08/12/07 07:40:44
下記の問題です。
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Let f(t)=t^n+…+a_0 be a polynomial with complex coefficients, of degree n, and let α be a root. Show that |α|≦n・max_i|a_i|.
[Hint: Write -α^n=a_{n-1}α^{n-1}+…+a_0. If |α|>n・max_i|a_i|,devide by α^n and take the absolute value,together with a simple estimate to get a contradiction.
f(t)=t^n+…+a_0を複素係数のn次多項式とし,αをある解とする。|α|≦n・max_i|a_i|となる事を示せ
まずα=0の時は自明。
次に1≦|α|の時は|α^n|=|a_{n-1}α^{n-1}+a_{n-2}α^{n-2}+…+a_0|
≦|a_{n-1}α^{n-1}|+|a_{n-2}α^{n-2}|+…+|a_0|で端辺を|α^{^n-1}|で割ると
|α|≦|a_{n-1}1/α|+|a_{n-2}1/α^2|+…+|a_0・1/α^{n-1}|
≦|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+…+|a_0|≦n・max{|a_{n-1}|,|a_{n-2}|,…,|a_0|}
となりますが0<|α|<1の場合はどうすればいいのか分かりません。
是非,ご教示ください。m(_ _)m