09/05/12 10:23:02
>>923
(1) だけ満たす例は存在する．以下のHamel基底を用いる構成が有名：
まずR を Q 上の線型空間と考えて基底 {u1, u2, ...} を１つ取る．
すると任意の実数 x は有理数 q1, ..., qm を使って x = q1 u1 + ... + qm um と書ける．
f: R → R を次のように構成する：
基底に対する値 f(u1), f(u2), ... は適当に設定する．
実数 x = q1 u1 + ... + qm um について f(x) = q1 f(u1) + ... + qm f(um) と定義する．
この f は明らかに (1) を満たし，(2) を満たさない．