09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。
全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか？
129:１３２人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)
130:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)
>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき
これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小
このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697
131:１３２人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128
裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→［★］
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]
以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)
もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。
132:１３２人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う
133:１３２人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
＞ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k＋1)/2 (k＝0,1,2,…,2^n－1)は全て異なる。
134:１３２人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。
135:１３２人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…
平面上にいて見える景色について考える。
球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が０の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう？
136:１３２人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。
137:１３２人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。
球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
きれいに収めることはできない。
曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は０で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。
138:１３２人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど
139:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス！
140:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
141:１３２人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの？
142:１３２人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140は>>137に恋心を抱いているだけだ
143:１３２人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの
144:１３２人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの？
145:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か？
146:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ
147:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし
148:１３２人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題ｷｳﾞｫﾝﾇ
149:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々４つの直交行列（Aに依存してよい）の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の４という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。
150:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ！まさか４色問題がらみ？
と直感だけで言ってみる。
151:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。
152:１３２人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら，４色問題よりラグランジュの４平方和定理（全ての自然数は高々４つの平方数の和で表せる）の方が近いだろう。
153:１３２人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな？
154:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間＝獣を証明せよ
155:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか？
156:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか
157:１３２人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪＝東京 ,これを証明せよ
京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。
158:１３２人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157
「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕 の
「§京都銘菓＼おたべ 」 は (有)あど・おたべ〔京都〕 の (4484724号)
「大阪新名物＼たこ焼き＼ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木･今市〕の (4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕 の 登録商標でつ。。。
159:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:209番)
実数a,b,c,x,y,zが
ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720
を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ
160:１３２人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…
161:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)
関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0 …(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})
ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1) (n = 1,2,3) …(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす
∵)
(t^(n-1), 1) = n! …(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 4,5,6) を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■
162:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896
# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど
163:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題？
164:１３２人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。
165:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが･･･
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
x = 4 + 4･cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833･･･
y = 4 + 4･cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227･･･
z = 4 + 4･cos( π/9) = 7.7587704831436335362164371092989･･･
{a,b,c} は 次の多項式の根。
g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3･12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337･･･
b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642･･･
c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212･･･
166:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C, >>161
から出まつね。
167:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ
168:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。
数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt (xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
が成り立つことを示せ。
169:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか
170:１３２人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい
171:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて
172:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171 （>>164にあるp[n]の母関数を使いました）
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく：
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。
f(t):=F'(t) は（A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと）
f'''-Af''+Bf'-Cf=0 を満たすので
g(t):=G'(t) に対して g'''-Ag''+Bg'-Cg の2次までの項は無い。(※)-->>173
実際に計算すると（h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg とおくと）
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと A=12, B=36, C=24 が得られる。
173:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注：一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数 f'''-Af''+Bf'-Cf と g'''-Ag''+Bg'-C のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。
手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを１行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);
結局これもゴチャゴチャしとるな・・・
174:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:54:39
訂正：>>173の二行目
（誤） g'''-Ag''+Bg'-C
（正） g'''-Ag''+Bg'-Cg
175:１３２人目の素数さん
09/03/22 15:25:07
マクローリン展開のn-3次の項がうんぬんとかやるくらいなら
もう行列式の値を x、y、z の対称式として愚直に
計算したほうがすっきりしてるような
176:１３２人目の素数さん
09/03/22 16:10:59
A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと
x^4 = Ax^3 - Bx^2 + Cx
y^4 = Ay^3 - By^2 + Cy
z^4 = Az^3 - Bz^2 + Cz より 24 = ax^4 + by^4 + cz^4 = 6A-2B+C
x^5 = Ax^4 - Bx^3 + Cx^2
y^5 = Ay^4 - By^3 + Cy^2
z^5 = Az^4 - Bz^3 + Cz^2 より 120 = ax^5 + by^5 + cz^5 = 24A-6B+2C
x^6 = Ax^5 - Bx^4 + Cx^3
y^6 = Ay^5 - By^4 + Cy^3
z^6 = Az^5 - Bz^4 + Cz^3 より 720 = ax^6 + by^6 + cz^6 = 120A-24B+6C
これで終りだった・・・orz
177:１３２人目の素数さん
09/03/22 23:50:03
>>176
神ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
178:171
09/03/22 23:59:37
>>172-176
サンクス
これから読ませてもらう
179:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:05:25
充分に大きい白い容器と黒い容器が無限個ある。
最初、ひとつの白い容器に純水が 1kg、
ひとつの黒い容器に 100% のアルコールが 1kg 入っている。
以下の操作を好きなだけ行って、最終的にひとつの白い容器になるべく
アルコール濃度の高い 1kg の液体を作りたい。
このアルコール濃度の上限はいくらか？
可能な操作
・ひとつの容器から同じ色の別の容器(空でなくてもよい)に好きなだけ液体を移してよく混ぜる
・白い容器と黒い容器をひとつずつ取り、両方の容器の液体を一緒にしてよく混ぜて、
もとの質量と同じだけ両方の容器に分ける
(混ぜる前に、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体が入っていたら、
混ぜたあとも、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体を入れるということ)
180:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:24:01
濃度は重量濃度です
アルコール濃度 = 液体中のアルコールの質量 / 液体の質量
181:１３２人目の素数さん
09/03/24 14:14:48
白い容器のほうの濃度を a、黒い容器のほうの濃度を b 、
操作後の濃度を a1 及び b1 とすると
a < a1 < b1 < b が分かる。
また a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
二番目の操作を繰り返すことによって白い容器内の濃度は 1/2 に
限りなく近づけることが出来る。よって50%。
182:１３２人目の素数さん
09/03/24 18:53:59
1 - exp(-1) ≒ 0.632 まで濃度をあげられるんじゃないか？
183:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:14:35
体積モル濃度を調べよう。
184:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:46:50
>>181
> a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
ここの理屈がわからん。
なぜa1>1/2だと、アルコールの量が増えたことになるんだ？
185:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:01:03
1) 最初に白い容器の純水をｎ個の白い容器に等分する。
2) 次に、n個全ての白い容器に対して、その白い容器をひとつと黒い容器を混ぜ、戻す。
3) 最後にｎ個の白い容器のをすべてひとつの白い容器に集める。
たとえば、n が ２の場合
1) 純水を白い容器２つに1/2kgづつに分ける。
2-1) ひとつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは2/3kg
2-1) ふたつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは(2/3)^2 = 4/9 kg
3) 白い容器をすべて集めると、アルコールは1-4/9 = 5/9 kg
ここで >>181の
＞ a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
は、正しくないことがわかる。
この方法だと、白い容器に入るアルコールの量は、 1-(n/(n+1))^n なので、使用する白い容器の数を増やせば
最大で lim_{n->∞}(1-(n/(n+1))^n) = 1 - exp(-1) のアルコールを白い容器に入れることができる。
これが最大かどうかは知らん。
186:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:03:20
× 2-1) ふたつめの
○ 2-2) ふたつめの
187:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:05:08
瑣末なことだが、白い容器は３個あれば事足りる。
188:１３２人目の素数さん
09/03/25 06:54:29
ｎ等分ではなく
１番目の白い容器には1/n、２番目の容器には1/n × (n/(n+1)) … と等比になるように分配する
つまり ｎ番目の容器には 1/n × (n/(n+1))^(n-1) の水。 # この数列の和はもちろん1
(2)以降の操作は同じ。
きちんと計算はしていないが、
nを大きくとれば、白い容器のアルコールを、いくらでも１に近づけることができると思うが、どうだろうか。
189:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:07:32
訂正：
× １番目の白い容器には1/n
○ １番目の白い容器には1/(n+1)
190:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:16:12
あ、ダメか
1 - exp(-1) は超えられないや。
191:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:03:09
某サイトからの引用。
2人組の手品師AとBが、観客に対して次のようなマジックを行なう。
問： このマジックのタネ(phase0 の内容)を考案せよ。
(phase0)
事前にAとBは綿密に打ち合わせをしておく。
(phase1)
Bには目隠しと耳栓をさせる。Aは1組52枚のトランプカードを
全て観客の一人に渡し、その中から好きな5枚を選んでもらう。
余った47枚はその場で廃棄する。
(phase2)
Aは、観客が選んだ5枚の内容を確認した上で、その中の1枚を指定する。
観客はAが指定した1枚を手に残して隠し持ち、その他の4枚をAに返却する。
Aはその4枚を表向きにして机の上に並べ※、舞台から退場する。
(phase3)
Bが目隠しを外し、机上の4枚を見て観客の手にある1枚を当てる。(終了)
※4枚のカードを机の上に並べる際は、あらかじめ固定された
「同じ向き」「等間隔」「一列」のポジションに置かなければならない。
Aのアレンジが許されるのは、4枚の「並び順」のみであるとする。
192:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:16:34
コマ大のやつね
193:191
09/03/26 02:56:14
あらら。有名だったのかな。
一応、引用元はここの19番なんだけど。
URLﾘﾝｸ(www.qbyte.org)
他にもいろいろ面白いのがありそうでマジお勧め。
皆さんも気に入ったのがあったら翻訳転載よろ。
194:179
09/03/26 07:29:29
>>190
その方法はまだ計算してないから、上限がいくらかは分からないけど、
別のやり方で 1-(1/e) 以上にできます
>>193
そのサイトの方法だと52枚までだけど、もっと枚数増やせないんだろうか
195:１３２人目の素数さん
09/03/26 13:42:27
>>193
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
この後半に紹介されているが、そこから採ったのかも。番組では実演して失敗してた。
196:１３２人目の素数さん
09/03/26 17:30:35
a
197:１３２人目の素数さん
09/03/27 00:24:19
>>194
直後の第20問で、124枚まで増やした場合が採り上げられてるよ。
198:１３２人目の素数さん
09/03/27 03:08:48
以下の条件を満たす四角形は存在するか？
存在するなら例示し、存在しないならその事を証明せよ。
(i)
三辺の長さと対角線の長さが全て整数
(ii)
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
199:198
09/03/27 03:14:11
書き損ねた。
(iii) (ii)を満たし、かつどの2辺をとっても長さが等しくならない。
200:１３２人目の素数さん
09/03/27 13:22:54
(iii)とは？
201:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:28:19
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
かつ
どの2辺をとっても長さが等しくならない。
すると(ii)は円か何かを使うのかな。
202:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:40:57
(i)(ii)は同じ長さの辺があってもいいの？
もしそうなら、例えば縦横比3:4の長方形（対角線は5）があるけど。
203:１３２人目の素数さん
09/03/27 23:31:05
くそ、卑猥な記号ばかり並んでやがる
204:１３２人目の素数さん
09/03/28 01:19:56
問題 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,
問題 2.
(a) 2008のすべての約数d >0 に対して P(d) = 2008/d,
となるような 整数係数の多項式P(x)は存在するか?
(b) nのすべての約数d >0 に対して P(d) = n/d,
となる整数係数の多項式P(x)が存在するような自然数nを求めよ。
問題 4.
ｆは正整数から非負整数への写像とする。次の条件を満たすｆをすべて定めよ。
(1) f(mn) = f(m) + f(n),
(2) f(2008) = 0,
(3) f(n) = 0, for all n≡39 (mod 2008).
問題 5.
nを自然数とするとき、数列 n + [√n] + [ n^(1/3) ] に含まれない自然数をすべて挙げよ。
ここに [ x ] はx以下の最大の整数である。
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
2008/06/07～08
205:１３２人目の素数さん
09/03/28 18:10:26
問2への答え
(a)2008=251*8より約数は1,2,4,8,251,502,1004,2008の8つ。
今f(1)=2008,f(2)=1004,f(4)=502,f(8)=251,f(251)=8,f(502)=4,f(1004)=2,f(2008)=1
よってf(x)=(x-1)A(x)+2008=(x-2)B(x)+1004=(x-4)C(x)+502=(x-8)D(x)+251
=(x-251)E(x)+8=(x-502)F(x)+4=(x-1004)G(x)+2=(x-2008)H(x)+1
一般にA(x)とD(x)の次数が同じならば、A(x)～H(x)を整数係数多項式として
f(x)=A(x)B(x)+C(x)=D(x)E(x)+F(x)と書ける時、f(x)=A(x)D(x)G(x)+H(x)と書ける為
与式を満たす整数係数多項式P(x)は存在する。
(b){n|nの平方根が整数にならない}
206:１３２人目の素数さん
09/03/28 19:04:00
>>205
(b)なんだけど、おれが考えた答えと違う。
x = (nの約数) のとき、 xP(x)-n = 0 である。
よって xP(x)-n = Q(x) (x-d_1) (x-d_2) ... (x-d_m) (ただし、d_i はすべての n の約数を渡る。Q(x) は適当な整数係数多項式)
両辺の定数項を比較して n は d_1 * d_2 * ... * d_m の倍数である。
ｎの約数はn自身も含むので、nが素数でなければ、n < d_1 * d_2 ... * d_m となるので
nが素数であることが必要条件。
逆に n が素数なら、xP(x) - n = -(x-1)(x-n) = -x^2 + (n+1)x - n として
P(x) = x - (n+1) をとればいい。
よって n が素数であることが必要十分。
207:１３２人目の素数さん
09/03/29 03:15:42
nが素数のときはP(x)＝x－(n＋1)とすればよい。
nが合成数のときは、ある素数p,qについてn＝pqmとなる。
P(x)の定数項をaとする。
p＝qのとき：仮定よりP(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。
次に、x＝pとして、P(p)＝n/p＝pm となるからP(p)≡0 (mod p)
一方、P(p)≡a≡1 (mod p)だから、矛盾。
p≠qのとき：P(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。また、
P(pm)＝n/(pm)＝qだから、a≡P(pm)≡q (mod p)となり、よってq≡1 (mod p)が
成り立つ。つまりp｜(q－1)が成り立つ。これとq－1＞0より、q－1＞pとなる。
pとqの役割を入れ替えても同様の議論が成り立ち、そのときp－1＞qが得られる。
よってq－1＞p＞q＋1となり、矛盾。
208:１３２人目の素数さん
09/03/29 06:45:31
>>205
f(x) = (x-1)A(x) +2008,
A(x) = -1004 + (x/2 -1)[502 -(x/4 -1){251 - (x/8 -1)[8 -(x/251 -1){4 - (x/502 -1)[2 - (x/1004 -1)]}]}] + r(x)
= -1004 + 502(x/2 -1) -251(x/2 -1)(x/4 -1) +8(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1) -4(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1) +2(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1) -(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1)(x/1004 -1) +r(x)
r(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-251)(x-502)(x-1004)(x-2008)g(x),
209:１３２人目の素数さん
09/04/01 01:19:15
数日前に質問スレで、以下の趣旨の問題が投下され、解決することなく流れていた。
「1～nの番号がついた玉を無作為に一列に並べたとき、連続するどの2つの番号も、
その順番通りに隣接して配置されない順列のパターン数は？」
（もとの問題は楽曲のシャッフル演奏が題材だった）
n=3の場合、12も23も現れない配置ということで、132、213、321の3通りとなる。
帰納的な考察により、そのようなパターン数をa(n)とおいたとき、
a(1)=a(2)=1として、a(n)=(n-1)*a(n-1)+(n-2)*a(n-2)となることがわかった。
これって解けるのかな。
閉じた式じゃなくても、再帰構造が排除できればいいとして。
210:１３２人目の素数さん
09/04/01 02:06:54
>>209
不完全ガンマ関数Γ(m+1,x) := ∫[x,∞] t^m exp(-t) dt を使うと
a(n) = Γ(n+2,-1) / (n e) になる．
不完全ガンマの展開公式
exp(x) Γ(n+2,x) = Γ(n+2) Σ[k=0,n+1] x^k/k!
を使えば
a(n) = ( (n+1)! Σ[k=0,n+1] (-1)/k! ) / n
になる．例えば n = 3 だと 4! (1 - 1/2 + 1/3! - 1/4!) / 3 = 3．
211:１３２人目の素数さん
09/04/01 16:35:36
>>210
なんか違わない？計算が合わないんだけど。
>>209
y = x + y' (x^2+x^3) ていう微分方程式を解けば、各係数がその数列のなっているはず。
212:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:22:10
>>211
ん、あわない？具体的に指摘頼む。
漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
213:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:24:07
>>212
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
214:１３２人目の素数さん
09/04/01 23:31:42
>>209
b[n]=n*a[n]とおけば、その漸化式はb[n]=n*b[n-1]+n*b[n-2]と表せる。
b[n]-(n+1)*b[n-1]=-(b[n-1]-n*b[n-2]) と書けるので、n≧3とすれば
b[n]-(n+1)*b[n-1]=(-1)^(n-2)*(2*1-3*1*1)=(-1)^(n-1) となる。
これはn=2でも正しいので、以下n≧2とする。
b[n]=(n+1)b[n-1]+(-1)^(n-1) の両辺を(n+1)!で割れば
b[n]/(n+1)!=b[n-1]/n!+(-1)^(n-1)/(n+1)!
b[n]=(n+1)!*{Σ[k=2,n](-1)^(k-1)/(k+1)!+b[1]/2!}
=(n+1)!*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!
よってa[n]=(n+1)!/n*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!=
これはn=1でも成り立つ。
215:１３２人目の素数さん
09/04/02 00:33:16
事故解決しました
216:209
09/04/24 00:15:31
>>210-214
遅くなったが、ありがとう。
217:１３２人目の素数さん
09/04/24 21:42:07
A君はn枚、B君はn+1枚の公正なコインを持っている(n≧1)。
両者ともに全てのコインを投げたとき、A君の表の枚数よりも
B君の表の枚数の方が真に大きくなる確率を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
09/04/24 22:48:53
age
219:現場の職人
09/04/24 23:50:17
切り出した木の側面を切って
最も無駄のない柱を作るには
曲尺をどのようにして使うのであろうかっ。
【 配点 1 点 】
220:１３２人目の素数さん
09/04/25 03:31:21
最も無駄のない とは どういう意味なのか
221:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/04/25 07:47:17
>>217
nも乱数で確率なの？
222:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:28:49
>>217
nの値にかかわらず、求める確率は 1/2
223:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:43:31
>>219
糞スレ立てんなウンコ虫が
224:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:38:27
>>223
用語の間違いに注意
225:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 12:51:17
あの～
ワラビが右巻きでゼンマイが左巻きだって、どうやって証明したらいいのでしょうか？
226:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:56:00
>>225
まずワラビとゼンマイの定義がなければ話になりません
それらの定義を述べてください
227:１３２人目の素数さん
09/04/25 13:13:59
転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:38番)
解答案は75。
相異なる９個の整数からなる集合Sがあり、各元の正の素因数はすべて３以下である。
Sからうまく相異なる３個の元をとれば、それらの積がある整数の３乗になることを示せ。
228:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 17:09:22
>>226
ワラビは京浜東北線の駅にありますが、ゼンマイは昔の時計で使いました。
どっちが美味しいんでしょうか、それだけでも知りたくて・・・
229:１３２人目の素数さん
09/04/25 17:27:57
>>228
まずはワラビやゼンマイの定義を述べよ
230:ぺれるまん ◆ghclfYsc82
09/04/25 18:52:17
>>229
調べたんですが、ゼンマイの学名はOsmunda japonicaで山野に生えてて水気が多いところを
好むという特徴だけなんですね。それでワラビは確定した分類体系さえ無いんだそうで、食べ過ぎ
たらアカンそうですが、色んな食べ方があるそうですねぇ。どうやら山でなくても畑でも出るそうで、
おひたしと天麩羅がおススメだそうです。
何方か定義を御存じではないでしょうか？
231:１３２人目の素数さん
09/04/25 22:25:36
今月の日経サイエンスのパズルがわからん。
問題の概要はこんな感じ。
４名の死刑囚（A,B,C,D）が一人ずつ部屋に入って運命のくじ引きをする。
部屋には４つの箱があって、それぞれの箱に１枚ずつ
A,B,C,D誰か一人を助ける免罪符が入っている。
４つの内３つの箱を開けて、自分の免罪符を引き当てれば勝ち。
ただし、４人は一心同体なので、誰かが失敗すれば全員処刑される。
部屋には一人ずつ順番に入り、別の出口から出るので、
どの箱にどの免罪符が入っていたかを教えることは出来ない。
単純に勝率を計算すると、(3/4)^4=81/256で、勝率は1/3以下。
しかしAには3/4の勝算があり、B,C,Dにそれを伝えた。
・・・ここまで。
232:231
09/04/25 22:29:45
事前の相談が許されてるから、勝率0%のやり方を避けることは出来る。
（全員同じ開け方をすれば確実に死ねる）
完全に無作為に開けるんじゃなくて、それを避けるという相談をするだけで、
ちょっぴり勝率が上がるのはわかる。
また、一人目が失敗したときの事は考えなくて良いから、
一人目がどこを開けたか聞いておけば（事前に決めておけば）、
二人目以降の勝率が若干上がることはわかる。
しかし、どういう戦略をとっても、最初の一人の勝率は３／４だろ。
そうすると、後の３人はその後１００％成功しなくちゃいけない。
が、１００％にはなりそうにないんだが。。。
一人目が箱を開けっ放しにするとか、
ガンのための傷を付けるとかのズルしか思いつかん。
福本伸行の読み過ぎ？
233:１３２人目の素数さん
09/04/26 00:39:22
箱の中身を入れ替えればいいじゃん
234:１３２人目の素数さん
09/04/26 03:34:23
中身の入替えを許したら簡単すぎじゃね？
もっとも、箱の配置が指定されてないから、部屋の中で
箱がいかように配置されていたとしても、そのうちの1個を
特定できるようなルールをあらかじめ策定するってのは、
それはそれで面白いかもしれない。
しかしそういう意図の問題なんだろうか。
235:231
09/04/26 04:18:58
>>233
最初の人が、箱の中身を入れ替えるか・・・
(1枚は入れ替えられないが、次の人がなんとかする？)
いっそ箱の並びを変えて、左からABCDにしておけば、
後の人は簡単だわな。
もう一回問題を読み直してみたが、
免罪符の箱の部屋に見張りが居るかどうかは書いてなかった。
しかし・・・見張りが居なかったら、３つじゃなくて４つ全部開けるのも可能だろう。
ヤンジャンや近代麻雀じゃなくて、日経サイエンスだから・・・
ルールの穴じゃなくて、場合分けとかで解くと思うんだが。
236:１３２人目の素数さん
09/04/26 06:00:00
こんな確率もとめてみたい その1/3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
430-485
237:１３２人目の素数さん
09/04/26 09:14:14
>>231
事前相談のみで
後の人に情報が残せない場合
（前の人が開けた結果に応じた作戦変更ができない）
最大で 9/24 にしかならないので （すべての組み合わせを試した）
なんらかの方法で情報を残すことをしないと、それ以上にはできない。
238:１３２人目の素数さん
09/04/26 14:06:37
各箱にA,B,C,Dと名前をつける。
囚人Xは、最初に自分と同じ名前のついた箱Xをあける。
箱Xの中に、Yの免罪符があったら、次に箱Yをあける。
箱Yの中に、Zの免罪符があったら、次に箱Zをあける。
239:１３２人目の素数さん
09/04/26 17:42:14
なるほど
240:231
09/04/26 21:34:54
>>238
A箱からスタートして、Aカードが３つ目だった場合、その次はまたA箱に来る。
つまり、３の輪っかが出来ているので、全員セーフ。
A箱からスタートして、Aカードが２つめだった場合、
他の箱は最悪でも２輪っかだからセーフ。
A箱からスタートして、Aカードがいきなりあった場合、
他の箱は最悪でも３輪っかだからセーフ。
A箱からスタートしてAカードが４の距離だった場合、
４輪っかが出来ているので、全員死亡。
最初の人が失敗した場合は必ず全員失敗し、
最初の人が成功した場合には全員成功するアルゴリズムってことか…
いや…すごすぎる！！！ 俺も、成功の場合を裏返して、
「最初の人が失敗した場合に他の失敗も集めてしまう戦略にするんじゃないか」
とは思ったけど…
類似問題知らないで解けたとしたら、IQ150-160くらいありそうだ。
241:１３２人目の素数さん
09/04/26 22:11:25
上手いね。
出題者は巡回置換からこの問題を発想したんだろうか。
1 2 3 4
2 3 4 1
みたいな配置だったら失敗。そうでなければ成功。
いやー、こんな応用があったとは。
242:１３２人目の素数さん
09/04/28 17:46:06
コインランドリーを並べ替えてできる言葉はコインランドリーを含めて何通りあるか。
ただし、ンおよびーを頭に持ってきてはいけません。また、ンが連続してもいけませんし、ンの直後にーがきてもいけません。
243:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:08:43
全文字使うのか？
244:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:23:28
>>243
もちろん
245:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:16:58
ちゃんとした言葉になってなくてもいいの？
246:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:22:09
インリンドコラー
247:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:28:51
ただ数えるだけ。4500個。
248:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:52:54
意味のない言葉でももちろんかまいません。
4500個ではないと思いますよ。
249:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:57:11
プログラム組んでみたら12000個だった。
でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
もっかい直してみる。
250:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:04:30
＞ でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
てことは半分ってことではないのか？
251:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:11:23
理屈の上ではそうなんだけど一応修正したらやっぱり6000個になった。
252:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:30:46
「ン」「ー」が先頭に来ない場合の数は全部で
5*7!=12600通り
「ンン」が並ぶ場合の数は、「ンン」を１組として
5*6!=3600通り
「ンー」が並ぶ場合の数は、「ンー」を１組として
5*6!=3600通り
「ンンー」が並ぶ場合の数は、「ンンー」を１組として
5*5!=600通り
よって、12600-3600-3600+600=6000通り
間違ってたら悲しむ
253:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:40:17
6000通りで正解です。出題者の私は、最初に、コイラドリの並べ方120通りに、ン２つ、ーを組み込むという考え方で計算しましたが。
254:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:42:17
正八面体が存在することを示せ。
京大の入試だったような。
255:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:45:00
場合の数だから賢い小学生なら解けちゃう
256:１３２人目の素数さん
09/04/28 21:15:15
条件数え落としてた。6000通りだね。
ただ、どこが面白い問題かはわからんなあ。
どこを面白いと思って出題したの？
257:１３２人目の素数さん
09/04/29 07:36:32
単なる重複順列じゃなくて、いろいろ条件が付くとこかな。
258:１３２人目の素数さん
09/04/29 23:05:48
>>254
模範解答よろ～
259:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:09:00
具体的に作ればいいんじゃないかな
260:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:13:49
>>254
|x| + |y| + |z| ≦ 1
261:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:33:57
正八面体のサイコロ買ってきて見せれば示した事にならないかな。
262:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:44:10
>>261
その模型が正八面対であることを証明せねばならない
263:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:48:46
正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
正８面体になることを利用すればいいんじゃないか？
四角錐の側面が互いに同相なのは自明として使っていいのかな？
上下にくっつけて（正8面体を作って）それを縦に切ってできた
四角錐が元の四角錐と合同だということを示すのはどうだろう？
264:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:50:52
正６面体が存在することを仮定していいのなら
正８面体の構成はたいして難しくないが…
265:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:54:08
>>263
>正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
>それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
最初の正四角錐の頂点以外の頂点のまわりの面のなす角が等しいことを証明する必要がある。
266:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:58:38
>>265
まさにそれを証明するのに、そこ以下が書かれているのだ。
267:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:02:02
>>264
正６面体の存在は、高さが任意の正四角柱の存在を仮定すれば
そんなに難しくない。
268:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:04:28
>>267
このあたりになると、何をどこまで仮定していいのか難しいな。
元の問題に、○○は仮定していいなどの記述がないと何もできん。
269:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:06:33
空間中に任意の角度で任意の長さの直線が引けること
空間中に任意の平面が用意できること
さすがにこのくらいは仮定してよいだろう。
270:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:09:05
正三角形や正方形の存在から証明かよ…
271:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:44:29
二つの面が作る角度が１８０度未満になることも証明しないとな。
272:１３２人目の素数さん
09/04/30 17:03:57
正八面体は、普通にxyz空間上に座標をとって構成すればいいんジャマイカ
273:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:47:28
ところで俺、正八面体って頂点の角度とか形が一定じゃないから、
正多面体の仲間に入ってるのに抵抗感じるんだけど。
274:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:49:48
>>273
どういう意味ですか？
275:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:52:27
カーボンナノチューブは正何面体の角を削るとできるか？
276:１３２人目の素数さん
09/04/30 23:33:34
>>254
1)答案用紙に展開図と投影図をいくつか書いておく。
「こうやれば貴方にも正八面体が作れます！」とか。
2)三次元空間には正八面体が存在しえないと仮定して、なんらかの矛盾を導く。
3)正多面体の一般論を展開して、ハルヒにも出てきた多面体定理かなんかから、
正八面体の存在を示す。ｌ
・・・やっぱ1が一番簡単そうじゃね？
>>273
確かにそう見えるけど、目の錯覚だろ。
正六面体に内接するんだから…
>>275
チューブは無理だろ。鉛筆キャップみたいのもあるし。
C60 フラーレンのこと？
277:１３２人目の素数さん
09/05/01 03:00:28
>>276
２）が一番かっこよさそうなので、それでお願いします。
278:１３２人目の素数さん
09/05/01 11:31:55
>>273
なんかい見直しても一定だが。
279:１３２人目の素数さん
09/05/01 13:33:19
ここに縦が a、横が bの長方形の紙があります。この紙にハサミを入れて、
できる範囲の中で面積最大となる正三角形を切り取ります。
この切り取った正三角形の面積を Sとするとき、
この Sを a、bを使って表してください。
面積最大となる理由も併せてお答えください。
280:１３２人目の素数さん
09/05/01 14:21:40
面白い解法があるの？
281:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:01:52
>>279
「面積最大となる理由」の部分を真面目にやると、結構面倒だな。
いくつかの補題を示して、可能性を絞り込む。
以下、正三角形は長方形の内部（周を含む）に含まれるものとする。
１）正三角形の３つの頂点のうち２つ以上が長方形の周上にないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
２）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にはなく、互いに向かい合う辺上にもないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３頂点とも周上にない正三角形になる
３）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の互いに向かい合う辺上にあり、さらにそのうち少なくとも１つは長方形の頂点と一致するとき、その正三角形は面積最大ではない。
→長方形の頂点と一致する頂点を軸に回転すると、２頂点が周上にない正三角形となる
４）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つが長方形の互いに向かい合う辺上にあるとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
５）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にあり、さらにその２つのうちの少なくとも１つは長方形の頂点と一致しないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
６）正三角形の３つの頂点がいずれも長方形の周上にあり、なおかつ長方形の頂点とは一致せず、さらにそのうちどの２つをとっても長方形の同一の辺上にはないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
282:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:44:23
abのどっちが長いかわからんが、
a>bなら
s = a * a√(3) / 2
a<bなら
s = b * b√(3) / 2
a=bならどっちでも可
じゃないの？
283:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:55:25
>>280、>>282
そんなに簡単な問題ではありませんよ
284:１３２人目の素数さん
09/05/01 16:36:06
結構昔に、どっかの国立大学の推薦入試で長方形の紙を渡されて、「折り目で出来るだけ大きな正三角形を作ってみて」と言われたヤツがいたのを思い出した。
285:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:39:26
切り出した図形を組み合わせて作るとかはアリかな？
それなら
S = a * b
でもおｋ。
286:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:49:38
はさみを入れて、だからそれもアリなのか？！
287:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:53:07
>>285
具体的にどう鋏をいれるの？
288:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:05:56
>>285
切った断片を張り合わせるのは無しです。
289:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:14:29
普通に、縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。
>>282の回答は不正解です。
290:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:34:31
場合わけ面倒なんで、縦a、横1,a>=1としてもいいかい？
291:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:45:28
>>290
いいですよ
292:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:07:21
>>282は条件入れ替えであってない？
293:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:08:53
いや、あってないな
すまない
294:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:10:50
>>292
どっちにしろ間違ってます
295:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:26:58
なんか大学受験おもいだした。
とりあえず途中経過。
(1)a>=2*sqrt(3) の時
S=1/sqrt(3)
(2)1<=a<2*sqrt(3)の時、
a=tan(x)+cos(π/6+x)/cos(x)とおくと
S=sqrt(3)/(2*(cos(x)^2)
あとは式変形してSをaで表せればおｋかのう。
296:295
09/05/01 21:29:24
あ～最大になることはどうやって証明しよう…
意外と迷うな。
297:ルイス・キャラメル
09/05/01 21:58:34
ある日、花咲く森の中で、熊さんに出会ったときのこと。
そのとき、熊さんが「お逃げなさい」と言ったのに、
なぜだか、熊さんが あとから追いかけてくる。
というのは、数学的論理から考えれば
どのように説明できるのであろうかっ ?
298:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:16:36
>>295
場合分けの境目は 2*√(3)ではないですよ
あと（2）のところはどうやって出したんでしょうか？
最終的に aを使った式で表してくれますか？
aと bを使うと対称性が見えて、よりきれいな式になるんですけど…
299:295
09/05/01 22:25:54
境目は2/√3かな。
まず、正三角形の一つの頂点が長方形の一つの頂点と重なってるとしても良い（と思う。証明はちょっと勘弁）
その重なった頂点で、正三角形の辺と長方形の辺のなす角度をｘと置くと>>295のaとxの式が出てくる。
300:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:27:34
>>297
熊さん「早く逃げるんだお嬢！ 俺の理性が残っている内に・・・」
↓
熊さんＺ(理性崩壊)「うがあああぁぁぁあ！！ 待てやこのアマァァアア！！！」
301:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:45:08
黙れ
302:ルイス・キャラメル
09/05/01 22:57:44
熊さんが「お逃げなさい」と、言ったのを「正」とすれば
熊さんが追いかけてくるのは、どのように例えるかを
もっと、ふかく考えようよっ。
303:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:59:32
>>299
その考え方で合ってます。境目もそれでOKです。
ただ、>>295のaとxの式がどうやって立てたのか…
たぶん僕のやり方と違う方法でやってるんですね。
一応、aと bを使った場合の答えを書いておきます。
bを固定して aの範囲を動かす
(1)a =< (√(3)/2)*b のとき、S = (1/√(3))*a^2
(2)(√(3)/2)*b =< a =< (2/√(3))*b のとき、S = √(3)*a^2 - 3ab +√(3)*b^2
(3)(2/√(3))*b =< a のとき、S = (1/√(3))*b^2
あとは(2)でそのような正三角形が必ず取れることと面積最大の証明です。
304:295
09/05/01 23:24:08
出来れば解きたかったが、明日早い＆旅行いってしまうんでギブアップ。
他の人が解いてくれることを祈ってまつ。
305:１３２人目の素数さん
09/05/02 03:38:43
>>297
きっと、逃げ惑う少女を追い詰めて襲うシチュエーションが好きなんだよ、クマーさんは
306:１３２人目の素数さん
09/05/03 16:50:13
age
307:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:01:39
ある任意の角を三等分する線を、
定規とコンパスだけをつかって作図する方法を示せ。
308:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:10:27
最近このスレひどいな。悲しい。
309:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:25:05
悲しむばかりじゃ能がないので、ちょっと気になった問題を転載。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:810番)
問：ふたつの三角形がある。
それらの外接円の半径、内接円の半径 面積がそれぞれ等しい。
このふたつの三角形は必ず合同といえるだろうか？
310:１３２人目の素数さん
09/05/04 03:17:49
>>309
おもしろそうですね、だが分からんぜ！
311:１３２人目の素数さん
09/05/04 08:29:48
>>309
確か三角形の三辺を a, b, c, 内接円・外接円の半径を r, R とすると
三角形の面積 S = (a + b + c) r / 2 = a b c / 4 R
ところで>>279で面積最大の証明はどうなったの？
312:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:00:00
いえる。
313:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:42:28
a_{n+1} = 1/2(a_n + 1/a_n) みたいな漸化式の問題知らん？
なんかあったよなぁと思いつつ、初項や係数とか間違ってたら解く過程で気づくだろうとか思ってたら
ぜんぜん手が進まん。
314:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:49:51
>>313
とりあえずその漸化式はa_n=1/tanh(x_n)と置けば解ける。
315:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:53:22
>>309
>>311さんのを借りれば
a+b+c=2S/r
ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
abc=4RS
で三辺相等
316:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:10:32
最小公倍数が720である相異なる3つの自然数の組は何通りあるか？
317:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:35:11
>>315
>ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
どうしてこうなるのか教えて下さい
318:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:39:21
>>314
ありがとう。よく思いつくね。
でも想定していた解きかたと違うんだよなぁ。式が間違ってるのかなぁ。
>>317
ヘロンの公式を整理。
319:１３２人目の素数さん
09/05/04 16:08:09
>>313
a_n = 1/tanh((2^n)x_0), n>0,
ここに、x_0 = (1/2)log|(1-a_0)/(1+a_0)|,
|a_0| >1 のとき 1/tanh(x_0) = a_0,
|a_0| <1 のとき 1/tanh(x_0) = 1/a_0,
320:319
09/05/04 16:20:06
>>313,318
a_0 = ±1 のとき a_n = a_0,
321:１３２人目の素数さん
09/05/04 18:07:27
>>316
自信ないし、日本語変だけど・・・
720 = 2^4 * 5 * 9
なので、
相異なる数を、a, b, c,とすると、
（a,b,c ともに1以上720以下であり）
a は 「2^4」の倍数、・・・（１）
b は 5 の倍数・・・（２）
c は 9 の倍数・・・（３）
である。
また
「３つの数字が全て約数として『9^2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
（１）を満たす a は、(2^4) * (5*9) = 720 なので、5*9 個存在
（２）を満たす b は、5 * { (2^4)*9 } =720 なので、{ (2^4)*9 } 個存在
（３）を満たす c は、9 * { (2^4)*5 } =720 なので、{ (2^4)*5 } 個存在
==
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
よって、5*9と{ (2^4)*9 }と{ (2^4)*5 }をかけた値 マイナス
『（５）成立（６）不成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）不成立（７）成立」』
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
計算ギブ・・・。
でもスマートじゃないなー。てか、どっか見過ごしてる。
322:321
09/05/04 18:12:30
訂正
誤：
「３つの数字が全て約数として『9^2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
正：
「３つの数字が全て約数として『9*2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)*2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5*2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
---------------------------------------------------------------------
誤：
『（５）成立（６）不成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）不成立（７）成立」』
正：『（５）不成立（６）成立（７）成立」＋「（５）成立（６）不成立（７）成立」＋「（５）成立（６）成立（７）不成立」』・・・（Ａ）
323:１３２人目の素数さん
09/05/04 21:00:00
（５＾３－４＾３）（３＾３－２＾３）（２＾３－１＾３）
－３（５＾２－４＾２）（３＾２－２＾２）（２＾２－１＾２）
＋３（５＾１－４＾１）（３＾１－２＾１）（２＾１－１＾１）
－（５＾１－４＾１）（３＾１－２＾１）（２＾１－１＾１）
＝７７１０。
324:１３２人目の素数さん
09/05/04 22:48:19
>>323
この愚か者めに日本語で解説おながいします！
325:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:54:16
>>316
720=2^4*3^2*5
まず、最小公倍数が720である３つの自然数x,y,zの組（同じ物があってもよく、x,y,zは区別する）の個数Jを考える。
x,y,zをそれぞれ
x = 2^a_x * 3^b_x * 5^c_x
y = 2^a_y * 3^b_y * 5^c_y
z = 2^a_z * 3^b_z * 5^c_z
とおくと、
a_x,a_y,a_zはいずれも0～4の整数で、Max(a_x,a_y,a_z)=4
b_x,b_y,b_zはいずれも0～2の整数で、Max(b_x,b_y,b_z)=2
c_x,c_y,c_zはいずれも0～1の整数で、Max(c_x,c_y,c_z)=1
なので、
(a_x,a_y,a_z)の個数が6*6+4*6+1=61
(b_x,b_y,b_z)の個数が1*6+2*6+1=19
(c_x,c_y,c_z)の個数が0*6+1*6+1=7
J=61*19*7=8113
次に、最小公倍数が720である２つの自然数x,yの組（x=yでもよく、x,yは区別する）の個数Kを考えると、同様にして、
(a_x,a_y)の個数が4*2+1=9
(b_x,b_y)の個数が2*2+1=5
(c_x,c_y)の個数が1*2+1=3
K=9*5*3=135
Jの中で、３つのうち２つが一致するものの数は、(K-1)*3
Jの中で、３つとも一致するものの数は、1
よって、最小公倍数が720である３つの異なる自然数x,y,zの組（x,y,zは区別する）の個数は、J-(K-1)*3-1=7710
求める答えは、ここでx,y,zを区別するのをやめればよいので、7710/6=1285通り
326:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:58:58
問題忘れ去られそうなのでもう一度再掲
縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。
面積最大となる理由も併せてお答えください。
327:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:35:40
>>326
え、それってもうほとんど終わった話じゃないの？
最終的な答えは>>303で合ってんでしょ。
なぜそれが最大かを含めて示すには、
まず>>281の議論を丁寧にやれば、
・正三角形の２頂点が長方形の１辺上にあり、もう１つの頂点が長方形の対辺上にある場合
・正三角形の１つの頂点が長方形の１つの頂点（Ｘ）と一致し、あと２つの頂点は、長方形のＸを含まない２辺上に１点ずつ存在する場合
の２通りの場合以外は、面積最大にはなりえないことが言えるから、そこを出発点とすれば、無理なく>>303が面積最大だということは示せる。
328:326
09/05/05 11:49:33
>>327
それをきちっと証明してくださいと言っているのです
口だけですか？
329:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:54:02
>>327
>>304の人がまだ証明できていないようだったので…
>>328
勝手に僕になりすまさないでください。
330:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:55:33
後やる事は手を動かすだけ。
各自手元で計算して確かめればいい程度で、ここにいちいち書き込む暇人はそうは居まい。
だいいち、そんなに難しい問題だとでも思っているのか？
331:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:01:56
>>330
いえ、ぼくはただ>>304が問題を解けないまま忘れ去られては可哀そうだと思っただけです。
>>328は僕ではないので無視してもらって構いません。
332:330
09/05/05 12:06:15
失礼した。陳謝。
>>330はスルーしてくれ。
333:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:11:53
匿名掲示板を利用した高度なやり取りに感心した。
なるほどなー。
334:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:22:45
問題【改】
縦が a、横が bの楕円の中に入る三角形の最大面積 Sを求めてください。
335:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:32:35
>>334
「正」三角形
じゃなくていいの？
なら、かなり簡単な気が．．．
336:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:38:04
それより縦と横って
337:１３２人目の素数さん
09/05/05 21:23:26
>>334 長半径a短半径bの楕円に内接する三角形の面積の最大値Sを考えるとすれば、
円に内接する三角形で面積最大の正三角形の変換と考えれば S=(3√3)ab/4 になると思います。
また、この楕円に内接する正三角形の面積の最大値Sは、S=(6√3) a^4 b^2 / (3a^2 + b^2)^2と思いますが、
どちらも一辺aの正方形に内接する正三角形の面積の最大値((2√3)-3)a^2のような形の解がないか心配です。
338:１３２人目の素数さん
09/05/06 01:17:02
>>318
そのタイプの問題のまとめは，以前
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
に書いておいたよ。
339:318
09/05/06 07:11:09
>>338
おお、すごい。でも答えが違った気がするので、やはり式がうろ覚えなんだと思う。
問題が載ってた本は大体見当がついているんだけど、引越ししたときに捨ててしまったようなので
今度調べてくる。
340:１３２人目の素数さん
09/05/06 08:33:10
>>339
タイトル期盆濡！
341:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:16:52
>>340
本屋行ってきて、今帰ってきた。
問題は 「S_n = (a_n + 1/a_n)/2 で a_n > 0 のとき、a_nを求めよ」だった。
本のタイトルは、「入試数学 伝説の良問100」(講談社ブルーバックス)でした。
342:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:33:05
>>341
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:200番)
かな？
343:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:34:32
問題の写しまちがいがあって、最終的には341と同じだったはず。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:215番)
344:341
09/05/06 20:58:27
>>342-343
まんまですねぇ。なんとな～くがっかりした。
345:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:14:27
＝＝＝
平面上で、
半径１の円の内部には、半径nの円は最大いくつ入るか？
（どの円同士も、接点以外の交点を持たない）
＝＝＝
・・・って、ふと考えたんだけど、まともな解き方ってないですかね？
346:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:19:21
算額みたいな問題ですな
347:345
09/05/09 20:34:56
発展問題だと、
「半径１の球に半径nの球は最大いくつ入るか？」
348:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:53:46
その手の詰め込み問題は一般には2次元でもかなり難しい
URLﾘﾝｸ(www.stetson.edu)
349:345
09/05/09 22:28:28
>>348
ひええ・・・・
12個以上の場合は、provedでなくfoundなのですね。。。
これ、21以上のときは、未解決なのかな・・・
350:１３２人目の素数さん
09/05/10 14:42:38
問題：以下の命題を反証し、その反例を示せ。
命題：3次元空間上に4つの点ABCDがあり、そのx座標、y座標及びz座標は整数である。
この4つの点について3字のベジェ曲線を引いた時、その長さをf(A,B,C,D)とする。
f(A,B,C,D)が整数となるような自明でない点の組は存在しない。
351:１３２人目の素数さん
09/05/10 14:43:28
3字の→3次の
352:１３２人目の素数さん
09/05/11 04:49:58
>>350
その場合の、「自明でない」とは、どういう事を指すのか？
353:１３２人目の素数さん
09/05/11 04:51:20
>>349
数学的には12個も未解決だろう。
354:１３２人目の素数さん
09/05/13 23:07:33
有名かな・・・？
536870912人が集まり、テニスのトーナメント戦を行おうとしたが、
そのうちの１人が病欠し、その結果１人が不戦勝となった。
優勝者が確定するまでに、何回試合が行われるか。
ただし、等差数列や等比数列の総和の公式を用いずに求めること。
なお、536870912 = 2^29 である。
（シングルスです。引き分けはあり得ないとします。不戦勝のぶんはカウントしません。
３位決定戦などは不要で、単に、優勝者を決めるだけのトーナメント戦です）
=====
答えがわかった人、解くのにどのくらい時間かかったか教えてくださいまし。
355:１３２人目の素数さん
09/05/14 04:43:05
問題を読むのに３分くらいかな。
中学で習ったよ。
356:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:04:55
トーナメントの試合数は最初中学で数学ではなく保険体育の時間に習った。
357:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:27:47
最初の二行読み終わったら分かったな
358:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:37:57
有名かな？
既出かな？
の人が書くのは全部有名で既出と決まっているので一行目でスルー
俺を含めてもう４人も釣れたな
359:１３２人目の素数さん
09/05/14 23:34:21
>>358
> 有名かな？
> 既出かな？
> の人が書くのは全部有名で既出と決まっているので一行目でスルー
あー確かに
なんていうか、算数にロマンを感じて、背伸びして受験数学を理解しようと
必死こいてるモッサンって感じがプンプンしますな～
360:１３２人目の素数さん
09/05/15 02:17:22
>>357
問題文を最後まで読まないせいで間違えたことは何度くらいある？
361:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:12:32
この人数でテニスのトーナメント戦をして生きてるうちに優勝が決まるのを想像したら感動で涙が止まらなくなった
362:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:12:55
>>360
お前は今までに食べたパンの枚数を覚えているのか？
363:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:16:40
>>361
会場さえたくさんあれば、そんなに時間はかからないのだが
364:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:26:12
会場が2^28もあれば楽勝
365:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:27:59
>>364
審判の数は足りるのか?
366:１３２人目の素数さん
09/05/15 03:30:07
中国かインドから連れてくるか
367:１３２人目の素数さん
09/05/15 04:41:40
会場が10000もあれば、2セット1時間で1試合終了として寝ず休まずで6年～7年もあれば終わるか。会場数が1000だと辛いな。
368:１３２人目の素数さん
09/05/15 13:08:04
それよりも世界のテニスの競技人口が1億もいないような
369:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:35:33
>>354
この人数なら「勝ったものの負傷等で次戦以降棄権」が相当数出そうだから総試合数は上限しか算出できまい。
370:１３２人目の素数さん
09/05/16 01:27:33
世界のスポーツの競技人口(自称も含む)
１チェス 5億
２象 棋 5億
３バスケ 4億5000万
４蹴 球 2億4000万
５クリケット 不明
６卓 球 不明
(１２は逆の説あり)
以下は順位不明
ビリヤード 1億
ゴルフ 6000万
テニス 5000万
バドミントン 5000万
ソフトボール 5000万
テコンド 5000万
囲 碁 4200万
ボウリング 4000万
ハンドボール 3100万
アメフト 2300万
トライアスロン 2000万
スカッシュ 1500万
野 球 1200万
柔 道 1000万
ビーチバレー 1000万
ラグビー 424万
ラクロス 60万
近代五種 3万
室内のバレーはビーチよりは多そう
371:１３２人目の素数さん
09/05/16 01:56:21
>>362
すまない、そんなにだとは思っていなかったんだ。
ほんとにすまない。
372:１３２人目の素数さん
09/05/16 02:15:56
>>371
半斤8枚きりとして、一日2枚がおれの朝食。
小学校に入る前、幼稚園の年中組が終ったあの日から、いつも朝はそれだった。
自慢じゃないが、朝食を抜いたことは一度もない。旅行で家を離れたこともない。
だから、食べた枚数は確実に計算できる。閏年も勘定に入れてよい。
一枚の誤差も無い。高校に入った時には、３枚にして欲しいとは思ったが、家計が許さなかった。
だから、今はそれが幸いして、これまでに食べた食パンの枚数を答えることができる。
373:１３２人目の素数さん
09/05/16 03:49:33
象 棋
をやってみたいのだが、どういう競技なんだろう。
簡単に説明してくれ。
374:１３２人目の素数さん
09/05/16 04:14:58
象象象象象象象象象
角 飛
香桂銀金王金銀桂香車
375:１３２人目の素数さん
09/05/16 06:25:25
>>373
象棋(シャンチー)については中国人に聞くと良い。俗に日本では中国将棋と言ったりするから、どんなもんかは大体想像がつくだろう。競技人口が多いのは中国人がやってるから。
ちなみに他のチェスライクゲームでの競技人口は日本の将棋が1500万、韓国のチャンギは700万、タイのマックルックは500万だそうだ。この五つが世界の五大チェスになるらしい。
376:１３２人目の素数さん
09/05/16 06:31:09
一応参考に
URLﾘﾝｸ(www.snowdolphin.net)
377:１３２人目の素数さん
09/05/16 11:58:25
>>354
普通に答えちゃっていいのかな・・・？
間違ってるかもしれんけど。
536870912人から一人抜けて536870911人。
トーナメントは一試合で一人負けて減るから、
最後の一人が決まるまでの試合数は536870911-1で
536870910試合 以上。
378:１３２人目の素数さん
09/05/16 13:01:03
ダブルスでやれば１試合でふたり負けて
倍の効率
379:１３２人目の素数さん
09/05/16 13:03:34
5億人近くに教えるのも手間かかるな。テニスでまだ良かった。
380:１３２人目の素数さん
09/05/16 13:03:42
>>372
給食は食べさせて貰えなかったのか？
381:１３２人目の素数さん
09/05/16 13:29:25
パンは危険な食べ物です
のコピペが頭に浮かんだ
382:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:33:20
千円乞食のごとく週末に湧いてくるなこいつら
383:１３２人目の素数さん
09/05/16 20:06:17
昔吸う蝉で見た問題
自然対数eを予備知識を持たない人（小学生など）に出来る限り分かりやすく説明しなさい。
384:１３２人目の素数さん
09/05/16 20:14:07
数学の問題になっていない
385:１３２人目の素数さん
09/05/16 20:19:28
xの多項式f(x)について、その項数をQ(f(x))とおく。
例） Q(x^3 - 5) = 2、 Q(x^10 + x^8 - 7x + 2) = 4、など
このとき、Q( f(x)^2 ) ＜ Q(f(x)) を満たすf(x)を一つ求めよ。
386:１３２人目の素数さん
09/05/17 04:12:25
>>385
そんなもんあるの？
あったら素直にスゴイと思うけど。
387:354
09/05/17 04:43:19
>>377
そうそうそれ。お見事。
なお、マイクロソフトの面接問題（筆記試験ではない）です。
（桁数はもっと小さいけど）
でも、面接でストレスになってるときに、これ言われたら、
すぐに答えられないかもなー・・・・・と、ある本に書いてました。
388:１３２人目の素数さん
09/05/17 04:56:33
>>385
複素数使ってもいいの？
389:１３２人目の素数さん
09/05/17 04:56:34
>>385
f(x) = 1 ±(√2)x -x^2 ±(√2)x^3 + x^4,
f(x)^2 = 1 ±(2√2)x +7x^4 ±(2√2)x^7 + x^8,
ぢゃだめぽ ･････ orz
390:１３２人目の素数さん
09/05/17 05:09:54
ゲーセンにあるAnswer×Answer（全国のゲーセンをオンラインで結んだクイズゲーム
・・・QMAことクイズマジックアカデミーのほうが有名だけどね・・・）で、
どーも、おなじ人となんどもあたったり、
同じ問題が何回も出題されるから、
「プレイ人数少ない＆問題数少ない」のか、ゲーム作ってるセガのプログラミングが悪いのか・・・と思って、
Answer×Answerの仕様通りに、
総問題数をQとして
１日にｎ回ゲームをしたときに、
「今日、さっきみた」っていう問題が出現する回数の期待値とか、だぶった問題の種類の数の期待値とかを、求めようと思ったら、
こんがらがった。
（仕様だと、４人がいっしょに戦って、予選と決勝があって、予選の問題数が約問（<=経験則。正確には違うけど）、
予選の上位二人が決勝に進んで、決勝の問題数が６問（<=経験則で約6問）
（いやほんとは間違えると-10点とか30点とると優勝とかこまかいことあるんだけど）
391:390
09/05/17 05:11:42
誤：予選の問題数が約問
正：予選の問題数が8問
392:354
09/05/17 05:29:21
じゃあまあ、
数学だか数学じゃないんだかわからないところで・・・
==============================================================
10進法における1から10までの整数を、マイナス２進法で数えなさい。
ただし、「マイナス２進法」は自分でなるべく論理的に定義すること。
==============================================================
393:１３２人目の素数さん
09/05/17 07:15:28
00000001
00000110
00000111
00000100
00000101
00011010
00011011
00011000
00011001
00011110
394:１３２人目の素数さん
09/05/17 10:05:03
>>385
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
395:１３２人目の素数さん
09/05/17 18:46:49
>>387
ストレス下での回答を見るためのテストは2chに向かないと思うが……
面接時に回答できなかった人も、2chでは回答できるような問題だろ？
それって、ここで聞く内容じゃないべ
396:１３２人目の素数さん
09/05/17 19:27:02
>>394
どうやって見つけたんだこれ……
いや、ぐぐったとかはなしね。
397:１３２人目の素数さん
09/05/17 19:43:47
>>394
㌧クス
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
もあった･･･
398:１３２人目の素数さん
09/05/17 19:50:34
少し変えて
xの多項式f(x)について、その項数をQ(f(x))とおく。
例） Q(x^3 - 5) = 2、 Q(x^10 + x^8 - 7x + 2) = 4、など
f(x) が Q( f(x)^2 ) ＜ Q(f(x)) を満たす時、Q(f(x))の最小値を求めよ。
----
うん、思い付きだ。俺も答え知らない……
399:１３２人目の素数さん
09/05/17 19:56:24
おろ？ 新たなネタがきてる
>>397
読ませてもらおうか！
400:１３２人目の素数さん
09/05/18 05:06:58
>>398
13と >>397 に書いてあるように見えるが
401:１３２人目の素数さん
09/05/18 05:17:38
>>396
いくつかの例はErdosとかの時代に（試行錯誤的に）知られてたんだと。
現在では計算代数の手法を用いて具体的に構成できる。
402:１３２人目の素数さん
09/05/18 14:00:48
解けるわけじゃないので、偉そうなこと言えないが釈然としない解決だ。
403:１３２人目の素数さん
09/05/18 14:24:19
>>402
なんか綺麗な構造を発見できたら現在でも論文にできるよ。
404:１３２人目の素数さん
09/05/18 14:53:40
要するに未解決問題とほぼ同レベルなのね
405:１３２人目の素数さん
09/05/19 01:13:26
これの3乗版とかないの？
406:１３２人目の素数さん
09/05/19 01:31:02
・3乗だと存在しないけど4乗だと存在する。
・むしろ2^n乗のときのみ存在する。
……みたいになってたら面白いだろうな。
407:１３２人目の素数さん
09/05/19 01:57:20
今のところ、どうなってるか分からん。
マジで分からんとしか、言いようがないわけだが……
誰か類似の結果知ってる奴いないか？
408:１３２人目の素数さん
09/05/19 02:06:09
つーか、3乗くらいならmathematicaに計算させてみたらどうか
409:１３２人目の素数さん
09/05/19 05:08:24
本気かネタ振りかわからんな
410:１３２人目の素数さん
09/05/19 06:32:29
麻雀のテンホーとチーホーは、どちらがあがりやすいか
411:１３２人目の素数さん
09/05/19 07:41:57
一巡目はジハイが出やすい。
412:１３２人目の素数さん
09/05/19 07:48:55
おまえは雀鬼会を敵に回した。
413:１３２人目の素数さん
09/05/19 14:39:52
>410 天和
414:１３２人目の素数さん
09/05/19 17:39:18
有界で凸な立体Tは、どの平面に正射影しても、その面積が一定である。
このとき立体Tは球であると言えるか。
415:１３２人目の素数さん
09/05/19 21:21:39
テンホーとチーホーが同時に入った場合、あがれるのはテンホーのほうだからな。
しかしそれがどれほどの差というのかｗｗｗ
416:１３２人目の素数さん
09/05/19 22:53:05
>>414
言えるが、どう証明したものか…
417:１３２人目の素数さん
09/05/19 23:11:45
>>415
親はランダムに切るわけではなく、あくまでの自分の不要牌しか切らないので
そんな単純な話じゃない
418:１３２人目の素数さん
09/05/19 23:18:52
>>416
本当に言えるんかな？
正三角形をふくらませたような図形で高さが一定なのがあるけど、
あれって正射影させると長さが一定だろ？
あれの立体版みたいなのってないのかな？
419:１３２人目の素数さん
09/05/19 23:51:37
定幅曲線ね
420:１３２人目の素数さん
09/05/20 00:07:03
>>389 の根を求む。
421:１３２人目の素数さん
09/05/20 00:17:12
>>418
「正射影の面積一定」ではなく、
「幅一定」ということであれば、
ルーローの三角形に似た四面体っぽい図形が作れる。
（ただし、単に４点を中心とした球の交わりではなく、エッジ部分を削って調整する必要あり）
面積一定だと、制約がきつ過ぎるから、球しかなさそうだが、証明は知らん。
422:１３２人目の素数さん
09/05/20 00:17:21
>>420
x + 1/x = t とおくと、x^2 -1 + 1/x^2 = t^2 -3,
1 +(√2)x -x^2 +(√2)x^3 + x^4 = (x^2){t^2 +(√2)t -3},
t = (-1±√7)/√2,
x = -(1+√7)/2 ±(1/2)7^(1/4),
1 -(√2)x -x^2 -(√2)x^3 + x^4 = (x^2){t^2 -(√2)t -3},
t = (1±√7)/√2,
x = (1+√7)/2 ±(1/2)7^(1/4),
近似値 0.475679456437866… と 2.10225601813565…
423:１３２人目の素数さん
09/05/20 01:24:20
>>415
本来のチーホーか今風かによるかも
424:１３２人目の素数さん
09/05/20 03:44:45
>>415
地和が成立しないのは、なにも親が天和したときだけに限らない。
425:１３２人目の素数さん
09/05/20 04:03:58
どうでもいいが、役満がらみのローカルルールって、洒落にならんよな。
事前に全部確認なんてほぼ不可能だし。
「ロン！人和！」
「そんな役ねーよ。なんだそれ役なしじゃん。チョンボね」
426:１３２人目の素数さん
09/05/20 04:07:33
>>425
雀荘なら事前に確認できるようになってるだろ。
個人でやる場合は知らん。
実施に打つと
役満がらみじゃないローカルルールのほうが
はるかに洒落にならん。
427:１３２人目の素数さん
09/05/20 18:08:11
>>414
未解決問題？
428:１３２人目の素数さん
09/05/20 18:36:42
>>421
> （ただし、単に４点を中心とした球の交わりではなく、エッジ部分を削って調整する必要あり）
( ﾟ∀ﾟ)＜詳しく聞こうか！
429:１３２人目の素数さん
09/05/20 19:59:15
>>428
このへんで発見
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
430:１３２人目の素数さん
09/05/21 14:57:29
ある有界で凸な立体Tは、どの平面で断面図をとっても、断面が相似である。（ただし、点になる場合や、断面が存在しないケースは除いて考える）
このとき、立体Tは球であると言えるか。
431:１３２人目の素数さん
09/05/21 22:57:33
>>429
( ﾟ∀ﾟ) ＜かたじけのうござる！
432:１３２人目の素数さん
09/05/24 16:51:28
>>309
1963年度京大に似たような問題が出されてたな。
433:１３２人目の素数さん
09/05/24 22:38:32
随分昔の話だな。
いろんな意味で。
434:１３２人目の素数さん
09/05/25 00:35:44
>>432->>433
詳しく！
その昔、「大学への数学」の東京出版が、CD-ROMで、
東大と京大の数学の過去問を出してたけど、また出してくれんかな～
435:１３２人目の素数さん
09/05/25 03:46:14
ずっと昔に作ったままお蔵入りにしてたやつ。
Ｗ氏は自然数を1から順に次のルールに沿って読み上げていく。
(ルール) 3の倍数と十進法表記で3のつく数字を飛ばす。
すなわち、1、2、4、5、7、…、11、14、…である。このときＷ氏がn個目に読み上げることになる自然数x(n)をnを用いて表せ。
436:１３２人目の素数さん
09/05/25 04:38:33
>>434
こんな問題
「△ABCと△DEFにおいて、AB=DEとし、それぞれの外接円の半径は等しく、また内接円の半径は等しいとする。
そのとき二つの三角形は合同になるか。理由をつけて答えよ」
聖文社より京大50年問題集が出てたので、その本より引用した。
437:１３２人目の素数さん
09/05/25 06:39:07
>>436
ありあとん！
438:１３２人目の素数さん
09/05/25 06:40:18
>>437
アリアハン
439:１３２人目の素数さん
09/05/25 13:02:08
>>435
それなんてナベアツｗｗｗ
440:１３２人目の素数さん
09/05/25 16:03:00
k桁の自然数Nを10進数表記したとき、0でない桁の個数をf(N)とする。
例）N=105502,f(N)=4 、 N=100,f(N)=1など
このとき、f(N^2)＜f(N)なるNを一つ求めよ。存在しないならその理由を示せ。
----
あらかじめ言っておくと、解答は用意してない。
441:１３２人目の素数さん
09/05/25 17:37:26
>>440
４０４ そのような問題は存在しません
404^2=163216
442:１３２人目の素数さん
09/05/25 18:29:30
k桁の自然数Nを10進数表記したとき
↑
表記する前のk桁って何だろう
443:１３２人目の素数さん
09/05/25 18:40:00
24495^2=600005025.
444:１３２人目の素数さん
09/05/25 19:05:39
計算機って便利ね
445:１３２人目の素数さん
09/05/25 19:30:02
316227766017^2=100000000000102500044289.
446:１３２人目の素数さん
09/05/25 19:43:59
14142135623731^2=200000000000001400410360361
447:１３２人目の素数さん
09/05/25 20:34:31
>>443-446
うれしそうに書いてるところ申し訳ないのだが
・・・逆なんだけど
448:１３２人目の素数さん
09/05/25 20:40:29
何が逆なんだ？
449:１３２人目の素数さん
09/05/25 20:42:47
>>447
N=24495
f(N)=5
f(N^2)=4
f(N^2)<f(N)
だけど何が逆？
450:１３２人目の素数さん
09/05/25 20:47:29
そういえば問題中のk使ってないな
451:１３２人目の素数さん
09/05/25 21:38:49
2^24495=600005025
2^316227766017=100000000000102500044289
2^14142135623731=200000000000001400410360361
452:１３２人目の素数さん
09/05/25 21:45:27
なんだその記法
453:１３２人目の素数さん
09/05/25 22:04:06
自然数Nを10進数表記したとき、0でない桁の個数をf(N)とする。
例）N=105502,f(N)=4 、 N=100,f(N)=1など
このとき、f(N^3)＜f(N^2)＜f(N)なるNを一つ求めよ。存在しないならその理由を示せ。
454:１３２人目の素数さん
09/05/25 22:12:03
いやです。
455:１３２人目の素数さん
09/05/25 22:15:11
>>414
結局、これどうやんの？
456:１３２人目の素数さん
09/05/25 22:31:28
f(N^3)<f(N)
これが絶望的
457:１３２人目の素数さん
09/05/26 00:28:49
>>453
直感だが、sqrt(10^(6k+1) + 1) - [sqrt(10^(6k+1) + 1)] が十分小さくなるようなkの値をとってくれば良いんじゃないだろうか……
いや、スマン適当。
458:１３２人目の素数さん
09/05/26 01:16:27
十進数って書いたほうがいい
459:１３２人目の素数さん
09/05/26 06:55:30
>>451みたいな数を研究してたサイトがあったな
460:１３２人目の素数さん
09/05/26 06:57:15
ここに書ききれないぐらいでかい数になりそう
461:１３２人目の素数さん
09/05/26 09:34:55
>>459
ｋｗｓｋ！
462:１３２人目の素数さん
09/05/26 13:08:17
>>461
十進表示で0を含まない自然数Nを二乗した数N^2が0を出来るだけ長く含む(Nの桁数に対する割合で)ものを一覧にしていて、上記の意味で一定以上の長さで0を含むものが有限であるとか示して、リストもあったと思った。ただ、どこにあったか思い出せん。
463:１３２人目の素数さん
09/05/26 15:40:00
使う数字が少ない平方数などならここにある。
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
464:１３２人目の素数さん
09/05/27 01:18:15
追いかけるだけで精一杯だね
てか、追いかけることすらできない…
465:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:04:41
それは精一杯と表現していいのか？
466:１３２人目の素数さん
09/05/27 17:18:04
４×４の正方形のマスにおいて、左下の頂点からスタートし、線上を通り、右上の頂点まで辿り着く道順は何通りあるか。
ただし、最短か否かは問わず、同じ線上を通ってはならないものとする。
467:１３２人目の素数さん
09/05/27 17:45:37
>>466
無理
468:１３２人目の素数さん
09/05/27 19:44:29
ウィンドウズのフリーセル。並べ替えに失敗すると手詰まりか、
同じカードペアを永遠に並べる事しか出来なくなる。後者の場合、
1ペアで繰り返しになる時と２ペアでの場合がある。さて、このパターンで
「3ペア以上は存在しない」これを証明せよ。証明できるとは限らない。
469:１３２人目の素数さん
09/05/28 01:52:40
＞同じカードペアを永遠に並べる
意味がわからん
470:１３２人目の素数さん
09/05/28 02:21:46
>>469
フリーセルの必殺技
471:１３２人目の素数さん
09/05/28 06:51:02
A君がB君をあるゲームに誘った。
A君“B君、ゲームをしよう。二人で1から交互に順番に数字を数えていって100と言った方が負け。一回につき三つまで数を言うことができる。僕が先攻ね”
B君“わかったよ”
何回かやったがA君の全勝
B君“たまには僕の先攻にしてよ”
A君“いいよ、でもちょっとルールを変えて101と言った方が負けにしよう”
B君“いいよ”
やっぱりA君の全勝
A君の戦略を簡単に説明せよ
472:１３２人目の素数さん
09/05/28 08:55:51
>>471
自然数という制限もないのに100や101を言ったBがマヌケなだけ
473:１３２人目の素数さん
09/05/28 11:45:08
>>471
小学生のときにこれ研究したなー。
↓そのときの解答。
言ったら負けな数字を M （この場合100や101）
増やせる数の下限 a （この場合１）
増やせる数の上限 b （この場合３）
としたとき、
先攻は （M-1）mod（a+b） を宣言。
ただしこれが0の場合は後攻になる。
あとは(a+b)-（相手の増やした数） を増やせばよい。
474:１３２人目の素数さん
09/05/28 11:56:53
>>471
100を言えば負けは、すなわち99を言えば勝ち。
先攻を選び99を4で割った余り3から以後7,11,1519,……,99を言えば勝ち。
101を言えば負けの場合は100を言えば勝ち。
100を4で割った余りは0だから、後攻で4,8,12,……100を言えば勝ち。
常識だね。
475:１３２人目の素数さん
09/05/28 13:10:38
【先手必勝なゲームを探せ！！】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
476:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:13:03
「二人で1から交互に順番に数字を数えていって100と言った方が負け。」なんだから
口には出さず100や101を心の中で数えればよい。負けなど無くなる！
477:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:18:02
>>476
意味が分かりません。
478:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:42:32
>>468
URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)
3ペアってこうですか？わかりません
479:１３２人目の素数さん
09/05/29 21:52:49
>>466
こんな問題、解けるやついるの？
480:１３２人目の素数さん
09/05/29 22:22:44
>>466
色々と計算式を考えてみてもどこかで同じルートだったり抜けがあったりで上手く行かない。
難しいからプログラムでも組んでみようかと思ったがどういうアルゴリズムにすべきか・・・
虱潰しで行くにしても判定が難しいし一回判定したルートを保存するのも大変。
481:１３２人目の素数さん
09/05/29 23:01:52
定石で行けば頂点に適当に順番をつけて、幅優先探索か深さ優先探索だなぁ。
482:480
09/05/29 23:45:49
通る道と通らない道の組み合わせを全通りチェック。
一筆書きの要領で開始点と終了点以外で交点が奇数の部分があれば除外。
というプログラムを組んだが異様なほど時間がかかる。
しかも何か間違えてそうで怖い。
483:480
09/05/29 23:51:19
まあ３流プログラマなんでお世辞にも効率の良いアルゴリズムとは言えないんだが・・・
このペースだと終わるまで3時間くらいか。
組み合わせ自体が（２の２０乗）×（２の２０乗）だし。
・・・これ間違ってないよね？
484:１３２人目の素数さん
09/05/29 23:55:13
>>483
対称性から、始めの一歩を指定しておけば、半分になるぞ！
485:480
09/05/29 23:58:23
>>484
おお、そうだった！
サンクス！
処理が終わったらまた書き込む。
合ってるって確信できないのがアレだけどｗ
486:480
09/05/30 00:18:13
たった今欠陥に気付いた。
組みやすくするために左上から右下というルートで考えてたんだが、
┯━┯━┯━┯━┓
│ │ │ │ ┃
├─┼─┼─┼─┨
│ │ │ │ ┃
├─┼─┼─┼─┨
│ │ │ │ ┃
┏━┓─┼─┼─┨
┃ ┃ │ │ ┃
┗━┛─┴─┴─┨
これでもカウントされてしまう。
つながってるかも判定入れないと・・・
もうギブアップ。
487:１３２人目の素数さん
09/05/30 00:36:42
諦めたらそこでry
488:１３２人目の素数さん
09/05/30 00:42:01
∠ABC=24°の菱形ABCDがあって、
線分BCのC側の延長上に点Eを、∠CDE=30°となるようにとるとき、
∠DAE=30°となることを証明してちょ。
489:１３２人目の素数さん
09/05/30 01:39:48
>>480
漏れのプログラムでは１８４通りとでた。
計算時間は0.2sec
490:489
09/05/30 01:41:57
あ、しもた。
4x4の解釈間違ってるしｗ
3x3でやっちゃった。
491:489
09/05/30 01:44:56
4x4でやり直したら8512通り、計算時間は6.1secになった。
492:１３２人目の素数さん
09/05/30 01:59:07
>>491
プログラムの素人に分かるように解説期盆濡！
493:１３２人目の素数さん
09/05/30 02:07:00
>>480
同じ組合せでも道順は複数あることはわかってるよな？
．．．って、もうギブしてたかｗ
494:１３２人目の素数さん
09/05/30 02:07:52
オンライン整数大辞典様にはばっちり収録されてた
495:１３２人目の素数さん
09/05/30 02:08:01
単純な幅優先探索しか使ってないっす。
496:491
09/05/30 02:22:17
ヒントだけ言うと用意するクラスは
頂点、ルート、ルートの集合の３つ。
それぞれのクラスに用意したメソッドは
頂点
｛
その頂点に隣接する頂点の集合を返す関数
その頂点が4x4のマスの中にあるかどうかを返す関数
｝
ルート
｛
自分自身から一つ頂点を増やしたルートの集合を返す関数
同じ頂点を２度、通ってないかを返す関数
ゴールにたどり着いたかを返す関数
｝
ルートの集合
｛
自分が持っているそれぞれのルートに対して一つ頂点を増やしたルートを集めたルートの集合を返す関数
｝
後は自分でアルゴリズムを組み立てて見れ。
497:１３２人目の素数さん
09/05/30 02:40:00
それは同じ頂点を通らないもの。
498:１３２人目の素数さん
09/05/30 02:42:11
>>496
＞同じ頂点を２度、通ってないかを返す関数
とあるが、今回は同じ頂点は２度通ってもいいというルールと認識しているぞ。
２度通ってはいけないのは「同じ道」
「辺の集合」を持たないといけないから結構面倒。
499:491
09/05/30 02:43:20
あ、なるほど～
やけに簡単な問題に悩んでるなと思ったら、漏れが問題勘違いしてたか。
500:491
09/05/30 03:00:32
一応、プログラム書き直して3x3でやったら800通りになったけどみんなの結果と一致してる？
4x4は結構計算時間が掛かりそうだ。
501:１３２人目の素数さん
09/05/30 03:19:37
通る道は同じでも道順が違うのも考慮しなきゃいけないのか・・・
ℓとΩみたいなので。
わかりづれえorz
502:４９１
09/05/30 03:20:36
幅優先探索なもんだからメモリ食い尽くしちまったぜｗ
ヌルポきたこれｗｗｗ
503:１３２人目の素数さん
09/05/30 03:22:36
NP完全・・・だと・・・・？？？？
504:１３２人目の素数さん
09/05/30 03:30:00
数え終わったのを記憶しておく必要がないから深さ優先で。
505:491
09/05/30 04:03:02
ヌるぽに切れてC++で書き直してやった。
漏れのプログラムでは4x4の結果は323632通りになったよ。
計算時間は9秒。
アルゴリズムは同じく幅優先。
あってるかどうかは知らね。
506:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:06:04
オンラ（ｒｙ
によると合ってる
素辺な経路っていう用語があるのね
507:491
09/05/30 04:15:23
>>506
さんくす。コレで気持ちよく寝れるｗ
ま、>>492は幅優先探索とか深さ優先探索は勉強しといて損はないぞ。
508:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:35:57
>>466 の問題について
準備：
２×２の正方形の連結 （田の字） で考える。
頂点に名を付ける 。 左下から 右へ ABC、中段左からDEF 、上段左からGHI
Aがスタート、Iがゴールである。
スタートからゴールまで同じ道を２度以上通らずに辿る道順を正規のルートと呼ぶ。
問題は、そのような道順が何種類あるのかを数えることである。
GHI
DEF
ABC
道順 ABEHGDEFI は 正規のルートである
道順 ABEDGHEFI は 正規のルートである
このふたつのルートは、道「順」である以上、区別されるべきか？
それとも、通る道は同じなので、同一視するべきか？
509:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:37:08
あ、すまん。501が先に書いてた。
510:１３２人目の素数さん
09/05/30 05:58:30
面倒なのでperlでｗ
しらみつぶしに樹型図を描くようなイメージの素朴なアルゴリズムで探すと、
（なんせperlなんで）数分かかったが、同じく323632通りという結果が出た。
基本的には、現在見ている経路と、その経路上でまだ試していない分岐だけ
覚えておけばいいので、メモリーは全然食わないし、真面目にcとかで書けば
時間もそんなにかからないとは思うが。
ちなみに、２×２は16、３×３は800。
これらは経路リストも出したが、やたら長い経路をたどってみると
なんかPipeDreamみたいになってて笑える。
511:１３２人目の素数さん
09/05/30 06:03:15
4*4の計算が1913年後に終わるorz
おやすみなさい
512:１３２人目の素数さん
09/05/30 06:40:55
んじゃ、n×nの素辺な経路の
経路の長さの最大値は2n^2であること、および、
n≧3の場合は最長経路の描く図形が対角線について対称な２種類しかないこと
を示せ
ってのはどう？
513:１３２人目の素数さん
09/05/30 06:52:12
>>512はちょっと間違ったので書き直し。
n×nの素辺な経路の長さの最大値は2n^2であること、および、
n≧3の場合は、最長経路の描く図形が、向きの違うものを区別すると
ちょうど４種類あることを示せ。
514:１３２人目の素数さん
09/05/30 10:26:23
>>510
Oops!!
Well done.
515:１３２人目の素数さん
09/05/30 10:52:24
＞n×nの素辺な経路の長さの最大値は2n^2であること
nが偶数の場合は出来たけど、奇数の場合は評価が少し面倒そうだな。
516:１３２人目の素数さん
09/05/30 11:44:22
URLﾘﾝｸ(www.research.att.com)
517:１３２人目の素数さん
09/05/30 12:11:56
URLﾘﾝｸ(www.research.att.com)
このサイト便利だな
518:１３２人目の素数さん
09/05/31 04:34:51
n×mができるやつ。 ただし5×5くらいが限界。
それ以上は、経路数が32ビットを超えるのでlong long int をつかうとかして。
4×4がPemM 1.6GHzで5秒くらい。５×５はたぶん半日以上かかると思う。
↓
#include <stdio.h>
#define DX 4
#define DY 4
void main(void)
{
int r[DX*(DX+1)+DY*(DY+1)],m[2][DX+1][DY+1],c=0,x,y,p,n;
memset(r,0,sizeof(r));
for(;;){
memset(m,0,sizeof(m));
for(x=y=p=0;p<DX*(DX+1)+DY*(DY+1);p++){
if(r[p]&1){
if(r[p] 2){
if(--y<0||!(m[1][x][y]^=1))break;
}else if(!(m[1][x][y]^=1)||++y>DY)break;
}else if(r[p]&2){
if(--x<0||!(m[0][x][y]^=1))break;
}else if(!(m[0][x][y]^=1)||++x>DX)break;
if(x==DX&&y==DY){
c++;
break;
}
}
for(n=p;n>=0;n--)if((r[n]=((r[n]+1)&3))!=0)break;
if(r[0]==(DX==DY?1:2))break;
}
printf("%d",c*(DX==DY?2:1));
}
519:１３２人目の素数さん
09/05/31 08:04:36
× if(r[p] 2){
○ if(r[p]&2){
520:１３２人目の素数さん
09/05/31 13:05:45
1x1 2
1x2 4
1x3 8
1x4 16
1x5 32
2x1 4
2x2 16
2x3 72
2x4 335
2x5 1562
3x1 8
3x2 72
3x3 800
3x4 9754
3x5 121130
4x4 323632
4x1 16
4x2 335
4x3 9754
4x5 11171466
5x1 32
5x2 1562
5x3 121130
5x4 11171466
5x5 1086297184
計算の結果