Hx∧¬P)∨(Lx∧P)∨Tx

∀y,∀Q(y),(
(¬((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty→R)∧¬(((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty)→¬R)))
∨(¬((Hy∧¬Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧¬(((Hy∧Q)∨(Ly∧¬Q)∨Ty)→¬R))))

)』


68:132人目の素数さん
09/01/26 00:54:52
>>67
論理パズルは真理表書いたら瞬殺だよ

69:132人目の素数さん
09/01/26 01:02:29
あー、括弧やら否定やらがいろいろ狂ってる・・・
心の目で読んでほしいけど根本的に間違ってるかも。

70:132人目の素数さん
09/01/26 07:28:01
常に「はい」と言う嘘吐き。


71:132人目の素数さん
09/01/27 16:14:12
URLリンク(myhome.cururu.jp)
URLリンク(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
w

72:132人目の素数さん
09/01/27 18:02:34
嘘吐きは、常に嘘を言うひとではなく、嘘も言うひとのことだ。

73:132人目の素数さん
09/01/27 20:46:27
そのとおり。
そして正直者は、常に正しいことを言うひとではなく、正しいことも言うひとのことだ。


74:132人目の素数さん
09/01/27 20:47:01
それは違うww

75:132人目の素数さん
09/01/28 01:16:07
箱が2009個並んでいて、
どれか1つに「当たり」と書かれた紙が入っている。
その箱より右の箱には「左」と書かれた紙が、
左の箱には「右」と書かれた紙が入っている。
(つまり、当たりの箱がある方向を示している。)
これらの箱から1つずつ選んで開けていき、
当たりの箱がどの箱か特定できたら終了とする。
開ける箱の個数の期待値を最小にするには
どうすればよいか。

76:132人目の素数さん
09/01/28 01:17:05
二分探索でやれば最小だろうな。

77:132人目の素数さん
09/01/28 01:23:25
最悪ケースの最小値なら二分探索だろうけど、平均もそうなんだろうか。

78:132人目の素数さん
09/01/28 15:33:05
>>75
頼むから、
「どの箱があたりである確率も1/2009である」ということを
条件として書いてくれ。

79:132人目の素数さん
09/01/28 21:47:55
>>78
条件:どの箱があたりである確率も1/2009である

80:132人目の素数さん
09/01/28 22:10:29
>>79
頼むから、
馬鹿にしないでくれ。

81:132人目の素数さん
09/01/29 01:28:11
どの箱があたりである確率も1/2009である

82:132人目の素数さん
09/01/29 01:46:43
「当たりの箱がどの箱か特定できたら終了」
ってのがポイントかな?
「当たりの箱を開けたら終了」
ってのと微妙に違う。
箱の個数が少ない場合を計算してみると、
つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。
誰かプログラム組んで計算してほしいんだけど。

83:132人目の素数さん
09/01/29 02:16:00
986番目くらいがいいな

84:132人目の素数さん
09/01/29 12:49:22
>>82
> 箱の個数が少ない場合を計算してみると、 
> つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。

kwsk

85:132人目の素数さん
09/01/29 13:53:49
素朴な二分法が、ベストではない、最も、単純なケースは箱が5個の場合
最初に真ん中(3番目)の箱を開ける場合
1/5の確率で1回で特定可能、4/5の確率で2回で特定可能、従って、9/5回
最初に、2番目の箱を開ける場合
2/5の確率で1回で特定可能、3/5の確率で2回で特定可能、従って、8/5回


箱の数が19個の場合

10-5,15-2,7,12,17-3,8,13,18
(一回目は10番目、2回目は5番目か15番目、...の意)
これは、当たりが3,4,8,9,13,14,18,19の何れかであった場合は、4回目の開封を
行わなければならない方法である。

しかし、次のような方法もある。
8-4,12-2,6,10,16-14,18
これは、当たりが、13,14,15,17,18,19の何れかであった場合だけ、4回目の開封を
行わなければならない方法である。

86:132人目の素数さん
09/01/31 23:45:58
お金を預けると1年毎に1/2の確率で2倍か2分の1になる銀行があります(端数もきちんと計算する)

(1)この銀行に1万円あずけた時,10年後は平均で何円になってるでしょうか
(2)同じ銀行が10店舗あって、それぞれに1年,1万円ずつ預けたら1年後の期待値は?
(3)同じ銀行が無限店舗あって,10年間で手持ちの1万円をできるだけ増やすのに最適な預け方は?
また,その時の期待値は?

87:132人目の素数さん
09/02/01 00:21:46
n年後に最初の金が2^(2k-n)倍になっている確率はnCk/2^n
(1)は二項定理で計算して(5/4)^10(万円)
(2)(3)は線形性から預け方によらずn年後に(5/4)^n倍になる

88:132人目の素数さん
09/02/01 01:31:19
>>86
「最適な」の定義にもよるな。
期待値ではなく「得する可能性」を上げたいなら、分散投資するけど

89:132人目の素数さん
09/02/03 13:13:32
p1~pnの中から最大のものを取り出す関数max(p1,p2,p3,….,pn) と
最小のものを取り出す関数min(p1,p2,p3,….,pn)を使って 
5個の要素から中央値(昇順または降順に並べた際の3番目の数値)
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。

90:132人目の素数さん
09/02/03 19:27:10
min(max(pi,pj,pk)[1≦i<j<k≦5])かなあ。

91:132人目の素数さん
09/02/03 19:41:22
> [1≦i<j<k≦5]
ココの意味がわからん。 繰り返しの指定とかなの? 


92:132人目の素数さん
09/02/03 19:49:26
ijkが条件を満たす
max(pi,pj,pk)を全部という意味じゃないか?

書き下すなら
max(p1,p2,p3),max(p1,p2,p4),max(p1,p2,p5),max(p1,p3,p4),max(p1,p3,p5),
max(p1,p4,p5),max(p2,p3,p4),max(p2,p3,p5),max(p2,p4,p5),max(p3,p4,p5)
になる。

93:90
09/02/03 19:57:42
フォローサンクス。min[1≦i<j<k≦5](max(pi,pj,pk))と書くべきだったか。

94:132人目の素数さん
09/02/03 20:27:56
なるほど、テクニカルで面白いな。
数式処理ソフトで使えそう。

95:132人目の素数さん
09/02/03 21:07:30
5->3->1

96:132人目の素数さん
09/02/04 02:09:55
加減乗除と絶対値記号のみを使って
5個の要素から中央値(昇順または降順に並べた際の3番目の数値)
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。


97:132人目の素数さん
09/02/04 02:33:32
max(a,b)を作ればminも、n変数のmax,minも出来る。

max(a,b)=(|a-b|+a+b)/2 以下関数合成を繰り返す

98:132人目の素数さん
09/02/04 02:49:30
n個の数の中で大きいほうから数えてm(<n)番目の数を与える関数を
f_{n,m} (p1, ........., p_n)とする。
max{x,y}、min{x,y}から関数合成を行うことによって
決して構成できないようなf_{n,m}は存在するか。
無いならそのことを示し、あるならば反例を与え、そのnとmに対して
関数合成によって決してf_{n,m}にならないことを示せ

99:132人目の素数さん
09/02/04 04:04:08
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

100:132人目の素数さん
09/02/04 18:03:40
>>98
任意個の変数のmax、minは容易に作れるから、
あとは>>90と同じやりかたでf_{n,m}も作れる

101:132人目の素数さん
09/02/04 18:30:55
>>99
直感的には、n個から重複を許してr個とるわけだから、
まず種類1をn-m個、次に種類2をn-m-l個、・・・ととるのだと考えれば成り立つ。

nH1,1Hn=1に対しては成立。(r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1
だと解釈)
n+rに関する帰納法。この和がn+r-1のときまで成り立っているなら、
nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
=Σ[m=1,n-1]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) } + Σ[l=1,n]…(Σ[j=1,k]j)
=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
よりこの和がn+rのときも成り立つ。


102:101
09/02/04 18:48:56
miss!
>nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
nHr=(n+r-1)Cr=(n+r-2)Cr+(n+r-2)C(r-1)=(n-1)Hr+nH(r-1)

103:101
09/02/04 20:32:20
あ、
>r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1 だと解釈
r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=n だと解釈
しないとうまくいかないな。
こうしておけば帰納法はうまく進むので問題なし。

104:132人目の素数さん
09/02/07 11:31:41
>>99
多項式(x+1)^(n+1)-1を考える。二項定理から(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]C[n+1,k+1]x^(k+1) …(1)
(ここでC[n,k]は2項係数を表す。)一方、
(x+1)^(n+1)-1={(x+1)-1}Σ[k=0,n](x+1)^k=xΣ[k=0,n]Σ[l=0,k]C[k,l]x^l
右辺を整理すれば(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]{Σ[l=k,n]C[l,k]}x^(k+1) …(2)
(1),(2)の係数を比較することでC[n+1,k+1]=Σ[l=k,n]C[l,k]を得る。
書き直せばC[n+k,k+1]=Σ[l=1,n]C[l+k-1,k] これより
Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]j_(r-1)
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]C[j_(r-1),1]
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-3)]C[j_(r-2)+1,2]
=…
=Σ[j_1=1,n]C[j_1+r-2,r-1]
=C[n+r-1,r]
=H[n,r]

105:132人目の素数さん
09/02/07 11:58:39
>>99
nHr = (r+1)H(n-1) は、次の非負整数解の個数と同じ
x_1 + x_2 + … + x_{r+1} = n-1.
そこで、
y_i = 1 + x_1 + x_2 + … + x_i (i = 1, 2, ..., r+1)
と換えると、
1 ≦ y_1 ≦ y_2 ≦ … ≦ y_r ≦ y_{r+1} = n.
これを数えると、題意の等式を得る。

106:132人目の素数さん
09/02/07 15:58:51
URLリンク(www.sonnyradio.com)

107:132人目の素数さん
09/02/11 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108:132人目の素数さん
09/02/11 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
 k・log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k・log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
 = log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
 (k+1)log(k) - k・log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
 = log(k) - k・log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,・・・,n について たす。
 n・log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

109:132人目の素数さん
09/02/13 06:16:35
>48
1+1=2?
天国は右?

110:132人目の素数さん
09/02/13 15:59:43
a[1]=1,a[2]=3,b[1]=1,b[2]=1
a[n+2]=(4n+2)a[n+1]+a[n]
b[n+2]=(4n+2)b[n+1]+b[n]
とするとき
lim[n→∞]a[n]/b[n]を求めよ

111:132人目の素数さん
09/02/15 04:01:43
(改変転載)

一辺が1の正四面体Tが、厚さの無視できる壁に開いた
半径rの円形の穴を通過する。半径rの最小値をもとむ。

112:132人目の素数さん
09/02/15 10:06:27
>>111
>もとむワロタ

外接円考えてr=1/√2じゃないの?

113:132人目の素数さん
09/02/15 10:09:39
よく見たら正四面体か。
r=1/√3かな。

114:132人目の素数さん
09/02/15 10:20:04
ばかw

115:132人目の素数さん
09/02/15 10:41:24
(0,0,0),(1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,1/√2)
を結んだ正四面体を考えてr=1/2

116:132人目の素数さん
09/02/15 20:06:12
転載

◆ わからない問題はここに書いてね 255 ◆
スレリンク(math板)

215 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2009/02/15(日) 03:59:34
>>213>>214
1/2より小さくできると思う。
正四面体をOABCとし、OBとOC上にそれぞれM,Nを取ったとき、
△AMNの外接円の半径の最小値が答えになると予想。

ちなみにM,NをOB,OCの中点としたときは9/(8√11)≒0.34。
この付近に最小値を与える点があるはずなんだが、
式が爆発して手が着けられなくなった。


225 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2009/02/15(日) 15:26:47
>>215
なぁ、本当に0.34まで小さくなるか?

ちょっとやってみたんだが
O(0,0,0) A(Sqrt[3]/3,0,Sqrt[6]/3) B(Sqrt[3]/2,1/2,0) C(Sqrt[3]/2,-1/2,0)
としてOM:MC=s:1-s,ON:NB=t:1-tと置いて内積使って正弦定理を書き直して求めてみた。
URLリンク(www2.uploda.org)
どうもそんなに小さくならなさそうなんだが……俺なんか間違えたかな?

117:116
09/02/15 20:08:33
上の 225 の外接円の半径 R は
R^2 = (1-s+s^2)(1-t+t^2)(s^2-st+t^2)/(3s^2-2st+3t^2 - 2st(s+t) + 3s^2t^2)
で、これは自分(≠225)も確認

ただし、△AMN が円に納まる条件は
min(R, (1/2)max(AM, AN, MN)) ≦ r
max のほうは鈍角三角形の場合

118:132人目の素数さん
09/02/15 20:35:00
確か「幾何学の散歩道」か何かに、
一辺1の立方体に穴を開けて別の立方体を通したい。
通る立方体の一辺の長さの上限を求めよ、みたいな問題があって
1よりも何%か大きくなるとかなんとかで、結構意外な問題だったと思う。
手元にたぶん無いんでアレだが。

119:132人目の素数さん
09/02/15 21:27:18
>>111
 r = 0.44780569665327156030029247262839…
らしいよ。
>>116-117
 漏れも そんなに小さくならなさそうだとオモタ.

スレリンク(math板:284-286番)
数学セミナー

120:132人目の素数さん
09/02/15 21:50:44
>>117
鈍角三角形ってなりえるかな?

121:132人目の素数さん
09/02/15 22:30:53
(i)
xy平面上に4個の点O,A1,A2,A3がある。
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値を求めよ。


O(0,0) A1(0,1) A2(1,0) A3(1,1)とすると
α=2+2√2、β=4よりα/β=(1+√2)/2

(ii)
3次元ユークリッド空間上にn個の点O,A1,A2,A3,…,A[n-1]がある。(ただしn≧4)
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3,…A[n-1]を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値はnの式で書けるか?書けないならその事をを示せ。

122:132人目の素数さん
09/02/15 22:47:19

「面白い」の定義を数式を用いて述べなさい。


【配点 5 点】


123:132人目の素数さん
09/02/15 22:59:27
面白い⊆興味深い

124:132人目の素数さん
09/02/15 22:59:55
interesting と funny で区別とかするよね

125:132人目の素数さん
09/02/15 23:02:51
数学でfunnyってどういうのだろう?
文体なんかでfunnyに見せるのであれば芸がないな

126:132人目の素数さん
09/02/16 00:04:42
>>120
なる
自分は t=0 で s→0 にすると R が変な値になって気がついた

127:132人目の素数さん
09/02/16 00:18:13
>>125
「点」「直線」「平面」を「机」「椅子」「ジョッキ」と言い換える

128:132人目の素数さん
09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。

全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか?

129:132人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)

130:132人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)

>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき

これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小

このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697

131:132人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128

裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→[★]
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]

以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)

もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。

132:132人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う

133:132人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
>ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k+1)/2 (k=0,1,2,…,2^n-1)は全て異なる。

134:132人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。

135:132人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…

平面上にいて見える景色について考える。

球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が0の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう?


136:132人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。

137:132人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。

球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
きれいに収めることはできない。

曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は0で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。

138:132人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど

139:132人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス!

140:132人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも3次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。

141:132人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの?

142:132人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140>>137に恋心を抱いているだけだ

143:132人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの

144:132人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの?

145:132人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か?

146:132人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ

147:132人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし

148:132人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題キヴォンヌ

149:132人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々4つの直交行列(Aに依存してよい)の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の4という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。

150:132人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ!まさか4色問題がらみ?
と直感だけで言ってみる。


151:132人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。

152:132人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら,4色問題よりラグランジュの4平方和定理(全ての自然数は高々4つの平方数の和で表せる)の方が近いだろう。

153:132人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな?

154:132人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間=獣を証明せよ

155:132人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか?


156:132人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか

157:132人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪=東京 ,これを証明せよ

京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。




158:132人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157

「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕 の
「§京都銘菓\おたべ 」 は (有)あど・おたべ〔京都〕 の  (4484724号)
「大阪新名物\たこ焼き\ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木・今市〕の  (4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕 の 登録商標でつ。。。

159:132人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
スレリンク(math板:209番)

実数a,b,c,x,y,zが

ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720

を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ

160:132人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…

161:132人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)

関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0  …(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})

ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1) (n = 1,2,3)  …(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす

∵)
(t^(n-1), 1) = n!  …(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 4,5,6) を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
  x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
  なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
  第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■

162:132人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896

# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど

163:132人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題?

164:132人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。

165:132人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが・・・

 f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
 x = 4 + 4・cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833・・・
 y = 4 + 4・cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227・・・
 z = 4 + 4・cos( π/9) = 7.7587704831436335362164371092989・・・

{a,b,c} は 次の多項式の根。
 g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3・12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
 ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
 a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337・・・
 b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642・・・
 c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212・・・

166:132人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
 f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C,   >>161
から出まつね。

167:132人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ

168:132人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。

数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt (xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
 が成り立つことを示せ。

169:132人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか

170:132人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい

171:132人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて

172:132人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171 (>>164にあるp[n]の母関数を使いました)
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく:
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。

f(t):=F'(t) は(A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと)
f'''-Af''+Bf'-Cf=0 を満たすので
g(t):=G'(t) に対して g'''-Ag''+Bg'-Cg の2次までの項は無い。(※)-->>173

実際に計算すると(h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg とおくと)
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと A=12, B=36, C=24 が得られる。

173:132人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注:一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数 f'''-Af''+Bf'-Cf と g'''-Ag''+Bg'-C のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。

手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを1行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);

結局これもゴチャゴチャしとるな・・・

174:132人目の素数さん
09/03/22 14:54:39
訂正:>>173の二行目

(誤) g'''-Ag''+Bg'-C
(正) g'''-Ag''+Bg'-Cg

175:132人目の素数さん
09/03/22 15:25:07
マクローリン展開のn-3次の項がうんぬんとかやるくらいなら
もう行列式の値を x、y、z の対称式として愚直に
計算したほうがすっきりしてるような

176:132人目の素数さん
09/03/22 16:10:59
A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと

x^4 = Ax^3 - Bx^2 + Cx
y^4 = Ay^3 - By^2 + Cy
z^4 = Az^3 - Bz^2 + Cz より 24 = ax^4 + by^4 + cz^4 = 6A-2B+C

x^5 = Ax^4 - Bx^3 + Cx^2
y^5 = Ay^4 - By^3 + Cy^2
z^5 = Az^4 - Bz^3 + Cz^2 より 120 = ax^5 + by^5 + cz^5 = 24A-6B+2C

x^6 = Ax^5 - Bx^4 + Cx^3
y^6 = Ay^5 - By^4 + Cy^3
z^6 = Az^5 - Bz^4 + Cz^3 より 720 = ax^6 + by^6 + cz^6 = 120A-24B+6C

これで終りだった・・・orz

177:132人目の素数さん
09/03/22 23:50:03
>>176
神キタ━(゚∀゚)━!!!

178:171
09/03/22 23:59:37
>>172-176
サンクス
これから読ませてもらう

179:132人目の素数さん
09/03/24 11:05:25
充分に大きい白い容器と黒い容器が無限個ある。
最初、ひとつの白い容器に純水が 1kg、
ひとつの黒い容器に 100% のアルコールが 1kg 入っている。
以下の操作を好きなだけ行って、最終的にひとつの白い容器になるべく
アルコール濃度の高い 1kg の液体を作りたい。
このアルコール濃度の上限はいくらか?

可能な操作
・ひとつの容器から同じ色の別の容器(空でなくてもよい)に好きなだけ液体を移してよく混ぜる
・白い容器と黒い容器をひとつずつ取り、両方の容器の液体を一緒にしてよく混ぜて、
もとの質量と同じだけ両方の容器に分ける
(混ぜる前に、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体が入っていたら、
混ぜたあとも、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体を入れるということ)

180:132人目の素数さん
09/03/24 11:24:01
濃度は重量濃度です
アルコール濃度 = 液体中のアルコールの質量 / 液体の質量

181:132人目の素数さん
09/03/24 14:14:48
白い容器のほうの濃度を a、黒い容器のほうの濃度を b 、
操作後の濃度を a1 及び b1 とすると
a < a1 < b1 < b が分かる。
また a1 ≦ 1/2(そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる)。
二番目の操作を繰り返すことによって白い容器内の濃度は 1/2 に
限りなく近づけることが出来る。よって50%。

182:132人目の素数さん
09/03/24 18:53:59
1 - exp(-1)  ≒  0.632 まで濃度をあげられるんじゃないか?



183:132人目の素数さん
09/03/24 20:14:35
体積モル濃度を調べよう。

184:132人目の素数さん
09/03/24 20:46:50
>>181
> a1 ≦ 1/2(そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる)。

ここの理屈がわからん。
なぜa1>1/2だと、アルコールの量が増えたことになるんだ?

185:132人目の素数さん
09/03/24 22:01:03
1) 最初に白い容器の純水をn個の白い容器に等分する。
2) 次に、n個全ての白い容器に対して、その白い容器をひとつと黒い容器を混ぜ、戻す。
3) 最後にn個の白い容器のをすべてひとつの白い容器に集める。

たとえば、n が 2の場合
1) 純水を白い容器2つに1/2kgづつに分ける。
2-1) ひとつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは2/3kg 
2-1) ふたつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは(2/3)^2 = 4/9 kg
3) 白い容器をすべて集めると、アルコールは1-4/9 = 5/9 kg

ここで >>181の 
> a1 ≦ 1/2(そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる)。 
は、正しくないことがわかる。

この方法だと、白い容器に入るアルコールの量は、 1-(n/(n+1))^n なので、使用する白い容器の数を増やせば 
最大で lim_{n->∞}(1-(n/(n+1))^n) = 1 - exp(-1) のアルコールを白い容器に入れることができる。

これが最大かどうかは知らん。


186:132人目の素数さん
09/03/24 22:03:20
× 2-1) ふたつめの
○ 2-2) ふたつめの

187:132人目の素数さん
09/03/24 22:05:08
瑣末なことだが、白い容器は3個あれば事足りる。

188:132人目の素数さん
09/03/25 06:54:29
n等分ではなく
1番目の白い容器には1/n、2番目の容器には1/n × (n/(n+1)) … と等比になるように分配する
つまり n番目の容器には 1/n × (n/(n+1))^(n-1) の水。 # この数列の和はもちろん1
(2)以降の操作は同じ。

きちんと計算はしていないが、
nを大きくとれば、白い容器のアルコールを、いくらでも1に近づけることができると思うが、どうだろうか。


189:132人目の素数さん
09/03/25 07:07:32
訂正:
× 1番目の白い容器には1/n 
○ 1番目の白い容器には1/(n+1)


190:132人目の素数さん
09/03/25 07:16:12
あ、ダメか 
1 - exp(-1) は超えられないや。

191:132人目の素数さん
09/03/26 02:03:09
某サイトからの引用。

2人組の手品師AとBが、観客に対して次のようなマジックを行なう。
問: このマジックのタネ(phase0 の内容)を考案せよ。

(phase0)
事前にAとBは綿密に打ち合わせをしておく。

(phase1)
Bには目隠しと耳栓をさせる。Aは1組52枚のトランプカードを
全て観客の一人に渡し、その中から好きな5枚を選んでもらう。
余った47枚はその場で廃棄する。

(phase2)
Aは、観客が選んだ5枚の内容を確認した上で、その中の1枚を指定する。
観客はAが指定した1枚を手に残して隠し持ち、その他の4枚をAに返却する。
Aはその4枚を表向きにして机の上に並べ※、舞台から退場する。

(phase3)
Bが目隠しを外し、机上の4枚を見て観客の手にある1枚を当てる。(終了)

※4枚のカードを机の上に並べる際は、あらかじめ固定された
「同じ向き」「等間隔」「一列」のポジションに置かなければならない。
Aのアレンジが許されるのは、4枚の「並び順」のみであるとする。

192:132人目の素数さん
09/03/26 02:16:34
コマ大のやつね

193:191
09/03/26 02:56:14
あらら。有名だったのかな。
一応、引用元はここの19番なんだけど。
URLリンク(www.qbyte.org)

他にもいろいろ面白いのがありそうでマジお勧め。
皆さんも気に入ったのがあったら翻訳転載よろ。

194:179
09/03/26 07:29:29
>>190
その方法はまだ計算してないから、上限がいくらかは分からないけど、
別のやり方で 1-(1/e) 以上にできます

>>193
そのサイトの方法だと52枚までだけど、もっと枚数増やせないんだろうか

195:132人目の素数さん
09/03/26 13:42:27
>>193
URLリンク(gascon.cocolog-nifty.com)
この後半に紹介されているが、そこから採ったのかも。番組では実演して失敗してた。

196:132人目の素数さん
09/03/26 17:30:35
a


197:132人目の素数さん
09/03/27 00:24:19
>>194
直後の第20問で、124枚まで増やした場合が採り上げられてるよ。

198:132人目の素数さん
09/03/27 03:08:48
以下の条件を満たす四角形は存在するか?
存在するなら例示し、存在しないならその事を証明せよ。

(i)
三辺の長さと対角線の長さが全て整数
(ii)
四辺の長さと対角線の長さが全て整数

199:198
09/03/27 03:14:11
書き損ねた。
(iii) (ii)を満たし、かつどの2辺をとっても長さが等しくならない。

200:132人目の素数さん
09/03/27 13:22:54
(iii)とは?

201:132人目の素数さん
09/03/27 15:28:19
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
かつ
どの2辺をとっても長さが等しくならない。

すると(ii)は円か何かを使うのかな。

202:132人目の素数さん
09/03/27 15:40:57
(i)(ii)は同じ長さの辺があってもいいの?
もしそうなら、例えば縦横比3:4の長方形(対角線は5)があるけど。

203:132人目の素数さん
09/03/27 23:31:05
くそ、卑猥な記号ばかり並んでやがる

204:132人目の素数さん
09/03/28 01:19:56
問題 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
 a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

問題 2.
(a) 2008のすべての約数d >0 に対して P(d) = 2008/d,
  となるような 整数係数の多項式P(x)は存在するか?

(b) nのすべての約数d >0 に対して P(d) = n/d,
  となる整数係数の多項式P(x)が存在するような自然数nを求めよ。

問題 4.
fは正整数から非負整数への写像とする。次の条件を満たすfをすべて定めよ。
 (1) f(mn) = f(m) + f(n),
 (2) f(2008) = 0,
 (3) f(n) = 0, for all n≡39 (mod 2008).

問題 5.
nを自然数とするとき、数列 n + [√n] + [ n^(1/3) ] に含まれない自然数をすべて挙げよ。
ここに [ x ] はx以下の最大の整数である。

URLリンク(www.math.ust.hk)
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
2008/06/07~08

205:132人目の素数さん
09/03/28 18:10:26
問2への答え
(a)2008=251*8より約数は1,2,4,8,251,502,1004,2008の8つ。
今f(1)=2008,f(2)=1004,f(4)=502,f(8)=251,f(251)=8,f(502)=4,f(1004)=2,f(2008)=1
よってf(x)=(x-1)A(x)+2008=(x-2)B(x)+1004=(x-4)C(x)+502=(x-8)D(x)+251
=(x-251)E(x)+8=(x-502)F(x)+4=(x-1004)G(x)+2=(x-2008)H(x)+1

一般にA(x)とD(x)の次数が同じならば、A(x)~H(x)を整数係数多項式として
f(x)=A(x)B(x)+C(x)=D(x)E(x)+F(x)と書ける時、f(x)=A(x)D(x)G(x)+H(x)と書ける為
与式を満たす整数係数多項式P(x)は存在する。

(b){n|nの平方根が整数にならない}

206:132人目の素数さん
09/03/28 19:04:00
>>205
(b)なんだけど、おれが考えた答えと違う。

x = (nの約数) のとき、 xP(x)-n = 0 である。
よって xP(x)-n = Q(x) (x-d_1) (x-d_2) ... (x-d_m) (ただし、d_i はすべての n の約数を渡る。Q(x) は適当な整数係数多項式)
両辺の定数項を比較して n は d_1 * d_2 * ... * d_m の倍数である。
nの約数はn自身も含むので、nが素数でなければ、n < d_1 * d_2 ... * d_m となるので
nが素数であることが必要条件。

逆に n が素数なら、xP(x) - n = -(x-1)(x-n) = -x^2 + (n+1)x - n として
P(x) = x - (n+1) をとればいい。

よって n が素数であることが必要十分。

207:132人目の素数さん
09/03/29 03:15:42
nが素数のときはP(x)=x-(n+1)とすればよい。

nが合成数のときは、ある素数p,qについてn=pqmとなる。
P(x)の定数項をaとする。

p=qのとき:仮定よりP(n)=1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。
次に、x=pとして、P(p)=n/p=pm となるからP(p)≡0 (mod p)
一方、P(p)≡a≡1 (mod p)だから、矛盾。

p≠qのとき:P(n)=1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。また、
P(pm)=n/(pm)=qだから、a≡P(pm)≡q (mod p)となり、よってq≡1 (mod p)が
成り立つ。つまりp|(q-1)が成り立つ。これとq-1>0より、q-1>pとなる。
pとqの役割を入れ替えても同様の議論が成り立ち、そのときp-1>qが得られる。
よってq-1>p>q+1となり、矛盾。

208:132人目の素数さん
09/03/29 06:45:31
>>205
f(x) = (x-1)A(x) +2008,
A(x) = -1004 + (x/2 -1)[502 -(x/4 -1){251 - (x/8 -1)[8 -(x/251 -1){4 - (x/502 -1)[2 - (x/1004 -1)]}]}] + r(x)
   = -1004 + 502(x/2 -1) -251(x/2 -1)(x/4 -1) +8(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1) -4(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1) +2(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1) -(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1)(x/1004 -1) +r(x)
r(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-251)(x-502)(x-1004)(x-2008)g(x),

209:132人目の素数さん
09/04/01 01:19:15
数日前に質問スレで、以下の趣旨の問題が投下され、解決することなく流れていた。

「1~nの番号がついた玉を無作為に一列に並べたとき、連続するどの2つの番号も、
その順番通りに隣接して配置されない順列のパターン数は?」
(もとの問題は楽曲のシャッフル演奏が題材だった)

n=3の場合、12も23も現れない配置ということで、132、213、321の3通りとなる。
帰納的な考察により、そのようなパターン数をa(n)とおいたとき、
a(1)=a(2)=1として、a(n)=(n-1)*a(n-1)+(n-2)*a(n-2)となることがわかった。

これって解けるのかな。
閉じた式じゃなくても、再帰構造が排除できればいいとして。

210:132人目の素数さん
09/04/01 02:06:54
>>209
不完全ガンマ関数Γ(m+1,x) := ∫[x,∞] t^m exp(-t) dt を使うと
 a(n) = Γ(n+2,-1) / (n e) になる.
不完全ガンマの展開公式
 exp(x) Γ(n+2,x) = Γ(n+2) Σ[k=0,n+1] x^k/k!
を使えば
 a(n) = ( (n+1)! Σ[k=0,n+1] (-1)/k! ) / n
になる.例えば n = 3 だと 4! (1 - 1/2 + 1/3! - 1/4!) / 3 = 3.

211:132人目の素数さん
09/04/01 16:35:36
>>210
なんか違わない?計算が合わないんだけど。

>>209
y = x + y' (x^2+x^3) ていう微分方程式を解けば、各係数がその数列のなっているはず。


212:132人目の素数さん
09/04/01 20:22:10
>>211
ん、あわない?具体的に指摘頼む。
漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。

213:132人目の素数さん
09/04/01 20:24:07
>>212
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。


214:132人目の素数さん
09/04/01 23:31:42
>>209
b[n]=n*a[n]とおけば、その漸化式はb[n]=n*b[n-1]+n*b[n-2]と表せる。
b[n]-(n+1)*b[n-1]=-(b[n-1]-n*b[n-2]) と書けるので、n≧3とすれば
b[n]-(n+1)*b[n-1]=(-1)^(n-2)*(2*1-3*1*1)=(-1)^(n-1) となる。
これはn=2でも正しいので、以下n≧2とする。
b[n]=(n+1)b[n-1]+(-1)^(n-1) の両辺を(n+1)!で割れば
b[n]/(n+1)!=b[n-1]/n!+(-1)^(n-1)/(n+1)!
b[n]=(n+1)!*{Σ[k=2,n](-1)^(k-1)/(k+1)!+b[1]/2!}
   =(n+1)!*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!
よってa[n]=(n+1)!/n*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!=
これはn=1でも成り立つ。

215:132人目の素数さん
09/04/02 00:33:16
事故解決しました

216:209
09/04/24 00:15:31
>>210-214
遅くなったが、ありがとう。

217:132人目の素数さん
09/04/24 21:42:07
A君はn枚、B君はn+1枚の公正なコインを持っている(n≧1)。
両者ともに全てのコインを投げたとき、A君の表の枚数よりも
B君の表の枚数の方が真に大きくなる確率を求めよ。

218:132人目の素数さん
09/04/24 22:48:53
age

219:現場の職人
09/04/24 23:50:17

切り出した木の側面を切って

最も無駄のない柱を作るには

曲尺をどのようにして使うのであろうかっ。

【 配点 1 点 】


220:132人目の素数さん
09/04/25 03:31:21
最も無駄のない とは どういう意味なのか

221:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/04/25 07:47:17
>>217
nも乱数で確率なの?

222:132人目の素数さん
09/04/25 10:28:49
>>217
nの値にかかわらず、求める確率は 1/2

223:132人目の素数さん
09/04/25 10:43:31
>>219
糞スレ立てんなウンコ虫が

224:132人目の素数さん
09/04/25 12:38:27
>>223
用語の間違いに注意

225:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 12:51:17
あの~
ワラビが右巻きでゼンマイが左巻きだって、どうやって証明したらいいのでしょうか?



226:132人目の素数さん
09/04/25 12:56:00
>>225
まずワラビとゼンマイの定義がなければ話になりません
それらの定義を述べてください

227:132人目の素数さん
09/04/25 13:13:59
転載
スレリンク(math板:38番)
解答案は75。

相異なる9個の整数からなる集合Sがあり、各元の正の素因数はすべて3以下である。
Sからうまく相異なる3個の元をとれば、それらの積がある整数の3乗になることを示せ。

228:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 17:09:22
>>226
ワラビは京浜東北線の駅にありますが、ゼンマイは昔の時計で使いました。
どっちが美味しいんでしょうか、それだけでも知りたくて・・・



229:132人目の素数さん
09/04/25 17:27:57
>>228
まずはワラビやゼンマイの定義を述べよ

230:ぺれるまん ◆ghclfYsc82
09/04/25 18:52:17
>>229
調べたんですが、ゼンマイの学名はOsmunda japonicaで山野に生えてて水気が多いところを
好むという特徴だけなんですね。それでワラビは確定した分類体系さえ無いんだそうで、食べ過ぎ
たらアカンそうですが、色んな食べ方があるそうですねぇ。どうやら山でなくても畑でも出るそうで、
おひたしと天麩羅がおススメだそうです。

何方か定義を御存じではないでしょうか?



231:132人目の素数さん
09/04/25 22:25:36
今月の日経サイエンスのパズルがわからん。
問題の概要はこんな感じ。

4名の死刑囚(A,B,C,D)が一人ずつ部屋に入って運命のくじ引きをする。
部屋には4つの箱があって、それぞれの箱に1枚ずつ
A,B,C,D誰か一人を助ける免罪符が入っている。

4つの内3つの箱を開けて、自分の免罪符を引き当てれば勝ち。
ただし、4人は一心同体なので、誰かが失敗すれば全員処刑される。

部屋には一人ずつ順番に入り、別の出口から出るので、
どの箱にどの免罪符が入っていたかを教えることは出来ない。

単純に勝率を計算すると、(3/4)^4=81/256で、勝率は1/3以下。
しかしAには3/4の勝算があり、B,C,Dにそれを伝えた。
・・・ここまで。

232:231
09/04/25 22:29:45
事前の相談が許されてるから、勝率0%のやり方を避けることは出来る。
(全員同じ開け方をすれば確実に死ねる)
完全に無作為に開けるんじゃなくて、それを避けるという相談をするだけで、
ちょっぴり勝率が上がるのはわかる。

また、一人目が失敗したときの事は考えなくて良いから、
一人目がどこを開けたか聞いておけば(事前に決めておけば)、
二人目以降の勝率が若干上がることはわかる。

しかし、どういう戦略をとっても、最初の一人の勝率は3/4だろ。
そうすると、後の3人はその後100%成功しなくちゃいけない。
が、100%にはなりそうにないんだが。。。

一人目が箱を開けっ放しにするとか、
ガンのための傷を付けるとかのズルしか思いつかん。
福本伸行の読み過ぎ?

233:132人目の素数さん
09/04/26 00:39:22
箱の中身を入れ替えればいいじゃん

234:132人目の素数さん
09/04/26 03:34:23
中身の入替えを許したら簡単すぎじゃね?

もっとも、箱の配置が指定されてないから、部屋の中で
箱がいかように配置されていたとしても、そのうちの1個を
特定できるようなルールをあらかじめ策定するってのは、
それはそれで面白いかもしれない。

しかしそういう意図の問題なんだろうか。

235:231
09/04/26 04:18:58
>>233
最初の人が、箱の中身を入れ替えるか・・・
(1枚は入れ替えられないが、次の人がなんとかする?)
いっそ箱の並びを変えて、左からABCDにしておけば、
後の人は簡単だわな。

もう一回問題を読み直してみたが、
免罪符の箱の部屋に見張りが居るかどうかは書いてなかった。
しかし・・・見張りが居なかったら、3つじゃなくて4つ全部開けるのも可能だろう。

ヤンジャンや近代麻雀じゃなくて、日経サイエンスだから・・・
ルールの穴じゃなくて、場合分けとかで解くと思うんだが。

236:132人目の素数さん
09/04/26 06:00:00
こんな確率もとめてみたい その1/3
スレリンク(math板)
430-485


237:132人目の素数さん
09/04/26 09:14:14
>>231
事前相談のみで
後の人に情報が残せない場合
(前の人が開けた結果に応じた作戦変更ができない)
最大で 9/24 にしかならないので (すべての組み合わせを試した)
なんらかの方法で情報を残すことをしないと、それ以上にはできない。

238:132人目の素数さん
09/04/26 14:06:37
各箱にA,B,C,Dと名前をつける。
囚人Xは、最初に自分と同じ名前のついた箱Xをあける。
箱Xの中に、Yの免罪符があったら、次に箱Yをあける。
箱Yの中に、Zの免罪符があったら、次に箱Zをあける。

239:132人目の素数さん
09/04/26 17:42:14
なるほど

240:231
09/04/26 21:34:54
>>238
A箱からスタートして、Aカードが3つ目だった場合、その次はまたA箱に来る。
つまり、3の輪っかが出来ているので、全員セーフ。

A箱からスタートして、Aカードが2つめだった場合、
他の箱は最悪でも2輪っかだからセーフ。

A箱からスタートして、Aカードがいきなりあった場合、
他の箱は最悪でも3輪っかだからセーフ。

A箱からスタートしてAカードが4の距離だった場合、
4輪っかが出来ているので、全員死亡。

最初の人が失敗した場合は必ず全員失敗し、
最初の人が成功した場合には全員成功するアルゴリズムってことか…

いや…すごすぎる!!! 俺も、成功の場合を裏返して、
「最初の人が失敗した場合に他の失敗も集めてしまう戦略にするんじゃないか」
とは思ったけど…

類似問題知らないで解けたとしたら、IQ150-160くらいありそうだ。

241:132人目の素数さん
09/04/26 22:11:25
上手いね。
出題者は巡回置換からこの問題を発想したんだろうか。

1 2 3 4
2 3 4 1

みたいな配置だったら失敗。そうでなければ成功。

いやー、こんな応用があったとは。

242:132人目の素数さん
09/04/28 17:46:06
コインランドリーを並べ替えてできる言葉はコインランドリーを含めて何通りあるか。
ただし、ンおよびーを頭に持ってきてはいけません。また、ンが連続してもいけませんし、ンの直後にーがきてもいけません。

243:132人目の素数さん
09/04/28 18:08:43
全文字使うのか?

244:132人目の素数さん
09/04/28 18:23:28
>>243
もちろん

245:132人目の素数さん
09/04/28 19:16:58
ちゃんとした言葉になってなくてもいいの?

246:132人目の素数さん
09/04/28 19:22:09
インリンドコラー

247:132人目の素数さん
09/04/28 19:28:51
ただ数えるだけ。4500個。

248:132人目の素数さん
09/04/28 19:52:54
意味のない言葉でももちろんかまいません。
4500個ではないと思いますよ。

249:132人目の素数さん
09/04/28 19:57:11
プログラム組んでみたら12000個だった。
でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
もっかい直してみる。

250:132人目の素数さん
09/04/28 20:04:30
> でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。 

てことは半分ってことではないのか?

251:132人目の素数さん
09/04/28 20:11:23
理屈の上ではそうなんだけど一応修正したらやっぱり6000個になった。

252:132人目の素数さん
09/04/28 20:30:46
「ン」「ー」が先頭に来ない場合の数は全部で
 5*7!=12600通り
「ンン」が並ぶ場合の数は、「ンン」を1組として
 5*6!=3600通り
「ンー」が並ぶ場合の数は、「ンー」を1組として
 5*6!=3600通り
「ンンー」が並ぶ場合の数は、「ンンー」を1組として
 5*5!=600通り
よって、12600-3600-3600+600=6000通り

間違ってたら悲しむ

253:132人目の素数さん
09/04/28 20:40:17
6000通りで正解です。出題者の私は、最初に、コイラドリの並べ方120通りに、ン2つ、ーを組み込むという考え方で計算しましたが。

254:132人目の素数さん
09/04/28 20:42:17
正八面体が存在することを示せ。

京大の入試だったような。

255:132人目の素数さん
09/04/28 20:45:00
場合の数だから賢い小学生なら解けちゃう

256:132人目の素数さん
09/04/28 21:15:15
条件数え落としてた。6000通りだね。
ただ、どこが面白い問題かはわからんなあ。
どこを面白いと思って出題したの?

257:132人目の素数さん
09/04/29 07:36:32
単なる重複順列じゃなくて、いろいろ条件が付くとこかな。

258:132人目の素数さん
09/04/29 23:05:48
>>254
模範解答よろ~

259:132人目の素数さん
09/04/30 00:09:00
具体的に作ればいいんじゃないかな

260:132人目の素数さん
09/04/30 00:13:49
>>254
|x| + |y| + |z| ≦ 1

261:132人目の素数さん
09/04/30 00:33:57
正八面体のサイコロ買ってきて見せれば示した事にならないかな。

262:132人目の素数さん
09/04/30 00:44:10
>>261
その模型が正八面対であることを証明せねばならない

263:132人目の素数さん
09/04/30 15:48:46
正三角形4つと正方形1つで四角錐を構成して
それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
正8面体になることを利用すればいいんじゃないか?

四角錐の側面が互いに同相なのは自明として使っていいのかな?

上下にくっつけて(正8面体を作って)それを縦に切ってできた
四角錐が元の四角錐と合同だということを示すのはどうだろう?





264:132人目の素数さん
09/04/30 15:50:52
正6面体が存在することを仮定していいのなら
正8面体の構成はたいして難しくないが…

265:132人目の素数さん
09/04/30 15:54:08
>>263
>正三角形4つと正方形1つで四角錐を構成して
>それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら

最初の正四角錐の頂点以外の頂点のまわりの面のなす角が等しいことを証明する必要がある。

266:132人目の素数さん
09/04/30 15:58:38
>>265
まさにそれを証明するのに、そこ以下が書かれているのだ。

267:132人目の素数さん
09/04/30 16:02:02
>>264
正6面体の存在は、高さが任意の正四角柱の存在を仮定すれば
そんなに難しくない。

268:132人目の素数さん
09/04/30 16:04:28
>>267
このあたりになると、何をどこまで仮定していいのか難しいな。
元の問題に、○○は仮定していいなどの記述がないと何もできん。

269:132人目の素数さん
09/04/30 16:06:33
空間中に任意の角度で任意の長さの直線が引けること
空間中に任意の平面が用意できること

さすがにこのくらいは仮定してよいだろう。

270:132人目の素数さん
09/04/30 16:09:05
正三角形や正方形の存在から証明かよ…

271:132人目の素数さん
09/04/30 16:44:29
二つの面が作る角度が180度未満になることも証明しないとな。

272:132人目の素数さん
09/04/30 17:03:57
正八面体は、普通にxyz空間上に座標をとって構成すればいいんジャマイカ

273:132人目の素数さん
09/04/30 22:47:28
ところで俺、正八面体って頂点の角度とか形が一定じゃないから、
正多面体の仲間に入ってるのに抵抗感じるんだけど。

274:132人目の素数さん
09/04/30 22:49:48
>>273
どういう意味ですか?

275:132人目の素数さん
09/04/30 22:52:27
カーボンナノチューブは正何面体の角を削るとできるか?


276:132人目の素数さん
09/04/30 23:33:34
>>254
1)答案用紙に展開図と投影図をいくつか書いておく。
 「こうやれば貴方にも正八面体が作れます!」とか。
2)三次元空間には正八面体が存在しえないと仮定して、なんらかの矛盾を導く。
3)正多面体の一般論を展開して、ハルヒにも出てきた多面体定理かなんかから、
 正八面体の存在を示す。l

・・・やっぱ1が一番簡単そうじゃね?

>>273
確かにそう見えるけど、目の錯覚だろ。
正六面体に内接するんだから…

>>275
チューブは無理だろ。鉛筆キャップみたいのもあるし。
C60 フラーレンのこと?

277:132人目の素数さん
09/05/01 03:00:28
>>276
2)が一番かっこよさそうなので、それでお願いします。

278:132人目の素数さん
09/05/01 11:31:55
>>273
なんかい見直しても一定だが。

279:132人目の素数さん
09/05/01 13:33:19
ここに縦が a、横が bの長方形の紙があります。この紙にハサミを入れて、
できる範囲の中で面積最大となる正三角形を切り取ります。
この切り取った正三角形の面積を Sとするとき、
この Sを a、bを使って表してください。

面積最大となる理由も併せてお答えください。

280:132人目の素数さん
09/05/01 14:21:40
面白い解法があるの?

281:132人目の素数さん
09/05/01 15:01:52
>>279
「面積最大となる理由」の部分を真面目にやると、結構面倒だな。

いくつかの補題を示して、可能性を絞り込む。
以下、正三角形は長方形の内部(周を含む)に含まれるものとする。

1)正三角形の3つの頂点のうち2つ以上が長方形の周上にないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す

2)正三角形の3つの頂点のうち2つのみが長方形の周上にあり、その2つは長方形の同一の辺上にはなく、互いに向かい合う辺上にもないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、3頂点とも周上にない正三角形になる

3)正三角形の3つの頂点のうち2つのみが長方形の周上にあり、その2つは長方形の互いに向かい合う辺上にあり、さらにそのうち少なくとも1つは長方形の頂点と一致するとき、その正三角形は面積最大ではない。
→長方形の頂点と一致する頂点を軸に回転すると、2頂点が周上にない正三角形となる

4)正三角形の3つの頂点のうち2つのみが長方形の周上にあり、その2つが長方形の互いに向かい合う辺上にあるとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、3)の状態に

5)正三角形の3つの頂点のうち2つのみが長方形の周上にあり、その2つは長方形の同一の辺上にあり、さらにその2つのうちの少なくとも1つは長方形の頂点と一致しないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す

6)正三角形の3つの頂点がいずれも長方形の周上にあり、なおかつ長方形の頂点とは一致せず、さらにそのうちどの2つをとっても長方形の同一の辺上にはないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、3)の状態に

282:132人目の素数さん
09/05/01 15:44:23
abのどっちが長いかわからんが、
a>bなら
s = a * a√(3) / 2
a<bなら
s = b * b√(3) / 2
a=bならどっちでも可

じゃないの?

283:132人目の素数さん
09/05/01 15:55:25
>>280>>282
そんなに簡単な問題ではありませんよ

284:132人目の素数さん
09/05/01 16:36:06
結構昔に、どっかの国立大学の推薦入試で長方形の紙を渡されて、「折り目で出来るだけ大きな正三角形を作ってみて」と言われたヤツがいたのを思い出した。

285:132人目の素数さん
09/05/01 19:39:26
切り出した図形を組み合わせて作るとかはアリかな?
それなら
S = a * b
でもおk。

286:132人目の素数さん
09/05/01 19:49:38
はさみを入れて、だからそれもアリなのか?!

287:132人目の素数さん
09/05/01 19:53:07
>>285
具体的にどう鋏をいれるの?

288:132人目の素数さん
09/05/01 20:05:56
>>285
切った断片を張り合わせるのは無しです。

289:132人目の素数さん
09/05/01 20:14:29
普通に、縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。
>>282の回答は不正解です。

290:132人目の素数さん
09/05/01 20:34:31
場合わけ面倒なんで、縦a、横1,a>=1としてもいいかい?




291:132人目の素数さん
09/05/01 20:45:28
>>290
いいですよ

292:132人目の素数さん
09/05/01 21:07:21
>>282は条件入れ替えであってない?

293:132人目の素数さん
09/05/01 21:08:53
いや、あってないな
すまない

294:132人目の素数さん
09/05/01 21:10:50
>>292
どっちにしろ間違ってます

295:132人目の素数さん
09/05/01 21:26:58
なんか大学受験おもいだした。
とりあえず途中経過。

(1)a>=2*sqrt(3) の時
S=1/sqrt(3)

(2)1<=a<2*sqrt(3)の時、
a=tan(x)+cos(π/6+x)/cos(x)とおくと
S=sqrt(3)/(2*(cos(x)^2)

あとは式変形してSをaで表せればおkかのう。


296:295
09/05/01 21:29:24
あ~最大になることはどうやって証明しよう…
意外と迷うな。

297:ルイス・キャラメル
09/05/01 21:58:34

ある日、花咲く森の中で、熊さんに出会ったときのこと。

そのとき、熊さんが「お逃げなさい」と言ったのに、

なぜだか、熊さんが あとから追いかけてくる。

というのは、数学的論理から考えれば

どのように説明できるのであろうかっ ?


298:132人目の素数さん
09/05/01 22:16:36
>>295
場合分けの境目は 2*√(3)ではないですよ
あと(2)のところはどうやって出したんでしょうか?
最終的に aを使った式で表してくれますか?

aと bを使うと対称性が見えて、よりきれいな式になるんですけど…

299:295
09/05/01 22:25:54
境目は2/√3かな。
まず、正三角形の一つの頂点が長方形の一つの頂点と重なってるとしても良い(と思う。証明はちょっと勘弁)
その重なった頂点で、正三角形の辺と長方形の辺のなす角度をxと置くと>>295のaとxの式が出てくる。

300:132人目の素数さん
09/05/01 22:27:34
>>297
熊さん「早く逃げるんだお嬢! 俺の理性が残っている内に・・・」

熊さんZ(理性崩壊)「うがあああぁぁぁあ!! 待てやこのアマァァアア!!!」

301:132人目の素数さん
09/05/01 22:45:08
黙れ

302:ルイス・キャラメル
09/05/01 22:57:44

熊さんが「お逃げなさい」と、言ったのを「正」とすれば

熊さんが追いかけてくるのは、どのように例えるかを

もっと、ふかく考えようよっ。


303:132人目の素数さん
09/05/01 22:59:32
>>299
その考え方で合ってます。境目もそれでOKです。
ただ、>>295のaとxの式がどうやって立てたのか…
たぶん僕のやり方と違う方法でやってるんですね。

一応、aと bを使った場合の答えを書いておきます。

bを固定して aの範囲を動かす
(1)a =< (√(3)/2)*b のとき、S = (1/√(3))*a^2
(2)(√(3)/2)*b =< a =< (2/√(3))*b のとき、S = √(3)*a^2 - 3ab +√(3)*b^2
(3)(2/√(3))*b =< a のとき、S = (1/√(3))*b^2

あとは(2)でそのような正三角形が必ず取れることと面積最大の証明です。

304:295
09/05/01 23:24:08
出来れば解きたかったが、明日早い&旅行いってしまうんでギブアップ。
他の人が解いてくれることを祈ってまつ。


305:132人目の素数さん
09/05/02 03:38:43
>>297
きっと、逃げ惑う少女を追い詰めて襲うシチュエーションが好きなんだよ、クマーさんは

306:132人目の素数さん
09/05/03 16:50:13
age

307:132人目の素数さん
09/05/04 02:01:39
ある任意の角を三等分する線を、
定規とコンパスだけをつかって作図する方法を示せ。

308:132人目の素数さん
09/05/04 02:10:27
最近このスレひどいな。悲しい。

309:132人目の素数さん
09/05/04 02:25:05
悲しむばかりじゃ能がないので、ちょっと気になった問題を転載。
スレリンク(math板:810番)

問:ふたつの三角形がある。
  それらの外接円の半径、内接円の半径 面積がそれぞれ等しい。
  このふたつの三角形は必ず合同といえるだろうか?

310:132人目の素数さん
09/05/04 03:17:49
>>309
おもしろそうですね、だが分からんぜ!

311:132人目の素数さん
09/05/04 08:29:48
>>309
確か三角形の三辺を a, b, c, 内接円・外接円の半径を r, R とすると
三角形の面積 S = (a + b + c) r / 2 = a b c / 4 R

ところで>>279で面積最大の証明はどうなったの?

312:132人目の素数さん
09/05/04 14:00:00
いえる。


313:132人目の素数さん
09/05/04 14:42:28
a_{n+1} = 1/2(a_n + 1/a_n) みたいな漸化式の問題知らん?
なんかあったよなぁと思いつつ、初項や係数とか間違ってたら解く過程で気づくだろうとか思ってたら
ぜんぜん手が進まん。

314:132人目の素数さん
09/05/04 14:49:51
>>313
とりあえずその漸化式はa_n=1/tanh(x_n)と置けば解ける。

315:132人目の素数さん
09/05/04 14:53:22
>>309
>>311さんのを借りれば
a+b+c=2S/r
ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
abc=4RS
で三辺相等

316:132人目の素数さん
09/05/04 15:10:32
最小公倍数が720である相異なる3つの自然数の組は何通りあるか?

317:132人目の素数さん
09/05/04 15:35:11
>>315
>ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
どうしてこうなるのか教えて下さい

318:132人目の素数さん
09/05/04 15:39:21
>>314
ありがとう。よく思いつくね。
でも想定していた解きかたと違うんだよなぁ。式が間違ってるのかなぁ。

>>317
ヘロンの公式を整理。

319:132人目の素数さん
09/05/04 16:08:09
>>313
 a_n = 1/tanh((2^n)x_0), n>0,
ここに、x_0 = (1/2)log|(1-a_0)/(1+a_0)|,
 |a_0| >1 のとき 1/tanh(x_0) = a_0,
 |a_0| <1 のとき 1/tanh(x_0) = 1/a_0,

320:319
09/05/04 16:20:06
>>313,318
 a_0 = ±1 のとき a_n = a_0,

321:132人目の素数さん
09/05/04 18:07:27
>>316

自信ないし、日本語変だけど・・・

720 = 2^4 * 5 * 9

なので、
相異なる数を、a, b, c,とすると、

(a,b,c ともに1以上720以下であり)
a は 「2^4」の倍数、・・・(1)
b は 5 の倍数・・・(2)
c は 9 の倍数・・・(3)
である。

また
「3つの数字が全て約数として『9^2』を持つ(・・・(5)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ(・・・(6)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ(・・・(7)とおく)」ことはない。

(1)を満たす a は、(2^4) * (5*9) = 720 なので、5*9 個存在
(2)を満たす b は、5 * { (2^4)*9 } =720 なので、{ (2^4)*9 } 個存在
(3)を満たす c は、9 * { (2^4)*5 } =720 なので、{ (2^4)*5 } 個存在
==
===========
よって、5*9と{ (2^4)*9 }と{ (2^4)*5 }をかけた値 マイナス
『(5)成立(6)不成立(7)不成立」+「(5)不成立(6)成立(7)不成立」+「(5)不成立(6)不成立(7)成立」』
===========

計算ギブ・・・。
でもスマートじゃないなー。てか、どっか見過ごしてる。

322:321
09/05/04 18:12:30
訂正

誤:
「3つの数字が全て約数として『9^2』を持つ(・・・(5)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ(・・・(6)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ(・・・(7)とおく)」ことはない。

正:
「3つの数字が全て約数として『9*2』を持つ(・・・(5)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 (2^4)*2 』を持つ(・・・(6)とおく)」ことはない。
「3つの数字が全て約数として『 5*2 』を持つ(・・・(7)とおく)」ことはない。

---------------------------------------------------------------------

誤:
『(5)成立(6)不成立(7)不成立」+「(5)不成立(6)成立(7)不成立」+「(5)不成立(6)不成立(7)成立」』

正:『(5)不成立(6)成立(7)成立」+「(5)成立(6)不成立(7)成立」+「(5)成立(6)成立(7)不成立」』・・・(A)


323:132人目の素数さん
09/05/04 21:00:00
 (5^3-4^3)(3^3-2^3)(2^3-1^3)
-3(5^2-4^2)(3^2-2^2)(2^2-1^2)
+3(5^1-4^1)(3^1-2^1)(2^1-1^1)
-(5^1-4^1)(3^1-2^1)(2^1-1^1)
=7710。


324:132人目の素数さん
09/05/04 22:48:19
>>323
この愚か者めに日本語で解説おながいします!

325:132人目の素数さん
09/05/05 10:54:16
>>316
720=2^4*3^2*5
まず、最小公倍数が720である3つの自然数x,y,zの組(同じ物があってもよく、x,y,zは区別する)の個数Jを考える。
x,y,zをそれぞれ
x = 2^a_x * 3^b_x * 5^c_x
y = 2^a_y * 3^b_y * 5^c_y
z = 2^a_z * 3^b_z * 5^c_z
とおくと、
a_x,a_y,a_zはいずれも0~4の整数で、Max(a_x,a_y,a_z)=4
b_x,b_y,b_zはいずれも0~2の整数で、Max(b_x,b_y,b_z)=2
c_x,c_y,c_zはいずれも0~1の整数で、Max(c_x,c_y,c_z)=1
なので、
(a_x,a_y,a_z)の個数が6*6+4*6+1=61
(b_x,b_y,b_z)の個数が1*6+2*6+1=19
(c_x,c_y,c_z)の個数が0*6+1*6+1=7
J=61*19*7=8113

次に、最小公倍数が720である2つの自然数x,yの組(x=yでもよく、x,yは区別する)の個数Kを考えると、同様にして、
(a_x,a_y)の個数が4*2+1=9
(b_x,b_y)の個数が2*2+1=5
(c_x,c_y)の個数が1*2+1=3
K=9*5*3=135

Jの中で、3つのうち2つが一致するものの数は、(K-1)*3
Jの中で、3つとも一致するものの数は、1

よって、最小公倍数が720である3つの異なる自然数x,y,zの組(x,y,zは区別する)の個数は、J-(K-1)*3-1=7710
求める答えは、ここでx,y,zを区別するのをやめればよいので、7710/6=1285通り


326:132人目の素数さん
09/05/05 10:58:58
問題忘れ去られそうなのでもう一度再掲

縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。

面積最大となる理由も併せてお答えください。

327:132人目の素数さん
09/05/05 11:35:40
>>326
え、それってもうほとんど終わった話じゃないの?

最終的な答えは>>303で合ってんでしょ。
なぜそれが最大かを含めて示すには、
まず>>281の議論を丁寧にやれば、

・正三角形の2頂点が長方形の1辺上にあり、もう1つの頂点が長方形の対辺上にある場合
・正三角形の1つの頂点が長方形の1つの頂点(X)と一致し、あと2つの頂点は、長方形のXを含まない2辺上に1点ずつ存在する場合

の2通りの場合以外は、面積最大にはなりえないことが言えるから、そこを出発点とすれば、無理なく>>303が面積最大だということは示せる。


328:326
09/05/05 11:49:33
>>327
それをきちっと証明してくださいと言っているのです
口だけですか?

329:132人目の素数さん
09/05/05 11:54:02
>>327
>>304の人がまだ証明できていないようだったので…

>>328
勝手に僕になりすまさないでください。

330:132人目の素数さん
09/05/05 11:55:33
後やる事は手を動かすだけ。
各自手元で計算して確かめればいい程度で、ここにいちいち書き込む暇人はそうは居まい。
だいいち、そんなに難しい問題だとでも思っているのか?

331:132人目の素数さん
09/05/05 12:01:56
>>330
いえ、ぼくはただ>>304が問題を解けないまま忘れ去られては可哀そうだと思っただけです。
>>328は僕ではないので無視してもらって構いません。

332:330
09/05/05 12:06:15
失礼した。陳謝。
>>330はスルーしてくれ。

333:132人目の素数さん
09/05/05 12:11:53
匿名掲示板を利用した高度なやり取りに感心した。
なるほどなー。

334:132人目の素数さん
09/05/05 12:22:45
問題【改】
縦が a、横が bの楕円の中に入る三角形の最大面積 Sを求めてください。


335:132人目の素数さん
09/05/05 12:32:35
>>334
「正」三角形
じゃなくていいの?
なら、かなり簡単な気が...

336:132人目の素数さん
09/05/05 12:38:04
それより縦と横って

337:132人目の素数さん
09/05/05 21:23:26
>>334 長半径a短半径bの楕円に内接する三角形の面積の最大値Sを考えるとすれば、
円に内接する三角形で面積最大の正三角形の変換と考えれば S=(3√3)ab/4 になると思います。
また、この楕円に内接する正三角形の面積の最大値Sは、S=(6√3) a^4 b^2 / (3a^2 + b^2)^2と思いますが、
どちらも一辺aの正方形に内接する正三角形の面積の最大値((2√3)-3)a^2のような形の解がないか心配です。

338:132人目の素数さん
09/05/06 01:17:02
>>318
そのタイプの問題のまとめは,以前
URLリンク(image02.wiki.livedoor.jp)
に書いておいたよ。

339:318
09/05/06 07:11:09
>>338
おお、すごい。でも答えが違った気がするので、やはり式がうろ覚えなんだと思う。
問題が載ってた本は大体見当がついているんだけど、引越ししたときに捨ててしまったようなので
今度調べてくる。

340:132人目の素数さん
09/05/06 08:33:10
>>339
タイトル期盆濡!

341:132人目の素数さん
09/05/06 20:16:52
>>340
本屋行ってきて、今帰ってきた。
問題は 「S_n = (a_n + 1/a_n)/2 で a_n > 0 のとき、a_nを求めよ」だった。

本のタイトルは、「入試数学 伝説の良問100」(講談社ブルーバックス)でした。

342:132人目の素数さん
09/05/06 20:33:05
>>341
スレリンク(math板:200番)

かな?

343:132人目の素数さん
09/05/06 20:34:32
問題の写しまちがいがあって、最終的には341と同じだったはず。
スレリンク(math板:215番)

344:341
09/05/06 20:58:27
>>342-343
まんまですねぇ。なんとな~くがっかりした。

345:132人目の素数さん
09/05/09 20:14:27
===
平面上で、
半径1の円の内部には、半径nの円は最大いくつ入るか?
(どの円同士も、接点以外の交点を持たない)
===
・・・って、ふと考えたんだけど、まともな解き方ってないですかね?

346:132人目の素数さん
09/05/09 20:19:21
算額みたいな問題ですな

347:345
09/05/09 20:34:56
発展問題だと、
「半径1の球に半径nの球は最大いくつ入るか?」

348:132人目の素数さん
09/05/09 20:53:46
その手の詰め込み問題は一般には2次元でもかなり難しい
URLリンク(www.stetson.edu)

349:345
09/05/09 22:28:28
>>348
ひええ・・・・

12個以上の場合は、provedでなくfoundなのですね。。。

これ、21以上のときは、未解決なのかな・・・

350:132人目の素数さん
09/05/10 14:42:38
問題:以下の命題を反証し、その反例を示せ。

命題:3次元空間上に4つの点ABCDがあり、そのx座標、y座標及びz座標は整数である。
この4つの点について3字のベジェ曲線を引いた時、その長さをf(A,B,C,D)とする。
f(A,B,C,D)が整数となるような自明でない点の組は存在しない。

351:132人目の素数さん
09/05/10 14:43:28
3字の→3次の

352:132人目の素数さん
09/05/11 04:49:58
>>350
その場合の、「自明でない」とは、どういう事を指すのか?

353:132人目の素数さん
09/05/11 04:51:20
>>349
数学的には12個も未解決だろう。

354:132人目の素数さん
09/05/13 23:07:33
有名かな・・・?

536870912人が集まり、テニスのトーナメント戦を行おうとしたが、
そのうちの1人が病欠し、その結果1人が不戦勝となった。

優勝者が確定するまでに、何回試合が行われるか。

ただし、等差数列や等比数列の総和の公式を用いずに求めること。

なお、536870912 = 2^29 である。

(シングルスです。引き分けはあり得ないとします。不戦勝のぶんはカウントしません。
 3位決定戦などは不要で、単に、優勝者を決めるだけのトーナメント戦です)

=====
答えがわかった人、解くのにどのくらい時間かかったか教えてくださいまし。

355:132人目の素数さん
09/05/14 04:43:05
問題を読むのに3分くらいかな。
中学で習ったよ。

356:132人目の素数さん
09/05/14 17:04:55
トーナメントの試合数は最初中学で数学ではなく保険体育の時間に習った。


357:132人目の素数さん
09/05/14 18:27:47
最初の二行読み終わったら分かったな

358:132人目の素数さん
09/05/14 18:37:57
有名かな?
既出かな?

の人が書くのは全部有名で既出と決まっているので一行目でスルー
俺を含めてもう4人も釣れたな

359:132人目の素数さん
09/05/14 23:34:21
>>358
> 有名かな?
> 既出かな?
> の人が書くのは全部有名で既出と決まっているので一行目でスルー

あー確かに
なんていうか、算数にロマンを感じて、背伸びして受験数学を理解しようと
必死こいてるモッサンって感じがプンプンしますな~

360:132人目の素数さん
09/05/15 02:17:22
>>357
問題文を最後まで読まないせいで間違えたことは何度くらいある?

361:132人目の素数さん
09/05/15 03:12:32
この人数でテニスのトーナメント戦をして生きてるうちに優勝が決まるのを想像したら感動で涙が止まらなくなった

362:132人目の素数さん
09/05/15 03:12:55
>>360
お前は今までに食べたパンの枚数を覚えているのか?

363:132人目の素数さん
09/05/15 03:16:40
>>361
会場さえたくさんあれば、そんなに時間はかからないのだが

364:132人目の素数さん
09/05/15 03:26:12
会場が2^28もあれば楽勝

365:132人目の素数さん
09/05/15 03:27:59
>>364
審判の数は足りるのか?

366:132人目の素数さん
09/05/15 03:30:07
中国かインドから連れてくるか

367:132人目の素数さん
09/05/15 04:41:40
会場が10000もあれば、2セット1時間で1試合終了として寝ず休まずで6年~7年もあれば終わるか。会場数が1000だと辛いな。

368:132人目の素数さん
09/05/15 13:08:04
それよりも世界のテニスの競技人口が1億もいないような

369:132人目の素数さん
09/05/15 18:35:33
>>354
この人数なら「勝ったものの負傷等で次戦以降棄権」が相当数出そうだから総試合数は上限しか算出できまい。

370:132人目の素数さん
09/05/16 01:27:33
世界のスポーツの競技人口(自称も含む)

1チェス 5億
2象 棋 5億
3バスケ 4億5000万
4蹴 球 2億4000万
5クリケット 不明
6卓 球 不明

(12は逆の説あり)
以下は順位不明

ビリヤード 1億
ゴルフ 6000万
テニス 5000万
バドミントン 5000万
ソフトボール 5000万
テコンド 5000万
囲 碁 4200万
ボウリング 4000万
ハンドボール 3100万
アメフト 2300万
トライアスロン 2000万
スカッシュ 1500万
野 球 1200万
柔 道 1000万
ビーチバレー 1000万
ラグビー 424万
ラクロス 60万
近代五種  3万

室内のバレーはビーチよりは多そう

371:132人目の素数さん
09/05/16 01:56:21
>>362
すまない、そんなにだとは思っていなかったんだ。
ほんとにすまない。

372:132人目の素数さん
09/05/16 02:15:56
>>371
半斤8枚きりとして、一日2枚がおれの朝食。
小学校に入る前、幼稚園の年中組が終ったあの日から、いつも朝はそれだった。
自慢じゃないが、朝食を抜いたことは一度もない。旅行で家を離れたこともない。
だから、食べた枚数は確実に計算できる。閏年も勘定に入れてよい。
一枚の誤差も無い。高校に入った時には、3枚にして欲しいとは思ったが、家計が許さなかった。
だから、今はそれが幸いして、これまでに食べた食パンの枚数を答えることができる。



373:132人目の素数さん
09/05/16 03:49:33
象 棋
をやってみたいのだが、どういう競技なんだろう。
簡単に説明してくれ。

374:132人目の素数さん
09/05/16 04:14:58
象象象象象象象象象
 角         飛
香桂銀金王金銀桂香車


375:132人目の素数さん
09/05/16 06:25:25
>>373
象棋(シャンチー)については中国人に聞くと良い。俗に日本では中国将棋と言ったりするから、どんなもんかは大体想像がつくだろう。競技人口が多いのは中国人がやってるから。
ちなみに他のチェスライクゲームでの競技人口は日本の将棋が1500万、韓国のチャンギは700万、タイのマックルックは500万だそうだ。この五つが世界の五大チェスになるらしい。

376:132人目の素数さん
09/05/16 06:31:09
一応参考に

URLリンク(www.snowdolphin.net)

377:132人目の素数さん
09/05/16 11:58:25
>>354

普通に答えちゃっていいのかな・・・?
間違ってるかもしれんけど。

536870912人から一人抜けて536870911人。

トーナメントは一試合で一人負けて減るから、
最後の一人が決まるまでの試合数は536870911-1で
536870910試合 以上。

378:132人目の素数さん
09/05/16 13:01:03
ダブルスでやれば1試合でふたり負けて
倍の効率

379:132人目の素数さん
09/05/16 13:03:34
5億人近くに教えるのも手間かかるな。テニスでまだ良かった。

380:132人目の素数さん
09/05/16 13:03:42
>>372
給食は食べさせて貰えなかったのか?

381:132人目の素数さん
09/05/16 13:29:25
パンは危険な食べ物です
のコピペが頭に浮かんだ

382:132人目の素数さん
09/05/16 16:33:20
千円乞食のごとく週末に湧いてくるなこいつら

383:132人目の素数さん
09/05/16 20:06:17
昔吸う蝉で見た問題


自然対数eを予備知識を持たない人(小学生など)に出来る限り分かりやすく説明しなさい。

384:132人目の素数さん
09/05/16 20:14:07
数学の問題になっていない

385:132人目の素数さん
09/05/16 20:19:28
xの多項式f(x)について、その項数をQ(f(x))とおく。
例) Q(x^3 - 5) = 2、 Q(x^10 + x^8 - 7x + 2) = 4、など

このとき、Q( f(x)^2 ) < Q(f(x)) を満たすf(x)を一つ求めよ。

386:132人目の素数さん
09/05/17 04:12:25
>>385
そんなもんあるの?
あったら素直にスゴイと思うけど。

387:354
09/05/17 04:43:19
>>377

そうそうそれ。お見事。

なお、マイクロソフトの面接問題(筆記試験ではない)です。
(桁数はもっと小さいけど)

でも、面接でストレスになってるときに、これ言われたら、
すぐに答えられないかもなー・・・・・と、ある本に書いてました。

388:132人目の素数さん
09/05/17 04:56:33
>>385

複素数使ってもいいの?

389:132人目の素数さん
09/05/17 04:56:34
>>385
 f(x) = 1 ±(√2)x -x^2 ±(√2)x^3 + x^4,
 f(x)^2 = 1 ±(2√2)x +7x^4 ±(2√2)x^7 + x^8,
ぢゃだめぽ ・・・・・ orz

390:132人目の素数さん
09/05/17 05:09:54
ゲーセンにあるAnswer×Answer(全国のゲーセンをオンラインで結んだクイズゲーム
・・・QMAことクイズマジックアカデミーのほうが有名だけどね・・・)で、
どーも、おなじ人となんどもあたったり、
同じ問題が何回も出題されるから、
「プレイ人数少ない&問題数少ない」のか、ゲーム作ってるセガのプログラミングが悪いのか・・・と思って、
Answer×Answerの仕様通りに、

総問題数をQとして
1日にn回ゲームをしたときに、
「今日、さっきみた」っていう問題が出現する回数の期待値とか、だぶった問題の種類の数の期待値とかを、求めようと思ったら、
こんがらがった。
(仕様だと、4人がいっしょに戦って、予選と決勝があって、予選の問題数が約問(<=経験則。正確には違うけど)、
予選の上位二人が決勝に進んで、決勝の問題数が6問(<=経験則で約6問)
(いやほんとは間違えると-10点とか30点とると優勝とかこまかいことあるんだけど)


391:390
09/05/17 05:11:42
誤:予選の問題数が約問
正:予選の問題数が8問

392:354
09/05/17 05:29:21
じゃあまあ、

数学だか数学じゃないんだかわからないところで・・・


==============================================================
10進法における1から10までの整数を、マイナス2進法で数えなさい。
ただし、「マイナス2進法」は自分でなるべく論理的に定義すること。
==============================================================

393:132人目の素数さん
09/05/17 07:15:28
00000001
00000110
00000111
00000100
00000101
00011010
00011011
00011000
00011001
00011110

394:132人目の素数さん
09/05/17 10:05:03
>>385
URLリンク(mathworld.wolfram.com)

395:132人目の素数さん
09/05/17 18:46:49
>>387
ストレス下での回答を見るためのテストは2chに向かないと思うが……
面接時に回答できなかった人も、2chでは回答できるような問題だろ?
それって、ここで聞く内容じゃないべ

396:132人目の素数さん
09/05/17 19:27:02
>>394
どうやって見つけたんだこれ……
いや、ぐぐったとかはなしね。


次ページ
最新レス表示
レスジャンプ
類似スレ一覧
スレッドの検索
話題のニュース
おまかせリスト
オプション
しおりを挟む
スレッドに書込
スレッドの一覧
暇つぶし2ch