08/08/31 02:06:28
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
2:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:07:37
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:26:23
過去ログ倉庫
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)
4:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:49:01
自然対数の底をe、および自然数nについて
e/(2n+2)≦e-(1+1/n)^n≦e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。
このスレで似たような問題出てたなかったっけ？
図書館で刷った大数の宿題で見つけたのだけど。
5:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:50:09
このスレじゃなくて過去スレの間違い。
6:１３２人目の素数さん
08/08/31 03:55:03
>>5
不等式スレじゃろ。
7:１３２人目の素数さん
08/08/31 11:50:10
さっき道歩いてたら>>1がキモい顔して近寄ってきたでまじムッカついてボコボコにしたら
鼻血出て眼鏡割れて前歯折れて「あがああ！まえば！おれた」て叫んでうざかったで
口に牛肉ねじこんだら「んごごごごご」とか呻いてたでオメガ便器に顔突っ込んだら
鼻血まみれで「ばぶう」とか言ってて超絶笑えたでとどめにしねバーカとか罵声あびしたったｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ>>1悲惨ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
8:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:15:33
放物線Ｐ：ｙ＝ａｘ＾2 と 円Ｃ：ｘ＾2 ＋ ｙ＾2 ＝ ａ＾2 (ただしａ＞０)
が囲む面積をＳ(ａ)とする
Ｓ(ａ)の最大値を求めよ
9:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:26:06
[前スレ.956]
3次元空間内で次の不等式で表される多面体の体積を求めよ
|x+y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4,
10:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:29:02
>>9
(略解)
場合分けすると、左辺は
4|x|, 4|y|, 4|z|, 2|x+y+z|, 2|-x+y+z|, 2|x-y+z|, 2|x+y-z|,
となるので、14面体である。
6面が正方形、8面が正3角形である。（立方８面体と言うらしい.）
頂点は12個。 (x,y,z) = (±1,±1,0)、 (±1,0,±1)、 (0,±1,±1).
稜は24本で、長さは√2.
・正方形は、面積S=2、高さh=1, 体積 (1/3)Sh=2/3,
・正3角形は、面積S=(√3)/2、高さh=2/(√3), 体積 (1/3)Sh=1/3, (*)
よって、体積V = (2/3)*6 + (1/3) *8 = 20/3.
*) 正3角形の中心は (±2/3,±2/3,±2/3). よって高さh=2/(√3).
11:１３２人目の素数さん
08/08/31 15:15:07
>>6
そうか、ありがとう。
数オリスレで話題になったことがあった富永(理Ⅲ→同大医学部卒→オウム)について調べようと、この年の大数をコピーしてきたけど、本当に宿題正解者の常連だった。
逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
(86' 6月)
は富永の解答レポートが掲載されてた。暇な時間で適当に書き上げてtexで答えうｐしときます。
12:１３２人目の素数さん
08/08/31 17:17:49
>>522
じゃあ質問
逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
証明教えてくれ
13:１３２人目の素数さん
08/08/31 17:46:12
えらい長距離パスやなｗ
14:１３２人目の素数さん
08/08/31 18:06:30
>>11
存在するわけねーじゃん
p↑とq↑のなす角は一意なんだから、任意のθになるわけがない
15:１３２人目の素数さん
08/08/31 19:22:05
>>14
バカ？
16:１３２人目の素数さん
08/08/31 19:47:09
>>15
は？どこが間違いか指摘してみろクズ
17:１３２人目の素数さん
08/08/31 21:02:00
∀θと∃p↑、q↑ such that ～ を ∃p↑、q↑∀θ↑ such that と読んでいるようだ。
18:１３２人目の素数さん
08/08/31 21:40:36
>>11はかなり大雑把に書くと
任意のθについて～が成り立つようなベクトルp,qが必ず存在することを証明しろ
ってことだよな？
とくにおかしい点は無いと思うが
19:１３２人目の素数さん
08/09/01 02:52:03
x進法で表された方程式x^3-3x^2-x+3=0を
x-2進法で表せ。
20:１３２人目の素数さん
08/09/01 04:07:20
題意がよく分からん
もしかして、ただの組み立て除法？
21:１３２人目の素数さん
08/09/01 04:11:33
t=x-2とおいて与式をtの式にすればいいのか？
22:１３２人目の素数さん
08/09/01 07:41:08
x進法なんて出さないだろ
23:１３２人目の素数さん
08/09/01 08:52:45
>>12
成分計算すりゃいいんじゃないの？
24:１３２人目の素数さん
08/09/01 08:57:55
>>23
エレガントに解いてお
25:１３２人目の素数さん
08/09/01 09:38:09
実数列b[0],b[1],b[2],…はb[n＋2]－2b[n＋1]＋b[n]≦0 (n＝0,1,2,3,…)を満たすとする。
また、実数列a[1],a[2],a[3],…はΣ[k＝1～n]a[k]≧b[n] (n＝1,2,3,…)を満たすとする。
このとき、次が成り立つ。
Σ[k＝1～n]a[k]^2≧Σ[k＝1～n](b[k]－b[k－1])^2 (n＝1,2,3,…)
また、この不等式において、a[n]＝b[n]－b[n－1] (n＝1,2,3,…)のときのみ等号が成り立つ。
26:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:11:27
>>25
ほうほう
それで？
27:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:26:30
0＝b[0]≦b[1]≦b[2]≦… も必要だった(´・ω・｀)
28:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:27:55
>>27
出題してんの？
29:１３２人目の素数さん
08/09/01 11:04:36
解く気がない奴にとっては、出題しようがしまいが、
そこに書かれているのは「定理」であり、逆に、
解く気がある奴にとっては、出題しようがしまいが、
そこに書かれているのは「問題」である。
出題か否かを問うのはナンセンス。
30:１３２人目の素数さん
08/09/01 16:11:00
なんだ結局>>14はただのゆとりだったのか
31:11
08/09/01 22:05:04
紹介のとこ以外は元の文一字一句をそのまま写した。
URLﾘﾝｸ(www36.atwiki.jp)
32:１３２人目の素数さん
08/09/01 22:15:22
>>10
「立方８面体」は、立方体（稜の長さ2）から、頂点と3稜の中点を結んだ4面体（体積1/6)を除いたもの。
V = (2^3) - (1/6)*8 = 20/3.
33:７７４３
08/09/01 23:06:20
>>32
明解な解答ですね。
対称性を利用して切断面を考えて積分でもできませんか？
34:１３２人目の素数さん
08/09/05 03:52:31
|{(-3)^n-(-1)^n}/n!|≦13/3
を示せ
35:１３２人目の素数さん
08/09/05 16:19:21
a[n]=|{(-3)^n-(-1)^n}/n!|=|{(-1)^n(3^n-1)}/n!|=(3^n-1)/n!
a[1]=2,a[2]=4,a[3]=13/3
n≧4でa[n]≦3^n/n!≦3^n/(3^(n-4)4!)=3^4/4!=27/8<13/3
36:１３２人目の素数さん
08/09/05 18:34:34
また糞問かよ
37:１３２人目の素数さん
08/09/06 01:03:07
前スレにまだ解かれてない面白そうな問題あったからそれでも解いて待ってなよ
38:１３２人目の素数さん
08/09/10 01:50:21
M 個の石の山と N 個の石の山がある。ただし M ≦ N である。
二人で交互に一度ずつ石を取っていき、最後の石を取ったほうが負けとなる。
片方の山から石を取るか、或いは両方の山から同数ずつ石を取れる。
a = (-1 + √5)/2, [x]を実数 x の整数部分として、
(M, N) = (0,1),(2,2), ([na], [na] + n)のときに後手必勝、その他のとき先手必勝となることを示せ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:538-548番)
39:１３２人目の素数さん
08/09/12 00:50:04
Fn(x)=∑[k=1,n] x^(k-1) とする。F5^(n-1)(x)≠0のとき、
F5^n(x)=0の解をそれぞれ2・5^(n-1)乗したものの総和を求めよ。
ただし重解の有無についての証明は無視してよく、N重解はN個の解として扱うものとする。
はじめ、持ち点を1とする。n個中1個が当たりのくじ引きを引き、当たりなら持ち点を倍にして戻し、
はずれなら何もせず戻すという動作をn回繰り返し、試行後の持ち点の期待値をXとする。
また、上記のようにして、当たりの時にa倍していったときの期待値をX'とする。
n→∞としたとき、X'がXの倍以上になるための最小の自然数aを求めよ。
An＝(2008^x)/{(k^a)x+k^b}^(k^c) とし、F(x)＝A1*A2*A3*・・・*An とする。
lim[n→∞] F'(0)/F(0)・n^m ＝α が0<α<log2008 を満たすための、
整数a,b,cの関係式と実数mの値、またその時のαを求めよ。
正直小問つけたほうがいい気がするけど、その前に問題として成り立ってるかどうか怪しいのもあるから、
まぁまずお前らが解いてくれ。んで難易度調整とかしてみてくれ。
40:１３２人目の素数さん
08/09/12 23:50:46
最後の問題、An＝(2008^x)/{(k^a)x+k^b}^{-(k^c)} だった
41:１３２人目の素数さん
08/09/16 12:29:47
与えられた実数係数の整式f(x)について∫[0→1]f(x)dx=2、∫[0→1]xf(x)dx=3になるとする。
そのとき∫[0→1](f(x)-ax-b)^2dxの値を最小にする実数aおよびbの値を求めよ。
42:１３２人目の素数さん
08/09/16 22:36:01
>>8
PとCの交点をA,Bとする。
A(√(b/a), b) B(-√(b/a), b)
ここに b = {√(1+4a^4) -1}/(2a),
線分OAとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
線分OBとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
扇形OABの面積は (1/2)(a^2)(∠AOB) = (a^2)arccos(b/a),
S(a) = b^(3/2) / (3√a) + (a^2)arccos(b/a),
aが大きくなるとき発散の予感
43:１３２人目の素数さん
08/09/16 22:53:49
>>41
I(a,b) = ∫[0→1] {f(x)-ax-b}^2 dx,
とおくと、
∂I/∂a = -2∫[0→1] {xf(x) -ax^2 -bx} dx -2{∫[0→1] xf(x)dx -a/3 -b/2},
∂I/∂b = -2∫[0→1] {f(x) -ax -b} dx -2{∫[0→1] f(x)dx -a/2 -b},
I(a,b) が最小になるのは ∂I/∂a =∂I/∂b = 0 のとき。
a=24, b=-10.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)最小二乗法
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
44:１３２人目の素数さん
08/09/25 16:10:15
2^a*3^b*5^c*7^dが2つの整数の平方の和になるときの
整数a,b,c,dの必要十分条件を求めよ
45:１３２人目の素数さん
08/09/25 16:24:23
辺の長さaの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABを軸に立方体を回転させた体積V1、
辺ADを軸に立方体を回転させた体積V2、辺AEを軸に立方体を回転させた体積V3の
共通部分の体積をaを用いて表せ。
46:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:18:31
pが素数,x1,…,xnが整数のとき
(x1+…+xn)^pをpで割った余りは
x1^p+…+xn^pをpで割った余りと等しいことを示せ
47:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:41:50
>>45
a^3になったけど違うよな
48:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:55:03
>>46
〔多項定理〕
(x1+…+xn)^p = Σ[r1+r2+…+rn=p] {p!/[r1!*r2!*･････*rn!]} (x1^r1) (x2^r2) ････ (xn^rn),
ところで、ri>0, rj>0 (i≠j) ならば {p!/[r1!*r2!*･････rn!]} は分母にpを含まないから、pの倍数。
∴ Σ[i=1,n] xi^p が残る。
49:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:52:08
a[1]=2,
a[n+1]はa[n]の各桁の10乗の和
とする。このとき同じ数字がでることを証明せよ。
50:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:13:23
んなこたーない
51:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:16:04
2008項の自然数からなる等差数列で各桁の和も等差数列であるものは存在するか？
52:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:33:13
1,1,1,1,…,1,1 (2008個)
53:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:43:20
公差＞0じゃないと問題にならないな
54:１３２人目の素数さん
08/09/25 22:16:48
>>49
a[n]は有界な整数列なので、鳩ノ巣原理より題意が従う
55:１３２人目の素数さん
08/09/25 22:27:14
>>47正解
56:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:03:08
>>54
a[n]って有界とは限らないでしょ
ある数より小さいa[n]が無限個あることはわかるけど
57:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:44:06
>>39誰か解かない？
58:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:04:07
>>56
各位の数の10乗 < 10^10であることから、数列の作り方より
a[1] < 10 : 1桁
a[2] < 1 * 10^10 = 10^10 : 11桁以下
a[3] < 11 * 10^10 = 10^12 : 13桁以下
a[4] < 13 * 10^10 < 10^12 : 13桁以下
となり、全ての項が13桁以下であることが分かる
自明だと思って説明を入れなかったスマン
59:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:20:19
賢いな～
俺の証明はこれを見たらウンコみたいなもんだわ
60:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:22:33
>>59
別証明が思いつかないから教えてくれ
>>49の問題じゃなかったらスマン
61:１３２人目の素数さん
08/09/26 03:41:44
>>49
a[25374] = a[28338] = 19871647813
62:１３２人目の素数さん
08/09/26 05:00:35
>>49は東大模試の改変だな。2乗を10乗に変えただけ。
63:１３２人目の素数さん
08/09/26 18:51:09
郵便切手の問題でも出しておけば受験生パワーで誰か解いてくれそうだな
64:１３２人目の素数さん
08/09/26 21:49:41
>>60
定義から
a[n+1]≦9^10*(1+loga[n])
であり
x>10^11だと
9^10*(1+logx)<x
であるからa[n]>10^11のとき
a[n+1]<a[n]
これより
少なくともa[n]<10^11までは減少数列になる
よって
a[n]<10^11となるnは無限個あるので
a[m]=a[n]となることがある
65:１３２人目の素数さん
08/09/27 22:34:37
正二十面体のそれぞれの面に1,2,3のいずれかを1つずつ配置していく。
ある面とその面ととなりあう3つの面の数の積が奇数になる配置の仕方は何通りか。
また和が奇数になる配置の仕方は何通りか。
ただし使わない数があってもよいとし、回転して他のものと同じになる配置は考えない。
66:１３２人目の素数さん
08/09/28 00:58:59
>>65
ある面ってなんだよ
67:１３２人目の素数さん
08/09/28 08:19:16
>>66
普段はまじめなサラリーマンなんだけど、女装して近所の公園で野糞する趣味を持っているとか。
68:１３２人目の素数さん
08/09/28 17:14:40
>>67
女装して近所の公園で糞証明する趣味？ （>>59 みたいに）
69:１３２人目の素数さん
08/09/29 04:31:49
a[1],…,a[n]を正の実数としたとき
(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ
70:１３２人目の素数さん
08/09/29 04:34:38
↑間違えた
a[1],…,a[n]を正の実数としたとき
{(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])}^n≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ
71:１３２人目の素数さん
08/09/29 06:40:47
>>70の不等式って成り立つ？
n=2,a_1=1/2,a_2=3/2 の時、成り立たないような気がする。
72:１３２人目の素数さん
08/09/29 10:31:29
>>70
y=log(x) は単調増加ゆえ, Σ同順序積 ≧ Σ乱順序積 より
n{a[1]･log(a[1]) + a[2]･log(a[2]) + ････ + a[n]･log(a[n])}
≧ (a[1] + a[2] + ････ + a[n])･{log(a[1]) + log(a[2]) + ････ + log(a[n])},
両辺の真数をとる。
73:１３２人目の素数さん
08/09/29 21:01:27
>>71
成り立ってるわ
74:１３２人目の素数さん
08/09/29 21:58:50
,-─‐ ､
/ iiii i ヽ､､
／ゞ、i!llllliｉｉ川//ヽ、
/ミ〃 〃彡ヽ
lミミ 彡彡｝
lミﾐ,ｒ‐-､ ,,ｒ─､ 彡彡ll|
ｉﾐﾐ ｨｪx ,rｪt 彳彡!
', .: 9｝"
! ::,､,､ l_丿
', ＿,＿ /、
rゝ = ノi!ヽﾄ、
-｛;ヽ` ー─ " ／;/: : ＼
／: : : |;;;＼ ／;;;;/: : :/: :＼
／: : : : : :│;;;;;;＼／;;;;;;;;/: : :/: : : : :＼
成 田 テ ル （７４）
75:１３２人目の素数さん
08/09/29 22:50:20
a,bを実数とする
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
が実数解を持つとき
a^2+b^2の最小値を求めよ
76:１３２人目の素数さん
08/09/30 00:39:55
a^2+b^2≧2
77:１３２人目の素数さん
08/09/30 03:03:27
それはない
78:１３２人目の素数さん
08/09/30 05:45:20
相反方程式→二次方程式→領域→糞問糸冬了
79:１３２人目の素数さん
08/09/30 06:38:47
nを自然数とし2^nの最上位の位の数をa[n]とする.
このとき(a[k],a[k+1],…,a[k+10],a[k+11])は何種類あるでしょう.
80:１３２人目の素数さん
08/09/30 19:32:14
めんどいけど数えたところ５２種類だった
81:１３２人目の素数さん
08/09/30 20:57:48
数学の問題ってどうやって作るんですか？
82:１３２人目の素数さん
08/09/30 21:31:57
天才は突然思いつく
83:１３２人目の素数さん
08/10/02 00:36:11
a^2+b^2=4/5
84:１３２人目の素数さん
08/10/02 00:54:22
一つの面が4マス(2×2)のルービックキューブは何通りあるでしょう。ただし回転して重なるのは同一とする。
85:１３２人目の素数さん
08/10/02 01:04:30
8！×(3^8)/(24*3)＝3674160
86:１３２人目の素数さん
08/10/02 08:29:59
「ルービックキューブは何通りあるでしょう」って訊かれてもなあ。
大きさの違い、色づかいの違い、材質の違い等、何を差異とするかによるからなあ。
87:１３２人目の素数さん
08/10/02 09:09:55
すべて異なるものとみなす。
88:１３２人目の素数さん
08/10/02 20:55:21
大学入試の組合せの問題だとよく
>>85みたいな答えを書く人居るけど、こういうの採点に困るよね。
塾とかだとほぼ 0 点になることが多いし、たぶん実際の入試でもそうだと思う。
組合せの問題って日本語能力のテスト的な側面があるから良いよね。
89:１３２人目の素数さん
08/10/02 22:22:36
ネイピア数(自然対数の底)の小数第1位の数字が7であることを証明せよ。
90:１３２人目の素数さん
08/10/02 22:40:07
>>88
大学入試の採点をしたことがあるんかい……
本職も交じってるんだな
91:１３２人目の素数さん
08/10/02 23:29:00
>>81
・既存問題の改良、拡張
・自分が疑問に思うことをそのまま問題にする
・適当な数学分野から題材をとってきて問題を作る
92:１３２人目の素数さん
08/10/03 01:40:02
良問作った時ってガッツポーズするの？
93:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:06:40
むしろこのスレに投稿して誰かに解いてもらえたらガッツポーズ。
94:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:07:29
(b[n])^2+1がa[n](a[n]+1)の倍数となるような
自然数からなる単調増加数列a[n],b[n]が存在することを示せ
95:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:31:09
a,b,c,dを自然数とする
このとき(a^3+b^3)/(c^3+d^3)がすべての有理数を表すことができることを示せ
96:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:31:59
訂正
有理数⇒正の有理数
97:１３２人目の素数さん
08/10/03 11:00:27
>>95
ある正の有理数pをとり、p=n/mとする。
(p/2)^(1/3)＜q＜(2p)^(1/3)となるような有理数qが存在する。
q=y/xとおくと、
2my^3＞nx^3、2nx^3＞my^3
a=nx^3*y+my^4
b=2nx^3*y-my^4
c=mxy^3+nx^4
d=2mxy^3-nx^4
とすると、a,b,c,dはいずれも自然数。
代入して計算すると
(a^3+b^3)/(c^3+d^3) = n/m = p
98:１３２人目の素数さん
08/10/03 11:08:01
ちなみに、
>>95でa,b,c,dが自然数ではなく整数ならば、
>>97のqに関するくだりは不要で、x,yを全部なくしてしまえばおｋ
99:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:33:16
>>97どっから思いついたか説明して！突然思いつくとか卑怯だし！
100:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:43:48
8!3^8/3*2=44089920
101:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:57:56
a,b,c,d
(a^3+b^3)/(c^3+d^3)
q=k/s (k,s)=1
c=sj,d=st
a=kj,b=kt
102:１３２人目の素数さん
08/10/04 12:00:15
競馬板に書いたのですが、誰も解いてくれなくて悲しかったので
(ちょうど大学入試レベルでもありますし)ここに書きます。
nは2以上の整数です。
平面内に2n個の点があって、どの3点も同一直線上にないとする。
ここから、2点を選んで線分を何本か引く。(最大n(2n-1)本引けます)
n^2+1(nの二乗+1)本以上の線分を引けば、ある3点が存在して
その3点が互いに線分で結ばれていることを示して下さい。
解けた人はスプリンターズステークスの予想でもついでに書いといてください。
103:１３２人目の素数さん
08/10/04 12:27:11
競馬板に書いて、どうして解いてくれると思ったかが疑問だなｗｗｗ
104:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:20:19
>>99
卑怯って言われちまったｗ
えーと、最初は
(m+α)^3+(m-α)^3=2m(m^2+3α^2)
(n+β)^3+(n-β)^3=2n(n^2+3β^2)
という形を思いついたので、
m^2+3α^2=n^2+3β^2となるような整数の組α，βを作ることを考えたが、
3が邪魔だったので、
(3m+α)^3+(3m-α)^3=18m(3m^2+α^2)
(3n+β)^3+(3n-β)^3=18n(3n^2+β^2)
とおきなおし、
3(n^2-m^2)=α^2-β^2
3(n-m)(n+m)=(α-β)(α+β)
から、仮に
α+β=3(n-m)，α-β=n+m
と置くと、
α=2n-m，β=n-2mであり、
a=3n+β=4n-2m，b=3n-β=2n+2m
c=3m+α=2n+2m，d=3m-α=-2n+4m
とすれば、(a^3+b^3)/(c^3+d^3)=n/mとなることがわかった。
（実際には、a,b,c,dは半分にしても可）
ただし、このままでは4n-2mと-2n+4mが自然数となるには1/2<n/m<2の条件が
必要なので、n/m=(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)と考えて、
1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
(x^3*n)/(y^3*m)=(a^3+b^3)/(c^3+d^3)なら
(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)=((ya)^3+(yb)^3)/((xc)^3+(xd)^3)になると考えた。
105:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:23:07
>>104の修正
誤：1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
正：1/2<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
106:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:50:05
>>104なるほどなるほど！納得した！ありがとう！
107:１３２人目の素数さん
08/10/04 15:46:07
>>102
大学入試レベルの解答は思い付かないが、グラフ理論を使えば出来た。
2n個の頂点をもち条件(A)を満たす無向グラフG=(V,E)で、|E|が最大のものを求める。
(A)どの3点をとっても、辺で結ばれない2点が存在する
Gは2-連結(Gは連結で、Gから頂点を1つ取り除いても連結)としてよい。
なぜならGが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることにより、
Gから頂点vを除いたグラフが非連結なら、連結成分のどれかはvに隣接しない頂点を持つか、
さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
Gが2-連結ならば各頂点を1回ずつ通る閉路が存在するので、この閉路に沿って
頂点にV={v[1],...,v[2n]}, (v[i],v[i+1])∈E, v[2n+i]=v[i]となるよう番号を付ける。
各頂点v[i]について、(v[i],v[j])∈Eと(v[i],v[j+1])∈Eは同時には成り立たないから、
v[i]の次数(v[i]に接続する辺の数)は高々nであるから|E|≦n^2となる。
なお、各v[i]がv[i+1],v[i+3],...,v[i+2n-3],v[i+2n-1]と接続するようなグラフを
任意のnに対して作ることができて(正2n角形を描いてみよ)、このときE=n^2を達成できる。
108:１３２人目の素数さん
08/10/04 15:47:46
×Gが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることにより、
○Gが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることが可能であり、
×さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
○さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=2n-1)だからである。
109:１３２人目の素数さん
08/10/04 19:52:04
110:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:11:56
ある3点が存在してその3点が互いに線分で結ばれている
線がm本->点が2m個
線がn^2+1ー＞点が２n^2+２＞２n
ピジョンホール
111:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:46:14
点と線を考える，点の色は白か黒
操作１：点に線を足してその新しい端を白点にし、もとの点のいろを逆転(例：白ー＞黒）する。
操作２：線の中間に白点をたし、その両端の点の色を逆転させる。
G1を単独の白点とする
G1: 白
１、白ー白ー白
２、
白
｜
白ー白ー白
｜
白
３、
白
｜
白ー白ー白
｜
白ー白ー白
｜
白
｜
白
はG1から操作１、２を有限回やってできることを示しなさい。
112:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:47:13
３、
白
｜
白ー白ー白
｜
白ー白ー白
｜
白
113:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:53:36
４、
白
から
ｎ個の白の直線を作るとき、ｎはどんな数か。
白ー白ー・・・・ー白
５、
白からできるグラフのオイラー数を計算しなさい。
114:１３２人目の素数さん
08/10/04 22:48:36
>>107-108
すっげーカッケー答っすね。もうビンビンです。
一応僕が用意していた答です。n=2の時はまあできたとします。
nの時成り立っているとします。(数学的帰納法を使います)
さて、頂点が2n+2コある時ですが、少なくとも(n+1)^2+1本線分を引くわけですから
当然ある二点が存在してその二点は線分で結ばれています。
わかりやすいように、その2点をa1,a2とでもおいて、
残りの2n個の点をb1,b2…,b(2n)とおくことにします。
115:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:05:30
つづきです
b(i)どおしでn^2+1本線分を引くと仮定により線分で結ばれた3点が存在さますので
b(i)どおしでは多くてもn^2本しか線分を引いていないとします。
a1とa2は線分で結んでいますので少なくとも残り(n+1)^2+1-n^2-1=2n+1本線分を引かないといけません。
これはa(i)とb(i)を結ぶ線分ですので、あるb(i)が存在して
a1とa2とb(i)は線分で結ばれてしまいます。
明日はキセキ産駒がワンツースリーを決めて
アグネスタキオンファンを黙らせて欲しいですね(^o^)/
116:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:05:33
６、K色のボールをAjk個(k=色のインデックス）壺に入れて、N回引く、毎回引いたボールは同じ色の
追加のボール１個といっしょにすぐ壺に戻す。
このとき、Nを無限にしたとき、壺のなかの各色のボールの数の分布を計算しなさい。
117:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:31:49
>>116
割合は始めと変わらないという答えであってますか？
118:１３２人目の素数さん
08/10/05 09:06:32
#
IRA: Interactive Real Analysis
Interactive Real Analysis is an online, interactive textbook for Real Analysis or Advanced Calculus in one real variable. It deals with sets, sequences, ...
web01.shu.edu/projects/reals/ - 3k - Cached - Similar pages
#
119:１３２人目の素数さん
08/10/06 00:17:02
>>116ポリアの壷？
120:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:20:35
Suppose that f is an integrable function over a set E, and take any ε > 0. Show that
* There exists a simple function s such that
∫ E | f - s | dx < ε
* There exists a step function s such that
∫ E | f - s | dx <ε
* There exists a continuous function s such that
∫ E | f - s | dx <ε
121:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:22:51
# If possible, find the Riemann and Lebesgue integrals of the constant function f(x) = 1
over the Cantor middle-third set.
# Show that the restriction of a bounded continuous function to a measurable set is Lebesgue
integrable.
122:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:23:45
* Is the function f(x) = x Lebesgue integrable over [0, 1]? If so, find the integral.
* Is the function f(x) = x2 Lebesgue integrable over the rational numbers inside [0, 2]? If so, find the integral.
* Is the Dirichlet function restricted to [0, 1] Lebesgue integrable? If so, find the integral.
* Is every bounded function Lebesgue integrable?
123:１３２人目の素数さん
08/10/06 22:15:09
ｽﾚﾘﾝｸ(voiceactor板:13番)
13 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2008/09/19(金) 18:11:05 ID:sWdchyr40
Fラン私大工学部での微積分の授業のテストらしいが、金朋はこういうの解けるのだろうか？
・101次方程式 51 x^{101} - 2323 x^{100} - 45 x + 1035 = 0が区間[45^{1/100},46]の中に少なくとも一つ実数解を持つことを、Rolleの定理を使って証明せよ。
・不定積分 \int (x^{30} + x^{20} + x^{10}) (2x^{20} + 3x^{10} + 6)^{1/10} dx を求めよ。
・定積分 \int^{2}_{0} dx (2x+1)/ \sqrt{x^2+4} を求めよ。
124:１３２人目の素数さん
08/10/06 22:44:50
>>123
(中)
(被積分函数) = (x^29 + x^19 + x^9)*(2*x^30 + 3*x^20 + 6*x^10)^(1/10) = (1/60)f '(x)*f(x)^(1/10),
これを積分すると
(1/66)*f(x)^(11/10) + c，
(下)
∫ x/√(x^2 +4) dx = √(x^2 +4) -2,
∫ 1/√(x^2 +4) dx = log(x+√(x^2 +4)) - log(2),
∴ 4(√2 -1) + log(1+√2),
125:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:33:53
URLﾘﾝｸ(web01.shu.edu)
ぬこでもわかるルベグ積分
126:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:14:47
>>123
まあ工学部っても学科によって全然違うし。
127:１３２人目の素数さん
08/10/08 12:08:05
逆行列をもつ2次正方行列Aにより表される平面上の1次変換f を考える。
このとき、長方形Dで、Dのfによる像がDと相似になるものが存在することを示せ。
128:１３２人目の素数さん
08/10/08 21:08:05
>>127
>>31により，直交する２つの単位ベクトル↑p,↑qで，A↑pとA↑qも直交するものが存在する。
A↑p, A↑q それぞれの長さをa, b(>0)とおき，k=√(a/b) とおく。
D={ ↑p + t↑q | 0≦t≦k } とおくと，Dは２辺の長さが 1 と k の長方形である。
このとき，f(D)={ A↑p + t A↑q | 0≦t≦k } も長方形であり，２辺の長さは a と bk である。
a : bk = a : √(ab) = √(a/b) : 1 = k : 1 であるので，f(D) は D と相似である。■
129:１３２人目の素数さん
08/10/09 19:31:20
188:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0
>>186
あほ！！
そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた
解答だ。
君自身で、独創的な問題を作れるのかと
きいているのだ。
190:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0
>>189
中学生の脳みそで解く問題だぞ。
難しいに決まっているだろうが。
191:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0
高校生用には、こういう問題を
用意してある。
「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」
「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」
★★★★★茨城の高校★★★★★ part18
ｽﾚﾘﾝｸ(ojyuken板)
130:１３２人目の素数さん
08/10/09 19:37:09
>>129
ﾜﾗﾀ
131:１３２人目の素数さん
08/10/10 03:34:18
どこが面白いのか分からなくて悲しい。
132:１３２人目の素数さん
08/10/12 00:12:44
フジタキスレに俺の書き込み張った奴でてこいやwww
133:１３２人目の素数さん
08/10/12 01:11:58
晒し者にされたのか？
134:１３２人目の素数さん
08/10/25 02:59:40
>>132
さっさとアフリカいけやｗ
135:１３２人目の素数さん
08/10/25 05:11:58
(1) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2)
(2) Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4)
(3) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2)
の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか? a≠整数 です。
136:１３２人目の素数さん
08/10/25 10:00:00
>>135
解析概論。
137:135
08/10/26 14:01:17
(4) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2) * (-1)^(n-1),
(5) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1),
の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか? a≠整数 です。
>>136
高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章,§64 ?
138:１３２人目の素数さん
08/10/30 21:39:17
>>89と並んで如何にも東大がやりそうな問題
log_{10} 2の小数第3位が1であることを証明せよ。
139:138
08/10/30 21:59:57
そういえば1968年にもう一回り簡単な問題、
0.3<log_{10} 2 < 0.302を示せというのがありました。
URLﾘﾝｸ(www.j3e.info)
140:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:34:01
3 次方程式x3 . nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求
めよ．
141:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:34:48
3 次方程式x＾3-nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求
めよ．
142:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:59:29
x＾3-nx + 1 = 0
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
c=-a-b
ab-(a+b)^2=n
ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=n
143:１３２人目の素数さん
08/10/30 23:01:11
ab-(a+b)^2=-n
ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=-n
144:１３２人目の素数さん
08/10/30 23:28:26
f(x)=xe^{-x}のとき、f(0.99), f(1.00), f(1.01)の大小を調べよ。
145:１３２人目の素数さん
08/10/31 00:19:03
毎度のごとくe^x>1+x+x^2/2を示してe^0.02を評価すれば終わり。
146:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:34:38
exp(x)>x+1だけで十分です
147:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:42:38
Your solution doesn't make sense at all.
148:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:43:31
ごめんなさい十分じゃありませんでしたごめんなさい
149:１３２人目の素数さん
08/10/31 06:29:48
>>144
これは大昔の大学への数学の「模試」の転載ですか？
150:１３２人目の素数さん
08/10/31 08:29:48
いいえ, 埼玉工大の入試問題です。
151:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:49:51
1/7<a/b<1/6でa,bは整数で最小のaのときa+bをもとめなさいって、
a,bがマイナスなら解梨じゃないの？
152:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:59:38
>>143
ｎが整数であることの証明は？
153:１３２人目の素数さん
08/11/01 17:30:47
n両編成の電車の車両をそれぞれ赤青黄のいずれかの色で塗ってゆく。
赤の車両が隣り合わないような塗り方は何通りあるか。
154:１３２人目の素数さん
08/11/01 17:39:31
赤い車両が連続しない塗り方ね。
155:１３２人目の素数さん
08/11/01 18:17:20
((1+√3)^(n+2)-(1-√3)^(n+2)) / (4√3)通り
156:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:08:52
>>155正解。
157:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:12:36
3項間漸化式か？
158:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:22:00
京大の過去問の改変？
159:１３２人目の素数さん
08/11/01 22:20:08
>>158そうです。このように改変した方がちょっと難しいと思います。
160:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:59:07
>>153
数セミのパクリ
161:１３２人目の素数さん
08/11/02 07:35:14
>>160
>>153は俺だが、数セミなんか参考にしてません。
あくまでも京大の2色の問題を3色に改変してみただけです。隣接３項間漸化式を立てられるかどうかの問題。
コツさえ知っていれば誰でも簡単に立てられるんだけどね。
162:１３２人目の素数さん
08/11/02 08:04:39
では京大が数セミを下敷きにしたとか。
163:１３２人目の素数さん
08/11/02 09:50:57
いいサイトみつけた
htURLﾘﾝｸ(www.surprise002.co.nr)
ソフトの確認もできたし、低価格でいいよ
ソフトの確認はネットカフェで一度インストール試したら
いいと思う、正常なら自分のPCに
164:１３２人目の素数さん
08/11/02 17:03:58
たぶん最初に考えたのは日本人じゃなくて外国の人で、
それを数セミの出題者の先生と京大の先生が二人とも
元ネタにした、とかそんな感じだと思うぞ。
というか数セミの出題者は京大関係者じゃないんだよね？
165:１３２人目の素数さん
08/11/02 18:51:57
こんな単純な設定の問題、パクるも何もないだろｗｗ
166:１３２人目の素数さん
08/11/03 20:17:28
aを 0<a<1 であるような有理数とするとき、自然数n≧3に対して
(1-a^n)^(1/n) が無理数であることを示せ
167:１３２人目の素数さん
08/11/03 21:08:31
>166
(1-a^n)^(1/n) =b とおくと
a^n + b^n =1,
a∈Q, 0<a<1, n∈N, n≧3,
bが有理数ならば、フェルマーの最終定理(A.Wiles)と矛盾する。
168:１３２人目の素数さん
08/11/04 12:19:28
数セミの出題者は安田亨だった
169:１３２人目の素数さん
08/11/04 13:46:26
長さNメートルの紐の端と端を結んでできる輪の面積で一番大きい
面積はどれくらいか？
170:１３２人目の素数さん
08/11/04 14:54:22
>>168
ああ、じゃあ数セミのは京大の改変だね。
171:１３２人目の素数さん
08/11/05 20:01:52
>>169 N^2/4π
172:１３２人目の素数さん
08/11/05 21:52:49
どこのクズだこんなひどい問題だしてるのは
173:１３２人目の素数さん
08/11/09 16:06:23
>>169
結び目の大きさは考慮しなくていいのか？
あと、紐はどれぐらい曲げられるの？ 硬い紐だと意外と曲がらないよ
174:１３２人目の素数さん
08/11/09 17:55:53
数列{a_n}は、次の漸化式で与えられる。
a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n
a_1 = a_2 = a_3 = 1
この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ。
175:１３２人目の素数さん
08/11/09 17:57:10
またパクリ問かよ
176:１３２人目の素数さん
08/11/09 21:26:23
>>174
数列{b_n}を
b_(n+2) = b_(n+1) -2*b_n,
b_1 = b_2 = 1, b_3 =-1,
で定義すると b_n は明らかに整数で、a_n = (b_n)^2.
注) b_n = (2/√7)･2^(n/2)･sin(nβ), ここに β = arcsin(√(7/8)).
177:１３２人目の素数さん
08/11/10 03:10:45
>>176
おお！どうなってのか教えて！
178:１３２人目の素数さん
08/11/11 11:50:53
パクリだなこれ
何回も見たことある
新作問題キボンヌ
179:１３２人目の素数さん
08/11/11 14:45:56
残念ながら無理
180:１３２人目の素数さん
08/11/12 01:06:14
>>178
誰も解いてくれないから>>39解いてくれ
181:１３２人目の素数さん
08/11/12 01:23:09
>>180
やってみるお
182:１３２人目の素数さん
08/11/14 08:49:56
写像aは整数から整数への写像であり、
・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・ 任意の整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを求めよ
183:１３２人目の素数さん
08/11/15 00:00:52
誰も解いてくれないから>>89と>>138解いてくれ
184:１３２人目の素数さん
08/11/15 02:22:52
頑張って数値計算するだけだからなあ。
185:１３２人目の素数さん
08/11/15 19:00:17
円周率πが3.15未満であることを示せ
186:１３２人目の素数さん
08/11/16 02:26:23
糞つまらん問題ばっかだな最近
187:１３２人目の素数さん
08/11/16 11:34:23
>>182解いて
188:１３２人目の素数さん
08/11/16 15:29:22
>>182
N→Nじゃなくて
Z→Zでいいの？
189:182
08/11/17 00:18:36
>>188
うん
190:１３２人目の素数さん
08/11/17 00:43:08
0や負の数に大して定義されてないんじゃない？
191:１３２人目の素数さん
08/11/17 01:04:46
a[n]がn>0で定義されてれば、漸化式から0≧nに対してa[n]が求まるだろ
192:１３２人目の素数さん
08/11/17 21:20:00
ａ（－１）＝０。
193:１３２人目の素数さん
08/11/17 22:52:58
>>192
それの証明が重要なんじゃないのか？
194:１３２人目の素数さん
08/11/17 22:55:36
nを10進数表記したとき、奇数桁目に出てくる奇数の個数をa(n)とする。
例） a(111)=2、a(232)=0、a(1234)=0、a(2345)=2
∑[k=1,n] a(2^k)/2^k (n→∞)
の極限値を求めよ
195:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:00:36
>>193
フィボナッチ数列を一個ずらした数列を考えれば良い
最後の性質は、フィボナッチの場合を示せばよい（良く知られた証明）
全く以って入試に不向きな問題だな
196:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:02:49
>>195
いやだから、フィボナッチ数列しかないことを証明しろってことなんじゃないの？
197:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:04:17
×フィボナッチ数列しか
○フィボナッチ数列をずらした数列しか
a(1)=1で、a(2)=2ならフィボナッチで、条件を満たすけど
a(1)=1、a(2)=3ならリュカで条件を満たさない。条件をみたすaが、a(2)=2のみに限ることを言わないと証明じゃないのでは……
198:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:08:10
>>196
具体的に写像aを求めろって問題だろ
一意性を示せとはどこにも書いてないと思うが
199:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:10:43
求めろとしか書いてないんだから、「全部」求めろって意味だと思ってたんだが……
んで、あくまでもおれの予想としてフィボナッチをずらしたものしかなさそうなので、メインは一意性の証明かなぁと。
単に求めろだから、やっぱ「全部」じゃね？
200:１３２人目の素数さん
08/11/18 00:30:00
ｍ＝０。
201:１３２人目の素数さん
08/11/18 00:45:30
任意のｍ
202:１３２人目の素数さん
08/11/18 06:17:14
任意の正の整数nに対して不等式
|sin1|+|sin2|+|sin3|+･･･+|sin(2n)|＞ 4n/5
を証明せよ。
ただしπ=3,1...sin1=0.84...,cos1=0,54...sin2=0.90...cos2=-0.41...
は証明なしで使ってもよいものとする。
203:修正
08/11/18 13:11:13
写像aは整数から整数への写像であり、
・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・ 任意の正整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを全て求めよ
204:１３２人目の素数さん
08/11/18 13:56:58
1より大きい実数a_[2]を求めよでいいじゃん
205:１３２人目の素数さん
08/11/18 13:58:25
実数じゃなくて整数、の間違い
206:１３２人目の素数さん
08/11/18 22:40:20
通常の１から６までの目のサイコロをｎ回振る。
ｎ回目までの出た目の和が素数である確率を求めよ。
207:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:06:04
nを飛ばすの忘れてるぞ
208:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:00:34
久しぶりに来たけどあんま賑わってないね
とりあえず>>39と>>182あたりが解かれてないのか
209:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:03:56
>>202
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:653番)
不等式スレ３
の式に a=1, m=2n を代入すると、
(左辺) > n + (1/4) - 1/(4sin(1)) > n -0.0471
210:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:07:03
>>208
自作問題が解かれてないからって気を落とすなよ
お前が作ってないなら、糞問なんだからスルーしてやれよ
211:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:20:37
>>194も
212:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:21:09
>>182
a(2)≧3のとき条件を満たさないことを示す
まずa(k)とa(k+1)は互いに素なのはユークリッドの互除法的に明らか
次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
したがって、a(k)がt^2-t-1の倍数だとa(k+1)もt^2-t-1になるがこれは矛盾
a(2)=2はフィボナッチの性質から解ける感じ
ということでa(2)=2となるときだけ
>>39はスルーされて当然だったな
一個目:-1
煮込め:X=e,X'=e^(a-1)よりa=3
三個目:対数微分とか使わせるにしてもあまりに糞問
213:１３２人目の素数さん
08/11/19 01:22:19
>>212
多分39の一個目違う
214:１３２人目の素数さん
08/11/19 08:02:11
a,bを2^a+3^bが平方数となるような正の整数とする。
(1)a,bはともに奇数であるか、ともに偶数であることを示せ。
(2)(a,b)としてありうるものをすべて求めよ。
215:１３２人目の素数さん
08/11/19 17:07:25
＞次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
どうやって気づいたのかｋｗｓｋ
216:212
08/11/19 18:04:06
>>215
実はその部分は敢えてどう解いたのかばれないような表記にしてました
実際の思考の順序は
・おそらくa(2)≧3だとある数を法としたときに0を含まない循環にできるはず
・漸化式の形から、pa(k)+qa(k+1)が常に何かを法として不変になるはず
・その「何か」と上の「ある数」を自分で作ればよいはず
・a(1)=1,a(2)=tのとき、p=t,q=-1とすればta(1)-a(2)=0で何かよさそう。このときta(2)-a(3)=t^2-t-1
・t^2-t-1が上の「何か」になるはず、実験して確認・あとはp=1,q＞0になるように工作
みたいな感じでした
217:１３２人目の素数さん
08/11/19 18:38:54
>>216
勉強になります
218:１３２人目の素数さん
08/11/20 21:46:10
>>185
解きました。キーワードは「pi_315」
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
219:１３２人目の素数さん
08/11/20 21:58:51
>>216
なるほどぉ！
220:１３２人目の素数さん
08/11/20 22:35:35
>>206の問題、解けた人いる？？
221:１３２人目の素数さん
08/11/20 22:45:21
>>214
(a,b)=(4,2).
222:１３２人目の素数さん
08/11/20 22:46:22
g:N→Nがg(1)=1、g(mn)=g(m)g(n)を任意の正整数m,nに対して満たすとき、完全な関数と呼ぶ。
F(n)=∑[k=1,n]f(k) が完全な関数になる完全な関数fをすべて求めよ
223:１３２人目の素数さん
08/11/20 23:04:17
>>216
t^2－t－1＝0はフィボナッチ数列の特性方程式だから、
こう考えた方が本質的な気がする。↓
a(n＋2)＝a(n＋1)＋a(n)の特性方程式はx^2－x－1＝0だから、
a(1)＝1，a(2)＝tとするとき、m：＝t^2－t－1を法とすれば
a(n)≡t^n (mod m) とキレイに解ける。もしa(n)がmの倍数
であるようなnが存在するならば、t^n≡0 (mod m)となるが、
gcd(t,m)＝1であるから、m≧2のときは矛盾が起きる。
m≧2 ⇔ t≧3だから、結局、t≧3のときは矛盾が起きる。
一般化するならこうなるか。
a(n＋k)＝c(k－1)a(n＋k－1)＋…＋c(1)a(n＋1)＋c(0)a(n) (各c(i)は整数でc(0)＝±1)
a(0)＝1，a(1)＝t，a(2)＝t^2，…，a(k－1)＝t^(k－1)
という漸化式を考える。tが十分大きな自然数ならば、
(tごとに)ある正整数mが存在して、a(n)とmは互いに素(n＝0,1,2,…)である。
224:１３２人目の素数さん
08/11/21 00:11:23
三角形Tの内部（周を含む）を、動点Pが次のルールで動く。
1) Pは頂点を以外のある内点からスタートし、三角形の辺にぶつかるまでまっすぐ進む。
2) 辺にぶつかったら跳ね返る。入射角と反射角は等しいものとする。
3) 1,2を繰り返して、途中で三角形の頂点にぶつかる軌道は考えないものとする。
4) 1,2を繰り返して、途中から軌道が周期的になるもののみを考える。
三角形Tの周の長さを 1 とし、上記の軌道からなる集合をL(T)とする。
また、Tを固定したとき、L(T)に含まれる軌道の長さの最小値をm(T)とおく。
Tを変化させたとき、m(T)の最大値は存在するか？
225:１３２人目の素数さん
08/11/21 00:52:11
>>222
F(n)＝n，f(n)＝1 (n＝1,2,3,…)となることを示す。
与えられた条件からn＝1,2,…,9のときを地道に調べることで、
n＝1,2,…,9のときはF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つことが言える。
以下、k≧10として、n＜kのときF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つすると、
n＝kのときは以下の議論によってF(k)＝k，f(k)＝1となるので、
数学的帰納法より成立。
kが素数のとき：k≧10だからkは奇素数であり、よってk＋1は合成数である。
k＋1＝Πpi^ei と素因数分解すると、各iに対してpi＜kとなることに注意して
F(k＋1)＝ΠF(pi)^ei＝Πpi^ei＝k＋1となる。一方、F(k＋1)＝Σ[j＝1～k＋1]f(j)
であり、j＜kのときは帰納法の仮定からf(j)＝1なのでF(k＋1)＝k－1＋f(k)＋f(k＋1)
となる。また、f(k＋1)＝Πf(pi)^ei＝Π1^ei＝1となるから、結局F(k＋1)＝k＋f(k)
であり、これにF(k＋1)＝k＋1を代入してf(k)＝1となる。このとき
F(k)＝Σ[j＝1～k]f(j)＝kとなる。よってF(k)＝k，f(k)＝1となる。
kが合成数のとき：k＝Πpi^ei と素因数分解して、F(k)の値を上と同様にして計算する。
上の議論よりも簡単にF(k)＝k，f(k)＝1が出る。
226:１３２人目の素数さん
08/11/21 04:28:01
０を入れないならＦ（２＾ｎ）＝２＾ｎだから全部１。
227:１３２人目の素数さん
08/11/21 05:04:37
g(1)=1っていらんだろ
228:１３２人目の素数さん
08/11/21 08:06:29
Nに0を含める流儀だと必要かな
229:１３２人目の素数さん
08/11/21 09:31:58
>>218
力技すぎワロタ
230:１３２人目の素数さん
08/11/21 18:40:33
>>218
なんという力技ｗｗｗ
231:１３２人目の素数さん
08/11/21 18:47:50
実戦的ないい解答だ
232:１３２人目の素数さん
08/11/21 18:49:44
まぁ、明らかに185の問題は例の問題パクって適当に作ったものだろうから、
そういう回答になっちまうのもしかたないのかもな
233:232
08/11/21 18:51:21
適当に、というよりは思いつきで、のほうがしっくりくるか
234:１３２人目の素数さん
08/11/21 19:02:30
次の2つの条件をともに満たす、定数でない整数係数多項式f(x)をすべて求めよ。
(1)f(x)のすべての係数の絶対値は1である。
(2)方程式,f(x)=0の解はすべて実数である。
235:232
08/11/21 19:27:29
別の方法で>>185解いてみた
創価相乗より
cosθ+cosθ+(1/cosθ)^2≧3 (0≦θ<π/2)
両辺0からπ/12までθで積分して、
2sin(π/12)+tan(π/12)>3*(π/12)
sin(π/12)=(√6-√2)/4、tan(π/12)=2-√3 を代入して整理
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<3.15
(∵√6<2.45、√3>1.732、√2>1.414）
218よりは計算量少なめ
236:１３２人目の素数さん
08/11/21 19:46:06
>>234
x±1、x^2-1
237:１３２人目の素数さん
08/11/21 19:59:59
>>236
＞x^2-1
条件(1)を満たしていない
238:１３２人目の素数さん
08/11/21 20:54:31
pを3で割った時に1余る素数とする。このとき
a^2+ab+b^2=p
となる整数a,bが存在することを示せ
239:１３２人目の素数さん
08/11/21 21:54:37
>>235
2sinθ + tnaθ > 3θ, 0<θ<π/2 .
を Snell の式とか言うらしいよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)591 , 565
不等式スレ３
240:１３２人目の素数さん
08/11/21 22:12:14
>>235
平方根の近似値使わなくてもできる
>>235 から
4(2sin(π/12) + tan(π/12)) ＞ π …(1)
また、
22/7 - 4(2sin(π/12) + tan(π/12))
= (2/7) (-17 + 7√2 + 14√3 - 7√6)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (3√6-7)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (√54-√49)
＞ 0
∴ 22/7 ＞ 4(2sin(π/12) + tan(π/12)) …(2)
3.15 ＞ 22/7 …(3)
は明らか
(1)(2)(3) より π＜3.15
ところで、いきなり相加相乗使ってるけど、
そのやりかた有名なの？
241:１３２人目の素数さん
08/11/22 08:23:27
>>240
なるほど・・・
22/7が割と正確な円周率の近似であることをうまく利用するんですね
この方法は>>239にあるとおり、光の屈折に関するsnellの法則で有名なWillebrord Snellが
円周率の値を評価するときに使った方法です
3sinθ/(2+cosθ)<θ<(2sinθ+tanθ)/3の右側ですね
242:１３２人目の素数さん
08/11/22 19:48:19
↑の略証
1 - {(1-cos(x))/(2+cos(x))}^2 < 1 < {cos(x) + cos(x) + 1/(cos(x)^2)}/3,
を [0,θ] で積分する････
243:１３２人目の素数さん
08/11/22 22:53:55
>>185
これって、2008年度の京大乙6番のように三角関数表が与えられたら、こういう解答も成り立つ。
正45角形ならばS_45 = 45 tan 4°だが、0.0699 < tan 4° < 0.0700より、
\pi < S_45 < 45*0.0700=3.15より、円周率は3.15未満。
0.0697 < sin 4°< 0.0698より、\pi > s_90 = 45*sin 4°>45*0.0697=3.1365>3.1
URLﾘﾝｸ(hiw.oo.kawai-juku.ac.jp)
但し、三角関数表自体は切り捨てか切り上げか明言していないので、使うべき角度には注意が必要。
角度が小さ過ぎても、円周率には躙り寄れるが今度は誤差が大きいので問題あり。
244:１３２人目の素数さん
08/11/22 23:39:37
なんだかんだで185は人気だなｗｗ
245:１３２人目の素数さん
08/11/23 00:13:39
一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。
246:１３２人目の素数さん
08/11/23 00:28:56
google入社試験のやつだろ。
247:１３２人目の素数さん
08/11/23 04:33:12
>>241-242
サンクス
不等式スレも見てるのに見落としてた…
248:１３２人目の素数さん
08/11/23 15:11:27
正の無理数αに対し、二つの数列
2α、4α、8α、16α、32α…（2^nα）
6α、12α、24α、48α、96α…（3*2^nα）
を考える。
このとき、いかなるαを考えたとしても、
これらの数の中に必ず、小数部分が1/4より大きくなるものがあることを示せ。
また、上記命題において1/4が最良であることも示せ
249:１３２人目の素数さん
08/11/23 16:21:04
>>248
2進法で考えて、α の小数点以下(n+1)桁目が 1 だったら、
2^n*α は小数点以下1桁目が 1 だから、小数部分は 1/2 以上
だから、1/4 が最良ってのは変じゃないか？
250:248
08/11/23 16:30:45
すまん、ちょっと考えなおしてくる
251:249
08/11/23 19:14:14
1/4 を 3/4 にすれば問題が成立してると思う
252:１３２人目の素数さん
08/11/24 01:07:35
f：N×N→Nが次の３条件を満たすとき、fをすべて求めよ
f(x,x)=x
f(x,y)=f(y,x)
(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
253:１３２人目の素数さん
08/11/24 01:17:20
>>248
αの2進小数表示を考える。
小数部分の数字の中に 1 が連続している場所が在れば
その部分 11 が小数点のすぐ右に来たときに2^n・αの
小数部分が3/4より大きく）になる。
また連続した場所が無ければ、小数点の右に 010が来たときに
3・2^nαの小数部分が3/4より大きくなる。
2進小数で
0.00.........（0がn桁）.........00100.........（0がn+1桁）.........00100.........（0がn+2桁）.........00100（0が三桁）
というような数を考えると、nが大きいとき、>>248の系列の最大値は3/4に充分近い。
254:１３２人目の素数さん
08/11/25 05:23:29
m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が解をもつとき、この方程式は無数に多くの解を持つことを証明せよ。
255:１３２人目の素数さん
08/11/25 07:00:36
どう見ても双曲線
(x,y)=((√m)/cost,tant/(√n))
256:254
08/11/25 07:02:16
すまない、「整数解」が抜けていた。正しくは
m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が整数解をもつとき、この方程式は無数に多くの整数解を持つことを証明せよ。
257:１３２人目の素数さん
08/11/25 20:44:24
m=n=1の時点で有限個なんだが
258:１３２人目の素数さん
08/11/25 20:49:06
ﾜﾗﾀ
259:１３２人目の素数さん
08/11/25 21:06:14
連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを求めよ。
260:１３２人目の素数さん
08/11/25 21:13:48
Fラン用？
f(x)=cosx
g(x)=sinx
261:259修正
08/11/25 21:39:00
連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを『すべて』求めよ。
いや、っていうか何の条件もなかったら普通「すべて」だよね……
そう思ってた、俺がバカなのか……orz
だから、唯一性の証明がだなぁｒｙ
262:１３２人目の素数さん
08/11/25 21:39:49
>>260
あと、それだけじゃないよ。唯一性とは言ったが、答えは無限にあるので……
と言ってもｒｙ
263:１３２人目の素数さん
08/11/25 21:46:07
こんな有名問題出るわけねーだろカス
264:１３２人目の素数さん
08/11/25 23:06:26
いやもう出るとか出ないとか気にしてる人いないと思う。
265:１３２人目の素数さん
08/11/25 23:17:12
微分可能なやつだったら解けるが
266:１３２人目の素数さん
08/11/26 00:59:25
>>260は
これFラン用？Eランク大学の俺様には簡単すぎて欠伸が出るんだけど。
くらいの意味だと思っといたほうがｗ
>>263
微分可能って条件があるのだったら見たことあるけど、
それが無い奴はそんなに有名でも無いと思うけど。
まあ定義に従って微分を求めたら求められた気もしたけど。
267:１３２人目の素数さん
08/11/26 10:36:03
f(x)を実数において定義され実数値をとる連続な関数とし、さらに
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)= 4x+3
を満たすとする。
(1)実数a,bに対してf(a)=f(b)が成立するときa=bであることを示せ。
(2)f(x)は単調増加であることを示せ.
(3)f(x)を求めよ.
268:１３２人目の素数さん
08/11/26 13:30:21
>>260
お願いだからギャグと言ってくれ
269:１３２人目の素数さん
08/11/26 14:14:00
>>253
0.01011x11=1.00001.
270:260
08/11/26 14:22:36
釣れたーーーーーーーーーー＾＾；
271:１３２人目の素数さん
08/11/26 15:03:01
>>261
これ本当に解けるか？
272:１３２人目の素数さん
08/11/26 18:08:34
うるさい。
273:１３２人目の素数さん
08/11/26 18:40:21
x,yは正の整数、またdをx,yの最大公約数とする。
方程式：d^3+x+y^2=dxy
を満たすx,yをすべて求めよ。
274:１３２人目の素数さん
08/11/26 20:25:58
>>261
できた。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
275:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:00:10
>>261
なんかミスってた＆ヘタクソなことしてた(´・ω・｀)
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
276:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:18:36
文 科
第 一 問（文理共通）
sin2009°の小数第一位から少数第五位までのそれぞれの数を，
a，b，c，d，eとして，このとき，
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
とする．
(1) sin2009°とsin1877°の大小を比較せよ．
(1) a，b，c，d，e，f(e)のそれぞれの値を求めよ．
(2) f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(1)は東大の易化にあわせたつもりだが簡単すぎる．
ちなみに1877年は東大設立の年．
sin1877°＞ sin2009°になることはどうみても明らかだけども，
懐古的な（といっても1877年だと古すぎるが）教授なら，
2009年よりも1877年のほうが東大は輝いていたに違いない―，なんて言うかもしれないと思って．
277:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:39:44
(2)はかなり面倒じゃない？
sin 29°の値なんて手計算させてどうすんの？
sin 2010°なら意味分かるけども。
三倍角の公式を使って三乗根の値を概算、なんてやってたら
（最近の学生はゆとり教育の結果計算力がなくなっているとかそういうことではなくて）
三十分じゃ全然時間が足りないと思うけど。
278:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:17:29
>>276
電卓があれば解ける問題って……いくらなんでもあり得ないのでは？
279:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:27:19
>>261-262
Fラン用？
f(x) = cos(ax),
g(x) = sin(ax),
280:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:50:11
もうええからそれは
281:１３２人目の素数さん
08/11/27 02:45:44
>>275
一生懸命タイプして完成して嬉しい気持ちでうｐしたんだろうなと思ったら萌えた
282:１３２人目の素数さん
08/11/27 18:33:56
n^n + 2 (n∈N)が素数になるような n が無数に存在することを証明せよ.
283:１３２人目の素数さん
08/11/27 20:16:19
1877 = 1800+77 より sin1877゜= sin77゜
2009 = 1800+180+29 より sin2009゜= -sin29゜
符号を見て分かる通り、sin1877゜ > sin2009゜
････ダメ？
284:１３２人目の素数さん
08/11/27 20:26:54
>>267
(1)f(a)=f(b)のときf(f(a))=f(f(b)),f(f(f(a)))=f(f(f(b)))なので
4a+3=4b+3
ゆえにa=b
(2)(1)よりf(x)は単射の連続関数なので
単調増加または単調減少
単調減少と仮定すると
f(f(x))は単調増加、f(f(f(x)))は単調減少なので
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)は単調減少
だが右辺の4x+3は単調増加で矛盾する。
285:１３２人目の素数さん
08/11/27 22:33:03
>>283
elegant
286:１３２人目の素数さん
08/11/28 02:12:30
eelegantか？普通じゃないの
287:１３２人目の素数さん
08/11/28 03:10:33
>>256
１つの整数解を (x_1, y_1) とし、
α = x_1･√m - y_1･√n,
β = x_1･√m + y_1･√n,
とおくと
αβ = m(x_1)^2 - n(y_1)^2 = 1,
また、α、βは奇数乗しても
α^(2k+1) = x_(2k+1)･√m - y_(2k+1)･√n,
β^(2k+1) = x_(2k+1)･√m + y_(2k+1)･√n,
の形を保つ。 そして漸化式
x_(2k+1) = {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}x_(2k-1) + {2n(x_1)(y_1)}y_(2k-1),
y_(2k+1) = {2m(x_1)(y_1)}x_(2k-1) + {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}y_(2k-1),
から、 x_( ), y_( ) はすべて整数となる。
288:１３２人目の素数さん
08/11/28 11:15:15
>>267
cを任意の実数とし数列x[n]を漸化式x[1]=c, x[n+1]=f(x[n])で定める。
与方程式から
x[n+3]-3x[n+2]+6x[n+1]=4x[n]+3 (n=1,2,...)となる。
階差数列をy[n]=x[n+1]-x[n]とおけば
y[n+3]-1=-8(y[n]-1) となるので
y[3n+1]=(-8)^n*(y[1]-1)+1
を得る。ゆえにy[1]≠1と仮定すると十分大きなnに対してy[u]>0,y[v]<0となるような番号u,vが
それぞれ存在する。
ゆえにf(x[u])>u,f(x[v])<vとなるような実数x[u],x[v]が存在するが、f(x)は連続なので
中間値の定理からf(w)=wとなる実数xが存在する。
これを与方程式に代入すればw-3w+6w=4w+3⇔0=3となり矛盾する。
従ってy[1]-1=0でなければならず、すなわちx[2]=x[1]+1,つまりf(c)=c+1である。
cは任意であったから任意の実数xに対して
f(x)=x+1でなければならない。
逆にこれは与えられた条件を満たす。ゆえにf(x)=x+1
289:１３２人目の素数さん
08/11/28 15:42:04
lim{n->∞}{( 1 + 1/(n*(n-1)) )^n}を求めよ。
ネイピア数e = lim{n->∞}{(1 + 1/n)^n}(表記の参考までに）
290:１３２人目の素数さん
08/11/28 22:02:48
任意の実数a, bに対して
F(2a) + F(2b) = 2F(a+b)F(a-b)
を満たし、かつ定数関数ではない関数F(x)がある。
F(p)=F(q)を満たす実数p, qに対して、F(p+q) と F(p-q)の少なくとも一方は1に等しいことを示せ。
291:１３２人目の素数さん
08/11/28 22:28:20
>>290
a=b=0とすると
f(0)+f(0)=2f(0)^2⇔f(0)=0,1となるがf(0)=0と仮定すると
b=aとして,f(2a)=0が任意のaで成立し仮定に矛盾するからf(0)=1
さらにb=0としてf(2a)+1=2f(a)^2 ∀a ･･･(1)
a=(p+q)/2,b=(p-q)/2として
f(p+q)+f(p-q)=2f(p)f(q) …(2)
a=p,qとして
2f(p+q)f(p-q)=f(2p)+f(2q) ･･･(3)
(1)よりf(p)=f(q)のときf(2p)=f(2q) ･･･(4)
ゆえに(2)(3))(4)より
(1-f(p+q))(1-f(p-q))
=1-f(p+q)-f(p-q)+f(p+q)f(p-q)
=1-2f(p)f(q)+{f(2p)+f(2q)}/2
=1-2f(p)^2+f(2p)=0 (∵(1))
よって示せた。
292:１３２人目の素数さん
08/11/29 04:25:44
>>290
b=a を代入すると、2F(2a){1-F(0)} = 0,
題意により F(2a)≡0 ではないから、F(0) = 1.
|F(1)| < 1 のとき F(x) = cos(ax), ただし a = arccos{F(1)},
F(1) > 1 のとき F(x) = cosh(a'x), ただし a' = arccosh{F(1)} = log{F(1)+√[F(1)^2 -1]},
293:１３２人目の素数さん
08/11/29 16:21:57
円周率πは無理数であることが知られている。
πに1/mπ(m:0以外の実数)なる数以外の数を掛けたとき、その値が0でない有理数となることはあるか。
294:１３２人目の素数さん
08/11/29 16:50:44
1/mπ(m:0以外の実数)は0以外のすべての実数を取りうるから
これ以外の実数はない。
よってない。
295:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:06:26
>>289
n(n-1) = N とおくと
N→∞, (n→∞)
(与式) = { (1 + 1/N)^N }^(1/(n-1)) → e^0 = 1. (n→∞)
296:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:10:03
n^2009の上2009桁がすべて1であるような正の整数nが存在することを証明せよ。
297:１３２人目の素数さん
08/12/01 01:40:47
∫[x=1,0]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dxが収束するp,qの範囲を求めよ
298:１３２人目の素数さん
08/12/01 01:47:39
>>297
そんなベータ関数の有名問題が出ると思ってんの？バカなの？
299:１３２人目の素数さん
08/12/02 12:44:50
>>296
各桁がすべて1の2009桁の整数をa=111...11
とおく。
nが題意を満たす条件は
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
を満たす0以上の整数kが存在することである。
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
⇔loga+k≦logn<log(a+1)+k
数列x[n]=lognについて考えると
x[n]→∞で、x[n+1]-x[n]=log(1+1/n)→0なので
x[n]の階差はいくらでも小さくなる。区間[loga+k,log(a+1)+k)の長さはlog(a+1)-loga=log(1+1/a)は0より大きい定数だから
k,nが十分大きければ
x[n]=lognが区間[loga+k,log(a+1)+k)に属するような正の整数nが存在する。
よって題意は示された。
300:１３２人目の素数さん
08/12/02 17:31:16
>>299
nじゃなくてn^2009なんだが
301:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:18:35
∫[x=2π,0]√(2-2cost)dt
において
x=costと置換すると
積分区間は[x=1,1]となるが
これが０にならないとことを示せ
302:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:22:40
>>301
そりゃ、ルートがついたもん積分したら、中々０にゃならんだろ
303:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:45:15
＞x=costと置換すると
＞積分区間は[x=1,1]となるが
こういう間の抜けたことは東大入試の問題文には書かないかと
304:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:47:11
>>301
狙いは分かるが．．．
305:１３２人目の素数さん
08/12/02 23:50:06
そういう盲点というか受験生の理解不足になりがちなポイントを、
うまく問題の中に潜ませるのがうまい問題だな。
突きたいポイントをずばり問題にしてしまったのでは駄作。
ま、俺には作れんが。
306:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:28:07
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
京都大学入試作問者になったつもりのスレ①
の308で∫[x=0,1]√(2-2cos(2πx))dxが出てくる悪寒
・・・でもそんな置換はしないか
307:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:31:27
a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
f(n)が全て非素数になるa,bの組を一つ求めよ。存在しないのならその事を示せ
308:１３２人目の素数さん
08/12/03 00:41:09
a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
いかなるa,bを選んでも、f(n)が合成数になるような無数に多くのnが存在することを示せ
309:１３２人目の素数さん
08/12/03 01:26:56
>>308
mod2で考えれば 000… または …110110… だから，偶数の項は無限に存在する。
f(n)は単調増加だから4以上の偶数が無限に存在することになる。
310:１３２人目の素数さん
08/12/03 21:37:11
>>301
変数変換したら被積分関数が閉区間[1,1]で存在しないことを
証明すればいいんだろ
311:１３２人目の素数さん
08/12/03 22:03:41
>>310
312:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:07:08
>>306
半角の公式
313:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:36:01
1からnまでの数字が1つずつ書かれたn枚のカードがある。この中から1枚を引き、
出たカードの数字をX_1とする。さらに、カードをもとに戻して再び1枚を引き、
出たカードの数字をX_2とする。X_1, X_2のうち、小さくない方をXとする。次の問いに答えよ。
(1) Xの期待値Eを求めよ。
(2) kを自然数として、X≧kとなる確率をp_k、X≦kとなる確率をq_kとおく。
p_k≧1/2かつq_k≧1/2となるようなkの値をmとするとき、n=100に対するmの値を求めよ。
(3) lim[n→∞]E/mを求めよ。
314:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:44:24
nを自然数とする。2n桁の自然数で、上位n桁の和と下位n桁の和が等しいとき、
この自然数を「均衡数」と呼ぶことにする。
たとえば、1634は1+6=3+4により均衡数であるが、123401は1+2+3≠ 4+0+1により均衡数ではない。
(1) 0, 1, 2, 3, 4の5個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数は70個であることを示せ。
(2) kを9以下の自然数として、0からkまでのk+1個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数をkで表せ。
315:１３２人目の素数さん
08/12/15 04:50:25
(1) √2＞1.4を示せ。また、(1+√2)^5＞99を示せ。
(2) ∫[0, π/2](sin 2x)/(1+sin^2 x)dx と ∫[0, π/2](sin x)/(1+sin^2 x)dxの大小を比較せよ。
316:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:14:48
ひとつの頂点に集まる面は３つ以上ある。
ひとつの頂点に集まる頂角の合計は３６０度未満である。
オイラーの定理Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２が成り立つ。
多面体の以上の性質を利用して、正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類しかないことを示せ。
317:１３２人目の素数さん
08/12/15 21:38:14
sinθとcosθを用いてπを表せ。
318:１３２人目の素数さん
08/12/17 00:26:56
>>315 (1)
問題がおかしくありませんか？(1+sqrt{2})^5 = 82.01...くらいだと思いますが。
319:１３２人目の素数さん
08/12/17 00:53:24
>>318
ほんとだorz
書き間違えてました。
(1+√2)^5＜99を示せ。
でした。ごめんなさい。
320:１３２人目の素数さん
08/12/17 10:07:18
>>317
π + 0sinθ + 0cosθ
π(sin^2θ + cos^2θ)
321:１３２人目の素数さん
08/12/17 12:05:06
>>316何年か前に海城高校で類題が出てたはず
322:１３２人目の素数さん
08/12/17 12:12:15
>>320
π使ってるやんｗｗｗｗｗｗ
323:１３２人目の素数さん
08/12/17 18:26:38
180 （sinθ）’/cosθ
ただし θ は度数法
324:１３２人目の素数さん
08/12/18 02:31:50
>>315 (1) & >>319
2 > 1.96 = 1.4^2,
a_n = (1+√2)^n + (1-√2)^n,
とおくと
a_n = 2*a_(n-1) + a_(n-2), a_0 = a_1 = 2,
a_n - 1 < (1+√2)^n < a_n + 1,
を満たす。
a_5 = 82 ゆえ、81 < (1+√2)^5 < 83,
>>315 (2)
∫[0,π/2] sin(2x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,π/2] 2sin(x)cos(x)/{1+sin(x)^2} dx
= [ log{1+sin(x)^2} ](x=0,π/2)
= log(2)
= 0.69314718055994530941723212145818
cos(x) = z とおくと、
∫[0,π/2] sin(x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,1] 1/(2-z^2) dz
= (1/√8)∫[0,1] {1/(√2 -z) + 1/(√2 +z)} dz
= (1/√8) [ log{(√2 +z)/(√2 -z)} ](z=0,1)
= (1/√2) log(√2 +1)/(√2 -1)
= 0.62322524014023051339402008025057
>>316
各面は正ｍ角形、
１つの頂点に集まる面の数をｎ≧3,
とすると、
mF = 2E = nV より V-E+F= (2/n -1 +2/m)E,
{(m-2)/m}π*n < 2π より 2/m -1 +2/n > 0.
325:１３２人目の素数さん
08/12/19 00:56:44
ｎを２以上の自然数とする。１／ｎと１／(ｎ＋１)が、１０進数表記でともに有限小数になるｎをすべて求めよ。
簡単かな。
326:１３２人目の素数さん
08/12/19 01:48:31
受験生によって差が出そうな問題だ。4の倍数全て。
327:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:01:31
さっそく差が出たな
328:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:18:26
n=8でもう違ってる。簡単に考え過ぎたな
329:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:26:54
また頭の中で考えただけだけどn=(5^m-1)/2, (1/2)*(5^m-1)-1 (m: 自然数)
330:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:29:39
m=1だとn=1(<2)になるけどこういうのってアウトなんだろうな
331:１３２人目の素数さん
08/12/19 02:46:50
n=5^j、n+1=2^(4k)の形になるもの（k、jは正整数）
またはn=2^(4k-2)、n+1=5^jの形になるもの（k、jは正整数）
酔った頭じゃこれ以上簡単にできない
332:１３２人目の素数さん
08/12/19 19:12:24
kを0または自然数として
n=10k+4
どうだろう
333:１３２人目の素数さん
08/12/19 20:31:29
とりあえず1/14を計算してみれば良いと思うよ。
2の冪と5の冪で隣り合うようなものの組を全て求めよっていう問題だよね。
334:１３２人目の素数さん
08/12/19 20:54:58
>>324
(1) をつかって、(2) を示すんじゃないの？
335:１３２人目の素数さん
08/12/19 21:39:10
1/n が10進小数で有限小数になる
⇔（ある自然数 N 、 k を用いて） 1/n = N/10^k と表わせる
⇔ nN = 2^k・5^k と表わせる
⇔ n の素因数は 2 か 5 のみ
よって n と n + 1 がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
片方が 2・5 = 10 の倍数ならば不適となることが直ぐに分かるので
2 の冪と 5 の冪で差 1 になるようなものの組 (2^n, 5^m) を求めれば良い。
a^n - b^n は a - b で割り切れ、また n が奇数のとき a^n + b^n は a + b で割り切れることに注意。
2^n = 5^m + 1 かつ m ≧ 1 のとき、
mod. 5 で両辺を比較して n が 4 の倍数となることが分かる。文字をおきなおして
2^(4n) - 1 = 5^m つまり 16^n - 1 = 5^m となれば良いが、左辺は 15 の倍数なので
この式を満たす n, m は存在しない。
2^n = 5^m - 1 のとき、
右辺が 24 = 5^2 - 1 で割り切れてはいけないので m は奇数。(*)
2^n + 1 が 2 + 1 で割り切れてはいけないので n は偶数。
2^(2k) = 4^k = 5^m - 1 = 4(1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1))
つまり 4^(k-1) = 1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1) となる。
mod. 4 で両辺を比較すると k ＞ 1 のとき
0 ≡ m (mod. 4 )となる。従って m は 4 の倍数。
これは(*)に反するので k = 1、m = 1 が分かる。
したがって>>325の解は n = 4、n + 1 = 5 のみ。
336:１３２人目の素数さん
08/12/19 21:41:37
あ、訂正
よって n と n + 1 【の素因数】がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
それから 2^n = 5^m + 1 かつ m = 0 の場合忘れてた。
(n , n + 1) = (1, 2)も解で、この二つか。
337:１３２人目の素数さん
08/12/19 23:05:19
nは2以上の整数す
338:１３２人目の素数さん
08/12/20 00:50:33
>>334
>>313-315の出題者ですけど、
当然、そういう意図の問題です。
339:１３２人目の素数さん
08/12/20 13:24:48
０
340:324
08/12/21 02:45:27
>>334,338
(1) から
(1+√2)^5 < 89.6 = 64*1.4 < 64√2 = 2^6.5
1+√2 < 2^1.3
よって
(1/√2)log(√2 +1) < (1.3/√2)log(2) < (1.3/1.4)log(2)
かな？
341:１３２人目の素数さん
08/12/23 13:39:50
Ｎメートルの紐を使ってエンブレムをつくりたい、正し、紐は２本に切って
それぞれからある形をつくる。その形の条件として、紐をＡ、Ｂとすると。
どちらかは円でなければならない、またもう片方は多角形でなければならない。
この多角形と円を組み合わせてエンブレムをつくるわけだが、どちらかが
片方に内接または外接してないといけない。このときエンブレムを構成する
円と多角形の面積の和の最大値を求めよ。
友達の東大生・東工生正答率３０人中１人。
342:１３２人目の素数さん
08/12/23 16:02:47
f(x)＝an x^n + a(n-1) x^(n-1) + ．．．+ a1 x + a0
ただし a0，a1，a2，．．．，an は実定数で an≠0 とする．
また M＝max[0≦k≦n] | ak | ( | a0 |，| a1 |，| a2 | ，．．．，| an | の最大値) とする．
このとき，次の性質が成立する 定数 R の例を１つ M を使って表せ．
| x | ≧ R を満たすすべての実数 x に対して f(x) ≠ 0
343:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:50:31
あ
344:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:20:39
>>342
f(x)=xとする。
M=1
|x|>1、つまり-1<x<1の範囲でf(x)≠0であることを示せばよいが
x=0のときf(0)=0よりアウト
f(x)=x^2+x+a0とする
M=1
f(x)=0とおくと、解は(-1±√(1-4a0))/2
これが-1<x<1の外側にあればよい
そのとき|x|≧Rを満たすすべてのｘについてf(x)≠0が成り立つ
345:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:21:35
>>344
間違えた
M=a0だね。
346:１３２人目の素数さん
08/12/24 13:40:58
>>344
ギャグで言ってる？
347:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:21:14
ん？おかしかったかな
じゃあ別の解法で
|x|≧Rを満たすｘの一つをφとする。つまり-R≦φ≦R
f(φ）=0であると仮定する
このφは同時にM=φを満たすから適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。ただし1つ以上xの項の係数はφである。
しかし、φ-Hn=0がありうることより、問題のanについてan=0が起こりうる。
これはan≠0の条件に反する。仮定が誤っていたことを意味する。
よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
(Q.E.D)
348:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:32:47
＞|x|≧Rを満たすｘの一つをφとする。つまり-R≦φ≦R
この時点で矛盾している。
＞f(φ）=0であると仮定する
＞このφは同時にM=φを満たすから
満たすとは限らない。
＞適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
いつの間にかφ≧0であることが仮定されている。意味不明。
＞f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。
書けない。Σの中身にkが無いから、f(x)＝(n＋1)(φ－Hn)x^nになってしまう。
＞ただし1つ以上xの項の係数はφである。
日本語になっていない。
＞よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
問題の要求に答えていない。「｜φ｜≧Rを満たすφに対してf(φ)≠0が成り立つ」
ようなRを、Mを用いて構成せよと聞かれているのに、それをしていない。
349:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:35:27
ばれたか
350:１３２人目の素数さん
08/12/24 17:26:49
ばれたか千里
351:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:02:42
>>347
頭悪すぎてひいてしまった
352:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:30:13
じゃあ回答しろよ、カス
353:１３２人目の素数さん
08/12/24 19:56:48
M って最小値じゃなくて最大値？
書き間違いじゃない？
f(x) = εx^n + M のとき
f(x) = 0 の解 x に対して
|x| = (M/ε)^(1/n) → ∞ (ε→ 0 )
特に (M/ε^)(1/n) ＞ R(M) ⇔ M/R(M)^n ＞ ε だから
>>342のような性質が成立するような M の関数 R(M) は存在しない。
354:１３２人目の素数さん
08/12/24 22:00:07
>>353
確かに。
多分、an＝1 もしくは M＝max[0≦k≦n] ( | ak | /| an | ) の間違いでしょうな。
もしそうなら、R＝2M とかが答。
355:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:20:53
なんか頭悪い奴湧いてるみたいだから俺の高校の実力試験問題やってみろ
平面をｎ本の直線でα個の領域に分けることを考える。
直線はどの2本を選んでも完全に重なることはないとする。
αのとりうる最大・最小の値をそれぞれ求めよ。
356:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:36:23
最小は n+1 、最大は 1 + n(n+1)/2 じゃないかな。
理由はめんどいから書かないけど。
357:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:40:42
>>355
お前が一番頭悪そうw
358:１３２人目の素数さん
08/12/24 23:47:28
>>356
なんで最大の領域の数が分数になるんだよｗｗｗ
領域の数は普通整数だろうが
n(n+1)/2が整数になるときって条件つけとけ
359:１３２人目の素数さん
08/12/25 00:38:27
>>358
君、面白いね
360:１３２人目の素数さん
08/12/25 00:49:52
>>359
ありがとう
361:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:58:48
>>355
これの解法だれか教えて
最大の数がわからん
362:カツオ
08/12/25 01:59:17
>>356連続してるから2で割れるんじゃあないの？
363:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:01:30
>>358はn本と言われてnを有理数だと思ってしまうのだろうか
364:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:12:06
>>362
n(n+1)が2で割れるとしたらn(n+1)=2kとおける
展開してn^2+n-2k=0
n=(-1±√（1+8ｋ））/2っていう風になるから割り切れなくね？
365:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:19:29
nもn+1も連続する自然数なのでどちらかは偶数。よってn*(n+1)は2を因数に含む。
nC2だってn(n-1)/2なのに鈍すぎバカすぎ。
しかも>>364ではn(n+1)/2=kとしてn(n+1)/2が全整数を取るかのような妄想までしてて悲惨
366:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:28:31
>>365
よくわかんない・・・
nC2は整数なの？
367:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:39:24
＞n=(-1±√（1+8ｋ））/2っていう風になるから割り切れなくね？
kは特殊な値しか取らない。具体的には、(-1＋√（1+8ｋ））/2が
整数になるような値しか取らない。
お馬鹿の366のための解説：
nが偶数ならn＝2mと表せてn(n＋1)2/＝m(2m＋1)
nが奇数ならn＝2m＋1と表せてn(n＋1)/2＝(2m＋1)(m＋1)
よって必ずn(n＋1)/2は整数。
368:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:41:11
>>366
n個のおかしから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
n個のうんちから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
369:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:42:15
>>366
nが整数ならばn(n+1)は偶数
これがどうしても分からないなら、nが偶数のときと奇数のときで場合分けしてみて
君の発言が釣りであることを祈るよ
370:カツオ
08/12/25 02:48:32
ああ。nは正の整数だからだよ！その解だとnは無理数もあり得る感じだけどn本て明らか正の整数じゃあない？
371:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:52:44
>>370
「nが整数のときn(n+1)/2は全ての整数をとるわけじゃない」
y=x(x+1)/2だとxy平面上で放物線をなし、xの値に応じてyは全実数をとれる。
君は県立高校の1年生とかそんなところかな。よく他人の書き込みを自信満々にバカにできたね……
372:( °┌･･ °) ﾎｼﾞﾎｼﾞ
08/12/25 02:55:52
∑[k=1,n]a[k]=nであり
f(x)=∑[k=1,n]a[k]coskx
としたとき
常にf(x)≧-1
となるような実数a[k]が任意の自然数nに対して存在することを示せ
373:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:58:34
何だ、カツオはおばかな366トは別か
374:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:03:08
>>361 ３本くらいで実験してみな。ごく普通の前科式の問題だよ。
375:カツオ
08/12/25 03:05:13
>>371いや馬鹿にしたんではなくて気付いたこと書いただけかなぁ。実際そんな頭良くないし間違ってたら頭いい人が訂正してくれるし…。あとなんかそれ言いたいことが違う気がする…
376:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:05:54
>>375
勘違いだ、ごめん。358と間違えたんだ。
377:カツオ
08/12/25 03:08:53
いえいえ！大丈夫です！なんかビックリしてしまった(笑)
378:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:14:09
>>367
これｎが偶数のときの説明がおかしい
m=1/2としたらそのときｎ=mになるけどm(2m+1)は分数だもの。
よって命題は成り立たない
379:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:16:19
>m=1/2としたら
しません
380:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:19:09
なんで？
ｍには制約ないでしょ
てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなるからn=2m自体が成り立たないよ。
仮定がおかしい
381:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:22:21
>ｍには制約ないでしょ
あります
>てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなる
そのときの想定は無用です
>仮定がおかしい
おかしくありません。n本の線を引くとあるのだから、nが自然数 or 0だと想定できます
382:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:22:52
ここバカばっかじゃん
383:１３２人目の素数さん
08/12/25 03:28:30
言語能力０
数学能力０
他者罵倒力 ∞ - 計測不能
傲岸不遜力 ∞ - 計測不能
384:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:10:05
358はまじで中学からやりなおしたほうがいい。
385:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:36:49
確かに。ｎ(n+1)が偶数でないことを知らないなんて。
386:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:42:16
知らなくても少し考えれば分かることなのに
387:１３２人目の素数さん
08/12/25 12:59:21
釣られすぎ
388:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:01:37
釣れた
389:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:02:22
俺が主犯だけどｗｗｗお前らつられすぎてて吹いたｗｗｗｗｗ
東北医ですｻｰｾﾝｗｗｗｗｗｗｗ
390:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:32:48
東北医（笑）
391:１３２人目の素数さん
08/12/25 13:55:21
おっスレが伸びてるな、と思ったら
基地外が乱入してたのね
392:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:20:54
>>389
ほんとに東北医なの？
fusianasanって名前欄に入れて書き込んでみなよ
393:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:31:09
いや、だって今地元に帰ってるし
394:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:39:37
じゃあ、難しい問題解いてみてよ
>>372とかさ
395:１３２人目の素数さん
08/12/25 17:46:43
今考えてるけどよく分からん
フーリエ級数みたいだね
396:１３２人目の素数さん
08/12/25 18:06:21
>>372
∑[k=1,n]a[k]=n
これってa[k]=1にしかならないと思うんだが・・・
397:１３２人目の素数さん
08/12/25 18:11:09
おいおい、もう釣りはいいから
cosx+cos2x≧-1
とか常には成り立たないだろ
もしかしてa[k]を自然数と勘違いしてるのか？
398:１３２人目の素数さん
08/12/25 20:57:36
>>396-397
nを固定して考えれ。
n=2 の場合
(左辺) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
判別式は
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
(左辺) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
399:１３２人目の素数さん
08/12/25 21:06:51
>>396-397
nを固定して考えれ。
n=2 の場合
f(x) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
= 2a[2]{cos(x) + a[1]/4a[2]}^2 - D/(8a[2]),
これが常に非負となるから、D≦0,
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
f(x) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
400:１３２人目の素数さん
08/12/25 22:39:03
>>372
n=3 のときは
a[1]=3/2, a[2]=1, a[3]=1/2,
f(x) = (3/2)cos(x) + cos(2x) + (1/2)cos(3x) = 2{1+cos(x)}cos(x)^2 -1 ≧ -1.
かな。
401:１３２人目の素数さん
08/12/26 00:07:30
a[k]を具体的に求める方法ってあるの？
n=2なら偶然見つけられたけどn=3以上になると全然見つけられない
402:１３２人目の素数さん
08/12/26 00:55:49
n=k(k≧3)で固定すれば容易
403:１３２人目の素数さん
08/12/26 10:17:31
>>372
任意の実数α(≧0)ついて、
∑[k=1,n]a[k]=α f(x)≧-α/n
を満たすa[k]があることを帰納法で示す。
n=1は省略
404:403
08/12/26 10:20:57
すまぬ。出来たつもりで書こうとしたら出来てなかったorz
405:１３２人目の素数さん
08/12/26 10:29:31
期待してるよー
406:１３２人目の素数さん
08/12/26 15:18:34
n≧kをみたす任意の整数nに対して
n＜m^2＜(2009/2008)*n
となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。
407:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:55:36
入試問題の多くはソ連科学アカデミーの天才養成よう難問集がネタ本だよ。
408:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:08:46
n＜m^2＜(2009/2008)*n
(2009/2008)*n-n>1
a^x-x>1
f=e^xloga-x
df/dx=logae^xloga-1=0
e^xloga=1/loga
xloga=-logloga
x=-logloga/loga=n=16.950
409:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:25:07
「アメリカのマサチューセッツ工科大学（ＭＩＴ）コンコースプログラムに使われた問題が載
っており、その出典はユーリがロシア（当時はソ連）のモスクワ大学助教授時代に国内で行わ
れていた「オリンピヤード（数学コンテスト）」や大学入試の問題、難解でひねりの利いたク
イズなどです。ちなみに題名の「ミンスク」はベラルーシ共和国（旧ソ連白ロシア共和国）の
首都です。」という本です。
「ペレリマン，ヤコフ・イシドロヴィチ〈Перелъман，Яков Исидорович〉」
410:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:26:15
ペレリマン1882.10.17-1942.3.16 『遊びの数学』(藤川健治訳)現代教養文庫958, 社会思想社 (1978) Yakov Isidorovich Perel’man
ペレリマン 『数のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『代数のはなし』(山崎昇訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『幾何のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『数学のはなし』(三橋重男訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man「生きた数学」「おもしろい数学」などのタイトルで出版されていたもの
411:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:27:37
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
412:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:37:22
入学までにこれくらいは目を通してね
春休みとかに
No10131 ソ連教育科学アカデミー版 基礎数学（全６巻揃）、東京図書、1966-1967年、15,750円
１、数と集合１ 第１部：記数法の起源／第２部：集合、群、環、体、数の体系 バシュマーコヴァ・ユシケーヴィチ／プロスクリャーコフ 1967 4刷
２、数と集合２ 第３部：数論／第４部：暗算と筆算、計算の補助手段 ヒンチン／ブラジス 1966 2刷
３、代数１ 第１部：ベクトル空間と一次変換／第２部：方程式の数値解法と図式解法 ウスコフ／ドモリヤード 1966 2刷
４、代数２ 第３部：多項式環と有理式体 オクニヨーク 1966 2刷
５、解析１ 第１部：実変数の初等函数、数列と函数の極限、函数の一般概念 ゴンチャロフ 1966 2刷
６、解析２ 第２部：微分、積分、級数／第３部：複素変数の初等函数 ナタンソン／ゴンチャロフ 1966 2刷
413:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:39:13
ここはお前の日記帳じゃねーよ
414:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:39:21
スミルノフ高等数学教程 1～12 12冊セット
スミルノフ高等数学教程
著者名 ： スミルノフ，B．I．著 福原満洲雄・彌永昌吉他監
出版社 ： 共立出版
発行年度 ： 昭和36年
販売価格 ： \14,000
415:１３２人目の素数さん
08/12/28 10:48:51
春休みならそれくらい読めそうだな。面白そう
416:１３２人目の素数さん
08/12/28 14:25:52
三日でスミルノフ一冊ってのはちょっと無理だろ。
最初のほうの巻しか無理。
417:１３２人目の素数さん
08/12/28 17:48:54
たぶんやっても「読んだだけ」で終わる可能性が高い
一部の天才を除いて数学って実際にペンを取って理解をつけてくものだもの
418:１３２人目の素数さん
08/12/31 19:59:23
>>372 >>401 >>405
a[k] = 2(n+1-k)/(n+1), (k=1,2,･･･,n)
f(x) = (1/(n+1)){1-cos((n+1)x)}/{1-cos(x)} -1,
等号成立は cos((n+1)x) =1 (ただし cos(x)≠1) のときで、
x= 2π/(n+1), 4π/(n+1), ･････, 2nπ/(n+1).
419:１３２人目の素数さん
09/01/01 17:47:52
URLﾘﾝｸ(www.imomath.com)
420:１３２人目の素数さん
09/01/01 20:08:51
>>418
f(x) = (1/(n+1))Σ[k=1,n] (n+1-k)*2cos(kx),
に
2cos(kx) = {2cos(kx) - 2cos(kx)cos(x)}/{1-cos(x)}
= {2cos(kx) - cos((k-1)x) - cos((k+1)x)}/{1-cos(x)},
を代入したな･･･
421:１３２人目の素数さん
09/01/07 22:21:42
>>419
７．Problems の 10番
10. Determine the maximal real number ａ for which the inequality
(x_1)^2 + (x_2)^n + ･････ + (x_n)^2 ≧ ａ{x_1･x_2 + x_2･x_3 + ･････ +x_(n-1)･x_n},
holds for any ｎ real numbers x_1, x_2, ･････, x_n.
答は ａ = 1／cos(π/(n+1)) らしいんですけど、どうやって解くんでつか？