09/01/05 08:00:00
面白い問題、教えてください
2:１３２人目の素数さん
09/01/05 08:04:00
過去ログ
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
まとめwiki
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
1 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
9 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
11 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
12 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
13 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
14 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3:１３２人目の素数さん
09/01/05 18:06:50
立ってる立ってる
4:１３２人目の素数さん
09/01/05 19:08:45
1乙
それにしてもまた下4桁0か
5:１３２人目の素数さん
09/01/06 14:16:53
sage
6:１３２人目の素数さん
09/01/08 12:25:20
自作問題。群論っぽいけど、群論の理論は全くと言っていいほど使わない。
使っても出来るかもしれんが。
問：Snをn対称群とする。τ∈Snを互換の積で表すことを考える。
このとき必要な互換の個数の最小値をS(τ)と書くことにする。
i＝1,2,…,nに対してXi：＝{τ^k(i)｜k∈Z}とおく。
集合X1,X2,…,Xnのうち、(集合として)異なるものの個数を
C(τ)と書くとき、S(τ)＝n－C(τ)となることを示せ。
7:１３２人目の素数さん
09/01/08 12:26:59
用語の訂正。
× n対称群
○ n次対称群
8:１３２人目の素数さん
09/01/08 22:37:38
sage
9:１３２人目の素数さん
09/01/09 19:53:55
転載、しかしよく意味わからん
1000 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2009/01/09(金) 15:43:35
平面上に半径の等しい４つの円がある。
この４つの円は互いに重なることなく自由に動くものとする。
このとき、４つの異なる円周によって作られる領域の最大値を求めなさい。
10:１３２人目の素数さん
09/01/09 20:15:13
アステロイドみたいな形の部分の面積？
11:１３２人目の素数さん
09/01/10 07:29:15
閉曲線によって囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。ってことじゃね？
…てか、意味は分かるんだが、言葉で伝えにくいな。
12:１３２人目の素数さん
09/01/10 07:59:19
図を書けばよかったんでないかい
13:１３２人目の素数さん
09/01/10 14:29:59
(1)xを実数の定数とするとき
a[n+1]=a[n]/2+x/a[n]
で定義される数列a[n]が収束するa[1]の条件を求めよ
(2)x,yを実数の定数とするとき
a[n+1]=a[n]/y+x/a[n]
で定義される数列a[n]が収束するa[1]の条件を求めよ
14:１３２人目の素数さん
09/01/10 16:08:25
>>11
円を隙間なく並べたときにできる三角や四角（ただし辺は直線ではなく円弧）の空間ってこと？
15:１３２人目の素数さん
09/01/11 11:48:06
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
これで伝わるはず。
16:１３２人目の素数さん
09/01/11 12:13:31
なんかパッと見で
１変数の関数で表せそうな気がするんだが
17:１３２人目の素数さん
09/01/11 12:37:47
これ見ると4つの円が他の2つの円と接触していて、かつ
正方形の頂点上に円の中心が来るような並び方が最大になるようにしか見えない・・・
何処に引っ掛けがあるんだろう。
18:１３２人目の素数さん
09/01/11 14:29:42
>>17
証明するのが大変なんじゃないの？
19:１３２人目の素数さん
09/01/11 15:06:33
こんな解答はどうか？
円の半径は1としてよい。一辺の長さが2である任意の平行四辺形Tを考える。
Tの頂点を中心とした半径1の円を各頂点に対して書く(4つ書ける)。
[これら4つの円]∪T の面積をS＝S(T)とすれば、Tを動かしたときのS(T)の
最大値が求める値である。S(T)＝[Tの面積]＋[半径1の円の面積]＝[Tの面積]＋π
であるから、Tの面積の最大値を求めればよい。Tが正方形のとき
最大であることは明らか。
20:１３２人目の素数さん
09/01/11 15:21:19
>>19
ちょうど同似たような回答書こうとしてたら先こされた
ちなみに俺は問題の面積は[これら4つの円以外の部分]∧Tと思ってた（否定の記号の出し方がわからんかった）
まあ大して変わらんが
多分あってるんじゃないかな
ちなみにある円の中心角をθとすれば（0<θ<=π/2）
T=4sinθだからθ=π/2で最大値だね
21:１３２人目の素数さん
09/01/11 16:41:17
改題でもして遊ぼうか
平面上に半径rの３つの円と半径nrの円がある。
この４つの円は互いに重なることなく自由に動くものとする。
このとき、４つの異なる円周によって作られる領域の最大値を求めなさい。
ただし、n及びrは実数で、非0
22:１３２人目の素数さん
09/01/11 16:41:57
×非0 ○非負
23:１３２人目の素数さん
09/01/11 20:12:42
円の個数をM個にしたバージョンも考えられるな。
>>19と同じやり方で解けちゃうけど。
24:１３２人目の素数さん
09/01/11 20:36:46
線形台数の本をゲットした。
「人口の推移を予測するのに、行列を用いた
人口推移モデルが使われる。
ある地域には、100万人が住んでおり、
そのうち都市に60万人、
農村に40万人が住んでいる。
毎年、、都市では9割がそのまま住みつづけ、
1割が農村に移住する。
農村では8割が住みつづけ、
2割が都市に転出する。
この場合、人口の推移はある点（均衡点）に向かい、
そこで安定する。」
って書いてあるんだが、本当？
へぇ～って感じなんだけど。
25:１３２人目の素数さん
09/01/11 21:24:19
均衡点での都市の人口をx万人とすると農村の人口は(100-x)万人で、
都市残留+上京=都市人口で立式して
0.9x+0.2(100-x)=x
0.7x+20=x
20=0.3x
x=200/3
こうか？本当は均衡点の存在証明をこれの前にやらないかんのだろう
ロジスティック式の極端に簡単な例に見えた
詳しくやったことないから知らんけど
26:１３２人目の素数さん
09/01/11 22:10:27
>>13 (1)
・x>0 のときは 定符号。σ=Sgn(a[1]) とおく。
σ･a[n]/√(2x) = b[n] とおくと b[n] >0, 漸化式は
b[n+1] = (1/2){b[n] + 1/b[n]},
・b[1] =1 のときは b[n] =1 (収束)
・b[1] ≠1 のとき
b[n] = 1／tanh(2^(n-1)･α), (n>1) → 1 (収束)
ここに α = (1/2)log((1+b[1])/|1-b[1]|),
・x=0 のとき a[n] = a[1]/{2^(n-1)}, → 0 (収束)
・x<0 のとき a[n]/√(2|x|) = b[n] とおくと、漸化式は
b[n+1] = (1/2){b[n] - 1/b[n]},
b[n] = 1／tan(2^(n-1)･β), (非収束)
ここに β= arctan(1/b[1]),
27:１３２人目の素数さん
09/01/12 00:39:22
>>24
列ベクトルで人口を表す。
初期状態は(60,40)
次の年は、(54+8,32+6)=([0.9,0.2],[0.1,0.8])(60,40)
同様に考えるとn年目は、([0.9,0.2],[0.1,0.8])^n(60,40)であり、n→∞での収束点が均衡点である。
計算は勝手にやって下さい。
28:１３２人目の素数さん
09/01/12 01:03:55
暇だし計算してみた
a[n]=(1/10)^n * ([9,2],[1,8]) * (60 40)
として
A=([9,2],[1,8])
とすると、
A^n=(1/3) * ([7^n+2*10^n,-2*7^n+2*10^n],[-7^n+10^n,2*7^n+10^n])より
lim[n→∞] a[n]=1/3 * ([2,2],[1,1]) * (60,40) = (200/3,100/3)
よって均衡点では都市におよそ67万人、農村におよそ33万人
29:１３２人目の素数さん
09/01/12 02:46:22
もしかしてこの板って行列式の話できないの？（MathMLとかないから）
30:１３２人目の素数さん
09/01/12 04:53:01
28だが、行列の固有ベクトルを作る時と逆行列作る時とに使う奴だよね？って程度の認識。
あれって他に何か利用法あるのかな。
ちなみに当方高校生なのでググれば出る程度の語彙の範囲で説明頼みたい
31:１３２人目の素数さん
09/01/12 05:21:52
>>30
誰にレスしてるの。29 だったら 29 の文意を大幅に取り違えてるぞ。
32:１３２人目の素数さん
09/01/12 11:37:32
>>31
29他がこれから話す事が理解できなかったら結構残念なんで
このスレに来てる人に教えてもらえたらいいなという駄目人間やってました
そろそろセンター対策しないと・・・
33:29
09/01/13 16:44:03
漏れが言ったのは、
MathMLとかTeXとかが使えれば、
行列とか行列式とかをWEBで表記できるから
話ができるけど、そうでないなら、
わざわざ画像にして貼り付けなければならないから、
行列とか行列式の話がとってもやりにくいね！
って意味だったのだけれど。
34:28
09/01/13 23:05:30
やっと把握したorz
文字見て理解できるから問題ないんじゃないかな
それより他に作って解く問題があるし
どうでもいいけどクラスにTeXをテックスと発音する人が居るんだが、放っておいてもいいかな
35:１３２人目の素数さん
09/01/14 00:17:33
恥をかけばすぐに治るので、そのままにしておくとよい
36:１３２人目の素数さん
09/01/18 15:40:03
雑誌でみかけた。
四角形ＡＢＣＤで角ＡＢＤ＝３９度、角ＤＢＣ＝２４度、角ＢＣＡ＝１８度、角ＡＣＤ＝５７度のとき、
角ＢＤＡ＝１５度となることを証明せよ
できんのか？
37:１３２人目の素数さん
09/01/18 21:58:06
CADとADBとの角度がそれぞれ出てこない。足したら42度なのはすぐ分かるんだが。
他の角度はBAC=99,BDC=81
38:１３２人目の素数さん
09/01/19 00:40:35
点A,Bの座標を(0,0),(1,0)としてDの座標を計算すると
D=((tan39°+ αtan42° + β)/(tan39°+tan42°),(tan39°((α-1)tan42° + β))/(tan39°+tan42°))
である。
ただし上の式でαとβは
α=tan63° /(tan63°-tan81°)
β=tan63°tan81°/(tan63°-tan81°)
とする。
これで直線ADの傾きが出るのでtan15°と一致する事を示せばよい。
あとは誰か任せた
39:１３２人目の素数さん
09/01/19 00:59:05
良く考えたら一致するかどうか確かめるのは
tan15°じゃなくてtan(15°+∠ABD)だった。
40:１３２人目の素数さん
09/01/19 19:28:43
>>38
その方針でやってみたら、機械的に求まったけど、膨大な計算になった
AD の傾き a とすると
a = tan(∠BDA + ∠ABD) = tan(∠BDA + 39°)
∴ tan(∠BDA) = (a - tan(39°)) / (1 + a*tan(39°))
>>38 より
tan(∠BDA) = t39 (t81 - t63) (t39 + t42)
/ (t63(t39 + t42) + t81(t63 - t39) + (t39)^2 t81 (t42 + t63))
(t39 は tan(39°) の意味、他も同様)
t39 = (4-3√3-2√5+√15 + (-1+2√3+√5)√(5-2√5)) / 2
t42 = (√3+√15 - (3+√5)√(5-2√5)) / 2
t63 = -1 + √5 + √(5-2√5)
t81 = 1 + √5 + (2+√5)√(5-2√5)
より
tan(∠BDA) = (297-170√3-131√5+76√15 + (-94+55√3+44√5-25√15)√(5-2√5))
/ (84-43√3-34√5+21√15 + (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5))
分母、分子に
84-43√3-34√5+21√15 - (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5)
を掛けて分母の √(5-2√5) を消す
tan(∠BDA)
= (89-53√3-41√5+23√15) / (19-17√3-13√5+5√15)
= 1/(2+√3)
= tan(15°)
41:１３２人目の素数さん
09/01/19 20:14:58
>>40に敬礼
42:１３２人目の素数さん
09/01/19 20:24:27
では次は初等幾何で。
43:１３２人目の素数さん
09/01/19 22:18:47
任意の三角形ABCにおいて、各辺を底辺とする三つの正三角形を△ABCの外部に描く。
三つの正三角形の重心を結んでできる三角形は、やはり正三角形であることを示せ
44:１３２人目の素数さん
09/01/19 22:29:33
>>36の証明を初等幾何で。
45:１３２人目の素数さん
09/01/20 03:33:59
>>43
ポルナレフの定理でつね
46:１３２人目の素数さん
09/01/21 14:39:16
2項係数C(n,k)=n!/{k!(n-k)!}が奇数であるための条件は、
n,kを2進数で表したとき、各位のビットについてそれぞれ
kのビットが1ならばnのビットも1であることである。
これを証明せよ。
47:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:24:56
a[1]=b[1]=1
a[n+1]=a[n]-b[n]
b[n+1]=a[n]+3*b[n]
を満たす数列a[n],b[n]がある。
(1)a[n]+b[n]を求めよ
(2)a[n],b[n]を求めよ
48:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:35:17
扉が左右2つあり一方は天国､もう一方は地獄への扉です
扉の前に門番が3人(3人ともどちらが天国への行き先か知っている)がいます
門番の内､
一人はいつでも正直な事を言う正直者
一人はいつでも嘘をつく嘘つき
一人は適当に｢はい｣か｢いいえ｣で答えます
3人の門番は見た目では区別できません
また､門番への質問は合わせて2回までしかできません
さらにこの3人の門番は｢はい｣か｢いいえ｣の2つの返事しかしません
この門番たちにどの様な質問をすればどちらが天国への扉かが判るでしょうか？
49:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:59:47
1回でわかる気がするといってみるテスト
50:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:18:27
京都+大阪＝東京
これを証明せよ
51:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:31:06
質問できる相手は１回にひとりなんじゃないの？
52:１３２人目の素数さん
09/01/22 21:33:23
まずランプの精を呼び出して質問の数を増やしてもらう
53:１３２人目の素数さん
09/01/23 00:58:35
>>47宿題乙
答えだけ書いとくね。
(1)2^n
(2)an=(2-n)2^(n-1),bn=n*2^(n-1)
54:１３２人目の素数さん
09/01/23 02:53:41
>>48
３人の門番をａ、ｂ、ｃと呼ぶ。
【１回目の質問】：ａに対し、「あなたは、『ｂは適当に答える門番（以下Ｔと呼ぶことにする）
ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」
ａがＴでないのなら、（仮に嘘つきであっても）「この質問へのａの返事が『はい』」⇔「ｂはＴ」
が成り立つことに注意すると、
「この質問へのａの返事が『はい』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴなので、
ｃはＴでない。
「この質問へのａの返事が『いいえ』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴでないので、
ｂはＴでない。
【２回目の質問】：１回目の質問で、Ｔでないと判明した門番に対し、
「あなたは、『右が天国への扉ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」
55:１３２人目の素数さん
09/01/23 07:56:09
>>54
それだと、問題文に加えて
「３人の門番は、互いに、誰がどんな性格であるか知っている」
という条件が必要になるのでは。
56:１３２人目の素数さん
09/01/24 06:54:44
２つとも天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？
57:１３２人目の素数さん
09/01/24 07:02:15
みぎは天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？ ー＞左が正解
58:１３２人目の素数さん
09/01/24 10:13:04
URLﾘﾝｸ(www.sciencedaily.com)
59:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:39:42
F(x)=x+(1-x)+(1,0)
F(0)=0+1+(1,0) 0+1+0->2=F 0+1+1->0=T
F(1)=1+0+(1,0) 1+0+1->T=1 1+0+0->T=1
60:１３２人目の素数さん
09/01/25 04:50:44
>>48の問題をクリアするには２つを満足させる必要がある。
１） どちらか一方の門が天国または地獄への門であることを確定させる。
２） １）を確定させるための質問をする相手が、適当に答えるひと以外であることがわかっている。
１）はまあ当然として、２）については、質問の答がランダムな「はい/いいえ」でないための保障として必要。
もし尋ねた相手が適当に答えるひとだったら、その答には価値のある情報を含まないので。
正直、嘘吐きの定義からすると、はい、いいえ、で答えられない質問には答えてくれなさそうだ。
しかし、もうひとりは、どんな質問にでも「はい」か「いいえ」という答を返すようである。
たとえば、「あなたの年齢はいくつですか？ 」という質問に、正直と嘘吐きは答えないが
適当なひとは、「はい/いいえ」のどちらかを答えるだろう。
先の質問は、質問した相手が適当に答える人なのかそうでない人なのかを特定することができそうだ。
そこから先は、もうよくある問題と同じ。
61:１３２人目の素数さん
09/01/25 12:56:25
基本は、１回目で適当に答える人ではない人を１人探すこと。
１回目の質問：正直者は「はい」、嘘つきは「いいえ」と答えるような質問をする。
（「あなたは門番ですか」等）
すると、適当に答える人はそのどちらかと答えが重複するので、重複しなかった人を対象に
２回目の質問をすればＯＫ。
１回目でこの手のパズルでよくあるようなややこしい質問をしようと考えるから
かえって難しく見えるが、少数決に気付けば実はシンプルな問題。
62:１３２人目の素数さん
09/01/25 14:39:12
>>61
一度に複数の人に質問できるなら、そんなめんどくさいことしなくても
54の方法で「『右が天国への扉ですか？』と訊かれたら『はい』と答えますか」と訊けば49の言うように1度で済むじゃんよ
63:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:03:35
>>62
そうか。通りがかりで適当に答えたら失敗したな。すまん。
では改訂版
１回目：「質問した相手が嘘つきか正直者だと仮定すると、残りの２人のうち嘘つきか正直者を特定できる」ような質問をする。
たとえばａに「『ｂが嘘つきであるか、またはｃが正直者である』という命題は正しいですか？」ときく。
答えが「はい」なら、ｂが嘘つきまたは正直者、「いいえ」なら、ｃが嘘つきまたは正直者。
その結果嘘つきまたは正直者のどちらかであると判明した１人に２回目の質問をすればいい。
結局>>54と同じだな。（そこで終わってた話題であったか。重ねてすまん）
>>55の条件はやっぱり必須だろう。
64:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:23:25
> >>55の条件はやっぱり必須だろう。
>>60で否定的に解決してるじゃん。
65:54
09/01/25 20:55:05
>>60はある意味とんちクイズみたいな答えだと思ったけど、
確かに問題文には、「はいかいいえで必ず答えられる
質問しかしてはいけない」（※）って断りはないね。
ところで>>55の条件が絶対要るって示せるんだろうか？
（正確には、それプラス上の※の条件）
古典的な命題論理みたいな議論でいけるかと思ったけど
頭が混乱してきてわからんくなった・・・。
xに対して真偽が問える命題の集合を、
Hx:xは正直者
Lx:xは嘘つき
Tx:xは適当に答える
R:天国への扉は右
とその論理演算で書けるもの全体として、
命題Pに対する返事が仮に「いいえ」だったら、
(Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨T
・・・みたいな感じで。
66:１３２人目の素数さん
09/01/25 23:57:54
>>50
KYOTO+OSAKA=TOKYO
これに数字を当てはめて完成させればいいの？
67:65
09/01/26 00:45:46
一応きちんと書いてみる。
（この定式化で果たして合っているんだろうか？？当方論理学には不慣れなので・・・）
門番x(=a,b,cと名づける)に対して真偽が問える命題(>>65)のことを
P(x)などと書くことにして、
示すべきは、
『・Xa,Xb,Xc(X=H,L,T)の排他的論理和が真
・Hx,Lx,Tx(x=a,b,c)の排他的論理和が真
→
∀x,∀P(x),(
((Hx∧P)∨(Lx∧￢P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))
∨
((Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))
)』
68:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:54:52
>>67
論理パズルは真理表書いたら瞬殺だよ
69:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:02:29
あー、括弧やら否定やらがいろいろ狂ってる・・・
心の目で読んでほしいけど根本的に間違ってるかも。
70:１３２人目の素数さん
09/01/26 07:28:01
常に「はい」と言う嘘吐き。
71:１３２人目の素数さん
09/01/27 16:14:12
URLﾘﾝｸ(myhome.cururu.jp)
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
w
72:１３２人目の素数さん
09/01/27 18:02:34
嘘吐きは、常に嘘を言うひとではなく、嘘も言うひとのことだ。
73:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:46:27
そのとおり。
そして正直者は、常に正しいことを言うひとではなく、正しいことも言うひとのことだ。
74:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:47:01
それは違うwｗ
75:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:16:07
箱が2009個並んでいて、
どれか1つに「当たり」と書かれた紙が入っている。
その箱より右の箱には「左」と書かれた紙が、
左の箱には「右」と書かれた紙が入っている。
（つまり、当たりの箱がある方向を示している。）
これらの箱から1つずつ選んで開けていき、
当たりの箱がどの箱か特定できたら終了とする。
開ける箱の個数の期待値を最小にするには
どうすればよいか。
76:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:17:05
二分探索でやれば最小だろうな。
77:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:23:25
最悪ケースの最小値なら二分探索だろうけど、平均もそうなんだろうか。
78:１３２人目の素数さん
09/01/28 15:33:05
>>75
頼むから、
「どの箱があたりである確率も1/2009である」ということを
条件として書いてくれ。
79:１３２人目の素数さん
09/01/28 21:47:55
>>78
条件：どの箱があたりである確率も1/2009である
80:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:10:29
>>79
頼むから、
馬鹿にしないでくれ。
81:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:28:11
どの箱があたりである確率も1/2009である
82:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:46:43
「当たりの箱がどの箱か特定できたら終了」
ってのがポイントかな？
「当たりの箱を開けたら終了」
ってのと微妙に違う。
箱の個数が少ない場合を計算してみると、
つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。
誰かプログラム組んで計算してほしいんだけど。
83:１３２人目の素数さん
09/01/29 02:16:00
986番目くらいがいいな
84:１３２人目の素数さん
09/01/29 12:49:22
>>82
＞ 箱の個数が少ない場合を計算してみると、
＞ つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。
kwsk
85:１３２人目の素数さん
09/01/29 13:53:49
素朴な二分法が、ベストではない、最も、単純なケースは箱が５個の場合
最初に真ん中（３番目）の箱を開ける場合
１／５の確率で１回で特定可能、４／５の確率で２回で特定可能、従って、９／５回
最初に、２番目の箱を開ける場合
２／５の確率で１回で特定可能、３／５の確率で２回で特定可能、従って、８／５回
箱の数が19個の場合
10－5,15－2,7,12,17－3,8,13,18
（一回目は10番目、２回目は5番目か15番目、．．．の意）
これは、当たりが3,4,8,9,13,14,18,19の何れかであった場合は、４回目の開封を
行わなければならない方法である。
しかし、次のような方法もある。
8-4,12-2,6,10,16-14,18
これは、当たりが、13,14,15,17,18,19の何れかであった場合だけ、４回目の開封を
行わなければならない方法である。
86:１３２人目の素数さん
09/01/31 23:45:58
お金を預けると1年毎に1/2の確率で2倍か2分の1になる銀行があります(端数もきちんと計算する)
(1)この銀行に1万円あずけた時,10年後は平均で何円になってるでしょうか
(2)同じ銀行が10店舗あって､それぞれに1年,1万円ずつ預けたら1年後の期待値は?
(3)同じ銀行が無限店舗あって,10年間で手持ちの1万円をできるだけ増やすのに最適な預け方は?
また,その時の期待値は?
87:１３２人目の素数さん
09/02/01 00:21:46
n年後に最初の金が2^(2k-n)倍になっている確率はnCk/2^n
(1)は二項定理で計算して(5/4)^10(万円)
(2)(3)は線形性から預け方によらずn年後に(5/4)^n倍になる
88:１３２人目の素数さん
09/02/01 01:31:19
>>86
「最適な」の定義にもよるな。
期待値ではなく「得する可能性」を上げたいなら、分散投資するけど
89:１３２人目の素数さん
09/02/03 13:13:32
p1～pnの中から最大のものを取り出す関数max（p1,p2,p3,….,pn) と
最小のものを取り出す関数min（p1,p2,p3,….,pn)を使って
５個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の３番目の数値）
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。
90:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:27:10
min(max(pi,pj,pk)[1≦i<j<k≦5])かなあ。
91:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:41:22
> [1≦i<j<k≦5]
ココの意味がわからん。 繰り返しの指定とかなの？
92:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:49:26
iｊｋが条件を満たす
max(pi,pj,pk)を全部という意味じゃないか？
書き下すなら
max(p1,p2,p3),max(p1,p2,p4),max(p1,p2,p5),max(p1,p3,p4),max(p1,p3,p5),
max(p1,p4,p5),max(p2,p3,p4),max(p2,p3,p5),max(p2,p4,p5),max(p3,p4,p5)
になる。
93:90
09/02/03 19:57:42
フォローｻﾝｸｽ。min[1≦i<j<k≦5](max(pi,pj,pk))と書くべきだったか。
94:１３２人目の素数さん
09/02/03 20:27:56
なるほど、テクニカルで面白いな。
数式処理ソフトで使えそう。
95:１３２人目の素数さん
09/02/03 21:07:30
5->3->1
96:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:09:55
加減乗除と絶対値記号のみを使って
5個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の3番目の数値）
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。
97:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:33:32
max(a,b)を作ればminも、n変数のmax,minも出来る。
max(a,b)=(|a-b|+a+b)/2 以下関数合成を繰り返す
98:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:49:30
n個の数の中で大きいほうから数えてm(<n)番目の数を与える関数を
f_{n,m} (p1, ........., p_n)とする。
max{x,y}、min{x,y}から関数合成を行うことによって
決して構成できないようなf_{n,m}は存在するか。
無いならそのことを示し、あるならば反例を与え、そのnとmに対して
関数合成によって決してf_{n,m}にならないことを示せ
99:１３２人目の素数さん
09/02/04 04:04:08
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
100:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:03:40
>>98
任意個の変数のmax、minは容易に作れるから、
あとは>>90と同じやりかたでf_{n,m}も作れる
101:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:30:55
>>99
直感的には、n個から重複を許してr個とるわけだから、
まず種類１をn-m個、次に種類２をn-m-l個、・・・ととるのだと考えれば成り立つ。
nH1,1Hn=1に対しては成立。（r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1
だと解釈）
n+rに関する帰納法。この和がn+r-1のときまで成り立っているなら、
nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
=Σ[m=1,n-1]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) } + Σ[l=1,n]…(Σ[j=1,k]j)
=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
よりこの和がn+rのときも成り立つ。
102:101
09/02/04 18:48:56
miss!
>nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
nHr=(n+r-1)Cr=(n+r-2)Cr+(n+r-2)C(r-1)=(n-1)Hr+nH(r-1)
103:101
09/02/04 20:32:20
あ、
>r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1 だと解釈
r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=n だと解釈
しないとうまくいかないな。
こうしておけば帰納法はうまく進むので問題なし。
104:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:31:41
>>99
多項式(x+1)^(n+1)-1を考える。二項定理から(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]C[n+1,k+1]x^(k+1) …(1)
(ここでC[n,k]は2項係数を表す。)一方、
(x+1)^(n+1)-1={(x+1)-1}Σ[k=0,n](x+1)^k=xΣ[k=0,n]Σ[l=0,k]C[k,l]x^l
右辺を整理すれば(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]{Σ[l=k,n]C[l,k]}x^(k+1) …(2)
(1),(2)の係数を比較することでC[n+1,k+1]=Σ[l=k,n]C[l,k]を得る。
書き直せばC[n+k,k+1]=Σ[l=1,n]C[l+k-1,k] これより
Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]j_(r-1)
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]C[j_(r-1),1]
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-3)]C[j_(r-2)+1,2]
=…
=Σ[j_1=1,n]C[j_1+r-2,r-1]
=C[n+r-1,r]
=H[n,r]
105:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:58:39
>>99
nHr = (r+1)H(n-1) は、次の非負整数解の個数と同じ
x_1 + x_2 + … + x_{r+1} = n-1.
そこで、
y_i = 1 + x_1 + x_2 + … + x_i (i = 1, 2, ..., r+1)
と換えると、
1 ≦ y_1 ≦ y_2 ≦ … ≦ y_r ≦ y_{r+1} = n.
これを数えると、題意の等式を得る。
106:１３２人目の素数さん
09/02/07 15:58:51
つURLﾘﾝｸ(www.sonnyradio.com)
107:１３２人目の素数さん
09/02/11 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
109:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:16:35
>48
1+1=2?
天国は右？
110:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:59:43
a[1]=1,a[2]=3,b[1]=1,b[2]=1
a[n+2]=(4n+2)a[n+1]+a[n]
b[n+2]=(4n+2)b[n+1]+b[n]
とするとき
lim[n→∞]a[n]/b[n]を求めよ
111:１３２人目の素数さん
09/02/15 04:01:43
(改変転載)
一辺が１の正四面体Ｔが、厚さの無視できる壁に開いた
半径ｒの円形の穴を通過する。半径ｒの最小値をもとむ。
112:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:06:27
>>111
>もとむﾜﾛﾀ
外接円考えてr=1/√2じゃないの？
113:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:09:39
よく見たら正四面体か。
r=1/√3かな。
114:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:20:04
ばかｗ
115:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:41:24
(0,0,0),(1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,1/√2)
を結んだ正四面体を考えてr=1/2
116:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:06:12
転載
◆ わからない問題はここに書いてね ２５５ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 03:59:34
>>213>>214
1/2より小さくできると思う。
正四面体をOABCとし、OBとOC上にそれぞれM,Nを取ったとき、
△AMNの外接円の半径の最小値が答えになると予想。
ちなみにM,NをOB,OCの中点としたときは9/(8√11)≒0.34。
この付近に最小値を与える点があるはずなんだが、
式が爆発して手が着けられなくなった。
225 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 15:26:47
>>215
なぁ、本当に0.34まで小さくなるか？
ちょっとやってみたんだが
O(0,0,0) A(Sqrt[3]/3,0,Sqrt[6]/3) B(Sqrt[3]/2,1/2,0) C(Sqrt[3]/2,-1/2,0)
としてOM:MC=s:1-s,ON:NB=t:1-tと置いて内積使って正弦定理を書き直して求めてみた。
URLﾘﾝｸ(www2.uploda.org)
どうもそんなに小さくならなさそうなんだが……俺なんか間違えたかな？
117:116
09/02/15 20:08:33
上の 225 の外接円の半径 R は
R^2 = (1-s+s^2)(1-t+t^2)(s^2-st+t^2)/(3s^2-2st+3t^2 - 2st(s+t) + 3s^2t^2)
で、これは自分(≠225)も確認
ただし、△AMN が円に納まる条件は
min(R, (1/2)max(AM, AN, MN)) ≦ r
max のほうは鈍角三角形の場合
118:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:35:00
確か「幾何学の散歩道」か何かに、
一辺1の立方体に穴を開けて別の立方体を通したい。
通る立方体の一辺の長さの上限を求めよ、みたいな問題があって
1よりも何%か大きくなるとかなんとかで、結構意外な問題だったと思う。
手元にたぶん無いんでアレだが。
119:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:27:18
>>111
r = 0.44780569665327156030029247262839…
らしいよ。
>>116-117
漏れも そんなに小さくならなさそうだとｵﾓﾀ.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:284-286番)
数学セミナー
120:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:50:44
>>117
鈍角三角形ってなりえるかな？
121:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:30:53
(i)
xy平面上に4個の点O,A1,A2,A3がある。
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値を求めよ。
例
O(0,0) A1(0,1) A2(1,0) A3(1,1)とすると
α=2+2√2、β=4よりα/β=(1+√2)/2
(ii)
3次元ユークリッド空間上にn個の点O,A1,A2,A3,…,A[n-1]がある。(ただしn≧4)
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3,…A[n-1]を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値はnの式で書けるか？書けないならその事をを示せ。
122:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:47:19
「面白い」の定義を数式を用いて述べなさい。
【配点 5 点】
123:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:27
面白い⊆興味深い
124:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:55
interesting と funny で区別とかするよね
125:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:02:51
数学でfunnyってどういうのだろう？
文体なんかでfunnyに見せるのであれば芸がないな
126:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:04:42
>>120
なる
自分は t=0 で s→0 にすると R が変な値になって気がついた
127:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:18:13
>>125
「点」「直線」「平面」を「机」「椅子」「ジョッキ」と言い換える
128:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。
全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか？
129:１３２人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)
130:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)
>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき
これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小
このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697
131:１３２人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128
裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→［★］
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]
以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)
もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。
132:１３２人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う
133:１３２人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
＞ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k＋1)/2 (k＝0,1,2,…,2^n－1)は全て異なる。
134:１３２人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。
135:１３２人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…
平面上にいて見える景色について考える。
球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が０の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう？
136:１３２人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。
137:１３２人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。
球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
きれいに収めることはできない。
曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は０で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。
138:１３２人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど
139:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス！
140:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
141:１３２人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの？
142:１３２人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140は>>137に恋心を抱いているだけだ
143:１３２人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの
144:１３２人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの？
145:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か？
146:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ
147:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし
148:１３２人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題ｷｳﾞｫﾝﾇ
149:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々４つの直交行列（Aに依存してよい）の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の４という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。
150:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ！まさか４色問題がらみ？
と直感だけで言ってみる。
151:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。
152:１３２人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら，４色問題よりラグランジュの４平方和定理（全ての自然数は高々４つの平方数の和で表せる）の方が近いだろう。
153:１３２人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな？
154:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間＝獣を証明せよ
155:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか？
156:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか
157:１３２人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪＝東京 ,これを証明せよ
京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。
158:１３２人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157
「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕 の
「§京都銘菓＼おたべ 」 は (有)あど・おたべ〔京都〕 の (4484724号)
「大阪新名物＼たこ焼き＼ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木･今市〕の (4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕 の 登録商標でつ。。。
159:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:209番)
実数a,b,c,x,y,zが
ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720
を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ
160:１３２人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…
161:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)
関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0 …(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})
ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1) (n = 1,2,3) …(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす
∵)
(t^(n-1), 1) = n! …(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n! (n = 4,5,6) を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■
162:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896
# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど
163:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題？
164:１３２人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。
165:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが･･･
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
x = 4 + 4･cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833･･･
y = 4 + 4･cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227･･･
z = 4 + 4･cos( π/9) = 7.7587704831436335362164371092989･･･
{a,b,c} は 次の多項式の根。
g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3･12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337･･･
b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642･･･
c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212･･･
166:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C, >>161
から出まつね。
167:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ
168:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。
数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt (xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
が成り立つことを示せ。
169:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか
170:１３２人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい
171:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて
172:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171 （>>164にあるp[n]の母関数を使いました）
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく：
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。
f(t):=F'(t) は（A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと）
f'''-Af''+Bf'-Cf=0 を満たすので
g(t):=G'(t) に対して g'''-Ag''+Bg'-Cg の2次までの項は無い。(※)-->>173
実際に計算すると（h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg とおくと）
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと A=12, B=36, C=24 が得られる。
173:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注：一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数 f'''-Af''+Bf'-Cf と g'''-Ag''+Bg'-C のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。
手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを１行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);
結局これもゴチャゴチャしとるな・・・
174:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:54:39
訂正：>>173の二行目
（誤） g'''-Ag''+Bg'-C
（正） g'''-Ag''+Bg'-Cg
175:１３２人目の素数さん
09/03/22 15:25:07
マクローリン展開のn-3次の項がうんぬんとかやるくらいなら
もう行列式の値を x、y、z の対称式として愚直に
計算したほうがすっきりしてるような
176:１３２人目の素数さん
09/03/22 16:10:59
A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz とおくと
x^4 = Ax^3 - Bx^2 + Cx
y^4 = Ay^3 - By^2 + Cy
z^4 = Az^3 - Bz^2 + Cz より 24 = ax^4 + by^4 + cz^4 = 6A-2B+C
x^5 = Ax^4 - Bx^3 + Cx^2
y^5 = Ay^4 - By^3 + Cy^2
z^5 = Az^4 - Bz^3 + Cz^2 より 120 = ax^5 + by^5 + cz^5 = 24A-6B+2C
x^6 = Ax^5 - Bx^4 + Cx^3
y^6 = Ay^5 - By^4 + Cy^3
z^6 = Az^5 - Bz^4 + Cz^3 より 720 = ax^6 + by^6 + cz^6 = 120A-24B+6C
これで終りだった・・・orz
177:１３２人目の素数さん
09/03/22 23:50:03
>>176
神ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
178:171
09/03/22 23:59:37
>>172-176
サンクス
これから読ませてもらう
179:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:05:25
充分に大きい白い容器と黒い容器が無限個ある。
最初、ひとつの白い容器に純水が 1kg、
ひとつの黒い容器に 100% のアルコールが 1kg 入っている。
以下の操作を好きなだけ行って、最終的にひとつの白い容器になるべく
アルコール濃度の高い 1kg の液体を作りたい。
このアルコール濃度の上限はいくらか？
可能な操作
・ひとつの容器から同じ色の別の容器(空でなくてもよい)に好きなだけ液体を移してよく混ぜる
・白い容器と黒い容器をひとつずつ取り、両方の容器の液体を一緒にしてよく混ぜて、
もとの質量と同じだけ両方の容器に分ける
(混ぜる前に、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体が入っていたら、
混ぜたあとも、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体を入れるということ)
180:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:24:01
濃度は重量濃度です
アルコール濃度 = 液体中のアルコールの質量 / 液体の質量
181:１３２人目の素数さん
09/03/24 14:14:48
白い容器のほうの濃度を a、黒い容器のほうの濃度を b 、
操作後の濃度を a1 及び b1 とすると
a < a1 < b1 < b が分かる。
また a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
二番目の操作を繰り返すことによって白い容器内の濃度は 1/2 に
限りなく近づけることが出来る。よって50%。
182:１３２人目の素数さん
09/03/24 18:53:59
1 - exp(-1) ≒ 0.632 まで濃度をあげられるんじゃないか？
183:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:14:35
体積モル濃度を調べよう。
184:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:46:50
>>181
> a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
ここの理屈がわからん。
なぜa1>1/2だと、アルコールの量が増えたことになるんだ？
185:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:01:03
1) 最初に白い容器の純水をｎ個の白い容器に等分する。
2) 次に、n個全ての白い容器に対して、その白い容器をひとつと黒い容器を混ぜ、戻す。
3) 最後にｎ個の白い容器のをすべてひとつの白い容器に集める。
たとえば、n が ２の場合
1) 純水を白い容器２つに1/2kgづつに分ける。
2-1) ひとつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは2/3kg
2-1) ふたつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。 ここで黒い容器に残るアルコールは(2/3)^2 = 4/9 kg
3) 白い容器をすべて集めると、アルコールは1-4/9 = 5/9 kg
ここで >>181の
＞ a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
は、正しくないことがわかる。
この方法だと、白い容器に入るアルコールの量は、 1-(n/(n+1))^n なので、使用する白い容器の数を増やせば
最大で lim_{n->∞}(1-(n/(n+1))^n) = 1 - exp(-1) のアルコールを白い容器に入れることができる。
これが最大かどうかは知らん。
186:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:03:20
× 2-1) ふたつめの
○ 2-2) ふたつめの
187:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:05:08
瑣末なことだが、白い容器は３個あれば事足りる。
188:１３２人目の素数さん
09/03/25 06:54:29
ｎ等分ではなく
１番目の白い容器には1/n、２番目の容器には1/n × (n/(n+1)) … と等比になるように分配する
つまり ｎ番目の容器には 1/n × (n/(n+1))^(n-1) の水。 # この数列の和はもちろん1
(2)以降の操作は同じ。
きちんと計算はしていないが、
nを大きくとれば、白い容器のアルコールを、いくらでも１に近づけることができると思うが、どうだろうか。
189:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:07:32
訂正：
× １番目の白い容器には1/n
○ １番目の白い容器には1/(n+1)
190:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:16:12
あ、ダメか
1 - exp(-1) は超えられないや。
191:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:03:09
某サイトからの引用。
2人組の手品師AとBが、観客に対して次のようなマジックを行なう。
問： このマジックのタネ(phase0 の内容)を考案せよ。
(phase0)
事前にAとBは綿密に打ち合わせをしておく。
(phase1)
Bには目隠しと耳栓をさせる。Aは1組52枚のトランプカードを
全て観客の一人に渡し、その中から好きな5枚を選んでもらう。
余った47枚はその場で廃棄する。
(phase2)
Aは、観客が選んだ5枚の内容を確認した上で、その中の1枚を指定する。
観客はAが指定した1枚を手に残して隠し持ち、その他の4枚をAに返却する。
Aはその4枚を表向きにして机の上に並べ※、舞台から退場する。
(phase3)
Bが目隠しを外し、机上の4枚を見て観客の手にある1枚を当てる。(終了)
※4枚のカードを机の上に並べる際は、あらかじめ固定された
「同じ向き」「等間隔」「一列」のポジションに置かなければならない。
Aのアレンジが許されるのは、4枚の「並び順」のみであるとする。
192:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:16:34
コマ大のやつね
193:191
09/03/26 02:56:14
あらら。有名だったのかな。
一応、引用元はここの19番なんだけど。
URLﾘﾝｸ(www.qbyte.org)
他にもいろいろ面白いのがありそうでマジお勧め。
皆さんも気に入ったのがあったら翻訳転載よろ。
194:179
09/03/26 07:29:29
>>190
その方法はまだ計算してないから、上限がいくらかは分からないけど、
別のやり方で 1-(1/e) 以上にできます
>>193
そのサイトの方法だと52枚までだけど、もっと枚数増やせないんだろうか
195:１３２人目の素数さん
09/03/26 13:42:27
>>193
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
この後半に紹介されているが、そこから採ったのかも。番組では実演して失敗してた。
196:１３２人目の素数さん
09/03/26 17:30:35
a
197:１３２人目の素数さん
09/03/27 00:24:19
>>194
直後の第20問で、124枚まで増やした場合が採り上げられてるよ。
198:１３２人目の素数さん
09/03/27 03:08:48
以下の条件を満たす四角形は存在するか？
存在するなら例示し、存在しないならその事を証明せよ。
(i)
三辺の長さと対角線の長さが全て整数
(ii)
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
199:198
09/03/27 03:14:11
書き損ねた。
(iii) (ii)を満たし、かつどの2辺をとっても長さが等しくならない。
200:１３２人目の素数さん
09/03/27 13:22:54
(iii)とは？
201:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:28:19
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
かつ
どの2辺をとっても長さが等しくならない。
すると(ii)は円か何かを使うのかな。
202:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:40:57
(i)(ii)は同じ長さの辺があってもいいの？
もしそうなら、例えば縦横比3:4の長方形（対角線は5）があるけど。
203:１３２人目の素数さん
09/03/27 23:31:05
くそ、卑猥な記号ばかり並んでやがる
204:１３２人目の素数さん
09/03/28 01:19:56
問題 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,
問題 2.
(a) 2008のすべての約数d >0 に対して P(d) = 2008/d,
となるような 整数係数の多項式P(x)は存在するか?
(b) nのすべての約数d >0 に対して P(d) = n/d,
となる整数係数の多項式P(x)が存在するような自然数nを求めよ。
問題 4.
ｆは正整数から非負整数への写像とする。次の条件を満たすｆをすべて定めよ。
(1) f(mn) = f(m) + f(n),
(2) f(2008) = 0,
(3) f(n) = 0, for all n≡39 (mod 2008).
問題 5.
nを自然数とするとき、数列 n + [√n] + [ n^(1/3) ] に含まれない自然数をすべて挙げよ。
ここに [ x ] はx以下の最大の整数である。
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
2008/06/07～08
205:１３２人目の素数さん
09/03/28 18:10:26
問2への答え
(a)2008=251*8より約数は1,2,4,8,251,502,1004,2008の8つ。
今f(1)=2008,f(2)=1004,f(4)=502,f(8)=251,f(251)=8,f(502)=4,f(1004)=2,f(2008)=1
よってf(x)=(x-1)A(x)+2008=(x-2)B(x)+1004=(x-4)C(x)+502=(x-8)D(x)+251
=(x-251)E(x)+8=(x-502)F(x)+4=(x-1004)G(x)+2=(x-2008)H(x)+1
一般にA(x)とD(x)の次数が同じならば、A(x)～H(x)を整数係数多項式として
f(x)=A(x)B(x)+C(x)=D(x)E(x)+F(x)と書ける時、f(x)=A(x)D(x)G(x)+H(x)と書ける為
与式を満たす整数係数多項式P(x)は存在する。
(b){n|nの平方根が整数にならない}
206:１３２人目の素数さん
09/03/28 19:04:00
>>205
(b)なんだけど、おれが考えた答えと違う。
x = (nの約数) のとき、 xP(x)-n = 0 である。
よって xP(x)-n = Q(x) (x-d_1) (x-d_2) ... (x-d_m) (ただし、d_i はすべての n の約数を渡る。Q(x) は適当な整数係数多項式)
両辺の定数項を比較して n は d_1 * d_2 * ... * d_m の倍数である。
ｎの約数はn自身も含むので、nが素数でなければ、n < d_1 * d_2 ... * d_m となるので
nが素数であることが必要条件。
逆に n が素数なら、xP(x) - n = -(x-1)(x-n) = -x^2 + (n+1)x - n として
P(x) = x - (n+1) をとればいい。
よって n が素数であることが必要十分。
207:１３２人目の素数さん
09/03/29 03:15:42
nが素数のときはP(x)＝x－(n＋1)とすればよい。
nが合成数のときは、ある素数p,qについてn＝pqmとなる。
P(x)の定数項をaとする。
p＝qのとき：仮定よりP(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。
次に、x＝pとして、P(p)＝n/p＝pm となるからP(p)≡0 (mod p)
一方、P(p)≡a≡1 (mod p)だから、矛盾。
p≠qのとき：P(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。また、
P(pm)＝n/(pm)＝qだから、a≡P(pm)≡q (mod p)となり、よってq≡1 (mod p)が
成り立つ。つまりp｜(q－1)が成り立つ。これとq－1＞0より、q－1＞pとなる。
pとqの役割を入れ替えても同様の議論が成り立ち、そのときp－1＞qが得られる。
よってq－1＞p＞q＋1となり、矛盾。
208:１３２人目の素数さん
09/03/29 06:45:31
>>205
f(x) = (x-1)A(x) +2008,
A(x) = -1004 + (x/2 -1)[502 -(x/4 -1){251 - (x/8 -1)[8 -(x/251 -1){4 - (x/502 -1)[2 - (x/1004 -1)]}]}] + r(x)
= -1004 + 502(x/2 -1) -251(x/2 -1)(x/4 -1) +8(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1) -4(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1) +2(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1) -(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1)(x/1004 -1) +r(x)
r(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-251)(x-502)(x-1004)(x-2008)g(x),
209:１３２人目の素数さん
09/04/01 01:19:15
数日前に質問スレで、以下の趣旨の問題が投下され、解決することなく流れていた。
「1～nの番号がついた玉を無作為に一列に並べたとき、連続するどの2つの番号も、
その順番通りに隣接して配置されない順列のパターン数は？」
（もとの問題は楽曲のシャッフル演奏が題材だった）
n=3の場合、12も23も現れない配置ということで、132、213、321の3通りとなる。
帰納的な考察により、そのようなパターン数をa(n)とおいたとき、
a(1)=a(2)=1として、a(n)=(n-1)*a(n-1)+(n-2)*a(n-2)となることがわかった。
これって解けるのかな。
閉じた式じゃなくても、再帰構造が排除できればいいとして。
210:１３２人目の素数さん
09/04/01 02:06:54
>>209
不完全ガンマ関数Γ(m+1,x) := ∫[x,∞] t^m exp(-t) dt を使うと
a(n) = Γ(n+2,-1) / (n e) になる．
不完全ガンマの展開公式
exp(x) Γ(n+2,x) = Γ(n+2) Σ[k=0,n+1] x^k/k!
を使えば
a(n) = ( (n+1)! Σ[k=0,n+1] (-1)/k! ) / n
になる．例えば n = 3 だと 4! (1 - 1/2 + 1/3! - 1/4!) / 3 = 3．
211:１３２人目の素数さん
09/04/01 16:35:36
>>210
なんか違わない？計算が合わないんだけど。
>>209
y = x + y' (x^2+x^3) ていう微分方程式を解けば、各係数がその数列のなっているはず。
212:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:22:10
>>211
ん、あわない？具体的に指摘頼む。
漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
213:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:24:07
>>212
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
214:１３２人目の素数さん
09/04/01 23:31:42
>>209
b[n]=n*a[n]とおけば、その漸化式はb[n]=n*b[n-1]+n*b[n-2]と表せる。
b[n]-(n+1)*b[n-1]=-(b[n-1]-n*b[n-2]) と書けるので、n≧3とすれば
b[n]-(n+1)*b[n-1]=(-1)^(n-2)*(2*1-3*1*1)=(-1)^(n-1) となる。
これはn=2でも正しいので、以下n≧2とする。
b[n]=(n+1)b[n-1]+(-1)^(n-1) の両辺を(n+1)!で割れば
b[n]/(n+1)!=b[n-1]/n!+(-1)^(n-1)/(n+1)!
b[n]=(n+1)!*{Σ[k=2,n](-1)^(k-1)/(k+1)!+b[1]/2!}
=(n+1)!*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!
よってa[n]=(n+1)!/n*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!=
これはn=1でも成り立つ。
215:１３２人目の素数さん
09/04/02 00:33:16
事故解決しました
216:209
09/04/24 00:15:31
>>210-214
遅くなったが、ありがとう。
217:１３２人目の素数さん
09/04/24 21:42:07
A君はn枚、B君はn+1枚の公正なコインを持っている(n≧1)。
両者ともに全てのコインを投げたとき、A君の表の枚数よりも
B君の表の枚数の方が真に大きくなる確率を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
09/04/24 22:48:53
age
219:現場の職人
09/04/24 23:50:17
切り出した木の側面を切って
最も無駄のない柱を作るには
曲尺をどのようにして使うのであろうかっ。
【 配点 1 点 】
220:１３２人目の素数さん
09/04/25 03:31:21
最も無駄のない とは どういう意味なのか
221:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/04/25 07:47:17
>>217
nも乱数で確率なの？
222:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:28:49
>>217
nの値にかかわらず、求める確率は 1/2
223:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:43:31
>>219
糞スレ立てんなウンコ虫が
224:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:38:27
>>223
用語の間違いに注意
225:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 12:51:17
あの～
ワラビが右巻きでゼンマイが左巻きだって、どうやって証明したらいいのでしょうか？
226:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:56:00
>>225
まずワラビとゼンマイの定義がなければ話になりません
それらの定義を述べてください
227:１３２人目の素数さん
09/04/25 13:13:59
転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:38番)
解答案は75。
相異なる９個の整数からなる集合Sがあり、各元の正の素因数はすべて３以下である。
Sからうまく相異なる３個の元をとれば、それらの積がある整数の３乗になることを示せ。
228:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 17:09:22
>>226
ワラビは京浜東北線の駅にありますが、ゼンマイは昔の時計で使いました。
どっちが美味しいんでしょうか、それだけでも知りたくて・・・
229:１３２人目の素数さん
09/04/25 17:27:57
>>228
まずはワラビやゼンマイの定義を述べよ
230:ぺれるまん ◆ghclfYsc82
09/04/25 18:52:17
>>229
調べたんですが、ゼンマイの学名はOsmunda japonicaで山野に生えてて水気が多いところを
好むという特徴だけなんですね。それでワラビは確定した分類体系さえ無いんだそうで、食べ過ぎ
たらアカンそうですが、色んな食べ方があるそうですねぇ。どうやら山でなくても畑でも出るそうで、
おひたしと天麩羅がおススメだそうです。
何方か定義を御存じではないでしょうか？
231:１３２人目の素数さん
09/04/25 22:25:36
今月の日経サイエンスのパズルがわからん。
問題の概要はこんな感じ。
４名の死刑囚（A,B,C,D）が一人ずつ部屋に入って運命のくじ引きをする。
部屋には４つの箱があって、それぞれの箱に１枚ずつ
A,B,C,D誰か一人を助ける免罪符が入っている。
４つの内３つの箱を開けて、自分の免罪符を引き当てれば勝ち。
ただし、４人は一心同体なので、誰かが失敗すれば全員処刑される。
部屋には一人ずつ順番に入り、別の出口から出るので、
どの箱にどの免罪符が入っていたかを教えることは出来ない。
単純に勝率を計算すると、(3/4)^4=81/256で、勝率は1/3以下。
しかしAには3/4の勝算があり、B,C,Dにそれを伝えた。
・・・ここまで。
232:231
09/04/25 22:29:45
事前の相談が許されてるから、勝率0%のやり方を避けることは出来る。
（全員同じ開け方をすれば確実に死ねる）
完全に無作為に開けるんじゃなくて、それを避けるという相談をするだけで、
ちょっぴり勝率が上がるのはわかる。
また、一人目が失敗したときの事は考えなくて良いから、
一人目がどこを開けたか聞いておけば（事前に決めておけば）、
二人目以降の勝率が若干上がることはわかる。
しかし、どういう戦略をとっても、最初の一人の勝率は３／４だろ。
そうすると、後の３人はその後１００％成功しなくちゃいけない。
が、１００％にはなりそうにないんだが。。。
一人目が箱を開けっ放しにするとか、
ガンのための傷を付けるとかのズルしか思いつかん。
福本伸行の読み過ぎ？
233:１３２人目の素数さん
09/04/26 00:39:22
箱の中身を入れ替えればいいじゃん
234:１３２人目の素数さん
09/04/26 03:34:23
中身の入替えを許したら簡単すぎじゃね？
もっとも、箱の配置が指定されてないから、部屋の中で
箱がいかように配置されていたとしても、そのうちの1個を
特定できるようなルールをあらかじめ策定するってのは、
それはそれで面白いかもしれない。
しかしそういう意図の問題なんだろうか。
235:231
09/04/26 04:18:58
>>233
最初の人が、箱の中身を入れ替えるか・・・
(1枚は入れ替えられないが、次の人がなんとかする？)
いっそ箱の並びを変えて、左からABCDにしておけば、
後の人は簡単だわな。
もう一回問題を読み直してみたが、
免罪符の箱の部屋に見張りが居るかどうかは書いてなかった。
しかし・・・見張りが居なかったら、３つじゃなくて４つ全部開けるのも可能だろう。
ヤンジャンや近代麻雀じゃなくて、日経サイエンスだから・・・
ルールの穴じゃなくて、場合分けとかで解くと思うんだが。
236:１３２人目の素数さん
09/04/26 06:00:00
こんな確率もとめてみたい その1/3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
430-485
237:１３２人目の素数さん
09/04/26 09:14:14
>>231
事前相談のみで
後の人に情報が残せない場合
（前の人が開けた結果に応じた作戦変更ができない）
最大で 9/24 にしかならないので （すべての組み合わせを試した）
なんらかの方法で情報を残すことをしないと、それ以上にはできない。
238:１３２人目の素数さん
09/04/26 14:06:37
各箱にA,B,C,Dと名前をつける。
囚人Xは、最初に自分と同じ名前のついた箱Xをあける。
箱Xの中に、Yの免罪符があったら、次に箱Yをあける。
箱Yの中に、Zの免罪符があったら、次に箱Zをあける。
239:１３２人目の素数さん
09/04/26 17:42:14
なるほど
240:231
09/04/26 21:34:54
>>238
A箱からスタートして、Aカードが３つ目だった場合、その次はまたA箱に来る。
つまり、３の輪っかが出来ているので、全員セーフ。
A箱からスタートして、Aカードが２つめだった場合、
他の箱は最悪でも２輪っかだからセーフ。
A箱からスタートして、Aカードがいきなりあった場合、
他の箱は最悪でも３輪っかだからセーフ。
A箱からスタートしてAカードが４の距離だった場合、
４輪っかが出来ているので、全員死亡。
最初の人が失敗した場合は必ず全員失敗し、
最初の人が成功した場合には全員成功するアルゴリズムってことか…
いや…すごすぎる！！！ 俺も、成功の場合を裏返して、
「最初の人が失敗した場合に他の失敗も集めてしまう戦略にするんじゃないか」
とは思ったけど…
類似問題知らないで解けたとしたら、IQ150-160くらいありそうだ。
241:１３２人目の素数さん
09/04/26 22:11:25
上手いね。
出題者は巡回置換からこの問題を発想したんだろうか。
1 2 3 4
2 3 4 1
みたいな配置だったら失敗。そうでなければ成功。
いやー、こんな応用があったとは。
242:１３２人目の素数さん
09/04/28 17:46:06
コインランドリーを並べ替えてできる言葉はコインランドリーを含めて何通りあるか。
ただし、ンおよびーを頭に持ってきてはいけません。また、ンが連続してもいけませんし、ンの直後にーがきてもいけません。
243:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:08:43
全文字使うのか？
244:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:23:28
>>243
もちろん
245:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:16:58
ちゃんとした言葉になってなくてもいいの？
246:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:22:09
インリンドコラー
247:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:28:51
ただ数えるだけ。4500個。
248:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:52:54
意味のない言葉でももちろんかまいません。
4500個ではないと思いますよ。
249:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:57:11
プログラム組んでみたら12000個だった。
でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
もっかい直してみる。
250:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:04:30
＞ でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
てことは半分ってことではないのか？
251:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:11:23
理屈の上ではそうなんだけど一応修正したらやっぱり6000個になった。
252:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:30:46
「ン」「ー」が先頭に来ない場合の数は全部で
5*7!=12600通り
「ンン」が並ぶ場合の数は、「ンン」を１組として
5*6!=3600通り
「ンー」が並ぶ場合の数は、「ンー」を１組として
5*6!=3600通り
「ンンー」が並ぶ場合の数は、「ンンー」を１組として
5*5!=600通り
よって、12600-3600-3600+600=6000通り
間違ってたら悲しむ
253:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:40:17
6000通りで正解です。出題者の私は、最初に、コイラドリの並べ方120通りに、ン２つ、ーを組み込むという考え方で計算しましたが。
254:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:42:17
正八面体が存在することを示せ。
京大の入試だったような。
255:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:45:00
場合の数だから賢い小学生なら解けちゃう
256:１３２人目の素数さん
09/04/28 21:15:15
条件数え落としてた。6000通りだね。
ただ、どこが面白い問題かはわからんなあ。
どこを面白いと思って出題したの？
257:１３２人目の素数さん
09/04/29 07:36:32
単なる重複順列じゃなくて、いろいろ条件が付くとこかな。
258:１３２人目の素数さん
09/04/29 23:05:48
>>254
模範解答よろ～
259:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:09:00
具体的に作ればいいんじゃないかな
260:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:13:49
>>254
|x| + |y| + |z| ≦ 1
261:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:33:57
正八面体のサイコロ買ってきて見せれば示した事にならないかな。
262:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:44:10
>>261
その模型が正八面対であることを証明せねばならない
263:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:48:46
正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
正８面体になることを利用すればいいんじゃないか？
四角錐の側面が互いに同相なのは自明として使っていいのかな？
上下にくっつけて（正8面体を作って）それを縦に切ってできた
四角錐が元の四角錐と合同だということを示すのはどうだろう？
264:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:50:52
正６面体が存在することを仮定していいのなら
正８面体の構成はたいして難しくないが…
265:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:54:08
>>263
>正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
>それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
最初の正四角錐の頂点以外の頂点のまわりの面のなす角が等しいことを証明する必要がある。
266:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:58:38
>>265
まさにそれを証明するのに、そこ以下が書かれているのだ。
267:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:02:02
>>264
正６面体の存在は、高さが任意の正四角柱の存在を仮定すれば
そんなに難しくない。
268:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:04:28
>>267
このあたりになると、何をどこまで仮定していいのか難しいな。
元の問題に、○○は仮定していいなどの記述がないと何もできん。
269:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:06:33
空間中に任意の角度で任意の長さの直線が引けること
空間中に任意の平面が用意できること
さすがにこのくらいは仮定してよいだろう。
270:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:09:05
正三角形や正方形の存在から証明かよ…
271:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:44:29
二つの面が作る角度が１８０度未満になることも証明しないとな。
272:１３２人目の素数さん
09/04/30 17:03:57
正八面体は、普通にxyz空間上に座標をとって構成すればいいんジャマイカ
273:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:47:28
ところで俺、正八面体って頂点の角度とか形が一定じゃないから、
正多面体の仲間に入ってるのに抵抗感じるんだけど。
274:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:49:48
>>273
どういう意味ですか？
275:１３２人目の素数さん
09/04/30 22:52:27
カーボンナノチューブは正何面体の角を削るとできるか？
276:１３２人目の素数さん
09/04/30 23:33:34
>>254
1)答案用紙に展開図と投影図をいくつか書いておく。
「こうやれば貴方にも正八面体が作れます！」とか。
2)三次元空間には正八面体が存在しえないと仮定して、なんらかの矛盾を導く。
3)正多面体の一般論を展開して、ハルヒにも出てきた多面体定理かなんかから、
正八面体の存在を示す。ｌ
・・・やっぱ1が一番簡単そうじゃね？
>>273
確かにそう見えるけど、目の錯覚だろ。
正六面体に内接するんだから…
>>275
チューブは無理だろ。鉛筆キャップみたいのもあるし。
C60 フラーレンのこと？
277:１３２人目の素数さん
09/05/01 03:00:28
>>276
２）が一番かっこよさそうなので、それでお願いします。
278:１３２人目の素数さん
09/05/01 11:31:55
>>273
なんかい見直しても一定だが。
279:１３２人目の素数さん
09/05/01 13:33:19
ここに縦が a、横が bの長方形の紙があります。この紙にハサミを入れて、
できる範囲の中で面積最大となる正三角形を切り取ります。
この切り取った正三角形の面積を Sとするとき、
この Sを a、bを使って表してください。
面積最大となる理由も併せてお答えください。
280:１３２人目の素数さん
09/05/01 14:21:40
面白い解法があるの？
281:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:01:52
>>279
「面積最大となる理由」の部分を真面目にやると、結構面倒だな。
いくつかの補題を示して、可能性を絞り込む。
以下、正三角形は長方形の内部（周を含む）に含まれるものとする。
１）正三角形の３つの頂点のうち２つ以上が長方形の周上にないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
２）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にはなく、互いに向かい合う辺上にもないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３頂点とも周上にない正三角形になる
３）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の互いに向かい合う辺上にあり、さらにそのうち少なくとも１つは長方形の頂点と一致するとき、その正三角形は面積最大ではない。
→長方形の頂点と一致する頂点を軸に回転すると、２頂点が周上にない正三角形となる
４）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つが長方形の互いに向かい合う辺上にあるとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
５）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にあり、さらにその２つのうちの少なくとも１つは長方形の頂点と一致しないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す
６）正三角形の３つの頂点がいずれも長方形の周上にあり、なおかつ長方形の頂点とは一致せず、さらにそのうちどの２つをとっても長方形の同一の辺上にはないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に
282:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:44:23
abのどっちが長いかわからんが、
a>bなら
s = a * a√(3) / 2
a<bなら
s = b * b√(3) / 2
a=bならどっちでも可
じゃないの？
283:１３２人目の素数さん
09/05/01 15:55:25
>>280、>>282
そんなに簡単な問題ではありませんよ
284:１３２人目の素数さん
09/05/01 16:36:06
結構昔に、どっかの国立大学の推薦入試で長方形の紙を渡されて、「折り目で出来るだけ大きな正三角形を作ってみて」と言われたヤツがいたのを思い出した。
285:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:39:26
切り出した図形を組み合わせて作るとかはアリかな？
それなら
S = a * b
でもおｋ。
286:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:49:38
はさみを入れて、だからそれもアリなのか？！
287:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:53:07
>>285
具体的にどう鋏をいれるの？
288:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:05:56
>>285
切った断片を張り合わせるのは無しです。
289:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:14:29
普通に、縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。
>>282の回答は不正解です。
290:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:34:31
場合わけ面倒なんで、縦a、横1,a>=1としてもいいかい？
291:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:45:28
>>290
いいですよ
292:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:07:21
>>282は条件入れ替えであってない？
293:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:08:53
いや、あってないな
すまない
294:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:10:50
>>292
どっちにしろ間違ってます
295:１３２人目の素数さん
09/05/01 21:26:58
なんか大学受験おもいだした。
とりあえず途中経過。
(1)a>=2*sqrt(3) の時
S=1/sqrt(3)
(2)1<=a<2*sqrt(3)の時、
a=tan(x)+cos(π/6+x)/cos(x)とおくと
S=sqrt(3)/(2*(cos(x)^2)
あとは式変形してSをaで表せればおｋかのう。
296:295
09/05/01 21:29:24
あ～最大になることはどうやって証明しよう…
意外と迷うな。
297:ルイス・キャラメル
09/05/01 21:58:34
ある日、花咲く森の中で、熊さんに出会ったときのこと。
そのとき、熊さんが「お逃げなさい」と言ったのに、
なぜだか、熊さんが あとから追いかけてくる。
というのは、数学的論理から考えれば
どのように説明できるのであろうかっ ?
298:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:16:36
>>295
場合分けの境目は 2*√(3)ではないですよ
あと（2）のところはどうやって出したんでしょうか？
最終的に aを使った式で表してくれますか？
aと bを使うと対称性が見えて、よりきれいな式になるんですけど…
299:295
09/05/01 22:25:54
境目は2/√3かな。
まず、正三角形の一つの頂点が長方形の一つの頂点と重なってるとしても良い（と思う。証明はちょっと勘弁）
その重なった頂点で、正三角形の辺と長方形の辺のなす角度をｘと置くと>>295のaとxの式が出てくる。
300:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:27:34
>>297
熊さん「早く逃げるんだお嬢！ 俺の理性が残っている内に・・・」
↓
熊さんＺ(理性崩壊)「うがあああぁぁぁあ！！ 待てやこのアマァァアア！！！」
301:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:45:08
黙れ
302:ルイス・キャラメル
09/05/01 22:57:44
熊さんが「お逃げなさい」と、言ったのを「正」とすれば
熊さんが追いかけてくるのは、どのように例えるかを
もっと、ふかく考えようよっ。
303:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:59:32
>>299
その考え方で合ってます。境目もそれでOKです。
ただ、>>295のaとxの式がどうやって立てたのか…
たぶん僕のやり方と違う方法でやってるんですね。
一応、aと bを使った場合の答えを書いておきます。
bを固定して aの範囲を動かす
(1)a =< (√(3)/2)*b のとき、S = (1/√(3))*a^2
(2)(√(3)/2)*b =< a =< (2/√(3))*b のとき、S = √(3)*a^2 - 3ab +√(3)*b^2
(3)(2/√(3))*b =< a のとき、S = (1/√(3))*b^2
あとは(2)でそのような正三角形が必ず取れることと面積最大の証明です。
304:295
09/05/01 23:24:08
出来れば解きたかったが、明日早い＆旅行いってしまうんでギブアップ。
他の人が解いてくれることを祈ってまつ。
305:１３２人目の素数さん
09/05/02 03:38:43
>>297
きっと、逃げ惑う少女を追い詰めて襲うシチュエーションが好きなんだよ、クマーさんは
306:１３２人目の素数さん
09/05/03 16:50:13
age
307:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:01:39
ある任意の角を三等分する線を、
定規とコンパスだけをつかって作図する方法を示せ。
308:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:10:27
最近このスレひどいな。悲しい。
309:１３２人目の素数さん
09/05/04 02:25:05
悲しむばかりじゃ能がないので、ちょっと気になった問題を転載。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:810番)
問：ふたつの三角形がある。
それらの外接円の半径、内接円の半径 面積がそれぞれ等しい。
このふたつの三角形は必ず合同といえるだろうか？
310:１３２人目の素数さん
09/05/04 03:17:49
>>309
おもしろそうですね、だが分からんぜ！
311:１３２人目の素数さん
09/05/04 08:29:48
>>309
確か三角形の三辺を a, b, c, 内接円・外接円の半径を r, R とすると
三角形の面積 S = (a + b + c) r / 2 = a b c / 4 R
ところで>>279で面積最大の証明はどうなったの？
312:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:00:00
いえる。
313:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:42:28
a_{n+1} = 1/2(a_n + 1/a_n) みたいな漸化式の問題知らん？
なんかあったよなぁと思いつつ、初項や係数とか間違ってたら解く過程で気づくだろうとか思ってたら
ぜんぜん手が進まん。
314:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:49:51
>>313
とりあえずその漸化式はa_n=1/tanh(x_n)と置けば解ける。
315:１３２人目の素数さん
09/05/04 14:53:22
>>309
>>311さんのを借りれば
a+b+c=2S/r
ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
abc=4RS
で三辺相等
316:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:10:32
最小公倍数が720である相異なる3つの自然数の組は何通りあるか？
317:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:35:11
>>315
>ab+bc+ca=4Rr+r^2+(S/r)^2
どうしてこうなるのか教えて下さい
318:１３２人目の素数さん
09/05/04 15:39:21
>>314
ありがとう。よく思いつくね。
でも想定していた解きかたと違うんだよなぁ。式が間違ってるのかなぁ。
>>317
ヘロンの公式を整理。
319:１３２人目の素数さん
09/05/04 16:08:09
>>313
a_n = 1/tanh((2^n)x_0), n>0,
ここに、x_0 = (1/2)log|(1-a_0)/(1+a_0)|,
|a_0| >1 のとき 1/tanh(x_0) = a_0,
|a_0| <1 のとき 1/tanh(x_0) = 1/a_0,
320:319
09/05/04 16:20:06
>>313,318
a_0 = ±1 のとき a_n = a_0,
321:１３２人目の素数さん
09/05/04 18:07:27
>>316
自信ないし、日本語変だけど・・・
720 = 2^4 * 5 * 9
なので、
相異なる数を、a, b, c,とすると、
（a,b,c ともに1以上720以下であり）
a は 「2^4」の倍数、・・・（１）
b は 5 の倍数・・・（２）
c は 9 の倍数・・・（３）
である。
また
「３つの数字が全て約数として『9^2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
（１）を満たす a は、(2^4) * (5*9) = 720 なので、5*9 個存在
（２）を満たす b は、5 * { (2^4)*9 } =720 なので、{ (2^4)*9 } 個存在
（３）を満たす c は、9 * { (2^4)*5 } =720 なので、{ (2^4)*5 } 個存在
==
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
よって、5*9と{ (2^4)*9 }と{ (2^4)*5 }をかけた値 マイナス
『（５）成立（６）不成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）不成立（７）成立」』
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
計算ギブ・・・。
でもスマートじゃないなー。てか、どっか見過ごしてる。
322:321
09/05/04 18:12:30
訂正
誤：
「３つの数字が全て約数として『9^2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)^2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5^2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
正：
「３つの数字が全て約数として『9*2』を持つ（・・・（５）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 (2^4)*2 』を持つ（・・・（６）とおく）」ことはない。
「３つの数字が全て約数として『 5*2 』を持つ（・・・（７）とおく）」ことはない。
---------------------------------------------------------------------
誤：
『（５）成立（６）不成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）成立（７）不成立」＋「（５）不成立（６）不成立（７）成立」』
正：『（５）不成立（６）成立（７）成立」＋「（５）成立（６）不成立（７）成立」＋「（５）成立（６）成立（７）不成立」』・・・（Ａ）
323:１３２人目の素数さん
09/05/04 21:00:00
（５＾３－４＾３）（３＾３－２＾３）（２＾３－１＾３）
－３（５＾２－４＾２）（３＾２－２＾２）（２＾２－１＾２）
＋３（５＾１－４＾１）（３＾１－２＾１）（２＾１－１＾１）
－（５＾１－４＾１）（３＾１－２＾１）（２＾１－１＾１）
＝７７１０。
324:１３２人目の素数さん
09/05/04 22:48:19
>>323
この愚か者めに日本語で解説おながいします！
325:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:54:16
>>316
720=2^4*3^2*5
まず、最小公倍数が720である３つの自然数x,y,zの組（同じ物があってもよく、x,y,zは区別する）の個数Jを考える。
x,y,zをそれぞれ
x = 2^a_x * 3^b_x * 5^c_x
y = 2^a_y * 3^b_y * 5^c_y
z = 2^a_z * 3^b_z * 5^c_z
とおくと、
a_x,a_y,a_zはいずれも0～4の整数で、Max(a_x,a_y,a_z)=4
b_x,b_y,b_zはいずれも0～2の整数で、Max(b_x,b_y,b_z)=2
c_x,c_y,c_zはいずれも0～1の整数で、Max(c_x,c_y,c_z)=1
なので、
(a_x,a_y,a_z)の個数が6*6+4*6+1=61
(b_x,b_y,b_z)の個数が1*6+2*6+1=19
(c_x,c_y,c_z)の個数が0*6+1*6+1=7
J=61*19*7=8113
次に、最小公倍数が720である２つの自然数x,yの組（x=yでもよく、x,yは区別する）の個数Kを考えると、同様にして、
(a_x,a_y)の個数が4*2+1=9
(b_x,b_y)の個数が2*2+1=5
(c_x,c_y)の個数が1*2+1=3
K=9*5*3=135
Jの中で、３つのうち２つが一致するものの数は、(K-1)*3
Jの中で、３つとも一致するものの数は、1
よって、最小公倍数が720である３つの異なる自然数x,y,zの組（x,y,zは区別する）の個数は、J-(K-1)*3-1=7710
求める答えは、ここでx,y,zを区別するのをやめればよいので、7710/6=1285通り
326:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:58:58
問題忘れ去られそうなのでもう一度再掲
縦が a、横が bの長方形の中に入る正三角形の最大面積 Sを求めてください。
面積最大となる理由も併せてお答えください。
327:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:35:40
>>326
え、それってもうほとんど終わった話じゃないの？
最終的な答えは>>303で合ってんでしょ。
なぜそれが最大かを含めて示すには、
まず>>281の議論を丁寧にやれば、
・正三角形の２頂点が長方形の１辺上にあり、もう１つの頂点が長方形の対辺上にある場合
・正三角形の１つの頂点が長方形の１つの頂点（Ｘ）と一致し、あと２つの頂点は、長方形のＸを含まない２辺上に１点ずつ存在する場合
の２通りの場合以外は、面積最大にはなりえないことが言えるから、そこを出発点とすれば、無理なく>>303が面積最大だということは示せる。
328:326
09/05/05 11:49:33
>>327
それをきちっと証明してくださいと言っているのです
口だけですか？
329:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:54:02
>>327
>>304の人がまだ証明できていないようだったので…
>>328
勝手に僕になりすまさないでください。
330:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:55:33
後やる事は手を動かすだけ。
各自手元で計算して確かめればいい程度で、ここにいちいち書き込む暇人はそうは居まい。
だいいち、そんなに難しい問題だとでも思っているのか？
331:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:01:56
>>330
いえ、ぼくはただ>>304が問題を解けないまま忘れ去られては可哀そうだと思っただけです。
>>328は僕ではないので無視してもらって構いません。
332:330
09/05/05 12:06:15
失礼した。陳謝。
>>330はスルーしてくれ。
333:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:11:53
匿名掲示板を利用した高度なやり取りに感心した。
なるほどなー。
334:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:22:45
問題【改】
縦が a、横が bの楕円の中に入る三角形の最大面積 Sを求めてください。
335:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:32:35
>>334
「正」三角形
じゃなくていいの？
なら、かなり簡単な気が．．．
336:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:38:04
それより縦と横って
337:１３２人目の素数さん
09/05/05 21:23:26
>>334 長半径a短半径bの楕円に内接する三角形の面積の最大値Sを考えるとすれば、
円に内接する三角形で面積最大の正三角形の変換と考えれば S=(3√3)ab/4 になると思います。
また、この楕円に内接する正三角形の面積の最大値Sは、S=(6√3) a^4 b^2 / (3a^2 + b^2)^2と思いますが、
どちらも一辺aの正方形に内接する正三角形の面積の最大値((2√3)-3)a^2のような形の解がないか心配です。
338:１３２人目の素数さん
09/05/06 01:17:02
>>318
そのタイプの問題のまとめは，以前
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
に書いておいたよ。
339:318
09/05/06 07:11:09
>>338
おお、すごい。でも答えが違った気がするので、やはり式がうろ覚えなんだと思う。
問題が載ってた本は大体見当がついているんだけど、引越ししたときに捨ててしまったようなので
今度調べてくる。
340:１３２人目の素数さん
09/05/06 08:33:10
>>339
タイトル期盆濡！
341:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:16:52
>>340
本屋行ってきて、今帰ってきた。
問題は 「S_n = (a_n + 1/a_n)/2 で a_n > 0 のとき、a_nを求めよ」だった。
本のタイトルは、「入試数学 伝説の良問100」(講談社ブルーバックス)でした。
342:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:33:05
>>341
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:200番)
かな？
343:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:34:32
問題の写しまちがいがあって、最終的には341と同じだったはず。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:215番)
344:341
09/05/06 20:58:27
>>342-343
まんまですねぇ。なんとな～くがっかりした。
345:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:14:27
＝＝＝
平面上で、
半径１の円の内部には、半径nの円は最大いくつ入るか？
（どの円同士も、接点以外の交点を持たない）
＝＝＝
・・・って、ふと考えたんだけど、まともな解き方ってないですかね？
346:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:19:21
算額みたいな問題ですな
347:345
09/05/09 20:34:56
発展問題だと、
「半径１の球に半径nの球は最大いくつ入るか？」
348:１３２人目の素数さん
09/05/09 20:53:46
その手の詰め込み問題は一般には2次元でもかなり難しい
URLﾘﾝｸ(www.stetson.edu)
349:345
09/05/09 22:28:28
>>348
ひええ・・・・
12個以上の場合は、provedでなくfoundなのですね。。。
これ、21以上のときは、未解決なのかな・・・
350:１３２人目の素数さん
09/05/10 14:42:38
問題：以下の命題を反証し、その反例を示せ。
命題：3次元空間上に4つの点ABCDがあり、そのx座標、y座標及びz座標は整数である。
この4つの点について3字のベジェ曲線を引いた時、その長さをf(A,B,C,D)とする。
f(A,B,C,D)が整数となるような自明でない点の組は存在しない。
351:１３２人目の素数さん
09/05/10 14:43:28
3字の→3次の
352:１３２人目の素数さん
09/05/11 04:49:58
>>350
その場合の、「自明でない」とは、どういう事を指すのか？
353:１３２人目の素数さん
09/05/11 04:51:20
>>349
数学的には12個も未解決だろう。
354:１３２人目の素数さん
09/05/13 23:07:33
有名かな・・・？
536870912人が集まり、テニスのトーナメント戦を行おうとしたが、
そのうちの１人が病欠し、その結果１人が不戦勝となった。
優勝者が確定するまでに、何回試合が行われるか。
ただし、等差数列や等比数列の総和の公式を用いずに求めること。
なお、536870912 = 2^29 である。
（シングルスです。引き分けはあり得ないとします。不戦勝のぶんはカウントしません。
３位決定戦などは不要で、単に、優勝者を決めるだけのトーナメント戦です）
=====
答えがわかった人、解くのにどのくらい時間かかったか教えてくださいまし。