08/11/26 20:32:57
うるさい。
110:１３２人目の素数さん
08/11/29 22:58:08
これは10進法ゆえに起こる表記矛盾、てか桁上がり表記による表記矛盾じゃないか
111:１３２人目の素数さん
08/11/30 10:15:42
矛盾でも何でもない。10進法という表記法の定義に従って計算すると0.999…＝1になる。
112:１３２人目の素数さん
08/11/30 10:45:17
・・･を極限記号として約束（定義）してるだけだな
113:１３２人目の素数さん
08/11/30 16:26:21
極限は１だけど数列はいつまでたっても1にならないもんねえ
114:１３２人目の素数さん
08/11/30 16:52:14
まあ、極限値だってのはテンプレの前提条件に明記されているけどね。
115:１３２人目の素数さん
08/11/30 17:53:10
>>110
矛盾じゃないぞ。
任意の実数は、一意に小数表記できる
という経験則からくる「思い込み」が間違っているだけの事。
116:１３２人目の素数さん
08/12/01 10:51:00
>>114あ、ほんとだ。ごめんちゃい。
>>115じゃあ、少数表記の限界ってことで・・・
117:１３２人目の素数さん
08/12/01 12:40:10
超準解析だと1=0.999…が成り立たないみたいなこと言う人いるけど
成り立ちますよ。
さっきネットで超準解析って検索したら堂々と成り立たないとか書いてあるホームページ発見して
かなりびびったので念のため書いときます
ＲはＲ*のelementary substructureってことなので、それはいんですが
たとえば上限性質とかアルキメデス性は保存されてないですけどね（そこは注意が必要）
118:１３２人目の素数さん
08/12/01 15:15:36
>>116
矛盾だの限界だの、おバカなことを言う奴だな。
限界って何？何に対する限界なの？
1という実数に対しては、0.999…＝1，1.000…＝1という2通りの
無限小数展開が存在するというだけの話。それは、有理数で
言うところの1/2＝2/4に相当する事柄であり、限界とか
そういう話ではない。
119:１３２人目の素数さん
08/12/01 18:18:44
>>117
0.999…が成り立つ ⇔ アルキメデス性が成り立つ
ってはなしもあったような…。
120:１３２人目の素数さん
08/12/01 18:19:19
ごめんなさい。
大小比較するとき一桁余分に見ないといけないのは道具として使い勝手悪いな～と思って。
121:１３２人目の素数さん
08/12/01 19:06:40
>>120
コンピュータプログラミングでも実数同士を比較する場合、直接比較は普通しないよな。
誤差を考え差の絶対値が特定の値より小さいかってので、「同じ値」かを判断するわけだ。
122:１３２人目の素数さん
08/12/01 23:06:11
はい、了解しますた！
糞して寝ます。
123:１３２人目の素数さん
08/12/01 23:07:52
>>119
それはたぶん超準解析における極限概念の定義の問題じゃない？
自然数ｎ∈Ｎってのが与えられた時にそれをどうみるかによってかわるからね
自然数の集合ってのがはたして構造（Ｒ、＋、×、０、１）で考えたものなのか
それともそれからはみだしたメタな意味でのＮなのかってのがあるからね
たとえばｎを、１をｎ個たしたものと、とらえたときにはそれはＲ*にトランスファーできないってことで、
これがアルキメデス性が保存されない原因なわけだけど極限概念では普通
ｎは１をｎ個たしたものなんて考え方しないと思うけど。
もしそういう考え方するのであればたしかに0.999…が成り立つ ⇔ アルキメデス性が成り立つ
っていう話になるのかね？？
超準解析に詳しい訳ではないのでなんともいえませんが。
124:１３２人目の素数さん
08/12/02 03:46:58
>>110 矛盾と言うよか不具合と言うべきじゃ？
あい矛盾する対象がある訳でもないし｡
>>113 和の極限
125:１３２人目の素数さん
08/12/02 03:59:00
>>124
不具合でもなんともなくて、
>115,118の言ってる様に「思い込み」なだけ。
「任意の実数は、高々２通りの方法で小数表示できる」
という風に考えれば何の問題もおきないでしょう？
126:１３２人目の素数さん
08/12/02 04:52:23
じゃあ、0.33333...はそれ以外にどんな値なの？
127:１３２人目の素数さん
08/12/02 05:12:11
>>126
「任意の実数は、 高 々 ２ 通 り の 方 法 で 小数表示できる」
高々2通りとは、「多くても2通り」ということであり、「必ず2通り」と言っているのでは無い。
128:１３２人目の素数さん
08/12/02 08:44:54
そうですか、他に表現のしようがないんですね。
って事は上で誰かが言っている様にやっぱり少数表記には限界があり、
0.999...=1であると言えるのは例外的なものでたまたま3/3が1であるから
それを根拠に言い換えているだけってことになりますね。
でもそれは1という値がどんな値かを初めから知っているから言える事で、
0.333...を３倍した0.999...だけ１であると決めつけるのはどうかと思います。
例えば0.111...を9倍したって0.999...になるわけで、
なんで1.111.../10を9倍したものが1.000...と等価になるといえるのでしょうか？
あと1/7や√２などはいったいどんな明確な数なのか。
129:１３２人目の素数さん
08/12/02 09:22:50
>>128
実数の定義とか勉強するといいと思うよ
130:124
08/12/02 09:49:44
>>125
それは承知の上、110がしようとしてたの表現は矛盾ではなく精々不具合と言った所だったから
131:１３２人目の素数さん
08/12/02 09:52:43
誰かの言葉を借りれば
お前は大局を見ていない
お前は肝心な所を見ていない
となるな
132:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:02:17
それに少数表示の限界と言うが、たった表示が２通りっきりにしか分かれないんだから無問題だし
１に限らず全ての有限少数に言える事｡
最下桁を１減らしてその次から無限９続きになる｡
133:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:34:48
>>129
ほう、
では実数とはなんですか？
あなたに答えてもらいましょう。
そしてそのものいいなら、√２や1/7の実数解についても答えてもらう。
134:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:35:08
>>128
＞0.333...を３倍した0.999...だけ１であると決めつけるのはどうかと思います。
決めつけているのではなく、無限小数展開という概念の定義に従って
計算した結果、0.999…＝1という式が成り立つことが言える。
＞なんで1.111.../10を9倍したものが1.000...と等価になるといえるのでしょうか？
無限小数展開という概念の定義に従って計算すると、等価であることが言える。
＞あと1/7や√２などはいったいどんな明確な数なのか。
ペアノの公理系に従って自然数を構成し、そこから整数を構成し、そのあと有理数を
構成し、最後にデデキントの切断あるいは有理コーシー列を用いて実数を構成すると、
明確な数として認識される。お前がそれを知らないだけ。要するに
実数の定義とか勉強するといいと思うよ
ということだ。
135:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:52:52
自然数、正数、実数...の概念なんて数学やってれば誰でも知ってるよ、
そんな事を自分だけ知ってるとしたり顔でほざけば自分の平凡な頭脳を高等化できるとでも思ってるの？
＞最後にデデキントの切断あるいは有理コーシー列を用いて実数を構成すると、
＞明確な数として認識される。お前がそれを知らないだけ。要するに
うん、それは知らないな。でも実数について勉強する気にはなれない。
あなたはそれをすでに理解しているんだから、
早く√２の実数解を教えてください。
136:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:59:12
>>135
＞自然数、正数、実数...の概念なんて数学やってれば誰でも知ってるよ、
普通の人は、それらを「言葉として」知っているだけ。お前もそうだ。
自然数が何であるのか、実数が何であるのか、そういうことは高校までの
数学では出てこない。大学に入って数学科へ進学した人のみが勉強する。
もちろん、数学科へ行かなくても、独学でも勉強できるが、普通の人は
そんなことしない。案の上、お前も
＞うん、それは知らないな。でも実数について勉強する気にはなれない。
こんなことを言っている。
＞そんな事を自分だけ知ってるとしたり顔でほざけば自分の平凡な頭脳を高等化できるとでも思ってるの？
知ってるのは俺だけでは無いが、しかし普通の人は知らない。
＞早く√２の実数解を教えてください。
「√2の実数解」という言い回しは意味が通っていない。日本語になっていない。
だから答えようが無い。実数解という言葉は、方程式とセットでしか使わない。
「方程式x^3－1＝0の実数解を教えてください」などと聞かれれば
実数解は1です
と答えるのだがな。
137:１３２人目の素数さん
08/12/02 11:51:31
>>135
たとえばQ[x]/(x^2-2)における[x]（xを元にもつ同値類）が√２ってことになるし
あとデデキントカットで考えるなら「｛x∈Q:x^2<2｝∪Qの負の部分」が√２にあたる
面白い話だから>>135は勉強するといいと思うよ。
138:１３２人目の素数さん
08/12/02 14:01:55
乱暴な言い方をしている>>135に対して
アドバイスしている親切な>>136と>>137に感動した
139:１３２人目の素数さん
08/12/02 15:12:55
勉強になった。中卒の俺にはテンプレでも難しかったよ。むずかしーでも概念とか面白そう。
でも色んなとこの数論の解説みてたら頭痛がしてきたので寝ます。
140:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/12/02 19:33:29
>>137氏乙
>>139
実を言うと>>89は儂なんじゃが、此処迄説明してた学生？学者？の言う通りという訳じゃ
仮に1≠0.999…とする公理系を作っても、我々が日常扱う数学体系とは違い、減算の整合性が
取れなくなって来たり、他、どの様にしても我々が日常扱う数学体系の様な整合性は
得られぬらしい｡
専門家ブロ仕様とかそんなんじゃなくて、原理的にも日常では使う用途無いとの事｡
数学科卒の同輩に聞いた話で済まんが（高卒の儂には分かりません)
141:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:07:16
仮に0.999…≠1としても、減算の整合性が取れぬらしい｡
普段信用ならぬWikipediaだが、0.999…の項のWikipediaを信用して良い｡
1≠0.999…とすると減算の整合性が取れぬ様じゃ｡
1≠0.999…をつくる公理系のやり方が悪いとかそんなんじゃなくて原理的に駄目らしい｡
一方…1=.999…はその様な事は無い…
物理学に於いても数学的厳密性を最優先する向きでも、1=0.999…は正しい｡
増してや日常、工学に於いては、尚の事、正しい｡
1=0.999…と疑うは杞憂だと言う事が出来る｡
142:１３２人目の素数さん
08/12/08 21:55:14
0.999…って、なんかの計算とかで出てくるんですか？
143:１３２人目の素数さん
08/12/08 22:05:55
対角線論法とかでよく使われるな。
144:１３２人目の素数さん
08/12/09 04:23:55
そもそも1/3＝0､3333･･･なのか？
1/3は３倍したら１になる数ってことじゃね？
だから１＝0､999･･･じゃないと思う
145:１３２人目の素数さん
08/12/09 05:08:39
こんな事で揉めるなんて。
無限の概念さえなければ0.999…も、いつかどこかで終わる筈だった。
おわるなら、1＞0.9999999な感じで済んだのに。
だから今揉めてるのもヒルベルトのせい。ヒルベルトが全部悪い。
ちなみに、1と0.999…は表記の違いと聞いてソロバン思い出しました。
昔のソロバンは五を表す玉が２列だったとか。２個動かしてから次の桁行く。
今、１列ですよね？手間が少なく次の桁行っちゃう。そんな違い？
146:１３２人目の素数さん
08/12/09 05:51:26
>>144
無限小数展開の定義に従って計算すると0.333…＝1/3であり、
0.999…＝1であることが言える。
147:１３２人目の素数さん
08/12/09 08:02:47
＞そもそも1/3＝0､3333･･･なのか？
はい。
まだあなたの個性が発揮されていません。
今のままではこのスレで遊んでもらえませんので
出直してきてください。
148:１３２人目の素数さん
08/12/09 11:55:46
1/3＝0､3333が正しいならそりゃ1＝0､9999じゃねぇの？
149:１３２人目の素数さん
08/12/09 20:55:42
その通りです。
ところが1/3=0.333... は認めても
1=0.999... は認められない人が大勢いるのです。
納得できた貴方は幸せですね。
150:１３２人目の素数さん
08/12/14 00:07:17
“筋”という理性的になり切れなくて悪いながら、この表現を使うと
.999…≠1とするなら、筋として.333…≠1/3としなければならない
0+1=.9+.1=.99+.01=.999+.001=…
の極限の辺の第二項目を意識するのだから、筋から言えば
0+1/3=.3+.1/3=.33+.01/3=.333+.001/3=…
（数学的に普通は
0+1/3=.3+1/30=.33+1/300=.333+1/3000=…
と記すべきだが間違いは無い)
の極限の辺の第二項目も意識しなくてはならない事になる
後から後から涌いてくる者が絶えぬこのスレ
結局、筋が通った.999≠1なる構成が確立される他は終焉を見ないな
有る事の証明と違い無い事の証明は困難
特に変哲者に対しての証明の説明は至難
さて…結局、「ねーよｗ」らしいんだが
Wikipedia - 0.999... - によれば
1≠.999…なる構成作ってみたら
減算の復元性を有してなかったらしいし 前スレによれば
1≠.999…ながら1=.333…なる構成も作り得るらしいし
何より1≠.999…なる構成は連続性や順序性が保たれないらしいし
…等とどうも上手くいかない
だが結局、俄かには突き詰めた所は理解できん、マジで学ばないと
何て言ったっけ
『学んで思わざれば則（すなわ）ち罔（くら）し
思うて学ばざれば則ち殆（あやう）し』
151:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:06:09
もうもはや理解じゃ足らんか？悟り得るしか無いか？
哲学的に言うと理性と悟性か
悟性と言っても認識力っていうレベルな、それも飽く迄も数学的にな
新しい無定義述語を知覚化する時とかみたいに
数学でさえも欠かす事ができないな認識力、勘って意味で
執濃いが、悟性や勘と言っても、飽く迄も超感覚�%
152:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:11:44
（サーバーエラーにつき再レス
orzメニューのサーバーは改善されたし)
もうもはや理解じゃ足らんか？悟り得るしか無いか？
哲学的に言うと理性と悟性か
悟性と言っても認識力っていうレベルな、それも飽く迄も数学的にな
新しい無定義述語を知覚化する時とかみたいに
数学でさえも欠かす事ができないな認識力、勘って意味で
執濃いが、悟性や勘と言っても、飽く迄も超感覚の事では無い事を約束
153:１３２人目の素数さん
08/12/15 20:21:12
栞がかなり改善された。これをやってたんだな。
154:１３２人目の素数さん
08/12/18 21:24:19
有理数の切断を勉強して、それを実数の定義として受け入れたら納得できた。
ああすっきりした。
155:１３２人目の素数さん
08/12/20 19:43:17
A={a|a>=1} , B={b|b<1}として
A∋1 , B∋0.999…
なんじゃないのって粘着してた人がいた記憶が…。
156:154
08/12/21 21:45:48
すっきりついでに証明やってみるお．
1＜0.999…ではないのは当然として，0.999…＜＝１で考えるお.
表記の簡単のためα＝0.999･･･とおくお．
有理数の数列
a_n＝0.999･･･（9がn個，n＜∞）
を考えると
a_n＜α＜＝１．
１とαは，両方とも実数なので，有理数の切断で定義され，
α＝＜A,A'＞
１＝＜B,B'＞
とすると，a_n∈A，１∈A’．
また，α＝１⇔A＝B．
157:154
08/12/21 21:50:40
さあここからが本番，α≠1を仮定して，背理法で証明するお．
仮定よりα＜１，つまりA⊂≠Bなので，
ｒ∈Bかつｒ∈A'なる有理数ｒが存在する．
ｒ∈Bということは，つまりｒ＜１⇔１－ｒ＞０なので，
１－ｒ＞10＾(-n)
なる自然数ｎが存在．
両辺にa_nを加えて
a_n＋１－ｒ＞a_n＋10＾(-n)＝１
両辺から１引いて
a_n－r＞０
∴a_n＞ｒ
a_n∈Aなのでｒ∈A'，これはｒ∈A'に矛盾
つまり仮定α≠1は偽である．よってα＝１が証明された．
158:154
08/12/21 21:56:54
う～ん、ところどころ書き直したいところが・・・orz
159:１３２人目の素数さん
08/12/27 21:26:35
実数 1 は 実数 lim[n→∞]∑[k=1...n]9(1/10)^k に等しい。
単純 10 進展開表現 1.000… は単純 10 進展開表現 0.9999… と異なる。
X9999… は必ず (X+1)0000… に繰り上げる、
「正規化 10 進展開表現」を考えると、
正規化 10 進展開表現 1.000… は存在する。
正規化 10 進展開表現 0.999… は存在しない。
正規化 10 進展開表現を考えて初めて実数との簡単な１対１対応がつく。
実数と単純 10 進展開表現も別に１対１対応がつかないわけじゃないが
ほんとにやろうとすると少し複雑になる。
実数 0≦x＜0.1 あたりに X999… か (X+1)000… かどちらかの
重複している方に対応させる実数領域を確保しておいて、
その分、曖昧性を持たない展開表現の実数対応領域を
0≦x<1 じゃなくてちょっと詰めてもらって 0.1≦x<1 に対応させればよい。
これじゃ明らかに使いにくいので割り切って
正規化 10 進展開表現を省略して 10 進展開表現と言うことにして、
「0.9999…だって？それは文法間違いだよ。数として存在しない」
と言うのが正しい行動です。
160:１３２人目の素数さん
08/12/28 15:17:23
1対1である必要はないだろ。
{10進展開表現全体}∋0.a1a2a3… → Σak/10^k∈[0,1]
は全射だ。それで十分。
161:１３２人目の素数さん
08/12/29 19:25:09
みゅ？纏めて下さい
162:１３２人目の素数さん
09/01/02 19:04:16
1=1.000…=0.999…
という二通りの無限小数表現があるってこった。
163:１３２人目の素数さん
09/01/03 17:07:45
みゅ～…>>159-160が全然わからなかった…どんな作業してるんだろー…
164:１３２人目の素数さん
09/01/20 22:01:33
内容：
⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
よって、x=1となる｡
証明
1≠0.999…(1>0.999…)おくと、
1,0.999…はどちらも実数であるので、
1>x>0.999…─①
となる実数xが無数に存在するはずである。
このxが存在するかを調べるためにここではa,bの平均値を求める。
1+0.999…=1.999…
1.999…/2=0.999…=x
①に代入すると、
1>0.999…>0.999…
となり、不等式が成立せず、
①を満たすxは存在しない。
よって、
1≠0.999…
ではない。
従って
1=0.999…
である。
証明終わり？
165:１３２人目の素数さん
09/01/20 22:46:15
⑥は暗黙のうちに0.999=1と同値の式1.999…=2
を前提を用いているから
どうやって正当化しようとしても無効だな。
次スレでは消しておけ。
166:１３２人目の素数さん
09/01/21 00:00:38
晒しあげ
167:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/01/21 12:32:34
> ⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
> 1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
あら？しまった、小数点抜けとった
168:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/01/21 12:40:02
懸念の丸囲い数字の代替の試案
〇一二三四五六七八九十百千万零壱弌弐貳参參肆伍陸漆捌玖拾陌阡萬
>>165
寧ろ６は５の一例と思う｡
169:１３２人目の素数さん
09/01/21 21:46:03
>>165
前提にしてないし消す必要もなし。
つまんねえタイプのバカしか現れなくなったな・・・
170:１３２人目の素数さん
09/01/21 22:11:35
(・3・)
171:１３２人目の素数さん
09/01/22 00:16:46
>>169
前提にしてるんじゃないかな
0.999…と1が等しくない場合でも1.999…/2=0999…となると思う
172:１３２人目の素数さん
09/01/22 00:31:52
>>171に対して、>>169の出番なわけだが。
173:１３２人目の素数さん
09/01/22 07:53:21
>>171
>0.999…と1が等しくない場合でも1.999…/2=0999…となると思う
そう。だからこそ前提にしていないといえる。
174:１３２人目の素数さん
09/01/23 21:23:58
x=0.999…=9*(10^(-1)+10^(-2)+10^(-3)+…)
(1+x)/2=(1+9*(10^(-1)+10^(-2)+10^(-3)+…))/2
=1/2+9/2*(10^(-1)+10^(-2)+10^(-3)+…)
=x????
こう書いてみるとはっきりするけど
⑥で(1+x)/2の右辺をxと置くことができるのは
1+x=2すなわち1+0.999…＝1+1が成立することを前提としているからに他ならない。
はっきり言って詐欺の手法だね。
175:１３２人目の素数さん
09/01/23 22:06:07
そんな餌に釣られない！！
176:１３２人目の素数さん
09/01/24 13:15:30
>>174
0.999…＝1をキチンと理解する唯一の方法は、実数体を構成して
無限小数展開を定義して、その定義に基づいて0.999…を
計算して、それが1になることを示すこと。これ以外には無い。
その他の方法は全て、初心者サンに向けた簡易的な対象療法に
過ぎない。突っ込みどころは当然ある。突っ込んでいけば、
今回のように「鶏が先か卵が先か」みたいな話になる。
世の中には、「1＋0.999…＝1.999…」と「1.999…/2＝0.999…」が
成り立つことを無条件に認める人がいる。⑥は そういう人向けの
療法なのだ。
君の場合は、これらを無条件には認めないから、⑥では納得しない
ということにすぎない。
177:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:23:58
>>176
別に？
東京駅から皇居まで行くのに、直接まっすぐ行けば良いのに、まずはアキバまわって、上野の西郷さんまで
行って写真とって、不忍池あたりを散策し博物館や美術館をさんざん回ってから、皇居に行くってだけの違い
に過ぎないんじゃないのか？
178:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:32:08
>>177
何に対して「別に？」と言っているのか不明。
＞東京駅から皇居まで行くのに、直接まっすぐ行けば良いのに、まずはアキバまわって、上野の西郷さんまで
＞行って写真とって、不忍池あたりを散策し博物館や美術館をさんざん回ってから、皇居に行くってだけの違い
＞に過ぎないんじゃないのか？
176のどこを例えているのか不明。
179:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:57:17
>>178
お前の話全体。
180:１３２人目の素数さん
09/01/24 18:10:03
>>179
たとえになっていないし、177の「全体」に対して
「別に？」と返すのは日本語になっていない。
181:１３２人目の素数さん
09/01/24 18:11:33
言わなくても分かると思うが、一応。
× 177の「全体」に対して
○ 176の「全体」に対して
182:１３２人目の素数さん
09/01/24 18:22:08
>>180-181
そうかｗｗ
183:１３２人目の素数さん
09/01/24 20:46:06
もうちょっと文学しろよ
真っ直ぐ行けば良いのに、
回り道、詰まり回り諄い行き方してるかの違い
くらい読み替えられんと坊ちゃんマトモに読めんだろう
すぐ不明とか言うな
>>177
だからアンタ向けの説明ってんじゃないんだからさ
「1=0.999…は表示からして違う」と言う意見に対し
「表示の問題で言うなら2/2や3/3なども違う」と説明してる様な
処方箋的説明に過ぎないから拘らずとも良い
184:１３２人目の素数さん
09/01/24 21:08:56
真っ直ぐ行けば行ったで何言ってるかわからん、と言われるんだよな。
数学に限らず、初心者に教えるのは面倒だ。
185:１３２人目の素数さん
09/01/24 22:57:46
だから、アキバとか西郷さんの方をよく知っているような相手なら、直接繋がっているけど相手が
よく知らない道を示すより、相手が知っている道から解説するとよいってこったな。
186:１３２人目の素数さん
09/01/25 12:00:24
理屈っぽいなぁ、と思ったが元々理屈を語らうスレだったな。うっかり。
187:１３２人目の素数さん
09/01/26 02:26:53
この意味不明房って時々見かけるな
188:１３２人目の素数さん
09/01/30 01:10:44
「0.999…≠1且つ有用な系が確立されぬ以上はこの論争が絶える日は来ない｣
「0.999…≠1且つ有用な系は存在し得ない｣
∴ 永久にこの論争が絶える日来ない
189:１３２人目の素数さん
09/02/04 01:36:07
つーか。これが明確に役に立つのが対角線論法で、極めて
ドマイナーだってのがガンなのでは？
190:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:50:13
やはり、永久にこの論争が絶える日は来ない
191:１３２人目の素数さん
09/02/04 08:01:03
>190
論争というか、
単に理解できない奴が常に存在する
ってだけだけどな。
192:１３２人目の素数さん
09/02/04 08:03:21
「理解できないという症状の分析と対策の検討」ってところだろ
193:１３２人目の素数さん
09/02/07 17:20:34
>>188
それは数学的見地によりそう思われてるって事では？
無茶を承知でそういう系を作って下さい＞＜
194:１３２人目の素数さん
09/02/07 21:16:40
物事は常に多面的に評価できるだろ
195:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:43:10
>>192
理解できない症状に対策を検討する価値があるのだろうか？
別に理解できないやつに理解してもらわなくてもいいと思うが。
理解したいと思っているやつになら説明する価値もあるだろう。
でもそういうやつは、自分が理解できていないことを知っているから
「１＝0.99999…が正しい」ということを疑わないだろう。
要するに「１＝0.99999…が正しい」ということを理解できないくせに
反論するようなバカに対応する必要はないということだ。
196:１３２人目の素数さん
09/02/08 11:46:25
>>195
君はだまってていいよ
197:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:42:59
善人なほもつて往生をとぐ、いわんや悪人をや
…と言う。これに倣い
求道者をもつて往生をとぐ、いわんや落伍者をや
…ととく。その心は
小乗数学の狭門から大乗数学への発展普及へ
198:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/02/09 16:57:23
それも国賊のせい也。
199:197
09/02/09 17:54:12
何がだ？読めたのか？そもそも
善人をもつて往生をとぐ、いわんや悪人をや
の有名な言葉の謂わんとしている心を理解しているのか？
勉強するなり検索して調べるなり出直して来い!!
200:１３２人目の素数さん
09/02/09 18:16:54
>>199
無理king
201:１３２人目の素数さん
09/02/09 20:54:29
昨日違うスレで教えて貰ったんだけど、数直線で１の左隣（０側）に数は特定できないんだよ。
自分も１の左隣に0.9999……があると思ってたんだ。
もし、１の左隣が0.9999……なら、１と0.999……の間に数直線上で差があるよね。
差があるってことは、その差を2で割った数もあるってことだよね。１からその割った数を引いた数は0.999……より１に近いよね。
これっておかしいよね。
じゃあ、0.999……は数直線上のどこにあるの？１の左隣でないことはわかった。１の左隣は特定した瞬間、左隣じゃなくなってしまうんだから。だから、0.999……を１の左となりと特定することはできないよね。
0.999……は確かにすう直線上に存在している。しかも、１の左隣では無い位地に。
202:１３２人目の素数さん
09/02/09 23:57:03
>>201
「隣」の概念は離散的な対象でないと定義できない。
＞じゃあ、0.999……は数直線上のどこにあるの？
0.999…は1そのもの(寸分の誤差もなく1そのもの)だから、0.999…は1の場所にある。
203:１３２人目の素数さん
09/02/10 01:52:29
そんな説明したら
じゃ0.999…と1の中間は0.999…5だといわれたな
うーん
204:１３２人目の素数さん
09/02/10 01:58:21
1=0.999・・・なんだから中間もくそもないだろ。
205:１３２人目の素数さん
09/02/10 02:08:18
>>203
テンプレによると「最後に5が付くってことは0.999…の…はどこまでも続くって意味じゃなかったんだね」が正解です
206:１３２人目の素数さん
09/02/10 20:24:28
「…」という記号の扱いが曖昧だ。この記号は何といって、
英語のでの呼び名や（数学上の）定義があったりするのだろうか。
207:１３２人目の素数さん
09/02/10 20:32:55
０＝０．０００００・・・
これは納得できる。
だから１－０．９９９・・・＝０．０００・・・・＝０．０００・・・
↑
これが一番感覚的に理解できるんじゃない？
１／１ ＝ ２／２ ＝ ３／３ みたく、同じ数でもいろいろ表現できるってことで。
208:１３２人目の素数さん
09/02/10 20:33:35
ミス
１－０．９９９・・・＝０．０００・・・・＝０ ね
209:１３２人目の素数さん
09/02/10 21:20:50
>>207
>だから１－０．９９９・・・＝０．０００・・・・＝０．０００・・・
ところが理解できない奴にとっては
０．０００・・・１（無限に０が続いた後に１が来る）
という風に理解してるから困る。
210:１３２人目の素数さん
09/02/10 21:56:10
>>209
俺も昔そう思ってたけど最初に
0 = 0.00・・・ からスタートするとすっきりしたんだ。たしかに１こないよなって。
納得できないって多分論理的じゃなくて感覚的なものだと思うから、感覚がすっきりする説明のほうがいいかも。
211:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:41:10
>>201
0.9999……は1から無限小だけ左に移動したところにある。
212:１３２人目の素数さん
09/02/10 23:43:47
>>211
んー？
厳密にはあってるけど
「0.9999……は1から０だけ左に移動したところにある。」
って書かないとまた混乱する人でるんじゃね？
213:１３２人目の素数さん
09/02/11 01:07:55
>>211
1-0.9999…を無限小と扱うことは普通しないだろうなぁ
214:１３２人目の素数さん
09/02/11 15:24:34
>>211みたいなのが、>>209で指摘した人だね。
>>212
間違ってるよ
215:１３２人目の素数さん
09/02/11 19:35:26
>>214
無限小＝０っしょ。
０じゃなかったらそれこそ>>209じゃないか
216:１３２人目の素数さん
09/02/11 20:28:21
0.9999... は1と完全に同じ位置にある
わざわざ「左に０だけ移動」とか無意味
217:１３２人目の素数さん
09/02/11 21:56:07
>>216
あえて書くならって意味
218:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:17:19
>>216
だよな。
0.999……は1と完全に同じ位置にあるから、0.999……が1に0側から近づくとか2側から近づくとか無意味だよな。
219:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:26:58
>>201
１より小さく最大である数という存在が
示され得ない事を言った方が早くないか？
>>204
本末転倒な導出だな。でもそれが真意なんだよな～
220:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:31:01
無限に近づく ＝ 一致
それを無限と定義。
これじゃ駄目っすか
221:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:13:57
駄目で御座る。
222:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:21:41
いつか １ が現れるのは有限ってことで俺は納得した
223:１３２人目の素数さん
09/02/12 06:33:45
>>220
lim_{n→∞}(０．０００・・・・１) （nは0の個数）
と、
０．０００・・・・
の違いを理解しようね。
224:１３２人目の素数さん
09/02/12 11:10:01
0.99999・・・・の方じゃなくて、
その0.9999・・・に加算することで１になるような無限小数を考える。
その無限小数を無限大回加算したら、0.1とかになるだろうか？
無限小数とは何か、その定義の問題なんだろうな。
もう一点。
上記のように「ある数値」として定義してしまえば、以後0.99999・・・を使って計算するときには、
（1-無限小数）というかっこ付きの数で計算していけばいいわけだ。
それで最後に残った無限小数の意味については、そのときにまた考えればいいｗ
225:１３２人目の素数さん
09/02/12 11:14:14
いや、lim_{n→∞}(０．０００・・・・１) はひとつの数なんだからそれも０だろ。
それを言うなら、
０．０００・・・・１ → ０．０００・・・・ （n→∞）
と
lim_{n→∞}(０．０００・・・・１) ＝ ０．０００・・・・
の違いだ
226:１３２人目の素数さん
09/02/12 12:49:50
224は極限値って扱い方してないな
227:１３２人目の素数さん
09/02/12 14:18:56
数列とその極限についての>>225の2つの表記は、論理的には同内容だが（高校でもこの2つの表記を両方習うはず）、
前者は数列の性質として述べているのに対し、後者は極限値の性質として述べている。
この違いは定理の主張や証明において微妙な雰囲気や使い勝手・記述のしやすさの違いを生む。
（どちらがすぐれているかは一概にいえない）
たとえば、積分論で、関数列{f_n(x)}が関数f(x)に収束するときその積分値も収束するという主張は、
f_n(x)→f(x) (n→∞) ⇒ ∫f_n(x)dx→∫f(x)dx (n→∞)
lim[n→∞]∫f_n(x)dx =∫lim[n→∞]f(x)dx
の2つの書き方ができる。
・前者の書き方だと単調増加みたいな条件があるときに「→」を「↑」に変えて書ける。
・後者の書き方だと liminf[n→∞]∫f_n(x)dx≧∫liminf[n→∞]f_n(x)dx の特別な場合とみなせる。
228:１３２人目の素数さん
09/02/13 13:00:31
>>224
>その0.9999・・・に加算することで１になるような無限小数を考える。
１に加算する事で１になるような数って０ですよ
229:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:20:10
本人がどういうつもりか知らんけど、ぶっちゃけ>>220が一番本質ついてる
230:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:57:21
>>220
>無限に近づく ＝ 一致
0.999…9は(9を無限に増やしていくと） １に無限に近づく
0.999…(無限個) は １に一致
>それを無限と定義。
0.999…9 の無限に近づく先を 0.999…(無限個)と定義
これなら駄目じゃない
231:１３２人目の素数さん
09/02/13 17:33:42
宗教とか詭弁とか、そういう世界だということは判った。
232:１３２人目の素数さん
09/02/13 19:44:41
>>188
0の逆数z案
・
・
・
0.999…≠1連続体案
そう。z案同様の無茶を承知で尚、提起された案
>>231
選択公理だと言うか
だが、ならば尚の事、目下0.999…=1が最有用
233:１３２人目の素数さん
09/02/14 17:46:41
>>204
> 1=0.999・・・なんだから中間もくそもないだろ。
802:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI 2009/02/14(土) 17:42:59 [sage]
>> 781
> 上級者コース
『「疑問を持つ」事に疑問を持つ』者が多い｡
疑問を持つ事に疑問を持つ人間って
それは変更できない真理だと思っている子が多いと感ずる｡
だからこそ理解難航者を下げて見るし理解出来ない者を無能扱いする心理｡
その癖、そういう奴に限って状況が変わると
フレキシブル（それも、お調子モン的or開き直り的）な対応をするから
具合が悪く。そういった観念を糺す事は非常に難しい｡
234:１３２人目の素数さん
09/02/14 22:17:58
違う。状況が変われば主張も変わる。かつての自分の主張なんて気にしない。
自分では考えず（もしくは自分で理解できる程度に理解し）正しい側に立つ、ただそれだけ。
例えばこのスレで言えば、「1≠0.999…」が当たり前な状況になれば「1=0.999…なんて言ってる奴はアホ」と主張し始める。
235:１３２人目の素数さん
09/02/15 00:40:00
なるほどな。テンプレができる前には深く考えず…
「1=0.999…なんて完全に証明できるだろ」とか、逆に「1=0.999…がそんな証明で説明できるわけないだろ」とか
やたら書き込む表現は攻撃的だけど、理由を聞くといつのまにかフェードアウトするヤツが過去に沢山いたな。
なんでそんな考えするんだろうと思っていたが、同じ穴のなんとかか。
236:１３２人目の素数さん
09/02/15 01:20:53
俺は最初っから最後まで一貫した主張しかしてないけど。
匿名掲示板だからってそんな妄想したって仕方ないんじゃない？
237:１３２人目の素数さん
09/02/15 01:46:11
>>236
どんなコト書いていたかまるっきり書かず…身に覚えがあるんだろうな。
238:１３２人目の素数さん
09/02/15 07:25:55
どんなコトねぇ……
超現実数でも1＝0.999…だとか1≠0.999…にしたいなら無限桁の浮動小数みたいなものを考えろとか書いたかな
で、また「身に覚えがあるんだろうな」か
どうせ分かんないだしそうやって溜飲を下げるのも１つの手かも知れんけどね
239:Kingo
09/02/15 22:14:47
x=0.9999･･･ ①
両辺10倍して
10x=9.9999･･･ ②
②-①より
9x=9
よってx=1
つまり
1=0.9999･･･
の証明はどうしてテンプレにないの？
240:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:26:01
②と同じなのでは？
241:kongo
09/02/15 22:31:23
あれ？おっかしいな・・
さっき見た時は②なかったのに。
教えてくれてありがと。
おっかしいな・・
242:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:42:21
霊の仕業だね
243:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:42:56
x=0.9999･･･
x/9の値は？
244:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:46:44
結局、テンプレA5やp-進数を元にしなきゃ証明できんわな
証明と言うか定義されると言うか…
テンプレA6は級数利用以外はどれも1=0.999…が前提となってるに過ぎず
妥当性の確認にしかなっとらん
245:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:20:30
ｐ－進数がどこに関係するんだ？
246:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:37:16
前スレで出て来た中学生の方法の事かなぁ？
Wikipediaのp-進数を使った中学生の証明かな？
勿論、その中学生にしてみればその独自的発想を
p-進数と知らずにやっていたんだろうけど
247:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:57:42
なんじゃそりゃ
ｐ－進数を使って1＝0.999…を証明する方法とか見当も付かんわ
248:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:10:23
おいおい、せっかくソース示してんだから見ろよ、βみたいな奴だなぁ
>>10だかんな
249:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:20:43
ああごめん、ウィキに載ってたのね。前スレに載ってたのかと思った
読んだけど話が派生してるだけでｐ－進数を用いて1＝0.999…の証明はしてねーな
そういえば最近β見ないな
250:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:28:20
>>244
きちんと証明なっているぞ。
過去ログ読め。
251:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:50:18
>>250
ざっと読んだがウィキのをコピってあるだけじゃないか？
252:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:57:17
ああごめん、レス先間違えてみてた
253:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:10:11
「循環論法だと言い出すバカ」も増えてきたな
254:１３２人目の素数さん
09/02/16 16:53:37
wikiにのっている証明って根本的な部分として位相が違う訳だが。
0.999・・・って、0.9,0.99・・・という数列の極限であって
この場合の極限は通常のユークリッド位相が入っている訳。
位相が違えば極限が違うのは当然。
でも、中学生でこういう考えが出来るのはすごいと思う。
でもテストだと無限級数の公式が使えるのは公比＜１の時だけですよ＾＾
だけどねｗ
255:１３２人目の素数さん
09/02/16 21:14:33
（今までのメッキが剥がれたβ〓アイツの弟子）
〓アイツの二番弟子Gauss
の説がある
256:１３２人目の素数さん
09/02/22 15:47:14
１＝０．９９９・・・の問題まだ分かってないんだねえ・・・
257:１３２人目の素数さん
09/02/22 16:00:02
>>256
煽りｗ？
それとも天然ｗ？
258:１３２人目の素数さん
09/02/22 22:48:50
>>257 いや養殖
259:１３２人目の素数さん
09/02/24 20:42:48
ガウス記号を[]とすれば
[0.999・・・・] ＝ [1] ＝1 ですか？
260:１３２人目の素数さん
09/02/24 21:40:25
もちろん
261:１３２人目の素数さん
09/02/24 21:55:15
ガウス記号を付けなくても等しいんだから
付けても等しいに決まっている
262:１３２人目の素数さん
09/02/25 01:27:36
0.999･･･は1だからガウス記号＝「整数部分」は1に決まってるけど、
「0.999･･･の小数部分は0である」と表現すると反発されそう…
263:１３２人目の素数さん
09/02/25 06:05:34
>>262
そう考えると確かにそうだね。
ガウス記号の定義をどう定めるか？という問題になると思うけど。
全ての数は高々２通りで表現されるから、
0.9999・・・の場合は、1.000・・・と表現し
後者の表示を用いる
という風に定義を見直せば回避できるね。
（ちなみに、対角線論法でも同様の表示の統一を行う）
264:１３２人目の素数さん
09/02/25 10:18:06
ガウス記号は
[x]＝xを超えない最大の整数(＝n≦xを満たす整数nのうち最大のもの)
と定義されている。少なくとも大学入試では。
0.999…＝1だから、0.999…を超えない最大の整数は1であり、
よって[x]＝1になる。
265:１３２人目の素数さん
09/02/25 12:18:54
>>264
>0.999…を超えない最大の整数は1であり
を式で書いた 1≦0.999… は1=0.999…以上に抵抗がありそうな。
日常語と数学感覚の区別ができてない生徒は「1≦1」に抵抗あるから、抵抗の2乗ｗ
266:１３２人目の素数さん
09/03/13 00:26:55
オッケー。
では辞書的順序判定の真偽判定に委ねてみよう。
A=a0.a1a2a3…
と
B=b0.b1b2b3…
の大小判定をしたい。
普通の感覚で言えば、ak>bk なる最大の k が見つかれば、
a0.a1a2a3… > b0.b1b2b3…
と言えそうだ。A=1.000…とB=0.999…に関して A>B が即座に言える。
しかし実数体元としての A, B は A=B となるはず。
その矛盾はどこに起因する？
やっぱ辞書的順序判定と実数体の順序判定の判定基準の違いからくる矛盾？
267:１３２人目の素数さん
09/03/13 00:54:49
0.33333333……は何となく分かっても
1-0.3333……となると混乱する
268:１３２人目の素数さん
09/03/13 02:16:39
>>266
>>10
269:１３２人目の素数さん
09/03/15 11:44:51
>>266
実数体では 1＝1.000…＝0.999… で３つとも同じもの。
270:１３２人目の素数さん
09/03/15 11:51:43
>>266
辞書的順序判定は１つの実数を辞書の1ページに載せると考えることと同じ。
つまり辞書はあくまで離散的であるから、実数の順序判定はできない。
271:266じゃないよ
09/03/15 21:28:59
成程、0.999…が1である事に違和感を覚えてしまわれ易い原因は、感覚のどこかに
辞書的順序判定的になってしまっていると言う事ができるな｡
（まぁ、これは「表示からして、と言うか、桁からして違う」と何度も既出の表現と
同じ事だが、症状に対する再認識ができたと言う事ができる)
272:１３２人目の素数さん
09/03/15 22:15:43
また、0.999…:=Σ[n=1～∞](9*0.1^n) と考えた場合も
f(x)={1(x≠0), 0(x=0)} に於いて lim[x→0]f(x)≠f(0)
∵ lim[x→0]f(x)=1
と言う事に基付いて覚えると思しき違和感も､
0.999…に対する誤解の症状の一原因として確認されている｡
273:１３２人目の素数さん
09/03/15 22:19:35
> 272
× 考えた場合も
〇 考えた場合の際に起こり得る
やはり悟性の問題なるのだろうか｡
余り数学に於いて悟性と言う言葉は使いたくないのではあるが…｡
274:１３２人目の素数さん
09/03/15 23:28:34
２÷２をつぎのようにやってみた。
0.9999999999…
2)20
18
20
18
275:=274
09/03/15 23:30:23
あららズレてない…けどわかるよね
276:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:14:34
>>272
夢に向かって走ることと夢を実現することとは別
てことでｗ
277:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:59:13
>>274
>>8
278:１３２人目の素数さん
09/03/16 10:48:26
>>271-272
こうして考えてみると、0.999…=1、更には連続と云う事は
角も難しい事であった事に気付かされるな
やはり定義から構築した体系によらんとする理系の流儀が一番無難だな
だが同時に、定義からの構築に拘り過ぎる事も
拘泥化した仕事に陥る因ではあるがね
279:１３２人目の素数さん
09/03/16 11:00:08
これまで
∞桁目の余りバカ
循環論法説バカ
12進法扱い方誤用バカ
定義バカ
そしてトンデモ無限説真正
と、それぞれ居たけど
皆、愛に彷徨していた…
280:１３２人目の素数さん
09/03/16 12:19:57
>>279
ケンシロウはどう考えてる？
281:１３２人目の素数さん
09/03/16 13:05:18
YOU は FOOL! 9の数が伸びてゆく
YOU は FOOL! 0の後に伸びてゆく
これと1を論理でつないでも いまは無駄だよ
1との誤差は無限の彼方にあるのさ
YOU は FOOL! 愛で定義 ヤバくなる
YOU は FOOL! 俺の定義 ヤバくなる
余り求め彷徨う心いま 熱く燃えてる
すべて無視し無限で異なるはずさ
1との誤差を守るため 無限へ旅立ち
誤差を見失った
気分を無視した証明など見たくはないさ
誤差をとりもどせ
282:１３２人目の素数さん
09/03/16 13:19:22
限りなく透明に近いブルーは
ブルーではなく透明ってことですか？
283:１３２人目の素数さん
09/03/16 14:09:19
限りなく透明に近いブルー自身は透明ではない
が、極限値は透明。
284:１３２人目の素数さん
09/03/16 19:07:33
>>281
ｗｗｗｗ
285:１３２人目の素数さん
09/03/17 00:47:28
>>283
「限りなく」は付けたらダメだろ。
286:１３２人目の素数さん
09/03/17 18:18:23
おまいら…ww
287:１３２人目の素数さん
09/03/17 18:22:24
めでたしに限りなく近いなにかは
めでたしそのものってことですか？
288:１３２人目の素数さん
09/03/18 13:55:48
めでたしに限り無く近づく何かは めでたし ではない が
めでたしに限り無く近い何か は めでたし である
然しながら 嘗て 天に限り無く近き者だったラオウも
愛を知るケンシロウの拳に倒れたのだった
289:１３２人目の素数さん
09/03/18 17:34:23
ラオウ＝天
290:１３２人目の素数さん
09/03/19 11:26:23
「数学秘孔"極限"を突いた。お前はすでに一致している」
「はぶわっ！！」
291:１３２人目の素数さん
09/03/19 20:39:05
ユリア、一緒に逝こう…限りない未来に向かって…（終）
292:１３２人目の素数さん
09/03/19 23:13:00
然し 座っていたのは ユリアに限り無く近い 人形だった!!
293:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:04:19
VIPからきますた
VIPの結論：これ理解できない奴はアホ
円錐を考えてみろ
物理的に考えると素粒子レベルででこぼこ。
滑らかでなくただの段差の集まりだ。これはもはや円錐ではない。
数学的に考えるとある高さで水平に切り取ると円が出来る。
ではもう少し上で切り取ってみる。するとさっきのよりすこし小さな円が出来る。
じゃあこんどは「もう少し」を狭めてみよう。
無限に小さく、ここは数学的な世界だから物理的な最小単位に縛られることもない。
するとどうだろう。さっきと同じ大きさの円が切り取られるはずだ。
なぜなら、さっきの円と、今度の円が違う大きさならば、円錐は段差の集まりになってしまうから。←ここ重要
ではこの「もう少し」をなんどもなんども繰り返してみる。
なんど切り取っても始めの円と同じ円が切り出される。
これは円錐か？ちがう。円柱だ。
なぜ円錐が円柱になってしまったか。
「もう少し」を無限に小さくしたとき、始めの高さと同じでないと言ったから。
294:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:20:53
アキレス乙
295:１３２人目の素数さん
09/03/20 08:37:48
>>293
全然数学的ぢゃない…
296:１３２人目の素数さん
09/03/20 12:34:50
>>293
簡単の為、各切断区間を定差で考えるとしまひょ｡
切り取る高さhを限り無く小さく（h→0）するというんじゃ
ある切断高さaから切断回数有限やった高さ位じゃ
aでの切断面との面積差は出ないの当然で高差も出まへん、だって
無限小差さかい、差が検知できる有限量の差が出ないの当然でっしゃろ｡
高さ１まで切り取るにはhの逆数（1/h→∞）まで切り取らなあきまへん｡
ゼノンさんに宜しく言っといてや～
297:１３２人目の素数さん
09/03/20 15:35:07
偽関西人めっ!!
298:１３２人目の素数さん
09/03/20 17:21:47
>>296
ｈ→0のときaとの高差を持つって主張する人たちに向けての説明だから
299:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:24:01
アンサイクロペディアのこの記述はどーなの？
＊＊＊
数列と数学的帰納法を用いて
0.9,0.99,0.999,0.9999,...
という数列がある。第一項の0.9は1でないことは明らか。第k項0.999...（k個分続く）が1でないと仮定した場合、
0.999...（k+1個分続く）が1でなければよいのである。そしてkが有限個の自然数であれば1と等しいとは認めて
いない。よって0.999...は1とは等しくない。
300:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:30:42
どーなのって、アンサイクロペディアなら別にいいんじゃね？
301:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:11:39
アンサイクロペディアはネタの宝庫だろｗ
302:１３２人目の素数さん
09/03/20 23:03:44
ネタの宝庫なのは分かるが、具体的にどこがおかしいんだろうな。
専門家じゃないしー。何か騙されたような、あれーって感じだ。うーん。
303:１３２人目の素数さん
09/03/20 23:43:55
299の転載文を要約すると
「ＡとＢは等しくない。よってＣとＢは等しくない」と言ってるんだよ。
どこが間違ってるか分かるよね？
304:１３２人目の素数さん
09/03/20 23:59:29
うーん。俺が鈍くさいんだろうな。まだわからん。
第１項(まあ、ここは桁だろうな)までの 0.9 は１と等しくない。第k項までの 0.999…(k個分続く) が
１でないと仮定したら、当然第k+1項までの0.999…(k+1個分続く) は１じゃないだろうなあ。
で、なんでこれが >>302になるんだー。どんくさいｗ
305:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:00:49
>>302 じゃなく >>303 ね。
306:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:21:31
>>304
Ａ：9が有限個並んだ0.999..9
Ｂ：1
Ｃ：9が無限個並んだ0.999......
307:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:31:59
>>304
有限個の９並びは、いくらたくさん並べてあっても、無限個の９並びにはならない。
308:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:37:50
「飛んでいる矢は止まっている」と同じ論法だな。
309:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:48:29
>>306-307
いや、そりゃ分かるよｗ いくらなんでも。
でも、帰納法ってどーなるの？ 結局有限なｎでしか帰納法って使えないって認識でいいの？
310:１３２人目の素数さん
09/03/21 00:58:01
多分誰か書くだろうなと思ってたけど二人も
311:１３２人目の素数さん
09/03/21 01:31:02
>> 結局有限なｎでしか帰納法って使えないって認識でいいの？
その通り。
数学的帰納法で言えるのは「全てのnで成り立つ」ところまで。
全てのnで成り立つからといって無限にしても成り立つかどうかは判らない。
312:１３２人目の素数さん
09/03/21 01:45:08
なるほどねえ。確かにそうじゃなくとおかしくなるな。
ありがと！
313:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:17:09
>>278
トンデモ無限説だけ真性扱いww
みんなどうしてるかねー
特にトンデモ無限説www
314:１３２人目の素数さん
09/03/21 16:50:13
確かこれを教典としていた哲オタ真性だったよな
1997『無限論の教室』(講談社現代新書)
野矢茂樹 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
315:１３２人目の素数さん
09/03/21 17:26:39
確か『1-0.9dot=0』氏に撃退されたんだよな
氏は駄コテだったけど
316:１３２人目の素数さん
09/03/21 23:54:21
北斗神拳伝承者によりスレの平和は訪れた…
この平和もいつまで続く事やら…
317:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:17:19
ピンフ
318:１３２人目の素数さん
09/03/22 12:50:11
>>299
帰納法は「任意の有限」についての証明だからね。
任意の有限＝無限と考える人にとっては
0.999...=1は理解できないんだろうけど。
319:１３２人目の素数さん
09/03/22 19:21:17
>>318
そもそも
任意の有限＝無限
と考える人なら
0.999...
など考える事自体がナンセンスだと思う
320:１３２人目の素数さん
09/03/22 20:38:37
>>318
無理すんなよ。しゃべりすぎてボロ出すタイプだろ、お前。
321:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/03/22 23:50:05
>>319
困る所じゃね…｡
…>>320、“楽”しいな。否、“愉”しいな…馬鹿者
322:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/03/23 00:03:07
何じゃ書き込み先走り…
>>318-319
そこはそもそも、個々人のポリシーとか関係なく誤認じゃがのう｡
ほう…帰納法は「任意の有限」についての証明…
そらぁ低能な儂も分かっとったが。「無限」を知らなければ無理じゃろう｡
323:１３２人目の素数さん
09/03/23 10:17:29
まあ人間ごときにゃ、無限を理解しきることなんて一生できないよ
324:１３２人目の素数さん
09/03/24 02:50:40
ならば…如何にしてその人間如きが
それに対応するべき理性で向かうか…
で、あろう
…疑問なき理解は悟りではない…が、こんな悟り世間にゃ必要無いな
まぁ、プロが誤らなければ良いわけで
完全に理屈の世界だ
それとも、0.999≠1にして正則性を保つ体系が
今も尚、存在するかも知れないと考える人は要るか…？
北斗琉拳に屈する積もりは無い!!
325:１３２人目の素数さん
09/03/24 14:50:03
暗黒闘気.999≠1で不条理空間を作り出して相手の自由を奪った所に経絡破孔を突く邪悪な拳
326:１３２人目の素数さん
09/03/25 18:25:20
限りなく近づけない!ってことでいいじゃないか
327:１３２人目の素数さん
09/03/25 18:52:48
>>324
正則性の意味分かってんのか？
328:１３２人目の素数さん
09/03/25 19:19:05
北斗の拳もそろそろ秋田
329:１３２人目の素数さん
09/03/29 08:56:06
[編集] 減法の崩壊
証明が崩されてしまうもう一つのパターンは単に 1 - 0.999… が存在しないのかどうか､
という点である。なぜなら、減法は必ずしも可能でないからである。加法の演算をもつが､
減法をもたない数学的構造は、可換半群、可換モノイド、半環 (semiring) を包括している｡
リッチマンは 0.999…<1 となるようにデザインされた、その様な2つの構造を考えた｡
まず、リッチマンは負でない decimal number を文字通り小数展開となるように定義する｡
彼は辞書式順序と加法を定義した。ここでは 0.999… < 1 である事に注意する。なぜなら単に､
一の位において 0 < 1 となるからである。しかし、どんな「無限小数｣ x に対しても
0.999… + x = 1 + x である。だから、decimal number に特徴的な一つの事は、加法が必ずしも
打ち消しあわないという事であり、もう一つは 1/3 に対応する decimal number は存在しないと
いう事である。乗法を定義すると、decimal number は正値全順序可換半環をなす[38]｡
乗法を定義する際、リッチマンはまた、"cut D" と呼ばれる別の構造を定義する。これは
小数の切断の集合である。通常この定義は実数を導くが、彼は小数 d に対して､
切断(-∞, d ) と "principal cut" (-∞, d ] の両方を許す。その結果、実数たちは小数と
「不安定な状態で共存する(living uneasily together with)」事になる。従って､
再び 0.999… < 1 を得る。"cut D" には正の無限小は存在しないが、"一種の負の無限小" 0- が
存在する。0- には小数展開は存在しない。彼は0.999… = 1 + 0- であると結論したが､
一方、方程式 "0.999… + x = 1" は解をもたない[39]｡
330:１３２人目の素数さん
09/03/29 09:10:32
[編集] p-進数
(中略)
3番目の誘導方法はある中学1年生によって発明された。その生徒は教師が 0.999…=1 を
極限を用いて行った議論に疑いをもったが、上記の 10 を掛ける証明を反対の方向へ
用いてみようとした。すると、x = …999 ならば 10x = …990 であるから、10x = x - 9 であり､
再び x = -1 となる[41]｡
331:１３２人目の素数さん
09/03/29 09:14:33
[編集] p-進数
(中略)
最後の拡張として、0.999…=1（実数における等式)
と …999=-1（10-進数における等式）であるから、「盲目的に記号を偽弄することを
恥じなければ(by blind faith and unabashed juggling of symbols)｣[43] 2つの
等式の両辺を加えて …999.999… = 0 を得る。この等式はもはや 10-進数としても
通常の小数展開としても意味をもたないが、よく知られた体系、すなわち実数を表現する為に､
左方への循環も許す "double-decimals" の理論を誰かが開発すれば、一転してこの等式も
意味をもち正しくなる[44]｡
332:１３２人目の素数さん
09/03/29 09:17:44
330番エラーレス
携帯でエラーレスが起こるとレスが途中から切れる
333:１３２人目の素数さん
09/03/29 16:33:40
全然エラーレスじゃなかった、内容ちゃんと別になってる
ちゃんと書込中止間に合ってた
334:１３２人目の素数さん
09/03/30 19:06:08
p-進数ﾜｶﾝﾈ
335:１３２人目の素数さん
09/04/04 03:19:52
中一…やるな!!
336:１３２人目の素数さん
09/04/05 11:00:50
>>329-335
ただの補数の話だ。
コンピュータのメモリ（２進）で数値を扱っている人間なら誰でも知っている。
337:１３２人目の素数さん
09/04/06 02:21:07
な…何?!
338:１３２人目の素数さん
09/04/07 23:31:03
１０進整数で0の１つ前は-1ということを、符号付き８ビット２進整数で表現すると
00000000の１つ前は11111111になる。（最上位のビットが1のとき負数を表す）
この場合は左の方への有限な循環ということになる。
これを１０進で無限に循環させたものだと解釈すれば、補数表現を拡張したものと考えてよいのではないか。
339:１３２人目の素数さん
09/04/09 17:40:43
ふ～む？何となく
補数作りの前の10進反転が想像着かないのでまだよく分からんが
取り敢えず２進法版0.999…の0.111…から考えてみようかな
340:１３２人目の素数さん
09/04/10 00:03:43
>>339
２進小数
0.111…＝1/2+1/4+1/8+…＝1
341:１３２人目の素数さん
09/04/10 00:42:59
>>339
＞補数作りの前の10進反転が想像着かないので
１０進数 a の反転を ^a と表現する。
「 ^a + a ＝ 9 」なる定義を与えれば、補数表現（１０の補数）が出来ると思う。
例
３桁の１０進数を４桁 [nnnn] で表現する。
このとき、いわゆる千の位が符号を表すとする。ここが0のとき正、^0(＝9)のとき負と見なす。
すなわちこの４桁で、-999～999 の数値を表現できる。
なお、[9000]=-1000 とできるので、実際には -1000～999 を表現できる。
１０進反転ののち１を加える操作をする。
1=[0001]→[^0^0^0^1]＝[9998]→[9999]=-1
2=[0002]→[^0^0^0^2]＝[9997]→[9998]=-2
123=[0123]→[^0^1^2^3]＝[9876]→[9877]=-123
999=[0999]→[^0^9^9^9]＝[9000]→[9001]=-999
逆操作
-1=[9999]→[9998]→[^9^9^9^8]＝[0001]=1
-9=[9991]→[9990]→[^9^9^9^0]＝[0009]=9
342:１３２人目の素数さん
09/04/11 11:09:34
続き
これにより、９の左への循環について
常に -1＝[99]＝[999]＝[9999]＝[9…999] であるから
[…999]＝-1 という感覚を持つのはそれほど難しくない。
というわけで、…999＝-1 という考え方は比較的理解しやすいものである。
（厳密性がないので理論までには到っていないが）
343:１３２人目の素数さん
09/04/11 11:38:28
続き
結局のところ、常に変化しない（一定の値を取る）数値を利用して説明することができれば
1＝0.999… も理解しやすくなるのではないか。
とすれば
常に 0＝0.0＝0.00＝0.000＝0.0…00 であるから
>>102,103 にある 「0.000…＝0」 という感覚もつかみやすい。
よって、1-0.999…＝0.000… という式を認めるならば
1-0.999…＝0.000…＝0
∴1＝0.999…
ということでいいのではないだろうか。
344:１３２人目の素数さん
09/04/12 13:51:47
続き
また、x＝0.999…、10x＝9.999… から引き算して x＝1 をだすやり方も
10x＝9.999… や 9.999…-0.999…＝9 という計算が保証されているのかどうか
というか、騙されているのではないかという疑念を抱かせてしまうと思われる。
最初は有限で（…が現れない形で）示しつつ、最終的に無限の概念を入れていく方法でないと
理解させるのは困難ではないか（結局最後に無限の概念という壁が残るが）。
x＝0.99、10x＝9.90 より辺々引いて 9x＝8.91＝9-0.09 ゆえに x＝1-0.01
x＝0.999、10x＝9.990 より辺々引いて 9x＝8.991＝9-0.009 ゆえに x＝1-0.001
x＝0.9999、10x＝9.9990 より辺々引いて 9x＝8.9991＝9-0.0009 ゆえに x＝1-0.0001
x＝0.99999、10x＝9.99990 より辺々引いて 9x＝8.99991＝9-0.00009 ゆえに x＝1-0.00001
…
∴ x＝0.999…＝1-0.000…＝1-0＝1
345:１３２人目の素数さん
09/04/13 03:38:09
^(.999…)=-(.999…-.999+1)=-1
ふむ？
346:１３２人目の素数さん
09/04/15 22:04:31
>>341
＞１０進数 a の反転を ^a と表現する。
修正
a は１０進数の各桁の数を表すとし、a の反転を ^a と表現する。
347:１３２人目の素数さん
09/04/17 17:46:01
１の補数、２の補数って言い方書き方、ちょっと引っ掛かりあるよね
348:１３２人目の素数さん
09/04/22 15:38:06
>>328
うわーん！出目金の切断を南斗聖拳で例えるネタをやり残したー!!
349:１３２人目の素数さん
09/04/22 21:12:19
>>348
１度だけ許可する
350:１３２人目の素数さん
09/04/25 13:47:17
南斗水鳥拳？
切断することで連続を獲得するってむしろ美女の胴切りマジックみたいだが
351:１３２人目の素数さん
09/04/25 21:56:44
>>8の②について質問なんですけど
x=0.99の場合
10x=9.9
9x=9.9-0.99
9x=8.91 ですよね
なら②の式は 9x=8.999…1 x=1-0.000…1 になるんじゃないですか？
352:１３２人目の素数さん
09/04/25 23:55:15
「…1」を数学的に矛盾無く説明してくれ。
353:１３２人目の素数さん
09/04/26 09:50:13
>>351
有限小数と無限小数の違いがわからない人たち
＞なら②の式は 9x=8.999…1 x=1-0.000…1 になるんじゃないですか？
なりませんな。
あなたが間違っているということが 前提 だと言うことを理解した上で
なぜ自分が間違っているのか、なぜ自分が理解できないのかについて
検討するのが 正しい姿勢 だと思うが。
354:１３２人目の素数さん
09/04/26 17:01:07
では無限小数について聞きます
「0.333…」を単語ととらえるなら
その意味は「0.のあとに3が無制限に続く数」ではなく
「三分の一」であるということでしょうか
355:１３２人目の素数さん
09/04/26 17:29:37
純粋に質問するんだったら相手を選ぼうな。
356:１３２人目の素数さん
09/04/26 19:00:06
>>354
0.333…の意味は「0.のあとに3が無制限に続く数」であり「三分の一」であるということです。
357:１３２人目の素数さん
09/04/26 22:01:58
354を質問した時点では0.333…といくら小さくしても1/3に限りなく近づくだけで1/3にはならないと思っていたんですが
いろいろ考えてみてそれはないと考え直しました
1m=9メト(架空の単位)とする場合 1mも9メトも確かに存在する
9メトの1/3は3メトであり「３メトの距離」というものは確かに存在する
では3メトは何mかと問われたら0.333…m としか言いようがない
つまり0.333…mは確かに1/3mでありその3倍の0.999…mは1mとしか言いようがない
これで納得しときます
358:１３２人目の素数さん
09/04/27 12:07:24
「0.333…」は「限りなく近づけてる」じゃなくてその極限値
359:１３２人目の素数さん
09/04/27 20:06:57
【∞桁目の余り錯覚症】
今回のこの人のお陰で
1-.999…=0
と認められない人には
.999…*10-.999=9
も認めらずに
.999…*10-.999=8.999…
としてしまう事が判明した
360:１３２人目の素数さん
09/04/28 14:34:06
>>359
それ困らんような
361:１３２人目の素数さん
09/04/28 14:36:30
=8.999…のことね
362:１３２人目の素数さん
09/04/28 23:20:23
>>360
>>359補足
1-.999…=0
を認められない、つまり
.999…=1
を認められないので当然
8.999…=9
も認められない事になる
363:１３２人目の素数さん
09/04/29 15:01:56
講談社の『アキレスと亀』という本、なかなかいいね。
アキレスと亀のパラドックスからはじまって文系と理系の思考の違いとか、
ここのスレタイの問題や数の連続性やデテキントまで論じていて
この問題に興味持つ初心者にぴったりだ。
文系の人向けに、イラスト満載でこの問題を解説したってかんじかな。
364:１３２人目の素数さん
09/04/29 16:01:17
実は亀は北斗琉拳の使い手同様に魔闘気を帯びている
365:１３２人目の素数さん
09/04/29 18:46:42
8.999…
じゃなくて
8.999…1
って答えるんじゃないのか？
366:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:14:32
無限先とか無限桁目とかいう言葉を織り交ぜながらね
367:１３２人目の素数さん
09/04/30 05:49:15
納得させられた証明を書いてみます。既出だろうけど、ログ読んでないんでスマン。
x = 0.999… とする。
10x = 9.999… となる。
10x - x = 9.999… - 0.999…
9x = 9
x = 1
よって 0.999… = 1
368:１３２人目の素数さん
09/04/30 20:10:56
>>367
最定番最多既出
369:１３２人目の素数さん
09/04/30 20:12:34
限り無く黄金聖衣に近い青銅聖衣は黄金聖衣と言っても良いのですか？
370:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/05/01 05:53:26
この割り算を筆算で説いてみると分かりやすいけど
１÷１＝0.9999999999・・・ じゃん
0.9999・・ は １じゃん
371:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/05/01 06:03:35
そもそもキミ達は、0.999999・・・と言う数をいつごらんになったのだろうね
それが１ではなく0.999・・・だと、何故言い切れるのかね
仮に0.999・・・と言う数字を、考えるあてもなく考えているのであれば・・・
それがどういう数字か想像しうることなく、―さらには体験しうることなく
考えていたのであれば、今までの堂々巡りを忘れて
もう一度この問題と出合った時に戻って考えてみなくてはならないよ
キミ達は１を２とは言わまい
しかし、0.9999....はなんであるかと話すのである
その原理から突き詰めていけば、おのずと答えに導かれるのである。
それは0.99999がどういう状況にあるか
どういう状況から導き出されるか
その諸原則がこれである
１÷１＝0.9999・・・
372:１３２人目の素数さん
09/05/01 06:51:44
また変なのが湧いたな
こいつも貯まってきたら報告しとくか
373:１３２人目の素数さん
09/05/01 07:23:45
>>370
筆算でといたら
１÷１＝１になるけどｗ
374:１３２人目の素数さん
09/05/01 07:40:28
>>370も禿概ね
375:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/05/01 07:53:57
>>373
そうだよ。
だから0.999・・・ってのは１じゃん。
誰ですかこんな不毛な会話をはじめたのは
376:１３２人目の素数さん
09/05/01 09:08:34
マジレスすると
0.9999・・・
が導き出される状況って
0.3333・・・×3
だろう。
377:１３２人目の素数さん
09/05/01 09:33:11
俺も初めて習ったときに納得いかなかったなあ。
1-0.9999････=0.0000････1 じゃないんかと。
でも、0.0000････1って答えが出るときの0.9999･･･9って有限桁数の値だとあるときふっと気づいて、
なんとなく無限の意味と、1=0.9999･･･が分かった。
378:１３２人目の素数さん
09/05/01 10:20:12
>>371
随分とキモい文章だけど、誰と話してるんだ？
勝手に「君たち」とか、見えない敵と戦うなよ…
379:１３２人目の素数さん
09/05/01 10:27:40
大体がさ、
3×0.333・・・ってさ、どうやって結果出すのよ。無限に続いてるんだぜ。
380:１３２人目の素数さん
09/05/01 10:48:50
>>375
お前が散々既出の事を言い出しただけｗ
381:１３２人目の素数さん
09/05/01 12:06:14
>>379
循環したら計算をやめればいいな。
382:１３２人目の素数さん
09/05/01 17:33:54
循環小数と言う位だしな
1/3=0.3.
1/7=1.42857.
此処で、２つ目の小数点は循環小数の意味の・(dot)記号とした｡
383:１３２人目の素数さん
09/05/01 17:37:24
循環していることを証明してくれ
「ここから先は繰り返し、見れば分かるな」じゃなくて
384:１３２人目の素数さん
09/05/01 17:59:50
>>383
筆算のアルゴリズムを見れば明らか。
385:１３２人目の素数さん
09/05/01 18:03:59
そんなのは証明じゃない
386:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:23:47
>>385
どこら辺が理解できないの？
387:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:36:52
１から０．０００・・・・１を引いても、その数が１とイコールなら、引き続けた場合はどうなるんですか？
388:１３２人目の素数さん
09/05/01 19:54:38
>>387
０．０００・・・・１の「・・・」は具体的に何個？
389:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:00:47
１が出てこないとしたら、９が続く理由がわかりません
390:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:01:38
無限に引き続けても実質ちっとも減らないくらい小さい数＝ここでいう0.0000000・・・・1なんだろうね。
391:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:23:46
すみません
３８９＝３８７です
392:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:37:05
>>12に追加改定
Level.1
納得仕切れずも取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められぬ余りに0.999…*10−0.999…=9も認められなくなるLevel.4
1=0.999…を認められぬ余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.5
Level.4から更に悪化し、いよいよ循環小数は有理数ではないとする
Level.6
Level.5から更に進み、実数の連続性をも幻想だと言い始める
Level.7
ゼノンの逆理を持ち出して慇懃無礼に偉ぶりながら1=0.999…否定論説し始め尚且つ人の言う事を聞かなくなってくる
Level.8
数学全体の不信任論を展開し始める
Level.9
トンデモ哲学者的に神だの仏だの言いながら数学を鼻で笑って貶すに至る
Level.10
Level.9から遂にそのまま哲学者になってしまう
納得不全者 → ｢"無限桁目"の余り｣バカ → 数学体系不信任論者 → トンデモ無限説者 → トンデモ哲学者
393:１３２人目の素数さん
09/05/01 20:46:39
>>389
０．９９９・・・の最後が無いのに
０．０００・・・・１と最後がある事になっているのは何故？
最後が無いんだから、０．０００・・・・と書くのが妥当だよね。
394:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:47:21
最後が１である必要なんかないんですね。５でも８でも
最後がないんだから！
０がずっと続くって意味は、差がないってことか！
なんか違う気がするけど！
395:１３２人目の素数さん
09/05/01 22:53:34
やっと理解できたようなきがします
１＝０．９９９・・・
１－０．９９９・・・＝０．０００・・・
終わりのないゼロ！
396:１３２人目の素数さん
09/05/02 00:40:01
>>383
全ての分数は有限小数か、循環小数である。
[証明] 分数を ａ／ｂ とし、これを筆算で小数にすることを考える。
筆算でどんどん割って行くと、おろす数は０のみになってくる。そして、余りは ０、１～ｂ－１ のどれかの数になる。
余りが０なら割り切れたということで元の分数は有限小数となる。
余りが０にならないのなら、１～ｂ－１のいずれかになるわけで、おろす数が必ず０になっていることと合わせて考え
ると余りは永遠に循環していく。
したがって、元の分数を小数に変換した数も循環小数である。
397:１３２人目の素数さん
09/05/02 00:44:38
論旨がまったくわかりません。
398:１３２人目の素数さん
09/05/02 01:20:32
文系的なやつは, 「・・・」を「無限に繰り返せ」という指示だという感覚でとらえている
プログラムのfor文みたいな
だから「いつまで繰り返したって終わらないから云々」という発想になる
理系的なやつは, 「・・・」を「ここには無限個の9がすでに並んでいる」という状態記号ととらえている
プログラムにたとえるなら, すでに実行終了して結果が出てる状態
この感覚的な差が, 話がなかなかかみ合わない一因
399:１３２人目の素数さん
09/05/02 01:41:00
俺は無限個を最初イメージしたけど、わからなかったから、意味を考えて無限個繰り返すって考えた
でも結局わかってない
400:１３２人目の素数さん
09/05/02 01:52:38
> 論旨がまったくわかりません。
定型文荒らしか
一先ず自治スレへ報告しておこう
401:１３２人目の素数さん
09/05/02 02:17:11
1)
1-.999…999=.000…001
だが
1-.999…
の回答でも「最後の桁」を意識してしまい
.000…(001)
などと表現し始める
2)
10*.999…999-.999…999=8.999…991
だが
10*.999…-.999…
の回答でも「最後の桁」を意識してしまい
8.999…(991)
などと表現し始める
3)
1=.999…
を疑う余り
1/3=.333…
をも疑い始める
402:１３２人目の素数さん
09/05/02 08:04:02
>>398
多分、文系的な人は、
無限大＝限りなく大きい有限な数字
という発想なんだろうね。
403:１３２人目の素数さん
09/05/02 08:38:59
0＜Ｘ≦1なる実数Ｘが循環小数である、の定義を
非負整数からなる等差数列a[i]（公差は1以上）と自然数の定数Ａがあって、
どのｉについても、(X*10＾a[i+1]の整数部分)mod(10^a[i])=A
としようか。
ま、どうでもいいけど
404:１３２人目の素数さん
09/05/02 09:00:25
>>398
おいおい・・・
理系とか文系とか以前に単に勉強不足なだけだろ。
405:１３２人目の素数さん
09/05/02 09:22:05
確かに1/3*3=3/3=1ってことになるけど
俺は小数までで考えてみた。
0.999…=1
これを2乗すると、
0.999…^2=1^2
0.999…=1 一見変わっていない様だけど0.999…の方は、僅かだけど小さくなってるのは確か。
つーことは2乗を繰り返してけば1は変わらないけど0.999…の方は確実に小さくなってるんじゃね？
だから厳密には0.999…≠1って結論になる？
間違ってたらごめん。
406:１３２人目の素数さん
09/05/02 09:27:20
>0.999…=1 一見変わっていない様だけど0.999…の方は、僅かだけど小さくなってるのは確か。
この部分は証明しないと「確か」とは言えない。
407:１３２人目の素数さん
09/05/02 09:33:42
>>405
>0.999…=1 一見変わっていない様だけど0.999…の方は、僅かだけど小さくなってるのは確か。
何故？
というか、「一見変わってない」と言ってる様に、変わってない訳で。
408:１３２人目の素数さん
09/05/02 11:27:14
>>406-407
お前らノリ良すぎｗｗｗ お前らの方が面白いなｗｗ
409:１３２人目の素数さん
09/05/02 11:39:41
>>405
0.999…=1 から始めたのに
0.999…=1「一見変わっていない様だけど」というセリフが出るのはナゼ？
>>405 の頭の中では
3=3
これを２乗すると
3^2=3^2
3=3「一見変わっていない様だけど」
というのと同じことが起こっているようだ。等式変形とは何かがわかってない。
要は 0.999… と 1 が最初から違うものに見えている＝これを「偏見（偏った見方）」という。
見えているものを信じるのではなく、論理的・推論的に正しいものを信じなさい。
410:１３２人目の素数さん
09/05/02 11:41:09
>>409
お前らノリ良すぎｗｗｗ お前らの方が面白いなｗｗ
411:１３２人目の素数さん
09/05/02 13:04:21
だってここは、釣られることを楽しむスレだもの
412:１３２人目の素数さん
09/05/02 13:06:33
そもそもこのスレって、議論する為のスレじゃないしな。
413:１３２人目の素数さん
09/05/02 22:13:29
>>408 と >>410 の不自然でKYな定型レスは >>405 の自援なのか？
414:１３２人目の素数さん
09/05/02 23:29:42
>>405 と >>408 は同じかもしれないけど、>>408 と >>410 は違うんじゃね
>>410 は流れ的に >>406 か >>407 が >>408 をコピったっぽい感じがする
415:１３２人目の素数さん
09/05/03 00:18:01
>>409 と >>410 は自演のノリツッコミでは？
416:１３２人目の素数さん
09/05/03 00:51:27
廬山！百龍覇ぁー!!
417:１３２人目の素数さん
09/05/03 11:16:16
>>416
秀部阿部氏
418:１３２人目の素数さん
09/05/03 19:36:41
なぁなぁところで1の平方根って1だよな？
じゃあ0.99999…=1なら1の平方根って0.99999…でもいいんじゃね？
普通は平方根の解って+と-で2通りだけど1と0.99999…だけ解が4通りになるんだがw
頭おかしくなってきたんで寝る。
419:１３２人目の素数さん
09/05/03 19:41:17
＞1と0.99999…だけ解が4通りになるんだがw
1＝1/1＝2/2＝3/3＝…だから、お前の理屈だと
1の平方根は何通りも解が増やせることになる。
±1と±0.999…の4通りのうち、1と0.999…は全く同じ解で、
－1と－0.999…が全く同じ解。結局、解は2通りのまま。
420:１３２人目の素数さん
09/05/03 20:01:45
なるほど。なんか訳わからんこと書いてすまん。
421:１３２人目の素数さん
09/05/03 20:42:28
>>418は次のように書くと面白いかも
「0.99999…≠1を背理法で証明する」
0.99999…=1と仮定すると、1の平方根は±1だから、
±0.99999…も1の平方根ということになり、
1の平方根が4つもあることになり矛盾。
したがって背理法により0.99999…≠1
もちろん、0.99999…=1と仮定しておいて、
いろいろ変形したりしてそれを忘れた頃に
0.99999…と1が異なるという（こっそり持ちつづけていた）感覚との矛盾を感じただけなわけだが、
これをもっとひねった形にすれば頭おかしくなる奴続出で（＾Д＾）プギャー
422:１３２人目の素数さん
09/05/03 20:49:41
>>421
いけない子。変態さん？
423:１３２人目の素数さん
09/05/04 16:40:49
5.499999・・・を小数第１位で四捨五入したら5ですか
424:１３２人目の素数さん
09/05/04 17:11:34
正の数xの四捨五入nの定義は
n (整数nに対しn≦x<n+0.5の時)
n+1 (整数nに対しn+0.5≦x<n+1の時)
なので6になる
425:１３２人目の素数さん
09/05/04 17:12:58
訂正
×四捨五入n
○四捨五入
426:１３２人目の素数さん
09/05/04 17:16:23
>>424
小数第1位は4なんですけど。
そしてその後に、9がどれだけつづくかなんて分からないんですけど。
427:１３２人目の素数さん
09/05/04 17:28:53
・・・は慣用的には無限に続く事を意味するから、それなら・・・の後に9と書いて打ち止めになることを明示しなくてはならない。
有限個なら5
書いてある通りなら定義より6
428:１３２人目の素数さん
09/05/04 18:01:10
そもそも四捨五入というのは、あまり数学的な用語ではないからね。
議論するのなら
四捨五入というものの定義と、
四捨五入が小数表記に依存されないかどうか？
について行う必要がある。
小数第ｎ位が４か５のみに依存とするのならば、表記法に依存するから
どちらでもいいという意味になる。（要するにwell definedでない）
>>424を定義とするならwell definedになる。
429:１３２人目の素数さん
09/05/04 18:41:06
>>426
そもそも 5.499999・・・＝5.5 なので
「小数第1位は4なんですけど」という言い方自体に意味がない。
430:１３２人目の素数さん
09/05/04 18:47:45
>>428
言う通りだけど中学でも>>424の定義を使って問題を解かせるぐらいだから、>>424の定義で良いと思う。
小学生はまだ有限小数の表示が一意的ではない事を意識すらさせる段階に無いので、教育的配慮でそう教えていると考えるのが自然かなと。
431:１３２人目の素数さん
09/05/04 19:14:21
>>429
だから、表記法によると定義する場合は、
四捨五入は、well-definedじゃないと言ってるんだけど・・・
>>430
確かに、あえて数学的定義をする場合は>>424のいう風に定義すべきだね。
四捨五入の定義が、
・初等的にいい加減な定義（＝小中学校でならう定義）と、
・きちんとした数学的な定義（=>>424の定義）
が曖昧なまま議論していた様な気がしたのであえてしてきしたという事で。
432:１３２人目の素数さん
09/05/04 20:13:18
>>429
お前は 3/3 の分母を何と言うつもりだ？
433:１３２人目の素数さん
09/05/04 20:19:54
>>432
言ってる日本語のイミが不明
434:１３２人目の素数さん
09/05/04 20:30:11
5.5という記号列における小数第一位は5であり、5.4999…という記号列の場合は4であり、
意味が無いなんてことは無い。
ただし、5.5(あるいは5.4999…)で表される実数xについて、xの小数展開を明示せずに
「小数第一位は4である」とか「5である」とか言うのは意味が無い。
435:１３２人目の素数さん
09/05/04 21:07:30
>>433
俺は、>>432では無いけど、
１（＝１／１）の分母
２／２の分母
３／３の分母
全て同じ数字だけど、表記法によって解が異なるという事を言いたいんだと思う。
当然、分母＝既約分数表記した場合の分母の数字として定義している場合は、分母＝１になる
（well definedになる）けどね。
436:１３２人目の素数さん
09/05/04 21:19:14
そもそも 3/3＝1 なので
「分母は3なんですけど」という言い方自体に意味がない。
アホか
437:１３２人目の素数さん
09/05/04 22:14:39
四捨五入って数学的に意味があるとは思えん。
そもそも 0.999… とは何ぞやという流れの中で
5.499999… を四捨五入しようという行為に疑問を感じる。
438:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:16:16
燃え広がっております
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:324番)
439:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:23:23
有理数p/qについて、分子pが1なら分子を0にし
それ以外なら1にする、という操作をfとしよう。
たとえば、f(1/2)=0/2であり、f(2/3)=1/3だ。
ところで、f(1/1)=0/1=0、f(2/2)=1/2とすべきだが、
1/1=2/2=1なので、f(1/1)=f(2/2)、すなわち、0=1/2となる。
こうして0=1が証明できた。
ゆえに、俺は神だ。
440:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:23:34
四捨五入はガウス記号で [x+0.5] だから
[5.4999…+0.5]＝[5.999…]＝6
でいんじゃね？
441:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:24:52
結局 5.999…＝6 を認めるかどうかだな
442:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:29:50
>>438
この 324 はafoだな。
443:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:35:23
>>436
３／３の分母は「わかっている」が 5.4999…の表現は「わかっていない」
よくわからないものにたいして四捨五入なる行為をおこなってもいいのか？
その結果得られるものについて信用してもいいのか？
444:１３２人目の素数さん
09/05/04 23:55:31
双方、きちんと定義したなら「わかっている」モノだろうにｗ
5.4999…は5.5のことね。終了。
445:１３２人目の素数さん
09/05/05 00:19:31
0.5 足して切り捨てれば四捨五入になるから、5.4999… + 0.5 = 6 となるよ。
446:１３２人目の素数さん
09/05/05 00:42:40
>>445
いや、0.5足した5.999・・・で、その小数点以下を切り捨てたら5だろう、というのが最初の問掛けだな。
447:１３２人目の素数さん
09/05/05 02:32:53
>>440
>>424が随分とスマートになったな
448:１３２人目の素数さん
09/05/05 03:11:11
BASIC世代wなら常識
449:１３２人目の素数さん
09/05/05 07:34:23
>>445
その切捨てという表現だって、四捨五入と同じように曖昧な表現
それこそ、
０．９９・・・を切り捨てたら１とも０とも言える訳で。
要するに表記法に依存する定義
450:１３２人目の素数さん
09/05/05 07:37:36
>>441
それは等しい訳だが。
5.999…＝6は、
数字の表現は違う。
数値としては等しい。
451:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:07:50
>>450
数値としては等しいのに表現の違いで四捨五入したら違う結果になるとすれば
数値表現がマズイか四捨五入の適用が間違っているかその両方かのいずれかだと思う。
やはり4.999…に四捨五入だの切り捨てだのやっちゃあいけないんじゃないか？
452:１３２人目の素数さん
09/05/05 10:43:56
>>451
表現の違いによって結果が異なるような定義はポンコツで使い物にならない定義なのであって、
数値表現がマズイのではなく、四捨五入の適用がマズイのでもない。
「四捨五入」の”定義”がマズイのだ。
表現の違いによらずに結果が一定になるように「四捨五入」という用語を
定義すれば何も問題は起きない。>>424の定義なら結果は一定。
453:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:26:16
「四捨五入」が実数に対して定義されているという先入観がマズいとおもう。
実際は小数表示を与える数列 {a[n]} (n∈Z、0≦a[n]≦9) に対して四捨五入が定義されているのであって、実数に対して定義されているのではない。
小数表示が一意でないので四捨五入の結果が一意でなくても何の不都合も無い。
454:１３２人目の素数さん
09/05/05 11:51:22
素晴らしい結論力だが残念、一意だ
455:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:18:03
>>453
4.4999…＝4.5としたうえで4.5を四捨五入すべきでしょう
456:１３２人目の素数さん
09/05/05 12:38:59
wikiをみると
>端数が0.5未満なら切り捨て、0.5以上なら切り上げる丸めを「四捨五入」という。JIS Z 8401で規則Bとして定められている。「四捨五入」という呼び名は、小数第1位が4以下ならば切り捨て、5 以上ならば切り上げることに相当することから来ている。
>この呼称は10進数に依存しているので、10進数に限定しないときはR丸めという。
>0.5を足して切り捨てるという、単純なアルゴリズムで得られる。
>なお、負の数に対して正常な結果を得ようとすれば、切り捨ては負の無限大への丸めである必要がある
>（0への丸めだと、たとえば-2が-1に丸められてしまう）。
>ただし、0.5を足して負への無限大へ丸めると、端数が0.5の場合に絶対値が減る（たとえば、-1.5は-1へと丸められる）。
>一方、JIS Z 8401では、負の数は絶対値として丸める（-1.5は-2へと丸められる）。
>実際に、コンピュータで負の数に「0.5を足して切り捨て」た場合どうなるかは、負の数と切り捨ての実装による。
>端数が0.5のとき常に増える方向に丸められるため、わずかに正のバイアスがある。
となってるね。
>>424,>>440の定義そのものだね。
よって、四捨五入は表記法に関わらず一意。
表記法によって、変わる方は混乱を避けるために
「四捨五入ｗ」と呼ぶことにしよう。
457:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:11:18
ふむ。所で丸めはどう定義するん？小数点第一位の場合[x+0.9]かな？
458:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:14:50
>>456
ちょっと見てきたけど、切り捨てと切り上げの定義も書くべきだと思う。
>整数部分をそのまま残し、小数点以下を0とする丸めを切り捨てという。それに対し、小数点以下が0でなかった場合整数部分を1増やし、小数点以下を0とする丸めを切り上げという。
459:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:21:27
>>458
切り捨て[x]
切り上げ[x+1]
460:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:22:50
>>459
負数に対応している？
461:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:24:17
Wikiの記述は0.9999･･･=1 が全く考慮されてないから、
四捨五入の記述が>>424 >>440 の定義と一致したのはただの偶然。
>0.5を足して切り捨てるという、単純なアルゴリズムで得られる。
って書いてあるから、
4.49999･･･ + 0.5 = 4.99999･･･ → 4
ってなっちゃう。
執筆者は[x] と>>458 指摘の「切り捨て」の挙動の違いに気付いていない
462:１３２人目の素数さん
09/05/05 13:26:01
>>459 修正
切り上げ x≠[x]のとき[x+1]
463:461
09/05/05 13:27:47
補足。Wikiの執筆者は
>端数が0.5未満なら切り捨て、0.5以上なら切り上げる
>0.5を足して切り捨てる ＆ 整数部分をそのまま残し、小数点以下を0とする丸めを切り捨てという。
が違うという事に気付いていない
464:１３２人目の素数さん
09/05/05 14:00:04
>>462
切り上げは
-[-x]
だろ
465:１３２人目の素数さん
09/05/05 14:51:49
『INT』使えば良し
466:１３２人目の素数さん
09/05/05 14:53:08
コンピュータでは、0.999・・・は存在しないからダメｗ
1=0.99・・・の問題が無ければ、wikiの矛盾した定義が矛盾しなくなる訳で。
467:１３２人目の素数さん
09/05/05 15:08:38
循環小数ならのせられる
一般の実数は無理だけど
468:１３２人目の素数さん
09/05/05 15:30:41
>>467
0.999…は循環小数か？
469:１３２人目の素数さん
09/05/05 15:35:15
>>468
もちろんそう解釈出来る
470:１３２人目の素数さん
09/05/05 19:34:17
結局このスレの話題は…
ケンシロウの結論>>264-292と、幻に終わった天帝拳だったな…
471:１３２人目の素数さん
09/05/05 19:36:41
ケンシロウ>>279
天帝拳>>188
472:１３２人目の素数さん
09/05/05 22:39:45
>>471
天帝拳なるものは存在しない
473:１３２人目の素数さん
09/05/05 23:55:36
書いてあるで～
天帝拳も原作に示されとるで～（ケンとリンが結ばれなかったので幻化)
188:132人目の素数さん 2009/01/30(金) 01:10:44 [sage]
「0.999…≠1且つ有用な系が確立されぬ以上はこの論争が絶える日は来ない｣
「0.999…≠1且つ有用な系は存在し得ない｣
∴ 永久にこの論争が絶える日来ない
474:１３２人目の素数さん
09/05/06 00:02:35
逆はどうだ。つまり「0.999…≠1を仮定したら、どれだけ不利益があるのか」を言うのだ！
テンプレにあるように、0.999…＝1の成立と数のアルキメデス性は同じだ。
0.999…＝1を納得しない素人に、最初に「じゃ、数って君はどんな性質があることを想定している」と聞き、
「物差しを使って、どんな物の長さでも数で表せるってして良いよね」と聞くわけだ！
で、ひとたび相手が「うん」と言ったら、コレ幸いと、そこから「数のアルキメデス性」→「0.999…＝1」と証明する…と。
途中は面倒だから構想のみだけどね。
475:１３２人目の素数さん
09/05/06 01:28:49
その手のメリット論もスレが一桁の頃にかなり語られていたな
476:１３２人目の素数さん
09/05/06 07:54:17
そして時代は繰り返す
477:１３２人目の素数さん
09/05/06 09:01:29
well-definedかどうかを全く考慮せずに、メリット論だけで
「0.999…＝1が成り立つように各種演算を適切に定義すればいい」
とかゴリ押しをやってる奴もいた。彼曰く、これが一番シンプルな定義なんだと。
本当は、そうやって「適切に演算を定義する」ことが可能なのかチェックしないと
いけないのに、彼はゲーデルの不完全性定理を盾にして、チェックできる範囲での
無矛盾性さえ確かめない。
「とにかく0.999…＝1が成り立つようにすればいいんだ！」と宣言するだけなら、
シンプルに決まっている。でも意味が無い。
478:１３２人目の素数さん
09/05/06 10:17:47
>>477
１行でまとめてくれ。
479:１３２人目の素数さん
09/05/06 11:30:43
>>477
だから、いくらわめこうが、ゲーデルが有る限り、とりあえず使ってて矛盾がないって状態で満足しなきゃならんのよ。
また、だからこそ、メリット論とか、どっちがシンプルかとかの判断になるわけだ。
チェックできる範囲の無矛盾性をどうやってチェックするんだ？ゲーデルは自然数を導入した瞬間に発動するんだし。
480:１３２人目の素数さん
09/05/06 11:35:25
逃げ口上としては0点
481:１３２人目の素数さん
09/05/06 12:11:03
いくら煽っても現状は変わらない。
482:１３２人目の素数さん
09/05/06 12:25:03
無矛盾性を証明できないことと、メリット論にはどんな関係があるのか？
もしかして無矛盾性が証明できるのなら0.99･･･=1と0.99･･･≠1のどちらかで矛盾が起こるとでも思っている？
483:１３２人目の素数さん
09/05/06 13:00:55
>>479
げーデルは関係ないっしょ
自分できちんとわかって発言してる？
484:１３２人目の素数さん
09/05/06 14:03:01
ゲーデルの不完全性定理で無矛盾性が証明できないなら、とりあえず矛盾が見つかっていない理論のうち
でよりシンプルでより利用価値があり現実に即した…つまりメリットがあるモノを採用するのは当然ではないのか？
485:１３２人目の素数さん
09/05/06 14:15:08
>>484
前半と後半無関係w
486:１３２人目の素数さん
09/05/06 14:20:09
>>485
この部分は数学的・論理的に繋がっているわけじゃないよ。
単に実利的に繋がっているだけ。
487:１３２人目の素数さん
09/05/06 15:05:59
>>486
メリットがある方を採用するのは良い。よりシンプルな議論で済む定義を
採用するのも良い。だが、
「0.999…＝1が成り立つように各種演算を適切に定義すればいい」
↑こういうゴリ押しはシンプルとは言わない。具体的にどう定義するのか
言わなければならない。そして、定義したその演算でちゃんと実数体に
なっているのか調べなければならない。デデキントの切断やコーシー列の
やつと同程度に面倒くさい。デデキントの方法もコーシー列の方法も
シンプルだと思っているなら別に構わんが。
488:１３２人目の素数さん
09/05/06 15:22:05
>>487
それをきちんとやっちゃうと、デテキントとかコーシ並の面倒くささになるのは当然なんじゃないの？
繰り上がりや繰り下がり無い場合のみを扱うなら、簡単だけどな。あるいは、循環小数だけを扱う
ようにすればこれも簡単になるわな。
しっかし大体、一つの主張が終了したら、また別の問題持ち出して…延々やって双方グダグダになるのは
２ｃｈのあちこちで見かける光景だよな。
無意味だー。
489:１３２人目の素数さん
09/05/06 15:53:26
> それをきちんとやっちゃうと、デテキントとかコーシ並の面倒くささになるのは当然なんじゃないの？
つまり
> 「0.999…＝1が成り立つように各種演算を適切に定義すればいい」
とするメリットは無いわけだ。
チグハグな構築法よりも
自然数→整数→有理数→実数と順番に拡張していって、
結果0.999･･･=1を導いたほうがよっぽどスッキリしている。
490:１３２人目の素数さん
09/05/06 16:27:22
>>489
それはそうだ。テンプレにもあるわな。
で？
491:１３２人目の素数さん
09/05/06 17:04:22
おっと。
＞> 「0.999…＝1が成り立つように各種演算を適切に定義すればいい」
＞とするメリットは無いわけだ。
このメリットは、「わかりやすい」と明確にテンプレにあるのだが？
492:489
09/05/06 17:27:12
>>490 >>491
分が悪いので>>488 で話を終わらせたかったのに、突っ込み入れて悪かったな。
で、テンプレの何所に
0.99･･･=1が成り立つように演算を定義した方が、実数の定義から0.99･･･=1を導くよりもメリットがある
と書いてあるの？おまえの脳内テンプレにか？
493:１３２人目の素数さん
09/05/06 17:49:36
>>492
Ｑ６ Ａ６ にあるだろ。
煽って撃沈？ｗ
494:１３２人目の素数さん
09/05/06 18:04:18
全く予想通りのレスw
Q6/A6にはそんな事書いてないww
数学できないなら偉そうなこと書き込まない方が身のため。オケ？
495:１３２人目の素数さん
09/05/06 19:00:47
そうか？
分かるように説明してくれ。
496:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:17:25
普通に
(0.999････)÷3 = (0.333････)
↓
(0.333････) = 1/3
↓
1/3×3 = 1
↓
(0.999････) = 1
じゃ駄目なん？
497:１３２人目の素数さん
09/05/06 20:58:54
わかりにきーよ。どう式変形してんだそれは
498:１３２人目の素数さん
09/05/06 21:13:20
>>494
結局、煽って逃亡か。