08/12/28 20:46:03
底面の半径がr、母線の長さがkrである直円錐がある（r＞0、k＞1）。
この円錐の頂点をxyz空間内の原点Oに置き、円錐の軸（頂点から底面の円の中心に下ろした垂線）が
xz平面上に存在するように静止させた。
この状態から円錐を、頂点を原点に一致させたままxy平面を滑ることなく一回転させた時に
円錐が通過してできる立体の体積を求めよ。
積分で求める問題だとは思うのですが、どうやって解いたらいいかさっぱりわかりません。
その代わり幾何的に解く方法を思いついたのですが、考え方は間違ってないでしょうか？
積分での解法もよかったら教えて欲しいです。
まず円錐をxz平面から見た図を、三角形OABとする。この時Aはx軸に接している方とする。
Bからx軸およびz軸にひいた垂線の足をそれぞれC、Dとする。
∠BOA=2θとすると、sinθ=(r/kr)=1/kよりcosθ=√(1-1/k^2)なので
BC=krsin2θ=2r√(1-1/k^2)、BD=krcos2θ=kr√(1-2/k^2)。
求める立体の体積は、△OBCと△ABCのz軸周りの回転体の体積から、
△OBDのz軸周りの回転体のそれを引いたものに等しい。
942:１３２人目の素数さん
08/12/28 20:55:16
>>940
確かにそう言われれば(2)が変になるな…。
>>941
円錐がxy平面上を転がるんだろうけど、
円錐の静止段階でそのことが書かれてないんだが、図があって文章にしたのか？
積分の方は、
z＝kで切れば、穴の開いた円になるから、面積出してz方向で積分すればよくね。
943:保健体育教師
08/12/28 20:55:34
>>941
> まず円錐をxz平面から見た図を、三角形OABとする。
まで読んだ。
正直意味不明。
まず円錐の状態が確定していない。軸はxz平面上にどの程度傾いて
静止しているかで体積が変わる。
というよりそもそも回転のさせかた(xy平面を滑ることなく というの)が意味不明。
円錐は側面がxy平面に接していると仮定しているのか？
さらに三角形OABというのが何を指しているのか分からない。
傾いた円錐を上から見ても三角形にはならない。
意味が分からないのでその後を読む気にならない。
944:１３２人目の素数さん
08/12/28 20:56:50
保険体育教師はマスターベーションを説明するのが仕事だ。
945:保健体育教師
08/12/28 20:57:46
>>942を読んでなんとなく問題文の言いたいことは分かった。
946:保健体育教師
08/12/28 20:59:24
> さらに三角形OABというのが何を指しているのか分からない。
> 傾いた円錐を上から見ても三角形にはならない。
これは勘違いだった。撤回。もう一回読んでみる。
947:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:09:01
>>941
∠BOA≦π/2のときは最後の行を消せば正しいと思うが
∠BOA>π/2のときはもっと複雑になるだろう。
幾何的にと言っているが結局積分するのでは？
948:保健体育教師
08/12/28 21:10:00
コテハン忘れた
949:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:25:36
さっき10円玉10回投げたんですけど全部裏が出ました
950:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:28:32
きっと明日いいことがあるだろう
951:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:31:54
どっちが表か裏かでよく揉めるよな
952:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:34:37
１０って書いてあるほうが裏で
十円って書いてあるのが表だよね
953:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:35:46
ｸﾏ-
954:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:36:33
>>952
だなー
955:１３２人目の素数さん
08/12/28 21:39:48
>>942-943
図はありませんでした。それと書き忘れていてすみません。
静止させた時点で既に側面はxy平面上にあります。
その側面をxy平面上に押し付けるようにして、滑ることなく回転させると言う意味です。
>>947
そこまで考えていませんでした・・・ソフトクリームのコーンのような円錐ばかり想定していたので。
確かに角度自体は僕が勝手に設定したもので、問題では半径と母線の長さしか与えられていません。
ちなみにπ/2を超えるときはどうなるんでしょうか？何だか>>941で考えた方法ではできないような気がしてきました。
やはり積分でやる方法にしたほうがいいのでしょうか？
956:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:26:34
自然数ｍについて、
ｍ^2＋1,ｍ^2－1 のうち少なくとも一方が３の倍数であることは、
ｍが３の倍数でないための・・・
という問題です。
答えは必要十分条件なのですが、
ｍ＝１
のときがおかしいと思ってしまいます。
どなたかよろしくお願いします。
957:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:31:03
0はすべての自然数の倍数であるといえる。
958:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:33:34
>>956
ベネッセのセンター模試
959:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:39:14
nを正の整数とするとき2^(5^n)の桁数を求めよ。ただしlog[10](2)=0.3010とする。
教えで下さい。
960:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:41:20
>>959
それ前も聞いてたよな？
[ (5^n)*log[10]2 ]＋1としか言えんぞ。
961:１３２人目の素数さん
08/12/28 22:42:08
>>957
ありがとうございます。