08/12/12 08:54:52
[Q] Let V be a finite dimensional space over R, with a positive definite scalar product,and let {v_1,v_2,…,v_n}=B and {w_1,w_2,…,w_n}=B' be orthnormaml bases of V.
Show that the matrix M_B_B'(id) is real unitary.[Hint:Use <w_i,w_j>=1 and <w_i,w_j>=0 if i≠j,as well as the expression w_i=Σ[i=1..n]a_ij_vj,for some a_ij≠R.]
(b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that M_B_B'(F) is unitary.
の(b)について問題についてです。M_B_B'(f)は基底Bと基底B'に関してのfの表現行列を意味してます。
[解]
tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのだと思います。
F(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n
F(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n
:
F(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n
なのでM_B_B'(F)=
(1,0,0,…,0)
(0,1,0,…,0)
:
(0,0,0,…,1)
と求まると思います。この行列は単位行列なので後は明らかに
tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=Iが成り立ちますが
ペケになってまして、
<Fv,Fv>=<v,v>を示さねばならないようなのです。
私は素直にM_B_B'(F) is unitaryを示したつもりでしたが…。
どうして私の解答は間違っているのでしょうか?