08/08/07 22:30:11
>>746 つづき
ラプラス変換するときに，直接ラプラス積分するのは最終手段で，
基本公式（微分則，積分則，表移動，裏移動，伸縮，t 倍，1/t 倍）と
「パラメータを入れて計算するトリック」を身につけると，
常識的な関数のラプラス変換は，直接計算せずとも求まるようになる．
特に，微分則とパラメータトリックを知っているだけで，効率は大違い．
解いておくと幸せになりそうな問題を手元のノートから抜粋しておく．
(A) exp(a t) → 1/(s - a) を示せ
ヒント：exp(a t) は「f'(t) = a f(t), f(0) = 1」の解．
(B) t^2 exp(a t) → 2/(s - a)^2 を示せ
ヒント：t^2 exp(a t) は，exp(a t) を a で2回微分．
(C) t^2 → 2/s^2 を示せ
ヒント：t^2 は t^2 exp(a t) を a = 0 とする．
(D) t^2 cos(t) → 2 s (s^2 - 3)/(s^2 + 1)^2 を示せ
ヒント１：t^2 cos(a t) は cos(a t) を a で2回微分．
ヒント２：t^2 exp(a t) で a = i とし，実部と虚部に分ける．
(E) sin(t)/t → arctan(1/s)/s を示せ
ヒント：sin(t)/t = ∫[0,1] cos(a t) da と，cos(a t) のラプラス変換を使う．