08/12/02 17:31:16
>>299
nじゃなくてn^2009なんだが
301:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:18:35
∫[x=2π,0]√(2-2cost)dt
において
x=costと置換すると
積分区間は[x=1,1]となるが
これが０にならないとことを示せ
302:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:22:40
>>301
そりゃ、ルートがついたもん積分したら、中々０にゃならんだろ
303:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:45:15
＞x=costと置換すると
＞積分区間は[x=1,1]となるが
こういう間の抜けたことは東大入試の問題文には書かないかと
304:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:47:11
>>301
狙いは分かるが．．．
305:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:50:06
そういう盲点というか受験生の理解不足になりがちなポイントを、
うまく問題の中に潜ませるのがうまい問題だな。
突きたいポイントをずばり問題にしてしまったのでは駄作。
ま、俺には作れんが。
306:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:28:07
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
京都大学入試作問者になったつもりのスレ①
の308で∫[x=0,1]√(2-2cos(2πx))dxが出てくる悪寒
・・・でもそんな置換はしないか
307:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:31:27
a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
f(n)が全て非素数になるa,bの組を一つ求めよ。存在しないのならその事を示せ
308:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:41:09
a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
いかなるa,bを選んでも、f(n)が合成数になるような無数に多くのnが存在することを示せ
309:１３２人目の素数さん
08/12/03 01:26:56
>>308
mod2で考えれば 000… または …110110… だから，偶数の項は無限に存在する。
f(n)は単調増加だから4以上の偶数が無限に存在することになる。
310:１３２人目の素数さん
08/12/03 21:37:11
>>301
変数変換したら被積分関数が閉区間[1,1]で存在しないことを
証明すればいいんだろ
311:１３２人目の素数さん
08/12/03 22:03:41
>>310
312:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:07:08
>>306
半角の公式
313:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:36:01
1からnまでの数字が1つずつ書かれたn枚のカードがある。この中から1枚を引き、
出たカードの数字をX_1とする。さらに、カードをもとに戻して再び1枚を引き、
出たカードの数字をX_2とする。X_1, X_2のうち、小さくない方をXとする。次の問いに答えよ。
(1) Xの期待値Eを求めよ。
(2) kを自然数として、X≧kとなる確率をp_k、X≦kとなる確率をq_kとおく。
p_k≧1/2かつq_k≧1/2となるようなkの値をmとするとき、n=100に対するmの値を求めよ。
(3) lim[n→∞]E/mを求めよ。
314:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:44:24
nを自然数とする。2n桁の自然数で、上位n桁の和と下位n桁の和が等しいとき、
この自然数を「均衡数」と呼ぶことにする。
たとえば、1634は1+6=3+4により均衡数であるが、123401は1+2+3≠ 4+0+1により均衡数ではない。
(1) 0, 1, 2, 3, 4の5個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数は70個であることを示せ。
(2) kを9以下の自然数として、0からkまでのk+1個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数をkで表せ。
315:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:50:25
(1) √2＞1.4を示せ。また、(1+√2)^5＞99を示せ。
(2) ∫[0, π/2](sin 2x)/(1+sin^2 x)dx と ∫[0, π/2](sin x)/(1+sin^2 x)dxの大小を比較せよ。
316:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:14:48
ひとつの頂点に集まる面は３つ以上ある。
ひとつの頂点に集まる頂角の合計は３６０度未満である。
オイラーの定理Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２が成り立つ。
多面体の以上の性質を利用して、正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類しかないことを示せ。
317:１３２人目の素数さん
08/12/15 21:38:14
sinθとcosθを用いてπを表せ。
318:１３２人目の素数さん
08/12/17 00:26:56
>>315 (1)
問題がおかしくありませんか？(1+sqrt{2})^5 = 82.01...くらいだと思いますが。
319:１３２人目の素数さん
08/12/17 00:53:24
>>318
ほんとだorz
書き間違えてました。
(1+√2)^5＜99を示せ。
でした。ごめんなさい。
320:１３２人目の素数さん
08/12/17 10:07:18
>>317
π + 0sinθ + 0cosθ
π(sin^2θ + cos^2θ)
321:１３２人目の素数さん
08/12/17 12:05:06
>>316何年か前に海城高校で類題が出てたはず
322:１３２人目の素数さん
08/12/17 12:12:15
>>320
π使ってるやんｗｗｗｗｗｗ
323:１３２人目の素数さん
08/12/17 18:26:38
180 （sinθ）’/cosθ
ただし θ は度数法
324:１３２人目の素数さん
08/12/18 02:31:50
>>315 (1) & >>319
2 > 1.96 = 1.4^2,
a_n = (1+√2)^n + (1-√2)^n,
とおくと
a_n = 2*a_(n-1) + a_(n-2), a_0 = a_1 = 2,
a_n - 1 < (1+√2)^n < a_n + 1,
を満たす。
a_5 = 82 ゆえ、81 < (1+√2)^5 < 83,
>>315 (2)
∫[0,π/2] sin(2x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,π/2] 2sin(x)cos(x)/{1+sin(x)^2} dx
= [ log{1+sin(x)^2} ](x=0,π/2)
= log(2)
= 0.69314718055994530941723212145818
cos(x) = z とおくと、
∫[0,π/2] sin(x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,1] 1/(2-z^2) dz
= (1/√8)∫[0,1] {1/(√2 -z) + 1/(√2 +z)} dz
= (1/√8) [ log{(√2 +z)/(√2 -z)} ](z=0,1)
= (1/√2) log(√2 +1)/(√2 -1)
= 0.62322524014023051339402008025057
>>316
各面は正ｍ角形、
１つの頂点に集まる面の数をｎ≧3,
とすると、
mF = 2E = nV より V-E+F= (2/n -1 +2/m)E,
{(m-2)/m}π*n < 2π より 2/m -1 +2/n > 0.
325:１３２人目の素数さん
08/12/19 00:56:44
ｎを２以上の自然数とする。１／ｎと１／(ｎ＋１)が、１０進数表記でともに有限小数になるｎをすべて求めよ。
簡単かな。
326:１３２人目の素数さん
08/12/19 01:48:31
受験生によって差が出そうな問題だ。4の倍数全て。
327:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:01:31
さっそく差が出たな
328:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:18:26
n=8でもう違ってる。簡単に考え過ぎたな
329:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:26:54
また頭の中で考えただけだけどn=(5^m-1)/2, (1/2)*(5^m-1)-1 (m: 自然数)
330:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:29:39
m=1だとn=1(<2)になるけどこういうのってアウトなんだろうな
331:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:46:50
n=5^j、n+1=2^(4k)の形になるもの（k、jは正整数）
またはn=2^(4k-2)、n+1=5^jの形になるもの（k、jは正整数）
酔った頭じゃこれ以上簡単にできない
332:１３２人目の素数さん
08/12/19 19:12:24
kを0または自然数として
n=10k+4
どうだろう
333:１３２人目の素数さん
08/12/19 20:31:29
とりあえず1/14を計算してみれば良いと思うよ。
2の冪と5の冪で隣り合うようなものの組を全て求めよっていう問題だよね。
334:１３２人目の素数さん
08/12/19 20:54:58
>>324
(1) をつかって、(2) を示すんじゃないの？
335:１３２人目の素数さん
08/12/19 21:39:10
1/n が10進小数で有限小数になる
⇔（ある自然数 N 、 k を用いて） 1/n = N/10^k と表わせる
⇔ nN = 2^k・5^k と表わせる
⇔ n の素因数は 2 か 5 のみ
よって n と n + 1 がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
片方が 2・5 = 10 の倍数ならば不適となることが直ぐに分かるので
2 の冪と 5 の冪で差 1 になるようなものの組 (2^n, 5^m) を求めれば良い。
a^n - b^n は a - b で割り切れ、また n が奇数のとき a^n + b^n は a + b で割り切れることに注意。
2^n = 5^m + 1 かつ m ≧ 1 のとき、
mod. 5 で両辺を比較して n が 4 の倍数となることが分かる。文字をおきなおして
2^(4n) - 1 = 5^m つまり 16^n - 1 = 5^m となれば良いが、左辺は 15 の倍数なので
この式を満たす n, m は存在しない。
2^n = 5^m - 1 のとき、
右辺が 24 = 5^2 - 1 で割り切れてはいけないので m は奇数。(*)
2^n + 1 が 2 + 1 で割り切れてはいけないので n は偶数。
2^(2k) = 4^k = 5^m - 1 = 4(1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1))
つまり 4^(k-1) = 1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1) となる。
mod. 4 で両辺を比較すると k ＞ 1 のとき
0 ≡ m (mod. 4 )となる。従って m は 4 の倍数。
これは(*)に反するので k = 1、m = 1 が分かる。
したがって>>325の解は n = 4、n + 1 = 5 のみ。
336:１３２人目の素数さん
08/12/19 21:41:37
あ、訂正
よって n と n + 1 【の素因数】がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
それから 2^n = 5^m + 1 かつ m = 0 の場合忘れてた。
(n , n + 1) = (1, 2)も解で、この二つか。
337:１３２人目の素数さん
08/12/19 23:05:19
nは2以上の整数す
338:１３２人目の素数さん
08/12/20 00:50:33
>>334
>>313-315の出題者ですけど、
当然、そういう意図の問題です。
339:１３２人目の素数さん
08/12/20 13:24:48
０
340:324
08/12/21 02:45:27
>>334,338
(1) から
(1+√2)^5 < 89.6 = 64*1.4 < 64√2 = 2^6.5
1+√2 < 2^1.3
よって
(1/√2)log(√2 +1) < (1.3/√2)log(2) < (1.3/1.4)log(2)
かな？
341:１３２人目の素数さん
08/12/23 13:39:50
Ｎメートルの紐を使ってエンブレムをつくりたい、正し、紐は２本に切って
それぞれからある形をつくる。その形の条件として、紐をＡ、Ｂとすると。
どちらかは円でなければならない、またもう片方は多角形でなければならない。
この多角形と円を組み合わせてエンブレムをつくるわけだが、どちらかが
片方に内接または外接してないといけない。このときエンブレムを構成する
円と多角形の面積の和の最大値を求めよ。
友達の東大生・東工生正答率３０人中１人。
342:１３２人目の素数さん
08/12/23 16:02:47
f(x)＝an x^n + a(n-1) x^(n-1) + ．．．+ a1 x + a0
ただし a0，a1，a2，．．．，an は実定数で an≠0 とする．
また M＝max[0≦k≦n] | ak | ( | a0 |，| a1 |，| a2 | ，．．．，| an | の最大値) とする．
このとき，次の性質が成立する 定数 R の例を１つ M を使って表せ．
| x | ≧ R を満たすすべての実数 x に対して f(x) ≠ 0
343:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:50:31
あ
344:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:20:39
>>342
f(x)=xとする。
M=1
|x|>1、つまり-1<x<1の範囲でf(x)≠0であることを示せばよいが
x=0のときf(0)=0よりアウト
f(x)=x^2+x+a0とする
M=1
f(x)=0とおくと、解は(-1±√(1-4a0))/2
これが-1<x<1の外側にあればよい
そのとき|x|≧Rを満たすすべてのｘについてf(x)≠0が成り立つ
345:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:21:35
>>344
間違えた
M=a0だね。
346:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:40:58
>>344
ギャグで言ってる？
347:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:21:14
ん？おかしかったかな
じゃあ別の解法で
|x|≧Rを満たすｘの一つをφとする。つまり-R≦φ≦R
f(φ）=0であると仮定する
このφは同時にM=φを満たすから適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。ただし1つ以上xの項の係数はφである。
しかし、φ-Hn=0がありうることより、問題のanについてan=0が起こりうる。
これはan≠0の条件に反する。仮定が誤っていたことを意味する。
よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
(Q.E.D)
348:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:32:47
＞|x|≧Rを満たすｘの一つをφとする。つまり-R≦φ≦R
この時点で矛盾している。
＞f(φ）=0であると仮定する
＞このφは同時にM=φを満たすから
満たすとは限らない。
＞適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
いつの間にかφ≧0であることが仮定されている。意味不明。
＞f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。
書けない。Σの中身にkが無いから、f(x)＝(n＋1)(φ－Hn)x^nになってしまう。
＞ただし1つ以上xの項の係数はφである。
日本語になっていない。
＞よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
問題の要求に答えていない。「｜φ｜≧Rを満たすφに対してf(φ)≠0が成り立つ」
ようなRを、Mを用いて構成せよと聞かれているのに、それをしていない。
349:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:35:27
ばれたか
350:１３２人目の素数さん
08/12/24 17:26:49
ばれたか千里
351:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:02:42
>>347
頭悪すぎてひいてしまった
352:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:30:13
じゃあ回答しろよ、カス
353:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:56:48
M って最小値じゃなくて最大値？
書き間違いじゃない？
f(x) = εx^n + M のとき
f(x) = 0 の解 x に対して
|x| = (M/ε)^(1/n) → ∞ (ε→ 0 )
特に (M/ε^)(1/n) ＞ R(M) ⇔ M/R(M)^n ＞ ε だから
>>342のような性質が成立するような M の関数 R(M) は存在しない。
354:１３２人目の素数さん
08/12/24 22:00:07
>>353
確かに。
多分、an＝1 もしくは M＝max[0≦k≦n] ( | ak | /| an | ) の間違いでしょうな。
もしそうなら、R＝2M とかが答。
355:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:20:53
なんか頭悪い奴湧いてるみたいだから俺の高校の実力試験問題やってみろ
平面をｎ本の直線でα個の領域に分けることを考える。
直線はどの2本を選んでも完全に重なることはないとする。
αのとりうる最大・最小の値をそれぞれ求めよ。
356:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:36:23
最小は n+1 、最大は 1 + n(n+1)/2 じゃないかな。
理由はめんどいから書かないけど。
357:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:40:42
>>355
お前が一番頭悪そうw
358:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:47:28
>>356
なんで最大の領域の数が分数になるんだよｗｗｗ
領域の数は普通整数だろうが
n(n+1)/2が整数になるときって条件つけとけ
359:１３２人目の素数さん
08/12/25 00:38:27
>>358
君、面白いね
360:１３２人目の素数さん
08/12/25 00:49:52
>>359
ありがとう
361:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:58:48
>>355
これの解法だれか教えて
最大の数がわからん
362:カツオ
08/12/25 01:59:17
>>356連続してるから2で割れるんじゃあないの？
363:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:01:30
>>358はn本と言われてnを有理数だと思ってしまうのだろうか
364:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:12:06
>>362
n(n+1)が2で割れるとしたらn(n+1)=2kとおける
展開してn^2+n-2k=0
n=(-1±√（1+8ｋ））/2っていう風になるから割り切れなくね？
365:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:19:29
nもn+1も連続する自然数なのでどちらかは偶数。よってn*(n+1)は2を因数に含む。
nC2だってn(n-1)/2なのに鈍すぎバカすぎ。
しかも>>364ではn(n+1)/2=kとしてn(n+1)/2が全整数を取るかのような妄想までしてて悲惨
366:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:28:31
>>365
よくわかんない・・・
nC2は整数なの？
367:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:39:24
＞n=(-1±√（1+8ｋ））/2っていう風になるから割り切れなくね？
kは特殊な値しか取らない。具体的には、(-1＋√（1+8ｋ））/2が
整数になるような値しか取らない。
お馬鹿の366のための解説：
nが偶数ならn＝2mと表せてn(n＋1)2/＝m(2m＋1)
nが奇数ならn＝2m＋1と表せてn(n＋1)/2＝(2m＋1)(m＋1)
よって必ずn(n＋1)/2は整数。
368:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:41:11
>>366
n個のおかしから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
n個のうんちから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
369:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:42:15
>>366
nが整数ならばn(n+1)は偶数
これがどうしても分からないなら、nが偶数のときと奇数のときで場合分けしてみて
君の発言が釣りであることを祈るよ
370:カツオ
08/12/25 02:48:32
ああ。nは正の整数だからだよ！その解だとnは無理数もあり得る感じだけどn本て明らか正の整数じゃあない？
371:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:52:44
>>370
「nが整数のときn(n+1)/2は全ての整数をとるわけじゃない」
y=x(x+1)/2だとxy平面上で放物線をなし、xの値に応じてyは全実数をとれる。
君は県立高校の1年生とかそんなところかな。よく他人の書き込みを自信満々にバカにできたね……
372:( °┌･･ °) ﾎｼﾞﾎｼﾞ
08/12/25 02:55:52
∑[k=1,n]a[k]=nであり
f(x)=∑[k=1,n]a[k]coskx
としたとき
常にf(x)≧-1
となるような実数a[k]が任意の自然数nに対して存在することを示せ
373:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:58:34
何だ、カツオはおばかな366トは別か
374:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:03:08
>>361 ３本くらいで実験してみな。ごく普通の前科式の問題だよ。
375:カツオ
08/12/25 03:05:13
>>371いや馬鹿にしたんではなくて気付いたこと書いただけかなぁ。実際そんな頭良くないし間違ってたら頭いい人が訂正してくれるし…。あとなんかそれ言いたいことが違う気がする…
376:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:05:54
>>375
勘違いだ、ごめん。358と間違えたんだ。
377:カツオ
08/12/25 03:08:53
いえいえ！大丈夫です！なんかビックリしてしまった(笑)
378:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:14:09
>>367
これｎが偶数のときの説明がおかしい
m=1/2としたらそのときｎ=mになるけどm(2m+1)は分数だもの。
よって命題は成り立たない
379:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:16:19
>m=1/2としたら
しません
380:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:19:09
なんで？
ｍには制約ないでしょ
てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなるからn=2m自体が成り立たないよ。
仮定がおかしい
381:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:22:21
>ｍには制約ないでしょ
あります
>てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなる
そのときの想定は無用です
>仮定がおかしい
おかしくありません。n本の線を引くとあるのだから、nが自然数 or 0だと想定できます
382:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:22:52
ここバカばっかじゃん
383:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:28:30
言語能力０
数学能力０
他者罵倒力 ∞ - 計測不能
傲岸不遜力 ∞ - 計測不能
384:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:10:05
358はまじで中学からやりなおしたほうがいい。
385:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:36:49
確かに。ｎ(n+1)が偶数でないことを知らないなんて。
386:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:42:16
知らなくても少し考えれば分かることなのに
387:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:59:21
釣られすぎ
388:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:01:37
釣れた
389:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:02:22
俺が主犯だけどｗｗｗお前らつられすぎてて吹いたｗｗｗｗｗ
東北医ですｻｰｾﾝｗｗｗｗｗｗｗ
390:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:32:48
東北医（笑）
391:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:55:21
おっスレが伸びてるな、と思ったら
基地外が乱入してたのね
392:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:20:54
>>389
ほんとに東北医なの？
fusianasanって名前欄に入れて書き込んでみなよ
393:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:31:09
いや、だって今地元に帰ってるし
394:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:39:37
じゃあ、難しい問題解いてみてよ
>>372とかさ
395:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:46:43
今考えてるけどよく分からん
フーリエ級数みたいだね
396:１３２人目の素数さん
08/12/25 18:06:21
>>372
∑[k=1,n]a[k]=n
これってa[k]=1にしかならないと思うんだが・・・
397:１３２人目の素数さん
08/12/25 18:11:09
おいおい、もう釣りはいいから
cosx+cos2x≧-1
とか常には成り立たないだろ
もしかしてa[k]を自然数と勘違いしてるのか？
398:１３２人目の素数さん
08/12/25 20:57:36
>>396-397
nを固定して考えれ。
n=2 の場合
(左辺) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
判別式は
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
(左辺) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
399:１３２人目の素数さん
08/12/25 21:06:51
>>396-397
nを固定して考えれ。
n=2 の場合
f(x) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
= 2a[2]{cos(x) + a[1]/4a[2]}^2 - D/(8a[2]),
これが常に非負となるから、D≦0,
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
f(x) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
400:１３２人目の素数さん
08/12/25 22:39:03
>>372
n=3 のときは
a[1]=3/2, a[2]=1, a[3]=1/2,
f(x) = (3/2)cos(x) + cos(2x) + (1/2)cos(3x) = 2{1+cos(x)}cos(x)^2 -1 ≧ -1.
かな。
401:１３２人目の素数さん
08/12/26 00:07:30
a[k]を具体的に求める方法ってあるの？
n=2なら偶然見つけられたけどn=3以上になると全然見つけられない
402:１３２人目の素数さん
08/12/26 00:55:49
n=k(k≧3)で固定すれば容易
403:１３２人目の素数さん
08/12/26 10:17:31
>>372
任意の実数α(≧0)ついて、
∑[k=1,n]a[k]=α f(x)≧-α/n
を満たすa[k]があることを帰納法で示す。
n=1は省略
404:403
08/12/26 10:20:57
すまぬ。出来たつもりで書こうとしたら出来てなかったorz
405:１３２人目の素数さん
08/12/26 10:29:31
期待してるよー
406:１３２人目の素数さん
08/12/26 15:18:34
n≧kをみたす任意の整数nに対して
n＜m^2＜(2009/2008)*n
となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。
407:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:55:36
入試問題の多くはソ連科学アカデミーの天才養成よう難問集がネタ本だよ。
408:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:08:46
n＜m^2＜(2009/2008)*n
(2009/2008)*n-n>1
a^x-x>1
f=e^xloga-x
df/dx=logae^xloga-1=0
e^xloga=1/loga
xloga=-logloga
x=-logloga/loga=n=16.950
409:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:25:07
「アメリカのマサチューセッツ工科大学（ＭＩＴ）コンコースプログラムに使われた問題が載
っており、その出典はユーリがロシア（当時はソ連）のモスクワ大学助教授時代に国内で行わ
れていた「オリンピヤード（数学コンテスト）」や大学入試の問題、難解でひねりの利いたク
イズなどです。ちなみに題名の「ミンスク」はベラルーシ共和国（旧ソ連白ロシア共和国）の
首都です。」という本です。
「ペレリマン，ヤコフ・イシドロヴィチ〈Перелъман，Яков Исидорович〉」
410:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:26:15
ペレリマン1882.10.17-1942.3.16 『遊びの数学』(藤川健治訳)現代教養文庫958, 社会思想社 (1978) Yakov Isidorovich Perel’man
ペレリマン 『数のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『代数のはなし』(山崎昇訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『幾何のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『数学のはなし』(三橋重男訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man「生きた数学」「おもしろい数学」などのタイトルで出版されていたもの
411:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:27:37
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
412:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:37:22
入学までにこれくらいは目を通してね
春休みとかに
No10131 ソ連教育科学アカデミー版 基礎数学（全６巻揃）、東京図書、1966-1967年、15,750円
１、数と集合１ 第１部：記数法の起源／第２部：集合、群、環、体、数の体系 バシュマーコヴァ・ユシケーヴィチ／プロスクリャーコフ 1967 4刷
２、数と集合２ 第３部：数論／第４部：暗算と筆算、計算の補助手段 ヒンチン／ブラジス 1966 2刷
３、代数１ 第１部：ベクトル空間と一次変換／第２部：方程式の数値解法と図式解法 ウスコフ／ドモリヤード 1966 2刷
４、代数２ 第３部：多項式環と有理式体 オクニヨーク 1966 2刷
５、解析１ 第１部：実変数の初等函数、数列と函数の極限、函数の一般概念 ゴンチャロフ 1966 2刷
６、解析２ 第２部：微分、積分、級数／第３部：複素変数の初等函数 ナタンソン／ゴンチャロフ 1966 2刷
413:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:39:13
ここはお前の日記帳じゃねーよ
414:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:39:21
スミルノフ高等数学教程 1～12 12冊セット
スミルノフ高等数学教程
著者名 ： スミルノフ，B．I．著 福原満洲雄・彌永昌吉他監
出版社 ： 共立出版
発行年度 ： 昭和36年
販売価格 ： \14,000
415:１３２人目の素数さん
08/12/28 10:48:51
春休みならそれくらい読めそうだな。面白そう
416:１３２人目の素数さん
08/12/28 14:25:52
三日でスミルノフ一冊ってのはちょっと無理だろ。
最初のほうの巻しか無理。
417:１３２人目の素数さん
08/12/28 17:48:54
たぶんやっても「読んだだけ」で終わる可能性が高い
一部の天才を除いて数学って実際にペンを取って理解をつけてくものだもの
418:１３２人目の素数さん
08/12/31 19:59:23
>>372 >>401 >>405
a[k] = 2(n+1-k)/(n+1), (k=1,2,･･･,n)
f(x) = (1/(n+1)){1-cos((n+1)x)}/{1-cos(x)} -1,
等号成立は cos((n+1)x) =1 (ただし cos(x)≠1) のときで、
x= 2π/(n+1), 4π/(n+1), ･････, 2nπ/(n+1).
419:１３２人目の素数さん
09/01/01 17:47:52
URLﾘﾝｸ(www.imomath.com)
420:１３２人目の素数さん
09/01/01 20:08:51
>>418
f(x) = (1/(n+1))Σ[k=1,n] (n+1-k)*2cos(kx),
に
2cos(kx) = {2cos(kx) - 2cos(kx)cos(x)}/{1-cos(x)}
= {2cos(kx) - cos((k-1)x) - cos((k+1)x)}/{1-cos(x)},
を代入したな･･･
421:１３２人目の素数さん
09/01/07 22:21:42
>>419
７．Problems の 10番
10. Determine the maximal real number ａ for which the inequality
(x_1)^2 + (x_2)^n + ･････ + (x_n)^2 ≧ ａ{x_1･x_2 + x_2･x_3 + ･････ +x_(n-1)･x_n},
holds for any ｎ real numbers x_1, x_2, ･････, x_n.
答は ａ = 1／cos(π/(n+1)) らしいんですけど、どうやって解くんでつか？
422:１３２人目の素数さん
09/01/07 22:54:59
>>421
２次形式の行列が半正定値であればよい。
この行列の固有多項式は第２種チェビシェフ多項式を使って表せるから固有値が簡単に求まる。
423:１３２人目の素数さん
09/01/08 02:58:30
>>421
対角化すると････
(左辺) - (右辺) = (a/2)∑[k=1,n-1] s_k･s_(k+1) {x_k/s_k - x_(k+1)/s_(k+1)}^2,
等号成立は x_k = s_k (の定数倍) のとき。
ここに s_k = sin(kπ/(n+1)),
424:１３２人目の素数さん
09/01/08 23:45:49
>>422
(左辺) - (右辺) = ｘＦｘ†
とおくと、
det|Ｆ-λＩ| = (a/2)^n U_n((1-λ)/a),
U_n の零点は cos(kπ/(n+1)), (k=1,2,････,n) だから、
Ｆの固有値は λ_k = 1 - a･cos(kπ/(n+1)), (k=1,2,････,n)
最小の固有値は λ_1
Ｆが半正値 ⇔ λ_1 =0 ⇔ ａ=1／cos(π/(n+1)).
425:１３２人目の素数さん
09/01/09 23:32:50
>406
nを超える最小の平方数を f(n) とおく。
f(n) = M ⇔ (M-1)^2 ≦ n < M^2,
上記の2M-1個のnについて題意が成り立つためには、n=(M-1)^2 について成り立てばよい。
M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2,
√(2009/2008) < 1 - 1/M,
M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 2017.5 - ε,
M ≧ 2018 のとき、すべてのnについて題意が成り立つ。
M=2017 のときは n ≧ 2016^2 +1 について成り立つが、 n = 2016^2 については成り立たない。
これが最大の反例だから、k= 2016^2 +1.
426:425
09/01/10 01:21:39
>>406 (訂正)
M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2,
√(2008/2009) < 1 - 1/M,
M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 4017.5 -ε, (ε<<1)
M ≧ 4018 のとき、上記のすべてのnについて題意が成り立つ。
M=4017 のときは n ≧ 4016^2 +1 について成り立つが、 n = 4016^2 については成り立たない。
これが最大の反例だから、k= 4016^2 +1.
427:１３２人目の素数さん
09/01/10 05:45:29
>>406
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:666番)
4016^2 +1 = 16128257
K大入試作問者スレ(1)
428:１３２人目の素数さん
09/01/11 15:46:13
age
429:１３２人目の素数さん
09/01/11 20:56:23
A+B+C=π のとき次式を示せ。
a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおく.
(1) a'/(a'+b'+c') + b'/(b'+c'+a') + c'/(c'+a'+b') = 1,
(2) a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2,
(3) 1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1,
(4) tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:40番)
おながいします。
430:１３２人目の素数さん
09/01/11 21:10:27
スレチかつマルチ
431:１３２人目の素数さん
09/01/12 08:59:36
一辺が1の正n角形x1x2x3…xnの内部に点Pをとる｡
L=x1P+x2P+…xnP とするとき､Lの最小値を求めよ｡
432:１３２人目の素数さん
09/01/16 02:01:35
>>429
(1) は明らか。
(2) a' + b'c' = a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)cos((B+C)/2)
= a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)sin(A/2)
= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)sin(A/2)
= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)cos((B+C)/2)
= cos(B/2)cos(C/2),
(左辺) = {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/{2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)} = 2,
(3) tan(C) = tan(π-A-B) = -tan(A+B) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)},
(4) tan(C/2) = tan((π-A-B)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)},
433:432
09/01/16 04:07:22
>>429
やってしまった････ 訂正すまそ。
(3) tan(A) = tan(π-B-C) = -tan(B+C) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)},
(4) tan(A/2) = tan((π-B-C)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)},
434:１３２人目の素数さん
09/01/18 20:19:41
東大の2002年前期3番って、円周率が\pi < 60/19=3.1578…を満たすことを証明する必要があったのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(hiw.oo.kawai-juku.ac.jp)
もしあったなら、この翌年の「\pi > 3.05を示せ」よりずっとエグいと思いますが。
円に外接する正12,24角形ではアウトなので、正36角形を持ち出すか、あるいは>>235のようなトリックが必要です。
もちろん三角関数表はない状況での話です。
435:１３２人目の素数さん
09/01/18 23:49:21
必要ない
436:ボケ
09/01/19 00:13:07 BE:624895564-2BP(1028)
>>431
Min_L(N) = N / √[2*{1-cos(2π/N)}]
437:１３２人目の素数さん
09/01/20 02:10:23
正確に動いている時計がある。この時計の短針、長針、秒針がすべて重なる時刻は１２時００分００秒だけであることを示せ。
ただし時計の針は３本とも等速円運動をしているとする。
438:１３２人目の素数さん
09/01/20 04:39:46
>>437
レベル的には中学入試か？
439:１３２人目の素数さん
09/01/20 05:19:33
>>437
普通に一致するだろ
例えば12:00:00から3600/59秒=61,01...秒後
440:１３２人目の素数さん
09/01/20 05:25:46
すまんボケてた
3600/59分後だな
441:１３２人目の素数さん
09/01/20 09:13:47
まだボケてる>>440
全然話にならないくらいにボケてる
442:１３２人目の素数さん
09/01/20 09:35:48
どちらにせよスレ違い
443:１３２人目の素数さん
09/01/20 10:00:28
>>441
どこが？
444:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:05:24
>>443
とりあえず、3600/59 分間に
長針は 366.10・・・度
短針は 30.50・・・度
それぞれ回転する。明らかにその差は360度の整数倍ではない。
445:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:20:17
>>444
本気で言ってる？
だとしたら相当頭悪い
446:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:22:47
>だとしたら相当頭悪い
自分のこと、か？
447:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:24:05
>>446
訂正するならしていいよ
448:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:26:04
>>445
3600/59 は大体61。12時ちょうどの61分後は1時1分。そのときに長針と短針が重なるのか、お前の星の時計だと。
449:１３２人目の素数さん
09/01/20 11:33:40
何にしても、分母に59などと書いてる時点で、吟味する価値もないかと。55ならまだしも。
いい加減すれ違いだからやめれ。
450:１３２人目の素数さん
09/01/20 12:33:52
５９は出てくるがどうやったら５５なんて出てくるんだ？
451:１３２人目の素数さん
09/01/20 13:47:01
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
452:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:04:35
>>450
ヒント：長針は12時間で一周する
453:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:05:14
>>431
これって実質Pが正多角形の中心であることを示せってことでしょ？俺の解答見てくれ。
xy座標を取り、多角形の中心が原点になり、y軸対称になるように置く。
このとき、P0をy軸上に、P1をその他の場所におく。（ただしP0とP1のy座標は同じ）
（続く）
454:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:11:25
>>452
ｵｲｵｲw
455:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:14:36
（以降、L(P)=x1P+x2P+…+xnPと表記する。）
L(P0)<L(P1)をまず下に示す。
x1～xnまでのn個をy座標の値でグループ分けする。
（１）１グループに一つ点がある場合（n:oddに限る）
その点をAとする
このときAP0<AP1
（２）１グループに二つ点がある場合。（つまりほとんどの場合）
その２点をB、Cとする
このときBP0+CP0<BP1+CP1となる。（図を書いて楕円の性質を考えれば明らか。）
x1からxnまでnこの点を前述の通りグループ分けすれば、任意のグループについて（１）、（２）が成り立つ。
従ってL(P0)<L(P1)
（続く）
456:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:22:05
L(P0)<L(P1)が意味する事は、正多角形についてそれを対称に分割する直線（直線Sと呼ぶ）を引いた場合、
「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。
任意の直線Sの上にある点は、多角形の中心のみである。
よってminL(P)=N*(2sin(π/2n))^(-1)
従ってPは多角形の中心。
457:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:22:55
訂正
最後の２文の順番が逆。
458:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:26:11
さらに訂正
(n:oddにかぎる)は必要ない。
あとB,Cのy座標が0の時は
BP0+CP0≦BP1+CP1
459:１３２人目の素数さん
09/01/20 14:39:17
>>445
お前の星だと、長針と短針は一分当たり(あるいは一時間当たり)それぞれ何度回るのか言ってくれ。
460:１３２人目の素数さん
09/01/20 20:54:18
>>431
三角不等式つかいまくるだけなんじゃ？
461:ボケ
09/01/20 20:56:45 BE:1458089287-2BP(1028)
>>456
その式で 正４角形を計算すると２√２にならんのだが・・・
462:ボケ
09/01/20 21:51:39 BE:911306257-2BP(1028)
Ｌ＝ｎ／（２sin(π/ｎ)) か。
漏れは 局座標系を使って全部計算で解いた。
原点を正ｎ角形の中心点にとる。x1,x2,...,xN は、 (x_i,y_i)=(rcosθ,rsinθ), θ=2π/n*i, i=1,...,N
最小となる点が中心となることの証明も計算で・・・
原点と異なる点Ｐとx1,x2,...xNとの距離の和Ｌ(P)を計算する
点Ｐを(x,y)=(r_p cosθ_p, r_p sinθ_p)
Ｌ（Ｐ）＝ｎ（r^2＋r_p~2) - 2rr_p∑cosX_i, X_i=2π/n*i-θ_p
となるが∑cosX_i はゼロになることが∑sinX=0と加法定理から導ける
463:ボケ
09/01/20 21:54:06 BE:703008239-2BP(1028)
結局、最小になるのは r_p = 0 のときで、点Ｐ＝原点のときとなる。
464:ボケ
09/01/20 22:03:42 BE:208299124-2BP(1028)
＞このときBP0+CP0<BP1+CP1となる。（図を書いて楕円の性質を考えれば明らか。）
どのような楕円の性質を考えたらいいのか 教えてもらえないか？
465:ボケ
09/01/20 22:32:43 BE:650933055-2BP(1028)
>>456
論理の飛躍があるような気がするんだけど・・・
＞L(P0)<L(P1)が意味する事は、正多角形についてそれを対称に分割する直線（直線Sと呼ぶ）を引いた場合、
＞「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。
確かにＹが同じなら 対称に分割する直線上の点が最小になるわけだけど
じゃぁ その直線上では どこが最小になるのか 言えてるのか？
466:ボケ
09/01/20 22:37:42 BE:546783473-2BP(1028)
あっ 漏れの方法ダメかも ｏｒｚ
467:452
09/01/20 23:53:07
>>454
しまった！
468:456
09/01/20 23:54:04
>>464
2chでは図が使えないから説明しにくいけど頑張る。
B,Cを焦点とし、P0を通る楕円を書いてください。その曲線状の任意の点Gについて
BG+CG=BP0+CP0がなりたちます（これが楕円の性質というか定義というか）
P1についても同様に楕円を書いてくれれば、後はその図で分かると思う。
469:456
09/01/20 23:58:54
>>465
＞じゃぁ その直線上では どこが最小になるのか 言えてるのか？
まず、その直線上にPが存在することは必要条件。次に、多角形を回転し、別の対象に分割する線をY軸に一致させる。
この場合でもPはY軸上に存在するのが必要。
こうなると二つの線の交点は原点の一箇所しかないからPはそこになる。
ところで最後の最後にくだらない計算ミスしてすいません。
470:456
09/01/21 00:00:20
訂正：
別の対象に分割する線を→別の「対称に分割する線」を
471:ボケ
09/01/21 00:31:13 BE:260373825-2BP(1028)
やっぱり 計算間違えてたｗ
距離計算するのにル～トとるの忘れてたわ
けど、不等式つくって r_p＝0のとき最小になると示せる
使った不等式は ∑X_i ≧ √(∑X_i^2)
472:456
09/01/21 13:31:58
>>462
∑sinX=0は分かるんですけど、そこから∑cosX=0を導く過程、教えてください。
あと、僕の解答は納得いただけましたか？
473:１３２人目の素数さん
09/01/21 19:32:31
∫(dx/x) は有理式（整式の商）ではない事を示せ。
ただし ∫(dx/x) は未知とする。
474:１３２人目の素数さん
09/01/21 20:34:46
A＝｛(x，y) | x^2＋y^2＝1，x，yはともに有理数｝ とする．
P，Q，R ∈ A として三角形PQRをつくるとき，
三角形PQRの最大値は存在しない事を示せ．
475:１３２人目の素数さん
09/01/21 21:49:42
>>473
未知とすると言われても・・・
(d/dx)log|x|=1/xを証明させたいんかな
476:１３２人目の素数さん
09/01/21 22:20:26
>>474
三角形ＰＱＲの最大値って何？面積の最大値ってこと？
477:１３２人目の素数さん
09/01/21 23:37:32
>>474
有理式を微分しても1/xにはならないって事
478:狂介
09/01/22 10:54:03
>>474
まず、⊿PQRが正三角形でないことを示す。
（証明）
有理ベクトルOPについて、R(120°)OPは有理ベクトルじゃない。
ただしR(θ)はθ回転の行列
（証明終わり）
479:狂介
09/01/22 10:59:20
次に、x^2+y^2=1の円上に二つの点を選び、その２点にはさまれる弧を選ぶと、その中に有理点があることを示す。
（証明）
pは有理数
(x,y)=(1,p)と(x,y)=(-1,0)を結ぶ直線と円の交点（のうち(-1,0)でない方）は有理点になる
また、いかなる二つの数に対しても、その間に有理数pは存在する
（証明終わり）
480:狂介
09/01/22 11:05:55
次に本題の証明。
いかなる⊿PQRについても、それより面積が大きいものがあることを示す。
⊿PQRは上述の通り正三角形でないので、PQ≠PRとする。
QRに垂直二等分線を引き、それと円弧の交点のうち、QRに対してPと同じ側にある点を、Hとする。
上述の通り、HとPとの間には、必ず有理点があり、そのうち一つをP'と呼ぶ。
このとき面積は、⊿PQRより⊿P'QRの方が大きい。
以上より、三角形PQRの最大値は存在しない。
481:ボケ
09/01/22 22:35:01 BE:156224232-2BP(1028)
>>472
正ｎ角形の中心を原点とし、Ｙ軸上に頂点x1を置く。
各頂点の角度θはＸ軸を基準にするとθ=2π/n*i+π/2ただし(i=0,1,..,n-1)となる。
このとき∑cos(θ)=0である。なぜなら各頂点はＹ軸に対して対称で
対称な頂点ではcos(θ)の値は符号が逆で大きさは同じ為。一方で、
∑cos(θ)=∑cos(2π/n*i+π/2)=∑{cos(2π/n*i)cos(π/2)-sin(2π/n*i)sin(π/2)}
=∑{cos(2π/n*i)*0-sin(2π/n*i)*1}=-1*∑sin(2π/n*i)=0
すなわち∑sin(2π/n*i)=0となる
X_i=2π/n*iと置くと
∑sin(X_i)=0, ∑cos(X_i)=0
∑sin(X_i+β)=∑{sin(X_i)cos(β)+cos(X_i)sin(β)}
=cos(β)∑sin(X_i)+sin(β)∑cos(X_i)
=0
同様に
∑cos(X_i+β)=0
482:ボケ
09/01/22 22:41:14 BE:1275828277-2BP(1028)
>>481 追加
∑cos(X_i)=0 は
∑sin(θ)=∑sin(2π/n*i+π/2)=∑{sin(2π/n*i)cos(π/2)+cos(2π/n*i)sin(π/2)}
=∑{sin(2π/n*i)*0+cos(2π/n*i)*1}=∑cos(2π/n*i)=0
と導ける
483:ボケ
09/01/22 23:20:47 BE:468671292-2BP(1028)
>>472
>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
原点からの距離は、Py2<Py1となり
L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
最終的に対称軸の交点が最小となることを
示した方がいいと思う。
実は交点じゃなくて 端っこの点の方が最小で最小点はｎ個というケ～スもあると思う。
あるいは どの点でもＬ(Py)の値は同じかもしれんし
まぁ もれの頭が足りないだけなのかもしれんが ｏｒｚ
484:狂介(=472)
09/01/23 11:41:10
>>483
＞>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
＞いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸にY1,Y2,Y3…と名前をつけます。
このとき、L(P)に最小値を与えるPならば、「そのPはY1上にある」ということが必要条件です。
同様に、「PはY2上にある」「PはY3上にある」も、すべて必要条件です。これらすべての必要条件を満たすのは唯一多角形の中心なので僕の考えはあってるかと。
485:狂介
09/01/23 11:45:00
>>483
＞対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
＞楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
＞原点からの距離は、Py2<Py1となり
＞L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
＞最終的に対称軸の交点が最小となることを
＞示した方がいいと思う。
その操作を繰り返して、Py1,Py2,Py3…と作っていってもPynが多角形の中心になることはないと思う。（極限値は収束するけど）
だからその場合は中心について議論したことにならない希ガス。
486:１３２人目の素数さん
09/01/24 07:53:36
y2=x^3+x^2-x という楕円曲線上の有理点をすべてもとめなさい。 30点
487:１３２人目の素数さん
09/01/24 12:22:30
>>485
君が示したのはL(P0)＜L(P1)のみ。これが意味するのは、
「対称軸上にない点は最小値になりえない」ということだけ。
よって、
(1)もし最小値が存在するならば
L(P)が最小になる点は原点しかありえないということになり、
証明は終わる。ところが、
(2)もし最小値が存在しないならば
もともと最小値が無いのだから、君が示したことは意味が無い。
君が示すべきは(1)。「そんな必要ないだろ」と思うかもしれないが、
これは絶対に必要。君がやっているロジックは、以下の議論と同じなのだ。
・自然数の最大値は1である。
証明：n≠1のときは、nより大きな自然数が存在する。これは、
1でない自然数は 自然数の最大値になりえないことを意味する。
よって、n＝1が最大値である。
488:１３２人目の素数さん
09/01/24 12:47:14
>>471
＞使った不等式は ∑X_i ≧ √(∑X_i^2)
これは間違い。Σ｜X_i｜≧√(∑X_i^2)が正解。
489:ボケ
09/01/24 16:02:10 BE:312448234-2BP(1028)
>>488
長さに負は存在しないから X_i>0 （書くの省略してました）
490:ボケ
09/01/24 16:05:02 BE:416597344-2BP(1028)
公式として覚えてたわけじゃなくて、
この問題用に その場で証明して使っただけなんで・・・
491:狂介
09/01/24 16:08:09
>>487
おっしゃるとおり、僕の解答には不備があるようです。「Pが原点以外のとき、最小値をとりえない。」
これが僕の示したところとなりますね。
＞もともと最小値が無いのだから、…
これについては何かおかしいかと。何とかして最小値があることを示せば僕の解答は正しいことになるし、最小値は存在すると思いますが、いかがでしょう？
492:ボケ
09/01/24 16:15:08 BE:1093567076-2BP(1028)
あ X_i≧0 ねｗ
493:１３２人目の素数さん
09/01/24 16:15:14
>>471
その不等式を使っては示せないと思うが。
494:１３２人目の素数さん
09/01/24 16:15:37
>>491
「もし(2)だったら、もともと最小値が無いことになって、意味が無い」
ということ。何もおかしくない。文脈上は
なぜ(1)を示さなければいけないのか？ → もし(2)だったら意味が無いから
こういう流れで書いている。
495:ボケ
09/01/24 16:56:33 BE:624895564-2BP(1028)
>>493
ｏｒｚ
496:狂介
09/01/24 16:59:39
>>494
ごめんなさい。読み違えました。
497:１３２人目の素数さん
09/01/24 18:37:27
平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
498:ボケ
09/01/24 19:09:45 BE:520746454-2BP(1028)
>>493
不等式使うの辞めた。「∑X_iが最小 ⇔ (∑X_i)^2が最小」 を使うことにした。
内点Ｐと各頂点の距離をR_iとし、X_i=2π/n*iとする
(∑R_i)^2を展開すると
結局、∑cos(X_i+β)=0だし、積和公式使うと∑cos(X_i+β)cos(X_j+β)=0となるので
(∑R_i)^2=r^2+r_p^2
となり、これが最小なのは r_pを0とした時となる
ただし
各頂点(x,y)=(r*cosX_i,r*sinX_i)
内点Ｐを(x,y)=(r_p*cosβ,r_p*sinβ)
とした
499:ボケ
09/01/24 19:22:56 BE:416597928-2BP(1028)
>>498
あぅ また早とちりしてた ｏｒｚ
500:１３２人目の素数さん
09/01/24 19:45:25
うん、BeをNGに入れたから
501:Be
09/01/25 12:49:54 BE:833193784-2BP(1028)
>>431
L(P)を、極座標の動径ｒで微分するとr>0で正
ｒ→０のlimで０になるからｒ＝０のとき最小
じゃダメ？
502:狂介
09/01/25 16:08:47
>>501
計算複雑そうでやる気しないんだが、r=0は不定義点なの？
503:Be
09/01/25 19:15:03 BE:1874686289-2BP(1028)
>>502
定義されてる。
ちょっと、また勘違いしてて、別の計算の途中でｒ＝０だと困るという勘違いしてた
504:Be
09/01/25 20:51:55 BE:2109021899-2BP(1028)
正ｎ角形の各頂点x_iは(x,y)=(rcos(2π/n*i),rsin(2π/n*i))
内点Ｐの座標は(x,y)=(rcos(θ_p), rsin(θ_p))
L(P)=∑√{r^2+r_p^2-2*r*r_p*cos(2π/n*i-θ_p)}
=∑√[{r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)}^2+{r*sin(2π/n*i-θ_p)}^2]
a_i=r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)
b_i=r*sin(2π/n*i-θ_p)
とおくと、L(P)=∑√(a_i^2+b_i^2)
L(P)を動径r_pで微分すると
d{L(P)}/dr_p = d{∑√(a_i^2+b_i^2)}/dr_p
=∑{a_i/√(a_i^2+b_i^2)}
=∑[i≠k]{a_i/√(a_i^2+b_i^2)} ただし r_p≠0 また 存在するならばkのときa_k=0
=∑[i≠k]{1/√(1+(b_i/a_i)^2)}
>0
r_p=0のとき
d{L(P)}/dr_p = ∑[(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√{(r*cos(2π/n*i-θ_p))^2+(r*sin(2π/n*i-θ_p))^2}]
=∑[(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√(r^2)]
=-1*∑cos(2π/n*i-θ_p)
=0
以上から、L(P)はr_p=0のときL(P)が最小でr_p>0のとき増加
どうでしょう？
505:Be
09/01/25 20:52:46 BE:2109021899-2BP(1028)
＞内点Ｐの座標は(x,y)=(rcos(θ_p), rsin(θ_p))
内点Ｐの座標は(x,y)=(r_p*cos(θ_p), r_p*sin(θ_p))
506:Be
09/01/25 21:31:00 BE:468671292-2BP(1028)
あっ やっぱダメだ ｏｒｚ a_iの符号が・・・a_i/|a_i|になって こまるぅ
507:１３２人目の素数さん
09/01/25 22:43:01
>>473
f(x)=P(x)+Q(x)/R(x)とおく。ただしP,Q,Rは整式でQはn-1次以下、Rはn次とする。
f'(x)=P'(x)+(Q'(x)R(x)-Q(x)R'(x))/(R(x))^2
第2項の分子は2n-2次以下、分母は2n次だからf'(x)≠1/x
508:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:13:09
>>431
r=1/(2sin(π/n))とする。√は凹関数だから
L/n＝(1/n)Σ[k=0,n-1]√(x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n)))
≧√((1/n)Σ[k=0,n-1](x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n))))
＝√(x^2+y^2+r^2)≧r
x=y=0のとき実際にL/n=rを達成できるからLの最小値はn/(2sin(π/n))
凸不等式使うところはシュワルツの不等式でも行ける。
509:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:22:08
>>508
その式は間違ってる。不等号の向きが逆(√xは上に凸だから)。
510:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:01:33
>>455-456まで出ていながら 未だに誰も解いていないのが不思議でならない。
n本の対称軸によって、R^2は2n個の領域に分割される。それらの領域を
D1,D2,…,D2nと置く。x＝x1∈R^2－{o}を任意に取るとき、x1∈Dkを満たす
kが少なくとも1つ存在する。Dkの境界は2本の対称軸(の一部分)であるから、
x1からそれらの対称軸のどちらかに垂線を下ろし、交わった点をx2とおく。
以下、図のようにしてx3,x4,…を作っていくと、xi→o in R^2である。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
L：R^2→[0,∞)は連続であることに注意すると、L(xi)→L(o)が成り立つ。
また、>>455-456の議論から、L(x1)＞L(x2)＞L(x3)＞… が成り立つ。
つまり、L(xi)はiの数列として狭義単調減少である。これとL(xi)→L(o)から、
L(x1)＞L(o)が成り立つ。以上をまとめると、
x1∈R^2－{o} ⇒ L(x1)＞L(o)
ということである。これは、原点oが最小値であることを意味する。
511:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:07:12
＞以下、図のようにしてx3,x4,…を作っていくと、xi→o in R^2である。
↑図がいい加減で分かりにくいかもしれないが、要するに、垂線を下ろす操作を繰り返す。
512:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:12:17
>>509
あー俺もう駄目かも
513:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:31:22
別解：>>487の(1)を示す。これは よくやるオーソドックスな方法。
高校の範囲を少し超えるけどな。
まず、L：R^2→(0,∞)は明らかに連続である。また、簡単な評価によって
lim[|P|→∞]L(P)＝∞ となることが分かる。よって、あるM＞0が存在して、
「|P|＞MならばL(P)＞L(o)」…(*)が成り立つようにできる。
このMに対して、原点中心、半径Mの閉円盤Dを考え、LをD上に制限する。
DはR^2の有界閉集合だから、LはD上で最小値を持つ。その値をmとすると、
o∈Dだからm≦L(o)である。実は、mはR^2上におけるLの最小値にもなっている。
実際、P∈R^2－Dのときは、(*)によってL(P)＞L(o)≧mとなるので。
よって(1)は成り立つ。つまり、LはR^2上で最小値を持つ。
514:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:48:35
円周上に五点を取って五角形を取るとき
その面積が最大になるのはどのような場合か、
というような問題も似たような話だよね
515:Be
09/01/26 08:05:56 BE:911305875-2BP(1028)
>>511
それは>>483で書いてる
516:１３２人目の素数さん
09/01/26 12:27:56
東大にこんな問題はでない
517:１３２人目の素数さん
09/01/26 13:40:08
文系ですが失礼します
URLﾘﾝｸ(www.hotdocs.jp)
このサイトで東大数学の古い過去問を見つけたんですが回答がなくて困ってます
誰か回答もってないですか？
っていうか解いてくｒ いや、くださいｗｗｗ
518:狂介
09/01/27 18:36:40
>>513
ありがとう。それを僕の解に付け加えれば完璧になる。（といいながら高校の範囲超えてるから良く分からないけど）
519:１３２人目の素数さん
09/01/27 22:12:49
>>517
この本を買えば載っていますよ。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
あと、文系の問題は載っていませんがここは解答も充実しています。
URLﾘﾝｸ(www.j3e.info)
520:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:02:26
サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする
①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
おねがいしまあす
521:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:49:15
>>520
マルチ
522:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:02:44
tan１°は超越数か。
523:KingGold ◆3waIuSKark
09/01/28 22:03:59
Reply:>>522 超越数だ。
524:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:09:54
oui
525:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:22:14
リンデマンの定理
a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
526:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/01/28 22:39:40
Reply:>>523 お前は誰か。何が超越数か。
527:１３２人目の素数さん
09/01/28 23:33:46
>522
tanの加法公式から、
tan(nθ) = F(tanθ) / G(tanθ),
と書ける。F と G は n-1次とn次の整係数多項式。
n=45, θ=1ﾟ とおくと、
F(tan(1ﾟ))/G(tan(1ﾟ)) = 1,
となるから、tan(1ﾟ) は 45次の整係数方程式の根、よって代数的数。
528:１３２人目の素数さん
09/01/29 02:30:54
>>519
丁寧にありがとうございます。
いいサイトですねｗｗ
背伸びして頑張ってみます。
529:１３２人目の素数さん
09/01/29 03:10:36
そこで草を生やす意味が分からない
530:１３２人目の素数さん
09/01/29 05:35:12
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
531:１３２人目の素数さん
09/01/31 15:35:25
分からない問題はここに書いてね３００
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:722番)
722 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/01/26(月) 20:35:36
時針、分針、秒針すべての長さが等しい時計がある。
針の先端がつくる三角形の面積が最大になる時刻はいつか。
532:１３２人目の素数さん
09/01/31 16:46:57
497 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2009/01/24(土) 18:37:27
平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
533:１３２人目の素数さん
09/01/31 21:50:11
>>525
おいこれ昔俺が益田んとこに書いたレスじゃねえかよ
534:１３２人目の素数さん
09/02/03 23:24:05
益田とか懐かしいな
あいつ突然いなくなったけどめんどくさくなったんかな
535:１３２人目の素数さん
09/02/04 00:25:33
リーマンショックで株価暴落して生活苦という説が有力。
536:１３２人目の素数さん
09/02/04 00:26:50
株ニートかよｗ
537:１３２人目の素数さん
09/02/04 01:57:38
ニートって、貧乏とかいう意味になって来てるんだろうか
>>536に限らず、本来の意味からどんどん離れてる気がする
スレ違いでごめん
538:１３２人目の素数さん
09/02/04 05:31:34
l^2+m^2=n^2を満たす自然数l,m,nのうち
どれか1つは必ず2の倍数であることを示せ
これはできそうでできない難問
539:１３２人目の素数さん
09/02/04 05:39:48
>>538
全て奇数と仮定して合同式はmod 4とすると(奇数)*(奇数)≡1, (偶数)*(偶数)≡0であり、
(左辺)≡2, (右辺)≡0により成立しないので、背理法により証明された。
540:１３２人目の素数さん
09/02/04 06:34:31
>>539
大筋はいいとしても
途中で間違ってるぞ
541:狂介
09/02/04 09:04:48
>>538
くそ簡単すぎてﾜﾛﾀ
l,m,nすべてが奇数だと、「奇数+奇数=奇数」となるのですべて奇数は否定された。
つまりどれか一つは偶数
542:１３２人目の素数さん
09/02/04 13:42:13
>538
おい、顔真っ赤だぞ
543:狂介
09/02/04 18:34:47
>>540>>542
>>538は数学的に合ってる
544:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:36:41
できそうでできない難問だというところが間違っているんじゃないの
545:１３２人目の素数さん
09/02/05 01:35:16
＞(右辺)≡0
(右辺)≡1だった
546:538
09/02/05 01:42:59
お前ら解けんのかよ・・・
出直してきます
547:１３２人目の素数さん
09/02/05 01:51:56
何だmod4じゃなくてmod2で解けちゃったのか
548:１３２人目の素数さん
09/02/05 02:24:08
>>538は数学の素養に乏しいだろう
問題文がそれを如実に伝えているのである
> どれか1つは必ず2の倍数
の部分は
少なくとも1つは偶数
でいいからである
549:１３２人目の素数さん
09/02/05 22:53:25
538が難問とか言ってる時点で素養もクソもなかろうｗ
550:１３２人目の素数さん
09/02/07 15:01:42
538って中学生の教科書レベルでは？
まあ彼には難しいんだろうけどｗｗ
551:１３２人目の素数さん
09/02/07 16:06:41
お前らつられ過ぎだろ
このスレ痛いやつばっかだな
552:１３２人目の素数さん
09/02/07 16:38:32
今のがなければ>>550で最後だったのにな
心配しなくても黙ってれば終わるよ
出題者（笑）
553:１３２人目の素数さん
09/02/07 16:41:02
1x2x4のブロックを７ｘ７ｘ７の立体にできるだけつめる問題
何個か
554:１３２人目の素数さん
09/02/08 01:54:07
7^3 ÷ 1*2*4 で43より少ないことはたしかか。
555:１３２人目の素数さん
09/02/09 03:31:38
2,2^2,2^3,…,2^2009の中で一番位が高い数字が1であるものの個数を求めよ
556:狂介
09/02/09 18:55:39
>>555
(2^2009の桁数)-1
557:１３２人目の素数さん
09/02/09 19:07:35
必ず桁が上がる時に1を経由するからね。
以前わからない問題スレにあった
2^555の桁数は168で最高位が1である
このとき2^n（n＝1､2､3....555）の中で最高位が4の数は何個あるか
のほうがおもしろいね。
558:１３２人目の素数さん
09/02/10 00:04:10
>>557
さすがに優秀な入試問題は練ってあるよね。
ちなみに早稲田教育の問題やね。しかも小問集合。鬼だｗ
559:狂介
09/02/10 21:05:28
答え聞いた時は入試問題としては発想が難しすぎだなって思った。
数学は遊びだって人でも運が良くないと無理そう。
560:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:38:21
>>557は細かい計算が必要な気がしてごちゃごちゃやっててハッとした
561:１３２人目の素数さん
09/02/12 18:51:55
次の連立方程式において､
0≦x,y＜2πを満たす解はただ1組存在することを示せ｡
sinx+cosx=sinycosy
sinxcosx=siny+cosy
562:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:38:06
媒介変数表示の求積問題だしてたな、あれはいかん。
563:１３２人目の素数さん
09/02/14 14:01:50
>>561
それは偽だぞ。x'=x+π/4,y'=y+π/4とおくと
(1) sin(x')=-(1/2√2)cos(2y')
(2) sin(y')=-(1/2√2)cos(2x')
だからx'をπ-x'(あるいは3π-x')に置換しても同じ方程式になってしまう。
解がちょうど4つあることは次のように示すことができる。
(2)をsin(y')=(1/2√2)(2sin^2(x')-1)と思って(1)を代入すると、
(3) sin^4(y')-sin^2(y')-2√2sin(y')-3/4=0
という方程式になり、t^4-t-2^2-2√2t-3/4=0は[-1,1]の範囲に唯一の解を持つ。
この解は実は(-1,0)の範囲に含まれていてy'は2通りある。
(1)(2)と(1)(3)は連立方程式として同値だから、
sin(y')=tのもとで(1)の解の個数を調べればよいが、
sin(x')=-(1/2√2)(1-2t^2)は2解を持つので(x',y')の組は4通りある。
564:１３２人目の素数さん
09/02/15 13:00:01
ｃｏｓ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）ｓｉｎ（ｙ）＝ａ。
ｃｏｓ（ｘ）ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝ｂ。
ａ＾２＝１＋２ｂ。
ｂ＾２＝１＋２ａ。
（ａ＾２－１）＾２＝４（２ａ＋１）。
ａ＾４－２ａ＾２－８ａ－３＝０。
（ａ＾２＋２ａ＋３）（ａ＾２－２ａ－１）＝０。
ａ＝１－√（２）。
ｂ＝１－√（２）。
（ｃｏｓ（ｘ）－ｓｉｎ（ｘ））＾２＝２√（２）－１。
565:１３２人目の素数さん
09/02/15 16:27:35
>>561
0≦x､y≦π に訂正を｡
566:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:34:59
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
を差積とか Vandermonde 行列式とか 言うらしい。
〔問題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:737番) , 739
不等式スレ３
567:１３２人目の素数さん
09/02/22 04:36:56
>>557
題意より 168 ≦ n･log(2) < 168 + log(2),
最上桁が '1'
[ n･log(2) ] = 76 個,
最上桁が '2' か '3'
[ (n-1)log(2) ] +1 = 77個,
最上桁が '5'～'9'
[ (n+1)log(2) ] = 77個,
最上桁が '4'
n - (76+77+77) = 25個, (← 題意より n=255)
568:１３２人目の素数さん
09/02/22 06:26:20
>>567
全然違うぞ
569:１３２人目の素数さん
09/02/22 06:27:57
>>522, 527
F(t) = 45t -14190t^3 +1221759t^5 -45379620t^7 +886163135t^9 -10150595910t^11
+73006209045t^13 -344867425584t^15 +1103068603890t^17 -2438362177020t^19 +3773655750150t^21
-4116715363800t^23 +3169870830126t^25 -1715884494940t^27 +646626422970t^29 -166871334960t^31
+28760021745t^33 -3190187286t^35 +215553195t^37 -8145060t^39 +148995t^41 -990t^43 +t^45,
G(t) = 1 -990t^2 +148995t^4 -8145060t^6 +215553195t^8 -3190187286t^10
+28760021745t^12 -166871334960t^14 +646626422970t^16 -1715884494940t^18 +3169870830126t^20
-4116715363800t^22 +3773655750150t^24 -2438362177020t^26 +1103068603890t^28 -344867425584t^30
+73006209045t^32 -10150595910t^34 +886163135t^36 -45379620t^38 +1221759t^40
-14190t^42 +45t^44,
570:１３２人目の素数さん
09/02/22 06:40:58
>>527
蛇足だが
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
(略解)
複素数を使う。√(-1) =i とおく。
1+it ∝ cosθ + i･sinθ = exp(iθ), (← t=tanθ)
cos(nθ) + i･sin(nθ) = exp(inθ) = {exp(iθ)}^n,
より
G(t) + i･F(t) = (1+it)^n = {Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j)} +iΣ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1)},
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
n=45 のときは >>569
571:１３２人目の素数さん
09/02/22 16:23:09
>>567
その理論、nが小さい時に試してみたら？
572:571
09/02/22 16:31:07
>>567
「+1」が見えてなかった
スマン
573:１３２人目の素数さん
09/02/24 10:43:35
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
574:１３２人目の素数さん
09/02/24 10:49:22
>>573
久しぶりだね
575:１３２人目の素数さん
09/02/24 11:01:27
＞そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
576:１３２人目の素数さん
09/02/24 12:02:31
流れ豚切ってすみません。
以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
577:１３２人目の素数さん
09/02/24 12:36:05
>>576
＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
578:１３２人目の素数さん
09/02/24 23:37:23
>>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
579:１３２人目の素数さん
09/02/25 00:33:57
>>576
例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
580:１３２人目の素数さん
09/02/25 12:33:46
>>579
んんっ…あっ…これです！！！
どうも有り難うございました。
>>578さんもお疲れ様ですm(_ _)m
581:１３２人目の素数さん
09/02/25 21:55:13
>>580
んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
582:１３２人目の素数さん
09/02/26 00:07:33
>>579
当然偽だね。
logをとって考えれば，結局「負の数を無限個足せば-∞に発散する」という主張をしていることになるが，
もちろんそんなことは成り立たない。-1/2^n とかを考えれば明らか。
583:１３２人目の素数さん
09/02/26 22:27:58
>>579
判例
a[k] = {k/(k+1)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {1/(n+1)}*{(n+2)/2} → 1/2. (n→∞)
13 24 35 46
---------------------
22 33 44 55
584:１３２人目の素数さん
09/02/27 00:05:35
>>579
凡例
0<b<1 として, bに収束させる。
a[k] = {(k-1+2b)/(k+2b)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {2b/(n+2b)}*{(n+2)/2} → b. (n→∞)
585:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:37:59
フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい
586:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:47:48
>>579 (別解)
0<b<1 とすると、(sinθ)/θ = b となるθが(0,π) にある。
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/{2^(k-1)})／2sin(θ/(2^k)),
a(1)a(2)･････a(n) = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → sinθ/θ = sinc(θ) =b, (n→∞)
587:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:56:31
５７９
有界単調減少ー＞収束
limΠa(i)=c>0
c*.9<c
になるので
c>0は矛盾ー＞ c=0
588:１３２人目の素数さん
09/02/28 02:42:35
今年も東大より京大の方が面白い
589:１３２人目の素数さん
09/02/28 07:17:48
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、-1<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
590:１３２人目の素数さん
09/02/28 08:20:25
>>582
-1/2^n の数列を無限個足していったら0になってしまわないかしら
591:１３２人目の素数さん
09/02/28 08:39:35
どこをどう突っ込めばいいのやら
592:１３２人目の素数さん
09/02/28 08:51:52
ああ、かけていったら、です。(-1)^n/2^(0.5n*(n+1))→0だよなあ
593:１３２人目の素数さん
09/02/28 12:45:00
>>412あたりの本にちょっと興味あるのだけど、本当に買ってみるべきかしら？
他にもっとこれやれって本はあったりするのかしら
594:１３２人目の素数さん
09/02/28 12:58:25
>>579 (別解)
0<b<1 とする。
a(k) = b^{(1/2)^k},
a(1)a(2)･････a(n) = b^{1 - (1/2)^n} → b (n→∞)
595:１３２人目の素数さん
09/02/28 13:40:08
>>587
なにこれ？
596:１３２人目の素数さん
09/02/28 14:37:08
>>585
ここら辺↓に解凍････
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:312-314番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:421-422番)
597:596
09/02/28 14:48:11
>>585 リンクミス、すまそ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:421-422番)
定理スレ
598:１３２人目の素数さん
09/03/01 01:08:48
n枚の互いに異なるカードがひとつの山に重ねてある。初期の順序の状態を順序Mとする。
以下の試行によりカードを並び替える。ただしp,qはnの約数とする。
①山を上から順にp等分する。それぞれの山をA1、A2、・・・、Apとする。
②A1,A2・・・Apと順に一番上のカードを取っていく。Apのカードを取ったらA1に戻り山がなくなるまで繰り返す。
③先に取ったカードをが上になるように一つの山を作る。
この試行をZ(p)とする。
（１）順序MからZ(p)をm回繰り返した。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
（２）n≧pqとする。このとき、順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序と、順序MからZ(pq)を１回行った山のカードの順序が等しいことを示せ。
（３）順序MからZ(p)をa回行った後、その状態からZ(q)をb回行った。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
599:１３２人目の素数さん
09/03/01 09:00:05
あ、間違えた
（２）順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序→順序MからZ(p)を行った後Z(q)を行った山のカードの順序
600:１３２人目の素数さん
09/03/01 20:52:42
>>579
B(0) = 1,
B(n) は単調減少
Lim[n→∞] B(n) = b,
を満たす数列 B(n) に対して
a(n) = B(n) / B(n-1),
601:１３２人目の素数さん
09/03/03 12:14:39
たった一つのことを使い回していくだけなので面白みに欠けるところがあるが
まあ入試なら差が付くだろうし，昔東大にも似たようなのあったからいいか。
2009^2009の各位の和を計算し，更にその各位の和を計算し…
と出てきた数の各位の和の計算をくり返していくとき，
最後に残る一桁の数字を求めよ。
602:１３２人目の素数さん
09/03/03 12:54:15
パクり乙
603:１３２人目の素数さん
09/03/03 14:21:37
>>601
答え 5
9で割った余りを求めればよい。2009~2009=2^2009=2^{6*334+5}=2^5=5 (mod 9)
604:１３２人目の素数さん
09/03/03 14:36:10
糞問ばっかだな
605:１３２人目の素数さん
09/03/04 23:49:36
円周率πと、√3+√2の大小を比較せよ。
606:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:11:47
>>605
まず π^2/6 = 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … を導く。
1/(1^2*1*3) + 1/(2^2*3*5) + 1/(3^2*5*7) + …
=(1/1^2)(4/(1*3)-1) + (1/2^2)(16/(3*5)-1) + (1/3^2)(36/(5*7)-1) + …
=(4/(1*3)-1/1^2) + (4/(3*5)-1/2^2) + (4/(5*7)-1/3^2) + …
=(2/1-2/3-1/1^2) + (2/3-2/5-1/2^2) + (2/5-2/7-1/3^2) + …
=2 - π^2/6
従って
π^2 = 6{ 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … }
= 12 - 2 - 1/10 - 2/105 - 1/168 - …
両辺の2乗は
(√2+√3)^2 = 5+2√6 = 10-(5-2√6) = 10-(√25-√24)
π^2 = 10 - (1/10+2/105+1/168+…) = 10-(5/42+1/168+…)
10から引かれる値の大小関係は
√25-√24 = 1/(√25+√24) < 1/(5+√16) = 5/45 < 5/42 < 5/42+1/168+…
従って (√2+√3)^2 > π^2 つまり √2+√3 > π
607:605
09/03/06 00:17:24
>>606
素晴らしい！正解です。
608:１３２人目の素数さん
09/03/06 14:28:59
>>607
>>607が用意した解答が>>606と同じならむずくねえかこれ？高校レベルなの？
>>606は5行目から6行目を導くためには和の順序交換をしなければならないが
無限級数の和の順序交換は一般にはできないため、絶対収束性の確認がいる
明らかに高校レベルを超えていると思われる
>>606にちょっと意見するならば
5行目が絶対収束することを示すには結局4行目に戻らなければならないので
（5行目で絶対値級数をとると∞発散してしまう）
4行目が絶対収束することを示して、和の順序交換ができることに言及した上で
4行目=(4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+・・・)+(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
と和の順序交換ができて、=6行目とするべきだと思う
609:１３２人目の素数さん
09/03/06 17:44:21
小数点以下2桁で見分けつかないのはキツイ
610:１３２人目の素数さん
09/03/07 13:30:37
>>605
>606しか解答がないわけか？
ちなみに俺は、正6*2^n角形でπの値を評価していく明らかに現実的じゃない方法しか思いつかないんだが。
611:１３２人目の素数さん
09/03/07 13:51:32
>>235の途中から
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<1.732+1.414<√3+√2
612:１３２人目の素数さん
09/03/07 13:52:59
でも、この方法もたまたまうまくいっただけで、試験中には現実的に無理か
613:１３２人目の素数さん
09/03/07 14:11:57
cos2x+cos3x-6xの挙動を調べてx=π/12を代入して・・・
という方針を試してみたが、うまくいかなかった
誰か高校レベルでの解法を頼む
614:605
09/03/07 23:28:22
>>610
正48角形を考えれば大丈夫。基本的には(もう消えているが)>>218と同様の方針。
p=\tan \pi/48とすると示すべきはp<(\sqrt{3}+\sqrt{2})/48
加法定理より 2p/(1-p^2)=1/(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)
よりpは二次方程式p^2 +2p(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2) -1=0の正の解。
(\sqrt{3}+\sqrt{2})の形になっているから、>>218よりは簡単にいくと思われる。
というのと>>235のようにやるのが、一応想定した解答。
615:１３２人目の素数さん
09/03/08 07:58:53
円周率π=3.14152と、√3=1.732050+√2=1.41421356の大小を比較せよ。
616:１３２人目の素数さん
09/03/08 08:58:54
意味不明。
617:１３２人目の素数さん
09/03/08 18:52:58
>>661
2007年度はBとCレベルばかりなのに、大学への数学からは>>288に書いてあるように
難しすぎる、難易度の調節が出来ないなら入試を作るのを止めろとまで罵られたらしい。
他の予備校はそこまでの極端な難化とは見ていないのに。
極端な例かも知れないが、例えばこんな問題を
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:605番)
何の誘導も無しに出すのが京大。懇切丁寧に誘導を付けて出すのが阪大。
618:617
09/03/08 18:54:39
誤爆しました。
619:１３２人目の素数さん
09/03/08 18:56:05
誤爆した理由はわかるが書き込むつもりだったスレが気になる
620:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:40:32
90年代の東大の入試問題作問者は首吊って死ななきゃいけないなｗ
621:１３２人目の素数さん
09/03/08 20:08:11
あれで試験になってたんだよ
622:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:17:36
数学は実質的に120点満点の試験としての機能を果たしてなかったけどね。
六問中一問が解けてもう一問で部分点を貰えれば
どこの科類でも目指せた時代なので。
623:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:28:34
それが本当なら、確かに入試問題としておかしいなｗｗ
624:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:08:02
今見ると恐ろしく簡単に見える・・何であんなので2完だったんだ俺。
まぁうかったけど。
625:１３２人目の素数さん
09/03/10 00:55:38
>>605
不等式への招待 第３章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:451番)
(これ以降にも関連レス)
「√２＋√３＞πの証明」
URLﾘﾝｸ(www2.ocn.ne.jp)
626:１３２人目の素数さん
09/03/10 02:37:23
超天下り式だが
∫[0→1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx=22/7-π>0 より
√2＋√3>1.414+1.732=3.146>22/7>π
627:１３２人目の素数さん
09/03/10 02:41:54
これはすごい
628:１３２人目の素数さん
09/03/10 02:54:08
22/7か、思いつかなかったな
629:１３２人目の素数さん
09/03/10 02:57:38
πの近似値
630:１３２人目の素数さん
09/03/10 03:44:47
7/22は円周率近似値の日だからね
631:１３２人目の素数さん
09/03/10 03:51:28
これも頼む
去年の数検の問題
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
数値計算をせずに
π^4 + π^5 ＜ e^6
であることを理論的に証明しなさい。
632:１３２人目の素数さん
09/03/10 04:02:24
22/7をはさむのは思いつかなかった。それほど精度がいいもんなんだなあ。
633:１３２人目の素数さん
09/03/10 04:06:14
>>626
感動がかなり大きいんだが
634:１３２人目の素数さん
09/03/10 08:58:13
22/7を挟む発想より、22/7＞πが簡単に証明できることに驚き
635:１３２人目の素数さん
09/03/10 09:53:29
22/7 > π はずっと上で証明されてるけどな(>>240)
むしろ左辺の積分がどこから振ってきたのか
636:１３２人目の素数さん
09/03/10 10:48:11
>>625-626
これはすごい
637:１３２人目の素数さん
09/03/10 10:57:11
「π > 3.14 を示せ」は難しい？
638:１３２人目の素数さん
09/03/10 14:27:59
>>637
不可能だと思うよ。
639:１３２人目の素数さん
09/03/10 14:34:57
>>626が良くわからないorz
640:639
09/03/10 14:38:02
ごめんわかった
641:１３２人目の素数さん
09/03/10 14:51:21
(i^4)(1-i)^4が実数だから被積分関数は多項式+定数/(1+x^2) って事か
8乗したらもう少し良い評価になるのかな
642:１３２人目の素数さん
09/03/10 15:22:43
自然数nに対して、(n!)^2≧n^nが成り立つことを示せ
643:１３２人目の素数さん
09/03/10 15:27:09
n!*n!=Πk(n+1-k)
644:１３２人目の素数さん
09/03/10 16:55:17
>>631
難しいな
ちょっと考えただけじゃ想像つかない
リンクの問題見てみたが、やる気が起きない問題ばっかだな
645:１３２人目の素数さん
09/03/10 18:11:49
数検の段位問題とかのやる気の起きなさは異常だよなｗｗｗ
646:１３２人目の素数さん
09/03/10 18:28:06
つまんないってこと？？
647:１３２人目の素数さん
09/03/10 20:58:28
いかにも問題のための問題として作られたような不自然な煩雑さに満ちた問題だから。
648:１３２人目の素数さん
09/03/10 22:38:52
>>644
スレ違いかも知れないが、数検段位で本当に難しいのは共通問題。
誰でも何かしらは答が書けるかもしれないが、数検側の眼鏡にかなった
答案を書くのは超至難の技。しかも配点は共通問題のほうが大きいらしい。
初段[1]は簡単。[2]は一見簡単そうで難しい。
2段[1]は今年の東大の問題5に似ているタイプで、今年の東大[5]より計算がやや易しい。
3段[1]は一松信氏の本で紹介されていたが、
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
証明は書いていなかった。
649:１３２人目の素数さん
09/03/10 22:42:59
結局数板に解けるやつはいないのか
普段えらそうにしてる割にはいざとなると役に立たないんだな
その問題は興味がわきません（笑）
650:１３２人目の素数さん
09/03/10 22:45:05
数オリの問題のが良問だな
651:648
09/03/10 22:47:55
>>649
はい。斯く言う私も>>631は解けませんでした。
652:１３２人目の素数さん
09/03/10 23:58:19
>>639-641
被積分函数は x^4･(1-x)^4 /(1+x^2) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+x^2),
(左辺) = [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
= (1/7) -(2/3) +1 -(4/3) +4 -π
= (22/7) - π,
653:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:03:30
>>652
それはわざわざ書いてもらうほどの事ではないな。
4乗を8乗に代えたたものがみてみたいのだ。
654:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:37:24
>>649
お前分かってないな
主張や結果が興味深かったり、それを導く過程が楽しかったりするから解くんだろうが
その点>>650の言うように数オリの方が勝る
655:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:52:48
>>653
xmaximaにやらせてみたところ
∫[0→1]x^8(1-x)^8/(1+x^2)dx=4π-188684/15015 (>0)
∴π>47171/15015=3.14159174…
今度は下から評価できた。
656:１３２人目の素数さん
09/03/11 01:02:42
>>655
かなり正確な評価で驚いた
だが計算量を考えれば妥当なところなのかな
657:１３２人目の素数さん
09/03/11 01:04:58
では 355/113>π であることを…
658:１３２人目の素数さん
09/03/11 01:13:32
解く気がしないというのが、古くから結果は良く知られていた
有名問題を証明させる、みたいな感じの問題が結構多いんだよね。
まあJMOとかでも既出の問題が出題されることとかは以前はあったんだけど。
例の問題は（どっかのスレでも長々と書いたけど）
適当に積分の式を評価すれば解けるんじゃないの？
「数値計算をせずに」というのが何を意味するのか知らんが、
分数や小数の手計算くらいはしないと無理だと思う。
数値計算をせずに 3.1415926535＜π＜3.1415926536を示しなさい、と同程度に無理。
問題文を読んだ感じでは「プログラム組んで計算してみました」
的な解答でなく、手計算で求めれば良い、という意味かと。
しかし
＞ガウス平面（R^1-I^1 数空間）を手懸りにしながら， R^2数空間とI^2数空間の
＞関係について，あなたの見解を論述しなさい。
とかマトモな人が問題出してるのかと不安になるんだが大丈夫なのかね。
残りの共通問題も、出題者の主観を押し付けて立論させるような問題しかないし
659:641
09/03/11 03:11:45
>>655-657
(i^m)(1-i)^nが正なら下から、負なら上から評価されるね
(m,n)=(6,8)で
π<3+25513/180180 =3.1415972…
(m,n)=(10,8)で
π<3+173483/1225224 =3.1415928…
660:１３２人目の素数さん
09/03/11 06:28:19
>>626 の被積分関数を変更して、ln(2)<0.7が示せるね。
∫[0→1]x^4*(1-x)^2/(1+x^2) dx = -ln(2) + 0.7
661:１３２人目の素数さん
09/03/11 06:31:37
お前らホント数学好きなんだね
662:１３２人目の素数さん
09/03/11 06:55:56
>>660
でも、ln2の評価なら、分母は1+xでもいいんだし、やっぱり626の積分は\piの評価にこそふさわしいと思う。
663:１３２人目の素数さん
09/03/11 11:00:51
>>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
664:１３２人目の素数さん
09/03/11 11:00:55
>>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
665:１３２人目の素数さん
09/03/11 11:17:40
大事なことなので二回言いました
666:１３２人目の素数さん
09/03/11 17:11:59
√2+√3>πを変形して6>(x^2-5)^2/4 |_x=πとして、
x=3.142での値挟むのは既出だろうな
667:１３２人目の素数さん
09/03/11 17:17:41
考えないはずが無いけど、誰も書いてないね
668:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:35:05
>>631
数値計算をしないというのは
e>2.718281828
π<3.14159266
を証明して
π^4+π^5<e^6
が成り立つことがわかってもダメってこと？
理論的というのがイマイチわからん
669:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:38:16
>>641, >>653
(蛇足だが･･･)
I_n = {1/4^(n-1)}∫_[0,1] {x(1-x)}^(4n) /(1+x^2) dx
とおくと
I_1 = (22/7) - π
= 3.14285714285714… - π
= 1.26448926734961868021375957764e-4,
I_2 = π - 47171/(3*5*7*11*13) =
= π - 3.14159174159174…
= 9.1199805164672105164168776129246e-7,
I_3 = 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) - π
= 3.1415926543282176611023023729983 - π
= 7.3842442263965898971879150324784e-10
より
|I_n| ～ 2*c^{n*[1-(n-1)/111.87]},
ここに c = (1/2)I_1,
670:669
09/03/11 21:51:57
>>641, >>653
訂正、すまそ
I_1 = 1.26448926734961868021375957764e-３,
671:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:16:02
〔まとめ〕
47171/(3*5*7*11*13) < π < 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) < 355/113 < 22/7 < √2 + √3,
(略解)
47171/(3*5*7*11*13) = 3.14159174159174159174･･･
π = 3.1415926535897932384626433832795
5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) = 3.1415926543282176611023023729983
355/113 = 3.1415929203539823008849557522124
22/7 = 3.1428571428571428571428571428571
√2 + √3 = 3.1462643699419723423291350657156
672:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:51:44
1+1=2とか5x-3x=(5-3)x=2xとかは数値計算なんだろうか
673:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:41:05
それが禁止されたら数学では解けないな
674:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:43:04
採点官に「数値計算をしてない」って思ってもらえればいいんだろうけど、明白な基準がないからなぁ……
675:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:44:01
おそらく数値計算は関数電卓とかの使用を禁止します的なものだと思う
手計算では>>668の評価はできるけどかなり大変
676:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:48:34
まー、上のやり方と同じで考えれば被積分関数が常に０以上で、積分値がうまい具合利用できるような奴を考えるとか……
いや、こんなのがすぐに思い浮かぶ問題だったら、難易度低すぎて数学検定にならない事を考えると方向性違ってるかな？
677:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:53:10
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)(pi^4+%2B+pi^5)&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_ja
いい加減な計算だと評価できないっぽい値だ
678:１３２人目の素数さん
09/03/12 00:59:52
>>675
なるほど……
679:１３２人目の素数さん
09/03/12 11:06:49
素朴に計算したらどんなことになるかやってみた
ニュートンの公式
π/6 = 1/2 + 1!!/(2!!*3*2^3) + 3!!/(4!!*5*2^5) + 5!!/(6!!*7*2^7) + …
で、10項目以下を
17!!/(18!!*19*2^19) + 19!!/(20!!*21*2^21) + …
＜ 17!!/(18!!*19*2^19) * (1 + 1/2^2 + 1/2^4 + …)
= 17!!/(18!!*19*2^19) * (4/3)
と押さえて評価すると
π ＜ 13087828316373115/(2^32*3*7*11*13*17*19)
e は級数展開
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
で 1/11! の項までで打ち切ると
e ＞ 13563139/(2^5*3^4*5^2*7*11)
この評価を緩めて少し簡単な分数にすると
p = 5*19*5989/(2^4*3*7^3*11) として
π ＜ p
p+1 = 750059/(2^4*3*7^3*11)
x = 5*19*20543/(2^2*3^2*7^2*11*37) として
e ＞ x
π^4(π+1)/e^6 ＜ p^4(p+1)/x^6
= 3^7 * 11 * 37^6 * 5989^4 * 750059 / (2^8 * 5^2 * 7^3 * 19^2 * 20543^6)
＜ 1
(最後の計算も少し工夫できるけど、せこ過ぎるから割愛)
680:１３２人目の素数さん
09/03/12 13:38:07
>>668の評価ができた所で
2.718281828の6乗とか3.14159266の5乗が手計算できない
681:１３２人目の素数さん
09/03/12 17:03:10
適当に切り捨てたりしながらやれば何とかできそう
682:１３２人目の素数さん
09/03/12 23:41:23
>>669
∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {1/√(2m)}(1/4)^m,
なので n>>1 のとき
I_n ～ {4/√(8n)}(c^n),
c = (1/4)^5 = (1/2)^10,
683:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:37:38
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
総合問題Ⅱが後期の数学ね（文系・理系共通）
684:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:58:37
∫[0→1]x^2*(1-x)^2/(1+x^2) dx = ln(2) -2/3
手計算でできるやつをやってみると色々面白い。
>>660と併せて 2/3＜ln(2)<0.7 か
685:１３２人目の素数さん
09/03/13 22:54:45
>>669 >>682
∫_[0,1] {x(1-x)}^m dx ～ {1／√[1+(4/π)m]}(1/4)^m,
4/π ≒ 1.273239544････
∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {(π/4)／√(1+1.22675m)}(1/4)^m,
686:１３２人目の素数さん
09/03/19 01:10:59
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp) より･･･
＞ なお、2桁の自然数の中で60,84,90,96と並び、もっとも多くの約数を持つ数字であるが、
＞ 千早はその数字に割り切れない思いを抱いているようだ。
これを見て思いついた問題。今回は逆に巨乳・三浦あずさ(88cm)をねたにします。
(1) 自然数nについて、f(n)=(nの約数の個数)/nとする。
たとえば、f(1)=1, f(100)=9/100である。
このとき、任意の自然数nと素数pについて、f(pn)≦f(n)であることを示せ。
また、等号が成立するのはどのような場合か。
(2) 末広がりで縁起の良い数とされる、88はちょうど8個の約数
(1,2,4,8,11,22,44,88)を持つが、11nの約数の個数がn個となるような
自然数nはn=8以外には存在しないことを示せ。
687:１３２人目の素数さん
09/03/20 00:30:23
>>686の(2)はミスです。
(×) n=8以外には存在しない
(○) n=8,12以外には存在しない
のように読み替えお願いします。
688:１３２人目の素数さん
09/03/27 22:48:31
(84753+228i)^{87}は実数か？
689:１３２人目の素数さん
09/03/28 10:07:14
>>688
実数じゃない
690:東大入試作問者になったつもりのスレ の241
09/03/30 21:32:53
ちょっと遅くなりましたが、
> 242 名前： 240 投稿日： 01/10/10 02:25
>
> >>241
> こちらが想定したとおりの解法です。全部◎
> 解いてみた感想を聞かせて。
小問の誘導が適切で解きやすかったです。いい問題だと思いマスタ。
691:１３２人目の素数さん
09/03/31 02:59:27
>>688
任意の自然数nについて(84753+228i)^nが実数でないこと、
もっと一般に(a+bi)^n (a,bは整数でa≠0,b≠0,a≠±b)が実数でないことを
証明したかったのですが挫折しました。
(84753+228i)^87が実数でないことは以下のようにわかります。
数列a(n),b(n)を次の漸化式で定めると、(84753+228i)^87=a(87)+b(87)iである。
a(1)=84753,b(1)=228,a(n+1)=84753a(n)-228b(n), b(n+1)=84753b(n)+228a(n)
以下合同式はmod(5)であるものとすると、
a(1)≡3, b(1)≡3, a(n+1)≡3a(n)-3b(n), b(n+1)≡3a(n)+3b(n)であるから、
a(2)≡0,b(2)≡3
a(3)≡1,b(3)≡4
a(4)≡1,b(4)≡0
a(5)≡3,b(5)≡3
以降周期4の繰り返しであるから、b(87)≡b(3)≡4よりb(87)≠0,
よってa(87)+b(87)iすなわち(84753+228i)^87は実数とはならない。
692:１３２人目の素数さん
09/03/31 10:50:32
>>690
ちょっと遅いってレベルじゃねーぞ！ｗｗ
693:１３２人目の素数さん
09/03/31 12:49:10
(a+bi)^n が実数でないことの証明って京大で出なかったっけ
694:１３２人目の素数さん
09/03/31 18:23:14
πが無理数であることを証明せよ、
じゃなくて、πが無理数であることを
最初に証明した人について知るところを述べよ。
（５０点）
695:１３２人目の素数さん
09/03/31 20:09:39
Lambertとか数学科の学生でもほとんど知らんだろ。
696:１３２人目の素数さん
09/03/31 21:46:55
一応できたつもりだが、何とも泥臭い(＾q＾)
とりあえず前半。合ってるかな？
(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。
STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2－b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2－b^2＝ 2ab ⇔ (a－b)^2＝2b^2 ⇔ a－b＝±b√2 ⇔ a－b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2－b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2－B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。