08/11/27 08:50:27
>>97
本当にざっとだけ説明するよ．もっと掘り下げて聞きたければ
もっとポイントを絞って質問しとくれ．広すぎて答えるのが大変．
(1) 固有値分解
特異値分解がピンと来るならそれと対比して説明する．
一番基本的な線型写像はスカラー倍だから，
「線型写像をスカラー倍に分解しよう」というのが
固有値分解，特異値分解の共通のコンセプト．
V, W を線型空間としたとき，特異値分解は線型写像 A: V → W に関して
V と W をそれぞれうまく変換（直交変換）してやると
A が V → W のスカラー（特異値）倍の直和に見える
ということを主張している．
一方，固有値分解は A: V → V （手元＝行先）を相手にして，
V をうまく変換（問題依存）してやると
A が V → V のスカラー（固有値）倍の直和に見える
というストーリーを目指す．しかし，特異値分解と違って変換が弱いので，
常にスカラー倍にまで分解できるとは限らないのが重要な違い．
＃どこまでを固有値分解と言うかは流儀が分かれるところで，
＃スカラー倍まで行くのだけを言う人と，もっと粗くても言う人がいる．
まあ標語的に言えば，V → V 型の変換を要約したい，というのが
固有値分解の存在理由（cf. V → W 型なら特異値分解）．
応用は V → V 型の変換が現れるいたるところにあり，一言では説明しづらい．