08/07/17 01:36:03
定義
α∈CでαがQ上代数的であるときαを代数的数という
定義
上記定義のCの元で代数的数でないものを超越数という
定理
Fを体とすると、Fの代数的閉包が存在し、Fの代数的閉包は全てF上同型である
これだけあれば今の学習意欲ある高校生には十分か
>>346
Hermiteの不等式を使っていいというならこれ誘導つけてπが超越数であるという問題出すのもありだな
351:159
08/07/19 04:49:54
前回ズタボロのおれだが、お前らの連休のためにとっておきの問題を用意してきた
n≧3を満たす任意の整数nに対して、次の合同式を満たす自然数x,y,zが無限に存在することを示せ
x^n+y^n≡z^n (mod n)
5分で解けてしまうので、次が本題
n≧3を満たす任意の整数nに対して、
次の合同式と条件を満たす自然数x,y,zが無限に存在するか否か。
存在しなければ反例をあげよ
x^n+y^n≡z^n (mod n^n)
条件：x,y,zはnとは互いに素である。
352:１３２人目の素数さん
08/07/19 06:59:38
>>351
合同式なんだから、一組の解があれば無限組の解があるのは自明でしょ
gcd(x,3)=1 なら、x^3≡±1 (mod 9) だから、
n=3 のとき２問目の解は存在しない
353:１３２人目の素数さん
08/07/19 07:47:04
つまんねー
354:１３２人目の素数さん
08/07/19 12:39:27
>>352
n=3のときってmod9じゃなくてmod27じゃね？
355:１３２人目の素数さん
08/07/19 13:49:19
mod 9 で等しくないならmod 27 でも等しくないような。
356:１３２人目の素数さん
08/07/19 13:56:00
そういえば159も誰も解けなかったんだよね
難易度的にはどうなの？難しいの？
「このスレでおれができない問題は難しい」という命題は成立するの？
357:１３２人目の素数さん
08/07/19 16:49:17
> 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
> 解ける問題を考えてうぷするスレ。
> これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
> 関連スレへどうぞ
358:１３２人目の素数さん
08/07/19 16:52:22
>>351
こうしたほうが良くね？
次を満たす非負整数 n, x, y, z の組が存在しないことを証明せよ
n≧2,
gcd(x,n) = gcd(y,n) = gcd(z,n) = 1,
x^n + y^n = z^n (mod n^n)
359:１３２人目の素数さん
08/07/19 16:53:46
× 非負整数
○ 正整数
360:１３２人目の素数さん
08/07/19 17:08:00
>>358
n=2の場合って二つの奇数の2乗の和がある奇数の2乗になるかって問題だと思うが、
これって存在しないんだっけか？以前どっかでやったことあるような気もする
合同式だと4で割った余りが限られているんで簡単になる
361:358
08/07/19 18:30:19
存在した
1^7 + 2^7 ≡ 62478^7 (mod 7^7)
362:１３２人目の素数さん
08/07/19 19:05:18
>>361
これは…ゴールドバッハ予想を自作のアルゴリズムで反例見つけようと頑張った
ハーバード大学のあの学生を彷彿とさせるな
どうやって求めたの？答えあってるのか？電卓使ったら+e33とか出てわからん
とりあえずGJ！
363:１３２人目の素数さん
08/07/19 19:31:05
>>362
1^7+2^7≡3^7 (mod 7^3)
が見つかったから
7^4 | {(7a+3)^7-(1^7+2^7)} となる a を求めて…
とかやると求まる
62478^7 ≡ (62478^3 mod 7^7) * (62478^4 mod 7^7)
とすれば Windows の電卓でも計算できるよ
364:１３２人目の素数さん
08/07/22 23:47:54
x^n+y^n≡z^n (mod n^n)
x=n+an^n
y=n+bn^n
z=n+cn^n
365:１３２人目の素数さん
08/07/23 00:32:15
>>364
それだとx、y、zがnと互いに素にならなくね？
全てのnで問題にある式が成り立つかわからないけど
一つわかってるのはこういう整数系の問題は東大入試にはでないよな…うん、でない！
366:１３２人目の素数さん
08/07/23 13:46:35
2sinxsiny+3cosy+6cosxsiny=7
このとき(sinx)^2+2(cosy)^2の値を求めよ
367:１３２人目の素数さん
08/07/23 19:09:31
lim_(n=>∞)sin(π√(4n^2+11n))
368:１３２人目の素数さん
08/07/23 19:28:32
極限
lim[n→∞]{e^(-n)*∑[k=0,n]1/k!}
の収束、発散を調べよ。
もし収束するならばその極限値を求めよ。
369:１３２人目の素数さん
08/07/23 20:32:14
それじゃあ収束するに決まってんだろ
ちゃんとした問題だせ
370:１３２人目の素数さん
08/07/23 20:32:54
アポストロフのテキストからパクればいくらでも作れる
371:１３２人目の素数さん
08/07/23 20:38:42
x^n+y^n≡z^n (mod n^n)
x=an+dn^n
y=bn+en^n
z=cn+fn^n
372:１３２人目の素数さん
08/07/23 20:42:56
>>369
すまん、問題ミスってた
極限
lim[n→∞]{e^(-n)*∑[k=0,n]n^k/k!}
の収束、発散を調べよ。
もし収束するならばその極限値を求めよ。
373:１３２人目の素数さん
08/07/23 21:08:13
e^n(t-1)
374:１３２人目の素数さん
08/07/23 21:25:19
2009人の学生と, 相異なる2009個のグループを考える.
どの学生も1000個の相異なるグループに属し, どのグループにも1000人の学生
が属するという状況はありえるか. 結論と理由を述べよ.
375:１３２人目の素数さん
08/07/23 21:25:46
鏡になった円の円周上の1点から無理数の角度で内側にレーザーをはなつと、永久に自分に当たら
ないことを証明して。 ゴルゴの定理
376:１３２人目の素数さん
08/07/23 22:29:14
無理数の角度って何だ？
90度はπ/2ラジアンだから無理数の角度だと思うが。
377:１３２人目の素数さん
08/07/23 22:30:01
>>370
アポストロフのテキストって何？
書名教えてくださいな。
378:１３２人目の素数さん
08/07/24 20:33:49
東大９６か９４年ぐらいの改題
x^2 + y^2 + z^2 <= n
この不等式がみたすxyz空間の点P（ｘ、ｙ、ｚ）で、ｘ、ｙ、ｚ、がすべて整数であるものの個数を ｆ（n） とおく
極限 lim n→∞ f(n) / n^3
を求めよ
379:１３２人目の素数さん
08/07/24 20:34:31
訂正
x^2 + y^2 + z^2 <= n^2
です
380:１３２人目の素数さん
08/07/24 20:54:03
4/3*π
381:１３２人目の素数さん
08/07/24 21:34:39
ΣΣΣ∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)dr
382:１３２人目の素数さん
08/07/24 21:38:05
ΣΣΣ∫∫∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)drdtds
383:１３２人目の素数さん
08/07/25 00:59:55
>>380
正解
ｎの三乗でわってるのがミソだよなぁ
384:１３２人目の素数さん
08/07/25 02:39:55
極限求めなければ球の体積になるってこと？
385:１３２人目の素数さん
08/07/25 03:43:19
極限を求めれば球の体積ってことだ。
386:１３２人目の素数さん
08/07/25 05:29:51
F(nxnxn)=n^3
3/4pir^3/n^3
387:１３２人目の素数さん
08/07/25 07:18:43
みんな余裕で補正してくれたみたいだけど
2乗じゃなくて3乗ですね
すいません
388:１３２人目の素数さん
08/07/25 07:22:04
x^3 + y^3 + z^3+w^3 <= n^3
389:１３２人目の素数さん
08/07/25 12:25:18
２乗でいい
390:１３２人目の素数さん
08/07/25 12:38:19
1以上である全ての整数nについて
(n^n)/(e^(n-1))<=n!<=(n^(n+1))/(e^(n-1))
が成り立つことを証明せよ。
391:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:04:05
すべての実数に対して定義され、2回微分可能な関数f(x)に対して
2f(0)=f(-1)+f(1)が成立するとき
f''(c)=0を満たす実数cが少なくとも一つ存在することを証明せよ
392:391
08/07/25 13:14:25
見えにくいけど
f''(c)=0はf’’(c)=0 ←fの2階微分のcにおける値
393:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:17:48
次の条件を満たす自然数、ｍ、ｎ、ｋを求めよ。
５＾m+７^n＝Ｋ＾3
394:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:31:39
次の式を満たす全ての解を求めよ。
Ⅹ＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４ⅩＹＺ－１
395:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:36:03
Ⅹ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５
この式は、無限に多数の自然数の解を持つことを
証明せよ。
396:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:45:46
ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ－ｂ）＾３＋（ｂ－ｃ）＾３＋（ｃ－ａ）＾３＝６０
｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ｜の最大値と最小値を求めよ。
397:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:53:14
以下の式で、
どんな整数ｎに対しても、整数の解が存在する
ことを証明せよ。
Ⅹ１＾3＋Ｘ２＾3＋Ｘ３＾3＋Ⅹ４＾3＋Ⅹ５＾3＝ｎ
398:１３２人目の素数さん
08/07/25 13:58:52
以下の式を満たす、ａ，ｂ，ｃの組を求めよ。
ａｂ＋ｃ＝（ａ＾2，ｂ＾2）＋（ａ，ｂｃ）＋（ｂ，ａｃ）＋（ｃ，ａｂ）＝（２３９）＾2
399:１３２人目の素数さん
08/07/25 14:05:08
次の式を満たす自然数ｘ、ｙを求めよ。
８Ⅹ＾2－２ⅩＹ＝６Ｙ＝３Ⅹ＾2＋３Ⅹ＾3Ｙ＾2
400:１３２人目の素数さん
08/07/25 17:18:45
>>391
近大の問題？
401:１３２人目の素数さん
08/07/25 17:48:31
>>395
(2^(5n-3))^2+(2^(5n-3))^2=(2^(2n-1))^5
402:１３２人目の素数さん
08/07/25 19:47:13
>>390
各辺全部正だから対数とって
y=logxのグラフの面積（ｒｙ
基本問題レベルじゃね？
403:１３２人目の素数さん
08/07/25 23:15:22
Stirlingの公式知ってれば普通に解けそうだな。
まあStirlingの公式は基本かどうか分からんが。
404:１３２人目の素数さん
08/07/25 23:22:16
>>391
平均値の定理を二回使えば良い。
f '(c_1) = f '(c_2) (= {f(1) - f(0)/1 = {f(0) - f(-1)/1)
となるような-1<c_1<0<c_2<1が取れる。
区間(c_1, c_2)での函数f '(x)に平均値の定理
（というかRolleの定理）を適用すれば良い。
# いつも思うんだけど、大学入試でこれくらい略した解答を
# 書いたら何点くらい貰えるんだろう。
405:１３２人目の素数さん
08/07/26 09:38:36
>>393から>>399
の問題に誰か解答して。
難問中の難問だから。
解けたら神。
406:１３２人目の素数さん
08/07/26 09:52:54
>>405
>>398のかっこの定義は？
407:１３２人目の素数さん
08/07/26 09:55:20
>>405
>>395⇒>>401
あと、>>394は問題文に不備があるんじゃない？
408:１３２人目の素数さん
08/07/26 10:05:50
>>399も問題文に違和感。
409:１３２人目の素数さん
08/07/26 10:32:48
>>399
8x＾2-2xy=6y=3x^2＋3x^3*y^2でいいのか？
6y=3x^2＋3x^3*y^2について、
(3x^3)y^2-6y+3x^2=0のyについての判別式をDとすると
D/4=9-9x^5
yが実数解を持つ条件はx=1（∵xは自然数）
このとき代入して解くとy=1
この2解は8x＾2-2xy=6yも満たすから
求める自然数解は(x,y)=(1,1)のみ
解けたら神・・・？んなアホな
410:ゴメス
08/07/26 11:55:34
どうして１３２人目の素数さんの問題を１３２人目の素数さんが答えているんでしょうか。
411:１３２人目の素数さん
08/07/26 12:54:04
>>410
半年ROMってね ^ ^
412:１３２人目の素数さん
08/07/26 13:21:18
ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ－ｂ）＾３＋（ｂ－ｃ）＾３＋（ｃ－ａ）＾３＝６０
｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ｜の最大値と最小値を求めよ。
413:ゴメス
08/07/26 13:28:16
>>411
ROMって何のことでしょうか。
CD-ROMのROMのことですか？
414:１３２人目の素数さん
08/07/26 14:33:41
>>413
ググレカス
415:１３２人目の素数さん
08/07/26 17:59:56
x,y,zが次の条件を満たすとき、
（x）＾３＋（y）＾３＋（z）＾３＝６０
｜x｜＋｜y｜＋｜z｜の最大値と最小値を求めよ。
416:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:09:17
I
Gx=1-r3x^2=0 x=(1/3r)^.5
Gr=x^3+y^3+z^3-60=0
3(1/3)^1.5r^-1.5=60
r=((20)^-1/1.5)/3
417:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:13:13
2
Gx=-1-r3x^2=0
418:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:57:47
高さ１０cm、底辺半径１０cmの円柱を斜め斬りしたとき、最大面積を計算しなさい。 １５点
419:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:58:33
４１８を円錐でも計算しなさい。 １０点
420:１３２人目の素数さん
08/07/26 19:13:10
Bihermitian Structures on Complex Surfaces
V. Apostolov, P. Gauduchon and G. Grantcharov
421:１３２人目の素数さん
08/07/26 19:26:34
内接円の半径が1の三角形の面積の最大値を求めてください
422:１３２人目の素数さん
08/07/26 19:58:13
>>412
この公式使ってみ
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
423:１３２人目の素数さん
08/07/26 20:01:19
AT what point in time when language have originated is far from clear.
この文の文型ふるとSはどれですか？？（×-×）
424:１３２人目の素数さん
08/07/26 20:13:28
AT what point in time when language have originated
が S
425:１３２人目の素数さん
08/07/26 20:29:08
>>394
相加・相乗平均より
X^4 + Y^4 + Z^4 + 1^4 ≧ 4|XYZ| ≧ 4XYZ,
よって等号成立条件を調べる。
左側から
|X| = |Y| = |Z| =1.
右側から
(X,Y,Z) = (1,1,1) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (-1,-1,1)
解けたら神・・・？んなアホな
426:１３２人目の素数さん
08/07/26 21:43:59
Ⅹ＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４ⅩＹＺ－１
x^3=yz
3xyz=4xyz-1
xyz=1
427:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:02:13
1/(yz)^3=yz
(yz)^4=1
x^4=(xyz)^4=1
x^4=1=y^4=z^4
428:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:10:04
多様体問題はふつうに偏微分しろよ・・・塾で教えてるだろ
429:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:17:20
>>415
最小値
|x| + |y| + |z| ≧ (|x|^3 + |y|^3 + |z|^3)^(1/3) ≧ (x^3 + y^3 + z^3)^(1/3) = 60^(1/3),
等号は x=60^(1/3), y=z=0 及びその rotation のとき.
最大値：なし
x=60^(1/3), y=-z→∞ のとき ∞
解けたら神・・・？なんて誰も言ってねぇか･･･
430:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:19:08
>>428
知識なけりゃ解けない奴が数学しない方が良いよ
431:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:24:40
>>404
# 解析の問題なら もちろん 零点(null)だな。
432:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:29:22
x^3+y^3+z^3=60
x=(rsc)^2/3
y=(rss)^2/3
z=(rc)^2/3
r^2=60
|x|=|rsc|^2/3
|y|=|rss|^2/3
|z|=|rc|^2/3
433:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:37:33
|x|+|y|+|z|=|r|^2/3(|s|^2/3(|c|^2/3+|s|^2/3)+|c|^2/3)
434:１３２人目の素数さん
08/07/26 22:49:03
K=r^2/3(s^2/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(s^2-1)^1/3)
Kp=r^2/3((2/3)cs^-1/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(2sc(1/3)(s^2-1)^-2/3))=0
Kt=r^2/3(s^2/3((1/3)(2sc)(s^2-1)^-2/3+(2/3)cs^-1/3))=0
cp=0,ct=0
K=r^2/3=60^1/3
435:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:43:44
>>420
ｔｈｘ．
436:１３２人目の素数さん
08/07/27 08:36:05
>>393->>399
って昔いた素数様か？
437:１３２人目の素数さん
08/07/27 11:05:45
いいえ、kingです
438:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/07/27 11:59:12
Reply:>>437 私を呼んでないか。
439:１３２人目の素数さん
08/07/27 21:37:25
最大最小問題は定石があるだけ 小細工はいらない
440:１３２人目の素数さん
08/07/29 01:16:48
◆ わからない問題はここに書いてね ２４７ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:405番)
を改変
数列 {a[n]} を
a[0] = x,
a[n+1] = sin(a[n]) (n≧0)
で定める
0＜x＜π のとき
lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3
であることを証明せよ
441:１３２人目の素数さん
08/07/29 07:03:07
y=sin(x)
x=y
x=sin(x)
442:１３２人目の素数さん
08/07/29 08:29:57
>>429
もとの問題は、
ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ－ｂ）＾３＋（ｂ－ｃ）＾３＋（ｃ－ａ）＾３＝６０
｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ｜の最大値と最小値を求めよ。
これが解けたら神。
443:１３２人目の素数さん
08/07/29 11:29:47
>>442
まるち
444:１３２人目の素数さん
08/07/29 20:19:54
これが解けたら神とかマジでキモイんですけど
445:１３２人目の素数さん
08/07/29 22:09:20
ｽﾚﾘﾝｸ(news4vip板)l50
宇宙論について
助けてくれ
446:１３２人目の素数さん
08/07/30 00:40:23
>>440
ヒントだけでも教えてくれ
sinのぜんかしきで表させる数列は
下に有界で単調現象であることはわかった
n^(1/2)をかけても上に有界なのがわからん…
447:１３２人目の素数さん
08/07/30 00:54:26
>>446
a[n] = √(3/b[n]) とすると b[n]～n になるはずだから、
b[n] についての漸化不等式
f(b[n]) ＜ b[n+1] ＜ g(b[n])
を作ったらできた
448:１３２人目の素数さん
08/07/30 08:23:48
>>447
関数f、gって何を表してるの？
449:１３２人目の素数さん
08/07/30 08:39:37
>>448
b[n]+1-(小さい項) ＜ b[n+1] ＜ b[n]+1+(小さい項)
450:１３２人目の素数さん
08/07/30 08:49:04
>>449
その不等式はどうやったら証明できるの？
451:１３２人目の素数さん
08/07/30 09:31:04
ｐ，ｑ，ｒを自然数とする。
直角三角形ＡＢＣの斜辺をｒとする。
このとき、Ｐ＾２＋ｑ＾２が奇数になるための
条件を求めよ。
452:１３２人目の素数さん
08/07/30 09:32:54
斜辺以外の二辺の長さが p と q であるとか
そういう条件は無いのか。じゃあ p と q の偶奇が同じとしか言えないな。
453:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:25:18
なんだこの糞問は
454:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:29:39
「ｐ、ｑ、ｒは自然数で、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
一次関数ｒ＝２ｑ＋１とｒ＝－ｑ＋３の交点をＡ
一次関数ｑ＝３ｐ＋３とｑ＝－２ｐ＋５の交点をＢ
一次関数ｐ＝５ｒ＋２とｐ＝－ｒ＋１の交点をＣ
とする。三角形ＡＢＣが正三角形になるための必要十分条件を求めよ」
455:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:37:10
これはひどい
456:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:48:08
「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
偶数であるとき、
５＾ｐ＋７＾ｑ＝９＾ｒを満たす、ｐ、ｑ、ｒを一つみつけよ」
457:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:52:10
>>455
どういうところが「ひどい」んだよ？
458:１３２人目の素数さん
08/07/30 14:53:36
そんな数の組はない。
459:１３２人目の素数さん
08/07/30 15:13:55
>>458
「ない」としたら、それが数学的に正しい「答え」で、
答案用紙にそう書けばよい。
さて次の問題、
「ｐ、ｑ、ｒは自然数であリ、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
また、ｐ、ｑは偶数、ｒは奇数である。
√ｐ×√ｑ×√ｒが最小の正の整数となる数を求めよ」
460:１３２人目の素数さん
08/07/30 15:18:04
何この糞問のオンパレード
461:ＺＥＵＳ
08/07/30 15:22:15
海外の大学では、「答えのない問題」を出題し、
「答えが無いこと」を証明させる問題が少なくない。
例えば上のほうにあった、
５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３を満たす自然数を見つけよ。
という問題は海外の大学の数学の問題だが、
解答はこちら
↓
URLﾘﾝｸ(www.fen.bilkent.edu.tr)
「そのような自然数はない」ことを証明するのが「答え」
462:ＺＥＵＳ
08/07/30 15:36:58
海外での数学の考え方
①「答えがある問題」は答えを求める。
②「答えがない問題」は「答えが無いこと」を証明する
日本の数学者は、「答えがある問題」ばかり解いて、「解けた喜び」に
ばかりひたっているが、海外ではそうではない。
そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、
「答えが無いこと」を証明しなければならない。
463:ＺＥＵＳ
08/07/30 15:38:44
日本の数学者は、「答えがある問題（＝数学的に答えが分かる人には分かりきった問題）」ばかり解いて、「解けた喜び」に
ばかりひたっているが、海外ではそうではない。
そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、
「答えが無いこと」を証明しなければならない。
464:１３２人目の素数さん
08/07/30 15:40:22
オマエの書き込みの内容の是非はおいといて、
とりあえず、東大は日本の大学だ。
んで、ここは「★東大入試作問者になったつもりのスレ★」だ。
465:ＺＥＵＳ
08/07/30 15:42:02
>>464
東大の数学科の教授も、今後は、海外の大学の入試問題を
研究して、「解のない問題」を出題するかもしれないよ。
466:１３２人目の素数さん
08/07/30 15:47:22
>>465
外国の数学の大学入試って簡単じゃないのか？
むしろ外国語の試験が鬼のように難しいって聞いたことがあるんだが。
467:１３２人目の素数さん
08/07/30 15:53:17
>>461
(0,1,2)が解って書いてんじゃん
468:ＺＥＵＳ
08/07/30 17:40:51
>>467
いいや。それは結論ではない。あくまでも「附則」です。
解答は「ｔｈｕｓ ｏｕｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｎｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｉｎ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ」です。
469:ＺＥＵＳ
08/07/30 17:41:29
>>467
「自然数には解がない」というのが解答です。
470:１３２人目の素数さん
08/07/30 17:43:46
何かキモイ流れだな
471:ＺＥＵＳ
08/07/30 17:45:32
５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３に（ｍ、ｎ、ｌ）＝（０、１、２）を代入して、
５＾０＋７＾１＝２＾３
１＋７＝８
472:ＺＥＵＳ
08/07/30 17:49:18
自然数には 0 を含めないとする流儀もあるのです。
おそらく、問題の前提としては、自然数に０を加えないという
ことなのでしょう。
473:１３２人目の素数さん
08/07/30 17:52:27
non-negative integer
474:ＺＥＵＳ
08/07/30 17:59:57
>>473
「マイナスでない整数」
問題文では、（０を含めない前提での）自然数１、２，３，４，５、、、、、を
考えている。
475:ＺＥＵＳ
08/07/30 18:07:27
数学の事典をみたら、
「正の整数を自然数という」と定義されていた。
よって、この問題に、「解」はない。
476:ＺＥＵＳ
08/07/30 18:28:40
「６以上の任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができることを
証明せよ。」
477:１３２人目の素数さん
08/07/30 18:31:22
>>1 より
> 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で解ける問題を
> 考えてうぷするスレ。
「考えて」うぷするスレ。
自分で問題を考えること。
478:ＺＥＵＳ
08/07/30 18:42:21
たとえば、
８は、３＋５
１０は５＋５
１２は７＋５
。。。。。。。
たしかに、二つの奇素数の和で表される。
が、これをどうやって証明するか？
①６以上の任意の偶数を２ｎ＋２（ｎ≧２）とおく。
②奇数でかつ素数を、どうやって文字式で表すか？
③任意の奇数を２ｍ＋１（ｍ≧０）で表される。
④素数は、「１とその数以外に約数を持たない数」だから、
逆に考えて、上の式のｍに制約条件をかければよい。
たとえば、５は奇素数、しかし１５は奇数だが素数ではない。
１、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、、、、
奇素数を●とすると、
●、●、●、●、９、●、●、１５、●、●、２１、●、２５、２７、●、●、３２
この数列に「規則性」を見つけてください。
479:１３２人目の素数さん
08/07/30 19:26:34
ＺＥＵＳってやつ友達いなさそう・・・
480:１３２人目の素数さん
08/07/30 20:26:07
>>479
人の話をまるで無視するからね。
自分のことで精一杯なんだろうけど。
481:１３２人目の素数さん
08/07/30 20:58:32
(1)xy平面上の動点P,Qはそれぞれx軸、y軸上のx≧0,y≧0,の部分を
OP+OQ=1という関係満たしながら動く。
このとき線分PQの通過しうる領域を図示し、その領域の面積を求めよ。
(2)xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通貨しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。
482:１３２人目の素数さん
08/07/30 22:43:23
>>481
アステロイドになった
(2)はアステロイドの空間版
483:１３２人目の素数さん
08/07/30 22:53:32
ＺＥＵＳ君もう少し勉強してからここに来てくれ
484:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:06:28
>>481
（２）どうやるの？
485:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:13:30
>>396 , >>412
ここら辺↓に解答･･･
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:408-409番)
不等式スレ３
486:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:21:59
2m=(2m-t)+t=p+q
487:１３２人目の素数さん
08/07/31 00:55:58
全部の素数をランダムにたして、２mがすべてできることをいえばいい。
488:１３２人目の素数さん
08/07/31 01:09:03
OP+OQ=1
PQ=(x^2+(1-x)^2)=(2x^2-2x+1)^.5
489:１３２人目の素数さん
08/07/31 01:20:09
エンベロープ
490:ＺＥＵＳ
08/08/01 08:41:54
ｘｙ平面上の２点をＡ（－１，０），Ｂ（１，０）とする。
線分ＡＢを直径とする円周上を動く点Ｐがある。
線分ＰＡを３：４に内分する点をＮとし、線分ＰＢを
１：４に内分する点をＭとする。
ＡＭとＢＮの交点Ｑが描く図形の方程式を求めよ。
491:１３２人目の素数さん
08/08/01 13:32:31
(1)∑(1/n)が発散することを示せ。
(2)(1)の和において、自然数nを10進数展開したときに
9が付く数(9,19,94,900など)を除外した場合、
和は収束し、80未満となることを示せ。
492:ＺＥＵＳ
08/08/01 16:19:34
次の連立方程式を考える。
Ⅹ＾２＋Ｙ＾２＋３ⅩＹ＝１１
Ⅹ＋Ｙ－ＸＹ＝９
このとき、Ⅹ＋ＹとＸＹの値を求めよ。
493:１３２人目の素数さん
08/08/01 16:31:44
あれだろ、、
ⅩとＸは実は違う文字でしたーｗｗｗ
なんてオチだろ？
494:１３２人目の素数さん
08/08/01 16:52:21
>>491
(1)∑1/n>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+…+1/8)+…
から示せる
(2)10^(n-1)と10^nに9^n個あることから示せる
495:１３２人目の素数さん
08/08/01 17:24:03
オリジナリティのある良問まだー？
496:１３２人目の素数さん
08/08/01 19:53:11
a[1]=a,a[n+1]=cos(a[n])とするとき
どんなaに対しても
lim[n→∞]a[n]が存在することを示せ
497:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:45:03
>>496
これのsinバージョンの完璧な証明を今も見たことないんだけど
498:１３２人目の素数さん
08/08/02 00:13:54
sinだったら簡単じゃん。
a_0=a かつ a_{n+1} = sin(a_n) とする。
-1 ≦ a_1 ≦ 1 である。
0 ≦ a_1 ≦ 1 としてよい。（そうでないときは b_n = -a_n を考えれば良い）
{ a_n } は常に正なので下に有界であり、かつ単調減少である。
有界単調数列は必ず或る有限実数値に収束するので、その収束値を A とする。
A = sin(A)より A = 0。
499:１３２人目の素数さん
08/08/02 00:17:52
>>498
すまん
これのことだった
数列 {a[n]} を
a[0] = x,
a[n+1] = sin(a[n]) (n≧0)
で定める
0＜x＜π のとき
lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3
であることを証明せよ
500:１３２人目の素数さん
08/08/02 01:53:11
>>496 -1≦a_2≦1より
0<a_3≦1 ∴n≧3のとき 0<a_n≦1
以上より 0<a≦1としても一般性に差し支えない。
さて、cos0>0,cos1-1<0であるから
cosα=αなるαが(0,1]内に少なくとも一つ存在する。
f(t)=cost-tは(0,1]内で単調であるからそのような数はだだ一つ
よってそれをαとする。
cosの単調性より
a_n<α⇒a_(n+1)>α
a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。
ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。
よってそれらはβ,γにそれぞれ収束する。
そしてβ=cosγ,γ=cosβを満たす。
よってβ=cos(cosβ) γ=cos(cosγ)
ここでg(t)=cos(cost)-tとおくと
g(α)=0 g'(t)=sin(cost)*sint-1<0
よってβ=γ=α。すなわちa_nはαに収束する。 ///
501:１３２人目の素数さん
08/08/02 02:57:49
>>496
東工大ぽいな
502:１３２人目の素数さん
08/08/02 03:13:32
＞a_n<α⇒a_(n+1)>α
＞a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。
＞ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。
意味不明
0点
503:１３２人目の素数さん
08/08/02 06:33:39
cos(cos(a))/cos(a)=sin(cos(a))sin(a)/sin(a)=>|sin(cos(a))|<1 for all a
504:１３２人目の素数さん
08/08/02 06:35:44
an+1=log(an)の収束半径をもとめな。
505:１３２人目の素数さん
08/08/02 06:36:33
an+1=log(an)log(an)cos(an)の収束半径をもとめな。
506:１３２人目の素数さん
08/08/02 07:33:34
>>502 a_[n+2]=cos[cosa_n]>(<)a_nが抜けてた。
g(t)はここで出しておくべきだったな。
507:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:12:38
xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通過しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。
508:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:24:36
>>507
>>481
509:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:33:16
>>481
平面だと無限大になるから
三角形PQRの通過しうる領域の体積と解釈しておｋ？
510:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:48:17
>>418,507
1/18
511:１３２人目の素数さん
08/08/02 21:38:09
>>507
計算してPQRの通る曲面(包絡面？)が
√x+√y+√z=1、x≧0,y≧0,z≧0
となって体積を計算したら1/90になった
512:１３２人目の素数さん
08/08/02 21:38:40
訂正
√x+√y+√z≦1、x≧0,y≧0,z≧0
513:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:22:13
難易度高いです＞＜
514:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:47:41
>>511
どうやってやったの？
515:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:32:35
>>507
1/30？
516:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:34:00
俺も1/30になった
517:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:15:59
511-512だけど>>515-516お二方はどうやったの？
なんかこう違うと、何が何やらわけがわからなくなっちまった。
ついでに>>481の(1)は√x+√y≦1、x≧0,y≧0になった。
一応texで打ってみるかな
518:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:21:57
>>517
ごめん
やりなおしたら1/90になった
519:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:30:20
>>517ですが
URLﾘﾝｸ(www36.atwiki.jp)
URLﾘﾝｸ(www36.atwiki.jp)
こんなかんじです
ちょっと今、手直ししてますが、p≠0,r≠0で解答してました。p=0,r=0の場合は(1)に帰着して結局>>511になるんですけど
520:518
08/08/03 01:46:58
>>519
俺も同じくz=tでの切断から考えて
ORの値を固定
でその断面積を求めたあとでORを動かした時の最大値がOR=√tのときで
あとは積分で1/90
途中ノートのページが変わるときに文字を写し間違えて最大値がくるってしまった
なんか>>517みるとすごく簡単に解けているように見えるな
521:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:48:23
>>519
ＧＪ
522:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:02:10
>>519
問題のとこ平面PQR→三角形PQRに訂正
523:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:03:06
>>519
なんじゃこりゃあああ！！！
てふかなんかでわざわざ作ったのか？
てっきり紙に適当な数式書いてアップしただけかと思った
524:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:18:25
>>522
了解
>>523
TeXでおこしてPDFをキャプチャして貼り付けたんです。
他の問題も同様にしてます。Wordって少し使い勝手が悪くて
525:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:31:41
>>524
やっぱてふ使ってわざわざ…
分からない問題はここに書けというスレとこことあともう一つくらいしかスレみてないけど
数学板でこういうの見たの初めてで感動したよ
526:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:47:06
>>525
このスレの方でPDFで神解答してる人は見たことありますよ(ベクトルがらみの益田さんの問題だったかな)
これが原文
URLﾘﾝｸ(www36.atwiki.jp)
527:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:47:47
貼り付け専用なので尺一杯ですが。
528:１３２人目の素数さん
08/08/03 04:12:32
益田とかいたな
最近見ないけど逮捕されたんかな
529:１３２人目の素数さん
08/08/03 05:28:16
単に飽きたのでは。
サイトの問題全部アーカイブで公開してから消えてほしかった。
530:１３２人目の素数さん
08/08/03 06:04:57
>>499 (略解)
|x|≦1 とする。
sin(x)^2 = {1 - cos(2x)}/2 なので,
x^2 - (1/3)x^4 < sin(x)^2 < x^2 -(1/3)x^4 + (2/45)x^6 < (x^2)/{1+(1/3)x^2},
1/x^2 + 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 > 1/x^2 + 1/3,
1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3,
これに x=a[n] を代入する。
a[n] → 0 (n→∞)
は既知ゆえ、
1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞),
1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞),
これをnで割る。
531:１３２人目の素数さん
08/08/03 06:27:32
>>492
与式を辺々たすと
(X+Y)^2 + (X+Y) = 11 + 9 = 20,
X+Y = -5, 4.
下の式より
X+Y = -5 のとき, XY=-14, {X,Y}={-7,2}
X+Y = 4 のとき, XY=-5, {X,Y}={-1,5}
532:１３２人目の素数さん
08/08/03 07:46:40
>>531
これはひどい
533:１３２人目の素数さん
08/08/03 12:19:16
>>530
> 1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞),
ちゃんと計算すると、1/(a[n])^2 - (n/3) は n→∞ で発散するよ
534:１３２人目の素数さん
08/08/03 13:27:04
sin(sin(a))/sin(a)=-cos(sin(a))cos(a)/cos(a)=>|cos(sin(a))|<1 for all a
535:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:03:07
a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１
536:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:03:56
次の条件を満たす正整数ｎは存在するか．
ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある．
２n + 1 はｎで割り切れる
537:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:09:15
存在しない
２n + 1 はｎで割り切れるよりほぼ自明
538:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:09:18
>>534 うっわ恥ずかしいやつ＾＾；
539:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:10:22
２^n + 1 はｎで割り切れる
540:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:19:54
a,b=1/a,c=1
(2a-1)(1/a)(1/a)=2/a-1/a^2
2=2at
a=1/t
(2/t-1)t^2=(2-t)t t=1->a=1 f=1
541:１３２人目の素数さん
08/08/03 14:36:11
a,b,c=1/ab
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１
(a-1+1/b)(b-1+1/ab)(1/ab-1+1/a)
(ab-b+1)(1-(ab-b)^2)/ababb
(z+1)(1-z^2)/ababb
z=1,-1
z<-1
ab-b<-1
0<b<-1/(a-1)->a<1
542:１３２人目の素数さん
08/08/03 15:06:31
a<(b-1)/b
a->0->b->1
z->-1 f->
a->1->b->∞ z->-∞
z=(a-1)b
-z^3/a^2b^3=-(a-1)^3/a^2->0
543:518
08/08/03 15:18:00
式だけ書いてる奴ってなんなの？池沼？
544:１３２人目の素数さん
08/08/03 15:25:08
かなり昔からいるkitty
545:１３２人目の素数さん
08/08/03 16:20:07
a->0->b->1
z->-1 c->1/a
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + a) (2/a - 1 )->0
546:１３２人目の素数さん
08/08/03 18:29:44
king
547:１３２人目の素数さん
08/08/03 18:32:00
>>499って事実としては正しいの？
548:１３２人目の素数さん
08/08/03 18:46:48
>>547
>>440のスレにあるけど誰も解けてないみたいだし、正しいかは不明
549:１３２人目の素数さん
08/08/03 19:01:41
実際に第100項とか第1000項くらいまで確かめてみれば
正しいかどうかの予想は付くんだろうけど、
俺プログラミング出来ないからなあ、、
流石によほど暇じゃないと函数電卓で計算する気は起きないなｗ
550:１３２人目の素数さん
08/08/03 19:12:15
>>547
第25項くらいまで電卓で計算してみたけど，実際に√3付近の数に収束していってる
からあってるかと．
551:１３２人目の素数さん
08/08/03 19:39:34
25項で決めるとは
552:>>440 >>533
08/08/03 21:27:15
>>530 で大体あってる
>>533 で指摘したとこは、正しくは
(1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1)
になるはず
α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき
α[n]/n → β (n→∞)
を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば
> 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞)
からすぐに
1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞)
不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの
(途中まで >>530 のを借りる)
> 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3
まで正しいとして、
|x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので
(1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3
x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して
(1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3
見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると
1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*)
左の不等号から、n≧2 で
b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**)
これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で
b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2]
＜ n + (1/2)log(n) + b[2]
これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は
(√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n))
挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞)
553:552
08/08/03 22:38:42
× 不等号式
○ 不等式
× 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*)
○ 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (3/(2b[n])) … (*)
だった
以下も適当に修正しといて
554:530
08/08/04 06:24:20
>>499 (訂正)
1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3,
まで正しいとして、
見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とする。 >>552
k≧N のとき (N:自然数)
b[N]/(b[N]-1) ≧ b[k]/(b[k]-1) > b[k+1] - b[k] > 1,
k=N,N+1,･･･,n-1 について相加平均すると
b[N]/(b[N]-1) > (b[n] - b[N])/(n-N) > 1,
ここで n→∞ とすると
b[N]/(b[N]-1) ≧ lim[n→∞) b[n]/n ≧ 1,
Nはじゅうぶん大きく取ってよいから
lim[n→∞) b[n]/n = 1.
555:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/08/04 08:26:32
Reply:>>546 私を呼んでないか。
556:１３２人目の素数さん
08/08/04 20:05:09
sin(x)>x
sin(x) monotonic for 0<x<pi/2
sin(sin(...(x)))->1
sin(sin(x))/sin(x)->cos(sin(x))cos(x)/cos(x)->cos(sin(x))->1+0 as x->0,pi
557:１３２人目の素数さん
08/08/04 20:08:46
URLﾘﾝｸ(math.coe.uga.edu)
558:ＺＥＵＳ
08/08/05 09:27:27
「ｐ、ｑ、ｒ are natural numbers ａｎｄ satisfing ｐ≦ｑ≦ｒ．
ａｎｄ、ｐ、ｑ are even numbers and ｒ is odd number.
find the most small positive integral number
satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」
559:１３２人目の素数さん
08/08/05 10:37:13
18 = (√2)(√6)(√27)
ってこと？
560:１３２人目の素数さん
08/08/05 10:38:36
ＺＥＵＳって数学だけじゃなく英語も出来ないんだな。
561:１３２人目の素数さん
08/08/05 11:14:20
√p×√q×√rを満たす最小の整数を求めよ……
ごくり……
562:１３２人目の素数さん
08/08/05 11:31:05
わざわざ英語で書いてるあたりどこかの問題をコピペしてるっぽい。
563:１３２人目の素数さん
08/08/05 20:05:09
コピペだとすると、所々無意味に全角になっているのが気持ち悪い
564:１３２人目の素数さん
08/08/05 20:13:42
あんな酷い英文がコピペであるはずがない。
565:１３２人目の素数さん
08/08/05 22:04:10
most smaller (笑)
566:１３２人目の素数さん
08/08/05 22:36:44
If X chooses a prime number and simulataneously Y guesses whether it is odd or even (with gain or loss of ＄1), who has the advantage?
567:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:30:03
You is a big fool man.
568:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:41:18
おまえら、わざとやってるのか？
569:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:51:47
東大入試史上最も難しい問題より難しいっぽい問題が
中央大学の文系で出てるんだけど誰か解いてみたいっていう猛者はいるか？
このスレの住人なら知っていて当たり前だろうと思うが、n次元超平面上格子点存在問題
570:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:57:07
>>569
いつ出たの？うｐ
571:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:07:48
>>570
11年前に出てるけど出題者としてあるまじき行為というバッシングを受けてたっぽい
幾何学としても代数学としても有名な事実だが、文系の人にやらせるにはあまりにひどい問題
a_1、a_2、…、a_nを与えられた正の整数とする。
その最大公約数をdとするとき、
a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d
を満たす整数x_1、x_2、…、x_nが存在することを示せ。
572:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:12:44
東大受験生だと解ける奴はそれなりに居るよ。
何せ知識問題だから。
中央大文系だと全滅の懼れが大きいが。
573:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:16:19
ところでどこが幾何学なのか良く分からん。
少なくとも「n次元超平面上格子点存在問題」じゃないと思う。
574:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:18:08
さんくす
解いてみる
575:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:27:20
>>571 n=2のとき、a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、
a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。
n=kのとき、題意が成り立つと仮定すると、
a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d'なるx_1....x_nが存在する。
この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd
ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。///
576:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:28:39
安全に証明を行えるという点で幾何学の問題を代数学で
というのは数学を学んでいくとよくある手法だな
逆に代数の問題を関数論でというようなパターンも大学２年でやる
577:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:29:12
Euclidの互除法と帰納法で証明しても良いし、
どっちかというとそっちのほうが計算的だけどもっと簡単に証明。
gcm(a_1, a_2, ........., a_n) = d である。
a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n}と表せる形の整数の集合 I を考える。
I = { x ∈ Z : 或る x_{1}, ........, x_{n} が存在して n = a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} }
x ∈ I ならば x の倍数 nx も I の要素であり、またx, y ∈ I ならば x ± y ∈ I となる。
よって I の要素の絶対値のうち最小のものを e とすると I は e の倍数の集合となることがわかる。
（∵ e' = ne + e'' , 0 ＜ e'' ＜ e とすると e'' ∈ I となり矛盾する。）
或る x_1, ........, x_n が存在して e = a_1x_1 + ......... + a_nx_n だから e は d の倍数。
また a_i は I に含まれるので、逆に a_i は e の倍数。よって e は a_1, ........., a_n の公約数。
よって e = d。つまり d は a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} の形に表すことが出来る。
quod erat demonstrandum.
と、ここまで解いてリロードしたら>>575が既に解いてた。
でも「a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。」
これ使って良いのかな。
578:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:31:52
これでバッシングって、マーチはすげえな。
地底くらいなら普通にだすだろ。サービス問題として。
579:１３２人目の素数さん
08/08/06 01:32:09
n=2の場合は稀に出題されるよね
580:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:23:00
>>571の問題は解決するのに歴史的時間を要してるからなぁ
>>575の解法でいくと5点もらえていいほうかな
この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd
ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。///
この証明はないだろ…さすがに…帰納法の意味わかってるのか？
581:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:27:30
は？ちゃんと読めよマーチのカスｗ
582:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:32:14
幾何学的な証明は？
583:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:32:58
>>580 d'はn項までの数の最大公約数(nのときの仮定より。)
A_n=d',x'1A_n+x'_2a_n+1=d(n=2のときによる)
であるが、何か問題でも？
584:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:33:16
>>579
出るわ
aとｂは与えられた正の整数でaとbは互いに素である
直線ax+by=1は格子点を通ることを示せ
格子点とはx座標とy座標が共に整数の点のことであるって奴が出た
【 時 間 が な く て】 わからんかったけど
585:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:38:46
>>583
d'とa_(n+1)の最大公約数がdってどっから出てきたの？
まさか仮定ってn=2のときa_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1ですよってところからきたの？
n=2のとき帰納法で与えられたa_1とお前が作りだしたd'って全く別物じゃない？
586:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:42:56
>>585 アホ？すべてのa_nはd*a'_iに分解できる。
よってd'=rdとなり、d'とa_n+1はdを共通因子に持つ。
仮にd'とdの最大公約数d''>d⇒a_1・・・a_n+1の最大公約数もd''→矛盾。
587:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:51:43
>>586
だからお前が帰納法使っているときに仮定よりn=k個の場合は
a_1～a_kの最大公約数はd'とおいてるんだろ？
で、n=2のときa_1とa_2の最大公約数はdとおいてるんだよな？
当然のことだがこのa_1とa_2はn=2のときとn=kのときで全くの別物ってのはOK？
588:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:53:18
>>587 何言ってんだ？お前帰納法の意味まるでわかってないな。
589:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:56:52
>>588
ということはまさかお前n=2のとき使ったa_1,a_2とｎ=kのときのa_1,a_2が同じ数だー
とか思っちゃっているわけだな？
それに対しておれが帰納法まるでわかってないみたいに言ってるであってる？
そのへんがよくわからんないんだけど
590:１３２人目の素数さん
08/08/06 02:58:30
同じ数って何の話してんだ？
a_1....a_nは任意の整数の組だぞ？
dとd'は区別するために書いただけでただの最大公約数だぞ？
大丈夫か？
591:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:02:40
n=2のとき、"任意の"a_1,a_2に対して題意は成立
n＞3のとき、"任意の"a_1...a_nに対し題意が成立すると仮定
⇒a_1x_1+・・・+a_nx_n=d'
a_1=d',a_2=a_n+1とおいてn=2の場合より題意成立。(当然整数同士の積は整数である）
どこに問題が？
592:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:04:38
>>590
数学的帰納法において気をつけなければならない点
a_1....a_nは与えられた正の整数とあるとき、n=2,n=kの場合、
a_1,a_2の与えられた二つの正の整数、n=kの与えられたk個の正の整数を考える
この問題は数学的帰納法だけではとてもじゃないが、たちうちできない
ちょっとおれ今から整数論で完璧な証明書くので待ってくれ
593:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:06:36
完璧な証明はどうでもいいからまず>>591に反論してみてよ。
俺の頭の中じゃ何回考えてもおかしな点が見つからん。
594:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:24:54
>>593
今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった
あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした
お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった
今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます
I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n | x_1,x_2,…,x_nは任意の整数}
Nを自然数全体の集合とする
I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して
X=d~*q+r （q>0,0=<r<d~）…①
d~∈I∩Nだから
d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…②
なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する
X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから①は
r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0))
ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾
よってr=0,X=d~*q
つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、
a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である
そこでd~=dを示す
②において右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから
d~はｃで割り切れる
故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから
d~=d∈I∩N
∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0)
よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する
a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを
普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから
595:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:41:24
数学的帰納法を楽しげに語っているのでおれも間違い探しで参加するぞー(^o^)/
今日はなかなか>>577といいレベル高い奴がいるんですぐにみつけられそうだが気にしない
相異なるn個の点の集合のどの2点を通る直線も
この集合内の第3の点を通るという性質をもつならばこれらの点は全て一直線上にある。
数学的帰納法により示す。
n=3のとき、
2点を通る直線を任意に選ぶと仮定よりその直線はそれ以外の第3の点を通るので、
これらの点は全て一直線上にあることが示せた。
n=kのとき成り立つとしてn=k+1のときを示す。
n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば
他の点は全て一直線上にあるのでk+1個目の点も含めて
k+1個の点は全て一直線上にあることが示せた。
これにより題意は示せた。
この帰納法の使い方のおかしさを指摘してみろークズどもー(^o^)/
596:１３２人目の素数さん
08/08/06 03:55:57
＞n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば
そのような直線が存在するという証明がされていない。
というかn=2の時点で直線はきまってしまう。(ユークリッド幾何より）
よってそのような直線は一般に考えられない。
597:１３２人目の素数さん
08/08/06 04:00:56
n>2の整数という条件を入れ忘れたぞー(^o^)/
>>575といい>>596といい新理論で頭よすぎだぞー(^o^)/
みんな寝ちゃったみたいでタイミング逃したんでまたくるぞー(^o^)/
598:１３２人目の素数さん
08/08/06 04:05:20
にゃー（＾＾）
おやすみ 575でした＾＾
599:１３２人目の素数さん
08/08/06 05:20:21
>>65の
＞tanxの連分数展開からxが有理数ならtanxは無理数
っての誰かもう少し詳しく教えて下さいな。
600:１３２人目の素数さん
08/08/06 07:41:59
>>596
2つの命題を
p(n)：n個の点のうちのどの2点を通る直線もこの集合内の第3の点を通る
q(n)：n個の点はすべて一直線上にある。
とおく。
p(k+1)が成り立っているとして、
k+1個のうちのあるk個について、p(k)が成り立つかを考えると、成り立つとは限らない。
なぜなら、k個のうち任意の2点を選んだとき、それはもとのk+1個のうちの2点と考えることができるので、
その2点を通る直線は必ず第3の点を通るが、その第3の点が選んだk個のうちにあるとは言えないから。
すなわち、k+1個のうちのどのk個についてもp(k)は保証されず、したがってq(k)も成り立たない。
>>595の誤りは、帰納法の仮定はp(k)⇒q(k)という矢印つきの命題なのに、
「n=kのとき成り立つ」ことを「q(k)が成り立つ」の意味で扱っているところ。
601:１３２人目の素数さん
08/08/06 08:12:57
>>499を一般化してみた。
f ： [0,＋∞)→Rは連続であり、ある実数k＞1と、ある実数c＞0に対して
f (x)＝x－cx^k＋o(x^k) (x↓0)
と表されるとする( o(x^k)は小文字のo)。このとき、次が成り立つようなδ＞0が存在する。
(1) 0＜x＜δならば 0＜f (x)＜x である。
さらに、このようなδに対して次が成り立つ。
(2) 任意の0＜x＜δに対して、xn：＝f ^n (x)は狭義単調減少しながら0に収束し、
しかも (xn)*n^(1/p) → 1/(cp)^(1/p) (n→∞)である。
(1)：すぐに言える。
(2)：前半はすぐに言える。後半は>>530と同様に(1/x[n＋1])^p－(1/xn)^p→0 …＊を
示したあと「an→ αならば(a1＋…＋an)/n→α」を使って終わる。＊の計算は
(1＋x)^(－p)＝1－px＋O(|x|^2) (x→0) を使うと楽。
602:571
08/08/06 10:00:24
採点基準みたいなのがあるようなんで
>>575は与えられた正の整数の意味をわかってないようなので点を与えられない
>>577すばらしい！最小性の証明もばっちりなんで多分満点
>>594完璧です！多分満点
>>582
どうなんだろうね
実際みたことないけど
603:１３２人目の素数さん
08/08/06 10:06:20
全然超平面上の格子点問題じゃないじゃん
どうみても整数論じゃないか
でもこれ知ってないとできないと思うぞ
受験生には酷だろう
604:ＺＥＵＳ
08/08/06 14:04:04
関数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋３
と
関数ｙ＝ｇ（ｘ）＝２ｘ＾２＋３ｘ＋４
がある。
両者の、合成関数（ｇоｆ）（ｘ）が最大値１５、最小値－１２をとるとき、
ａとｂの値を求めよ。
605:ＺＥＵＳ
08/08/06 14:17:01
三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、
三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。
また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする
Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、
Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、
三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で
表せ。
606:１３２人目の素数さん
08/08/06 14:18:18
>>602 "与えられた正の整数の意味" とは？
607:１３２人目の素数さん
08/08/06 14:28:45
>>604 g(x)の最小値は
g(x)=2(x+(3/4))^2-9/8+4より23/8
∴どのようなa,bを選んでも最小値が-12となるようなことはない。
608:ＺＥＵＳ
08/08/06 15:01:34
>>607
作問の間違いでした。
609:１３２人目の素数さん
08/08/06 17:44:26
実数全体で定義された微分可能な関数f(x)はf(x)＞0を満たし，かつ正の実数αに対して常に
f'(x)＞(f(x))^α が成立するものとする．このときαの値を求めよ．
610:１３２人目の素数さん
08/08/06 18:12:29
>>602 点を与えられないんじゃなくてお前が証明理解してないだけ。
まぁこんな問題を東大最難より難しいとか言ってる時点でこいつの数学力は高々知れてるか・・・。
611:１３２人目の素数さん
08/08/06 18:44:45
(1) すべての自然数に対しlognは無理数となることをしめせ。
(2)f_n(x)=log(log(log(・・・logx)))(log n個の合成関数)とする。
(i)この関数が定義される領域を示せ。
ただしlog(x)は実数値関数として考え、x＞0で定義されるものとする。
(ⅱ)ⅰで求めた領域内に含まれる自然数に対し、
f_n(m)は無理数であることを示せ。
612:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:27:38
>>605
>三角形ＧＨＦが最大値
何の最大値だよ
613:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:39:25
>>611
（1）log1=0
614:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:49:53
(1) すべての自然数に対しlognは超越数となることをしめせ。
615:１３２人目の素数さん
08/08/06 21:54:17
適当な有理数列を作ることにより
任意の実数rに収束する有理数列が存在することを証明せよ。
616:１３２人目の素数さん
08/08/06 22:04:29
ちょっとクソ問題出すの止めてくんないかな
617:１３２人目の素数さん
08/08/06 22:10:31
Zeus が登場して以来流れが変ったな。
クソ問題かどこかで聞いたことのある問題ばっかりだ。
618:１３２人目の素数さん
08/08/06 22:35:50
>>603
R^2だとax+by=dという直線上に格子点が存在するかという問題に帰着できる
（dはaとbの最大公約数）
逆に格子点が存在しないのはどういう場合かということかな
あと>>575がなってないのは>>577の人も言ってるけどこれを証明なしに用いていること
本来これを証明すべきなのに示すべき内容が成り立つとして解答してしまっている
619:１３２人目の素数さん
08/08/06 22:57:47
zeus=king
620:１３２人目の素数さん
08/08/06 22:59:07
益田って死んだの？
621:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:09:48
実数θと虚数単位iでe^(iθ)=cosθ+isinθとする
また複素数z、wに対してe^z*e^w=e^(z+w)が成り立つ
複素変数の正弦関数と余弦関数を次のように定義する
複素数zに対して
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i
cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2
このとき任意の複素数zに対して、下記の式が成立することを示せ
(sinz)^2+(cosz)^2=1
東大では絶対でないであろう問題だな
簡単すぎる
622:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:12:12
可計算解析の意味において多項式時間可計算かつリプシッツ連続なる函数が与える初期値問題の解が多項式空間完全である例を示す.
623:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:13:51
f(x)=1-x^2/1+x^2とf(x)=|sinx|がリプシッツ連続であることの証明
624:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:14:32
問題５ f(x,t)=sin(tx)は0<t<1、0<x<6πでLipschitz連続であることを示せ。
625:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:16:51
>>622
そこまで書いてなぜ微分方程式の問題を出さない？
626:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:36:48
なんかここ数日流れがきもくね？
627:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:40:35
kono sure jitai KIMOI
628:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:42:24
an+1=cos(an) 0<a0<pi/2
by Banach fixed point theorem
an->x=cos(x)
629:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:43:24
昔からこのスレきもかったけど今は夏休みだしそういう流れなんだよ
大学向けの問題を高校生に出題するなら定義をきちんと書くだろ…常識的に考えて…
超越数とかリプシッツ連続とか試験に出ることはあっても単語が出ることはない
630:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:44:43
正の整数x，yに対して，x^2+y^2 が xy+1で割り切れるならば，
(x^2+y^2)/(xy+1) は平方数であることを証明せよ．
631:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:45:35
URLﾘﾝｸ(www.math.toronto.edu)
632:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:49:15
作図問題：
* dx/dt = v
* dv/dt = -x3 - bv + A sin wt
* A = 2.5, b = 0.05, w = 0.7
633:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:50:17
作図問題２：
* dx/dt = y
* dy/dt = z
* dz/dt = -x + y2 - Az
* A = 2.107
634:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:51:29
General Properties of Lyapunov Exponents
* A measure of chaos (how sensitive to initial conditions?)
* Lyapunov exponent is a generalization of an eigenvalue
* Average the phase-space volume expansion along trajectory
* 2-D example:
o Circle of initial conditions evolves into an ellipse
635:１３２人目の素数さん
08/08/06 23:52:56
Kaplan-Yorke (Lyapunov) Dimension
* Attractor dimension is a geometrical measure of complexity
* Random noise is infinite dimensional (infinitely complex)
* How do we calculate the dimension of an attractor? (many ways)
* Suppose system has dimension N (hence N Lyapunov exponents)
* Suppose the first D of these sum to zero
* Then the attractor would have dimension D
636:１３２人目の素数さん
08/08/07 00:23:15
1+1=2であることを証明せよ。
（ただし、1+1=2であることは知られていないとする）
637:１３２人目の素数さん
08/08/07 00:25:59
・・・
638:１３２人目の素数さん
08/08/07 02:21:54
x^2+y^2=m^2(xy+1)
x^2=m^2 mod y
x=ay+m
y=bx+m
x-ay=m
-bx+y=m
x=m(1+a)/(1-ab)
y=m(1+b)/(1-ab)
xy+1=(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)/(1-ab)^2
x^2+y^2=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(1-ab)^2
(x^2+y^2)/(xy+1)=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)
a=b
=2m^2(1+a)^2/(m^2(1+a)^2+(1-a^2)^2)
=2/(1+(1-a^2)^2/m^2(1+a)^2)
=2/(1+(1-a)^2/m^2)
639:１３２人目の素数さん
08/08/07 02:26:18
m=1-a
=1
2x^2=x^2+1
x=1
640:１３２人目の素数さん
08/08/07 02:28:07
m=1-ab
x=1+a
y=1+b
641:１３２人目の素数さん
08/08/07 07:11:56
三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、
三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。
また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする
Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、
Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、
三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で
表せ。
642:１３２人目の素数さん
08/08/07 07:57:21
このスレはいつから糞問題のゴミ捨て場になったんだ…。
643:１３２人目の素数さん
08/08/07 18:23:18
一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。
644:１３２人目の素数さん
08/08/07 18:25:57
正の整数 n，m（≧2）に対して，lim[n→∞]( 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/mn ) を求めよ．
645:１３２人目の素数さん
08/08/07 20:30:48
また糞問
646:１３２人目の素数さん
08/08/07 20:34:41
はいはい区分求積
647:518
08/08/07 20:39:43
>>644
東工大の問題ですね、わかります
648:１３２人目の素数さん
08/08/07 21:15:26
宿題をこのスレで聞いてもいいですか？
649:１３２人目の素数さん
08/08/07 21:19:34
>>648
だめです
質問スレへどうぞ
650:１３２人目の素数さん
08/08/07 21:20:25
糞問題だとスルーされるけど、それでも良ければ。
そして他のスレで同じことを聞くとマルチ扱いされるけど、それでも良ければ。
651:１３２人目の素数さん
08/08/07 21:26:47
x^2+y^2=3^2009を満たす有理数x､yが存在しないことを示せ
652:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:11:37
>>651 都立大
653:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:33:31
(問)
a,b,c,dは0以上の実数で a^2+b^2+c^2+d^2=1 を満たして変化する。
このとき、点(a-b,c-d)の存在し得る領域を求めよ。
654:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:42:12
f_n(x)=1+(x/1!)+(x^2/2!)+・・・+(x^n/n!) (nは2以上の整数) とおく．
(1) f_n(x)を利用して，Σ[k=0,n]1/(k!) ＜ e ＜ Σ[k=0,n]1/(k!) + 1/(n!)を示せ．
(2)(1)の不等式を利用して，eが有理数であることを示せ．
655:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:42:22
R で微分可能な関数で、以下の性質を満たす関数 f(x) の例を上げよ
x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない
656:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:45:36
>>654
eの定義がない。
有理数？
657:１３２人目の素数さん
08/08/07 22:48:22
>>656
>>654 ミスた． (2)訂正 eが有理数でないことを示せ．eは自然対数の底．
658:１３２人目の素数さん
08/08/08 00:31:48
大学でやったことをここで出してるやつが多くて困る
しかも簡単なやつばっか
659:１３２人目の素数さん
08/08/08 02:48:32
eの無理性は数学に興味のある高校生には良い題材だと思うがな
東大の入試にはそぐわないとも思う
660:１３２人目の素数さん
08/08/08 05:05:40
eが無理数であることとか瞬殺だろ
πなら難しいけどさ
661:１３２人目の素数さん
08/08/08 06:34:37
ｎ階微分可能な関数Ｆ(n)（ｘ）＝Ⅹ＾5＋３Ⅹ＾4＋２Ⅹ＾3＋６Ⅹ＾2を考える。
この関数を、偶数回微分したときの、導関数の特徴と、
奇数回微分したときの導関数の特徴を記述せよ。
662:１３２人目の素数さん
08/08/08 06:43:14
まーた糞問か
死ね
663:１３２人目の素数さん
08/08/08 06:44:35
任意の0でない自然数 n をとり、n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す
という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達することを証明せよ。
664:ＺＥＵＳ
08/08/08 06:54:27
「３次方程式 ５ｘ＾3＋４Ⅹ＾2ー６Ⅹ＋８＝０
の実数解が、Ⅹ＝－１とⅩ＝－２の間にあることが
分かっているとき、この解の近似値を小数点以下４位まで求めよ。」
「次の三つの式を同時に満たす整数、ａ、ｂ、ｃの値を全て求めよ。
ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２９
ａ≧ｂ≧ｃ」
「不等式ａｂ＋１≦ａｂｃ≦ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＋１
を満たす自然数ａ、ｂ、ｃの全ての組を求めよ。
ただし、ａ≧ｂ≧ｃとする」
665:１３２人目の素数さん
08/08/08 07:00:07
>>663
どっかで見たことあるわ
パクり乙
666:１３２人目の素数さん
08/08/08 07:04:18
>>651
3^2009=(4-1)^2009=(4の倍数)-1
だから3^2009を4で割った余りは3
平方数を4で割った余りは0または1なので
x^2+y^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、余りが3になることはありえない。
よってx,yは存在しない。
667:１３２人目の素数さん
08/08/08 07:50:09
>>665
その問題は「コラッツの予想」と呼ばれている 未 解 決 問 題 。
驚くべきことに、人類はこんな簡単そうな問題が解けていない。あの
エルデシュでさえ、「人類はこの問題を解く準備が出来ていない」と
言ったそうだ。
668:１３２人目の素数さん
08/08/08 09:24:12
>>663 の類題として以下のようなものを見たことがある．かなり原文を改変しているので間違っているかもしれない．
ある正の整数n(≧2)を次の操作によって，別の正の整数へと変換する．
操作A:nが奇数ならば1を足す
操作B:nが偶数ならば2で割る
変換後の数が1となったら操作をストップする．
(1)操作をN回繰り返し1へと変換される数は何種類あるか．(Nは1以上の整数)
(2)ある正の整数mは操作を8回繰り返し1へと変換される．8回の操作のうち1回は操作A，残りは操作Bを用いた．また，操作Aに
おいて，1を足すのではなく1を引く操作をCとすると，mは操作Bを6回，操作Cを1回用いて1へと変換される．mを求めよ．
669:１３２人目の素数さん
08/08/08 10:07:37
>>666
問題文を100回見直せ
670:Zeus
08/08/08 10:36:53
ｋが正の整数のとき、
（Ⅹ－１０）＾２＋（Ｙ－１０）＾２≦ｋ＾２
を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも
１５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。
三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、
∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β、∠Ｃ＝γとおくと、
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
（π／３）≦（ａα＋ｂβ＋ｃγ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）≦（π／２）
671:１３２人目の素数さん
08/08/08 14:12:39
>>666
>>651をよく見ようね。
「整数」x,yじゃなくて、「有理数」x,yが存在しないことを示すんだよ。
672:１３２人目の素数さん
08/08/08 14:42:54
>>651
x^2+y^2=3^2009をみたす有理数x,yが存在すると仮定する。
x=s/u，y=t/u（ただし,s,t,uは正の整数）とおける
s^2+t^2＝3^2009*u^2･･･※
uが奇数と仮定する
u=2v+1とおける。
※の右辺3^2009*u^2=(4-1)^2009(4v^2+4v+1)=(4の倍数)-1だから3^2009*u^2を4で割った余りは3
平方数を4で割った余りは0または1なので、※の左辺s^2+t^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、
余りが3になることはありえない。
したがって、uは偶数
このとき※の右辺3^2009*u^2は4で割り切れる。
※の左辺s^2+t^2を4で割った余りが0になるのは、s,t共に偶数である場合に限られる。
したがって、s,t,u共に偶数であることがわかる。
s,t,uが2^k(kは任意の正整数)で割り切れることをいう。
s,t,uが2で割り切れることは上でいった。
s,t,uが2^kで割りきれると仮定する。
s/2^k，t/2^k，u/2^kが偶数であることが上と同様にしてわかるから、s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
したがって,s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
これは明らかに矛盾（0＜s,t,u＜2^kになってしまえば、s,t,uは2^kで割り切れることはありえない！）だから
※をみたす正整数s,t,uは存在しない。
以上より、題意は言えた。
673:１３２人目の素数さん
08/08/08 16:35:30
半径ｒの円Ｓ１に内接する直角二等辺
三角形をＴ１とし、Ｔ１に内接する円を
Ｓ２とし、Ｓ２に内接する二等辺三角形を
Ｔ２とし・・・・次々にＳ１、Ｔ１、
Ｓ２、Ｔ２・・・と作るとき、
円、Ｓ１・・・・Ｓｎの面積の総和を
求めよ。
674:１３２人目の素数さん
08/08/08 17:32:59
πr^2*(12+8√2)/(11+8√2)
675:１３２人目の素数さん
08/08/08 17:42:09
数学のセンスに欠けた問題文ｎ >>670
676:１３２人目の素数さん
08/08/08 18:10:25
>>675
「数学的センス」の定義を教えてください。
お願いいたします。
677:１３２人目の素数さん
08/08/08 21:48:32
>>672
※は、mod3を考えることから3|s,tだからs^2+t^2=3u^2に帰着されないか？
そうすると左辺の3は偶数冪、右辺の3は奇数冪で矛盾
678:１３２人目の素数さん
08/08/08 23:15:10
>>653
実数 x,y が x^2 + y^2 = r^2 を満たして変化するとき、
|x-y| = √{2(x^2 + y^2) - (x+y)^2} ≦ √{2(x^2 + y^2)} = r√2,
を使う。
実数 a,b が a^2 + b^2 = p^2 を満たして変化するとき、|a-b| ≦ p√2,
実数 c,d が c^2 + d^2 = q^2 を満たして変化するとき、|c-d| ≦ q√2,
∴ |a-b|^2 + |c-d|^2 ≦ 2(p^2 + q^2) = 2.
679:１３２人目の素数さん
08/08/09 00:09:30
e^e に最も近い整数を求めよ．eは自然対数の底とする．必要ならば以下の近似値を用いよ．
e=2.718，log2=0.693，log3=1.099，log5=1.609，log7=1.946，log11=2.398 ．
680:１３２人目の素数さん
08/08/09 00:23:33
>>664 上
X = (Y-4)/15 とおくと
(左辺) = 5(Y^3 -318Y +2*3304)/(15^3),
これを解いて
X = -{4 + (3304-30√10806)^(1/3) + (3304+30√10806)^(1/3)}/15
≒-1.8860468487 7734303446 7749889318 8･･･
681:１３２人目の素数さん
08/08/09 01:25:34
>>679
お、北大の過去問だな。
682:１３２人目の素数さん
08/08/09 03:41:48
>>679 loge^e=e=2.718
log15=2.702
log16=2.772
log15.4>5.037-2.3>2.73>e
∴15
683:１３２人目の素数さん
08/08/09 04:06:16
>>682
対数関数の単調性に言及してないから原点
by 東北大
684:１３２人目の素数さん
08/08/09 04:09:19
対数関数は連続関数じゃないかもしれないしこれも減点対象だな
と思ったけど高校生って連続の定義とかやるんだっけか…
685:１３２人目の素数さん
08/08/09 04:11:13
連続性の証明はいらんだろ・・・
そんなの言ってたら微分するたびに数行掛かる。
686:１３２人目の素数さん
08/08/09 06:04:57
高校程度なら単調増加性言えば十分だと思う
687:１３２人目の素数さん
08/08/09 06:23:46
アンザんでやれよ
688:１３２人目の素数さん
08/08/09 06:23:47
>>675
「数学的センス」の定義を教えてください。
お願いいたします。
689:１３２人目の素数さん
08/08/09 06:29:51
条件を逆手にとって解法を見抜いてしまう
難問はまたいで通る
690:１３２人目の素数さん
08/08/09 06:32:42
ｋが正の整数のとき、
（Ⅹ－１０）＾２＋（Ｙ－１０）＾２≦ｋ＾２
を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも
１５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。
（１０、１０）を中心とする半径Kの円の中に１５０以上の格子点があるように
Kを求めなさい。ー＞免責が１５０以上ね
691:１３２人目の素数さん
08/08/09 12:28:59
なんかさーなんつうかマジで流れキモイんですけど・・・
692:１３２人目の素数さん
08/08/09 13:10:59
>>691とかキモイよな…
なんか毎日書き込みしてるし…部屋から外出てるの？馬鹿なの？
693:１３２人目の素数さん
08/08/09 14:05:47
>>664 中
a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) = 12^2 - 2*29 = 86,
∴ {|a|, |b|, |c|} = {9,2,1} {7,6,1} {6,5,5}
∴ (a,b,c) = (9,2,1) (7,6,-1)
>>670 上
平行移動すれば x^2 + y^2 ≦ k^2
k=7 のとき 149 (不適)
k=√50 のとき 161 (適)
これ以上の最小の整数は k=8.
694:１３２人目の素数さん
08/08/09 17:04:13
点Oを中心とする半径1の円Cの周上に点P，A[1]を線分PA[1]が円Cの直径となるようにとる．
A[1]を1つの頂点とする円Cに内接する正n角形の各頂点を，A[1]，A[2]，…，A[n]とする．(nは3以上の整数)
極限値 lim[n→∞](PA[1] + PA[2] + … + PA[n])/n を求めよ．
695:１３２人目の素数さん
08/08/10 07:23:27
>>694
∠A[1]PA[k] = (1/2)∠A[1]OA[k] = (k-1)π/n,
PA[k] = r*|2cos((k-1)π/n)| = r*|sin((k-0.5)π/n) - sin((k-1.5)π/n)| / sin(π/2n),
K=[(n+1)/2] とおくと
PA[1] + PA[2] + ･･･ + PA[n] = 2r + 4rΣ[k=2,K] cos((k-1)π/n) = 2r*sin((K-0.5)π/n) / sin(π/2n),
nが偶数のとき 2r/tan(π/2n),
nが奇数のとき 2r/sin(π/2n),
極限値は (4/π)r
696:１３２人目の素数さん
08/08/11 01:53:02
>>664 下
(a,b,c) =
(a,2,2) a≧2,
(a,3,2) 3≦a≦7,
(3,3,3)
(4,4,2)
697:１３２人目の素数さん
08/08/11 20:16:47
東京大学 理系 2003年 第６問 改
円周率が3.466よりも小さいことを証明せよ
698:１３２人目の素数さん
08/08/11 20:20:07
>>697
3.2より小さいことを云々の方が良いのでは？
そんなに難しくもないし
699:１３２人目の素数さん
08/08/11 20:44:20
3√(5+2√5)-√(25+10√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。
700:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:14:02
>>699
さすがにそれはない
701:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:18:34
>>699
これはひどい
702:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:20:25
>>697
まづ、単位円に外接する正6角形を考える。周長は 12/√3 = 2*(6/√3),
次に、頂点を追加して、正12角形、正24角形･･･と続けてゆくと、円周に限りなく接近する。
このとき、周長も円周長に限りなく接近すると考えよう。（高木：「解析概論」岩波,1961)
周長は単調減少するから、π < 6/√3 = 3.4641016151377545870548926830117･･･
703:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:30:54
Gregory-Leibniz series
704:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:40:14
>>700-701
あれ？わかると思ったけどなぁ・・・
別のスレに書いたほうが良かった？
705:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:43:04
>>664 上
ニュートン法（１）
左辺を F(X) とおき、
X~ = X - F(X)/F '(X),
で近似する。実数解をAとすると、
F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)},
F '(X) = 15X^2 +8X -6,
よって
X~-A = (X-A)^2 {10X+(4+5A)}/F '(X) ≒ (X-A)^2 (15A+4)/F '(A),
しかしこれでは2次の収束である。
>>699
(3-√5)√(5+2√5) = (1/2)(√5 -1)^2 √(5+2√5) = √(10-2√5),
A=10, B=-2,
706:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:02:38
正解だ・・・すごいな数学板
類似問題
√(25+10√5)-√(5+2√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。
707:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:03:17
>>664 上
ニュートン法（2）
(左辺)/(X^b) を F(X) とおく。 ← bを調節して3次の収束をねらう。
X~ = X - F(X)/F '(X),
で近似する。実数解をAとすると、
F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)}/(X^b),
F '(X) = {5(3-b)X^2 +4(2-b)X -6(1-b) +8(0-b)/X}/(X^b),
よって
X~-A = (X-A)^2 G(X) /{F '(X) X^b} ≒ (X-A)^2 G(X)/{F '(A) A^b},
G(X) = 5(2-b)X + (1-b)(4+5A) + 8b/(AX) = G(A) + (X-A){5(2-b) - 8b/(A^2･X)},
G(A) = 5(2-b)A + (1-b)(4+5A) + 8b/(A^2) = (15A+4) -{15A+8-(6/A)}b,
3次の収束にするために G(A)=0 とおく。
b = (15A+4) / {15A+8-(6/A)} = 1.4197247127898603091442006171466･･･
708:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:04:56
>>706 ここセンター入試作問スレじゃないんだが。
709:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:16:39
>>708
そんな簡単？俺ぜんぜんわかんねぇけどｗ
710:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:21:14
アメリカの医学都市伝説 - なぜか数学者にはワイン好きが多い
711:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:30:50
>>708
>>708
>>708
712:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:32:46
3√(5+2√5)-√(25+10√5)
= (3/√5)*√(25+10√5) - √(25+10√5)
= (3/√5 - 1 )*(√(25+10√5)
713:１３２人目の素数さん
08/08/11 22:36:55
= √((5+2√5)(3-√5)^2)
= √(10-2√5)
714:１３２人目の素数さん
08/08/12 00:19:41
nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の
カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の
カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす
る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき，
(1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1)
(2)Sの期待値を求めよ．
715:１３２人目の素数さん
08/08/12 01:51:32
y=2x^2に接する直線bがある。
接点のx座標が2のとき直線bの式を求めよ。
簡単だったらｽﾏｿ
716:１３２人目の素数さん
08/08/12 02:48:23
>>704
> あれ？わかると思ったけどなぁ・・・
> 別のスレに書いたほうが良かった？
夏虫が湧いているのか？
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>704
717:１３２人目の素数さん
08/08/12 05:55:19
>>715
いや、だからセンター入試作問スレじゃないってば
718:１３２人目の素数さん
08/08/12 06:49:11
>>715
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
へどうぞ
719:１３２人目の素数さん
08/08/12 09:40:17
(1) x+y+z > 0 , y < 0 , のとき Ｓ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) が常に成り立つような
関数Ｓ（x ,y ,z) の例をひとつ作れ。
(2) x+y+z+w > 0 , y < 0 , のとき Ｓ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) が常に成り立つような
関数Ｓ（x ,y ,z ,w) の例をひとつ作れ。
720:１３２人目の素数さん
08/08/12 09:49:15
>>719
(1)S(x,y,z)=x-y+z
(2)S(x,y,z,w)=x-y+z+w
721:１３２人目の素数さん
08/08/12 09:58:27
定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって
ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。
f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。
722:１３２人目の素数さん
08/08/12 10:13:09
>>719
>>720
すいません
Ｓ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) > 0
Ｓ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) > 0
に訂正します。
723:１３２人目の素数さん
08/08/12 10:25:26
a_n=Σ[1,n]k^2とおく。自然数mに対してm^3≦a_n≦(m+1)^3が成り立つようなa_nの個数をc_mとする。このとき、次のことを証明せよ。
(1)すべての自然数mに対して、c_m≧1である。
(2)すべての自然数mに対して、c_m≦2である。
724:１３２人目の素数さん
08/08/12 10:27:03
>>723
大数の雲の記事に載ってた
725:１３２人目の素数さん
08/08/12 10:34:46
>>724
そうなの？いつぐらい？
これ実はサロンができる前の受験板で、今のサロンにある頂決スレみたいな作問スレで拾った問題で誰も解けてない問題だったんだよ。
知ってる人は少ないかもしれないけど、受験板では一時有名だった長助とかいう人もいたスレ。
726:１３２人目の素数さん
08/08/12 10:46:43
大数に載るほど有名問題なのかとググッたら青空にあった。ｔｈｘ
727:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:09:00
整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β)
を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき，
a，b，α，βを求めよ．
728:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:47:42
双曲線 Ⅹ＾２／ａ＾２－Ｙ＾２／ｂ＾２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上の
任意の点Ｐから漸近線に平行にひいた２直線と漸近線とで作られる
平行四辺形の面積は一定であることを証明せよ。
729:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:51:41
甲は３個の碁石を、乙は２個の碁石を持っている。
ジャンケンで勝ったものは、負けたものから１個の
碁石をもらうことにする。甲または乙の手元に碁石
がなくなるまで続けるとして、甲が５個の碁石を
獲得する確率を求めよ。
ただし、じゃんけんの力は互角とする。
730:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:53:39
>>728
>>729
まーた糞問連発ですか
731:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:56:17
２ｎ個の整数がある。それらをｎ個ずつの二組に
分けるとき、どうわけても各組の数の和の間の差は
ｎよりも小さいものとする。
これら、２ｎ個の数の中に相等しいものが少なくとも
（ｎ＋１）個存在することを証明せよ。
732:１３２人目の素数さん
08/08/12 12:59:10
任意の自然数は、数列１、３、３＾２、・・・・・、３＾ｎ、・・・
のいくつかの項に正または負の符号をつけたものの和として表されることを
証明せよ。
733:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:00:06
>>730
糞問の定義を教えてください。
また、「エレガントな問題」の定義を
教えてください。
734:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:02:29
なんだまたZEUSか
735:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:10:03
>>733
730じゃないけど俺は728や729みたいにどこかの問題集にあるようなやつはツマラン
てか728と729は読んだ瞬間に解き方が思いつく
736:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:15:06
>>732もn進数表示の一意性の有名問題すぎてつまらん
>>731はどこかの問題集に乗ってそう
東大っぽさが無い
737:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:19:13
>>721
>>723
>>727
あたりは見るからに自分であれこれ工夫する必要があるから面白そう
738:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:26:04
>>727は見た途端に解き方が分かる問題だと思うけど。
739:１３２人目の素数さん
08/08/12 13:32:23
とりあえず解いてみよ
740:Zeus
08/08/12 14:18:52
右回りにＡ１，Ａ２，．．．．Ａ６という頂点を持つ六角形がある。
また、どの辺も１より大きくない。このとき、最大の長さの対角線は
少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。（新作問題）
741:１３２人目の素数さん
08/08/12 14:25:30
>>740
問題文にセンスが感じられない
君はまず国語を勉強すればいいと思う
742:１３２人目の素数さん
08/08/12 14:33:19
ZEUSは
日本語もできない英語もできない数学もできない。
743:１３２人目の素数さん
08/08/12 14:58:13
厚さの薄い６角形の対角線は２超えるだろ
744:１３２人目の素数さん
08/08/12 16:14:51
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
745:１３２人目の素数さん
08/08/12 18:05:23
Ａ1とか決める必要ねぇー
746:１３２人目の素数さん
08/08/12 19:40:15
1112345678999
の和了牌を求めよ
747:１３２人目の素数さん
08/08/12 21:09:54
なぜ必死なの？
748:１３２人目の素数さん
08/08/12 21:14:04
ゼウスとバッカス・・・酒が強いのはどっち？
749:１３２人目の素数さん
08/08/12 23:08:09
>>715
宿題は質問スレに行け、糞があ！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>715
750:１３２人目の素数さん
08/08/12 23:09:26
>>733
巣に帰れ！ ビチクソが！
751:１３２人目の素数さん
08/08/12 23:11:22
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
いつから、日本語に不自由なカスが出題するようになったんだ？
752:１３２人目の素数さん
08/08/12 23:15:16
>>732
(1) その数に 3^0 + 3^1 + … + 3^N をたす。（Nはじゅうぶん大きい。）
(2) それを３進数表示する。各桁は0～2.
(3) それから (1,1,･･･,1) を引く。各桁は -1 ～ +1.
753:１３２人目の素数さん
08/08/12 23:21:18
('A`)
754:１３２人目の素数さん
08/08/13 00:07:00
自然数Nは次の二つの条件を満たす。
・Nはちょうど2つの素因数p, q ( p < q )をもつ。すなわち、N = (p^m)×(q^n) と表される。
・Nの正の約数の総和は 2N である。
このとき、p=2 であることを示せ。
755:１３２人目の素数さん
08/08/13 03:12:23
>>754
p≧3とするとq≧5で、
(Nの約数の総和)/N＝{p^(m+1)-1}{q^(n+1)-1}/(p-1)(q-1)p^m･q^n
＜pq/(p-1)(q-1)=1/(1-1/p)(1-1/q)
≦1/(1-1/3)(1-1/5)=15/8
＜2
よりNの約数の総和は2Nにならない、で背理法。
756:１３２人目の素数さん
08/08/13 14:32:01
あざやか
757:１３２人目の素数さん
08/08/13 15:04:16
自由形ってなんでもいいの？
だったら、クロールより速い泳法の開発の余地はないのかな。
背面飛びみたいに画期的なのは出てこないのか．．．
一番魚に近いのはバタフライだと思うが、記録的にはクロール。
なんかしっくりこない。
758:１３２人目の素数さん
08/08/13 15:15:14
どこの誤爆だ
759:１３２人目の素数さん
08/08/13 17:24:18
北大の過去問ですがこんなのはどうでしょうか
sinx=e^(x/n)-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数）
lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ
760:１３２人目の素数さん
08/08/13 17:26:06
括弧忘れた 少し訂正
sinx={e^(x/n)}-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数）
lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ
761:１３２人目の素数さん
08/08/13 18:05:26
ハサミウチで終了のツマラン問題です
762:１３２人目の素数さん
08/08/13 18:08:29
ln(2)/π
763:１３２人目の素数さん
08/08/13 18:18:18
つまらなすぎワロタ
764:１３２人目の素数さん
08/08/13 18:42:38
未解決問題
714 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 00:19:41
nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の
カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の
カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす
る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき，
(1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1)
(2)Sの期待値を求めよ．
721 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/08/12(火) 09:58:27
定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって
ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。
f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。
727 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 12:09:00
整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β)
を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき，
a，b，α，βを求めよ．
765:１３２人目の素数さん
08/08/13 19:22:27
1x2x1のレゴが１０００個あります。
これをぜんぶつかって作れる異なる形は全部でいくつ？
766:１３２人目の素数さん
08/08/13 19:29:32
ペンロースタイルを４次元に拡張しなさい 15点
767:１３２人目の素数さん
08/08/13 21:53:41
>>764
面白みのかけらもないから解いてもらえないんだろ
>714
(1)pq≧nか否かで場合わけ
(2)中学受験レベルの問題をnとかx,yとかで表現しただけ。{(n+1)/3}^2
>721
2002年のIMOの5番とほぼ同じ
>727
左辺をf(x)とすればf(7/2)≧0,f(9/2)＜0,f(13/2)≦0,f(15/2)＞0になってあとは計算
で、a=7,b=15
768:１３２人目の素数さん
08/08/13 22:12:09
>>767
そんな親切にしてやらなくても放置でいい(ry
769:１３２人目の素数さん
08/08/13 22:58:21
正の実数aおよび自然数nに関して、f(x)=a(nx-x^n+1)とおく
(1)
a*n<1のとき、0≦x≦1ならば0≦f(x)≦1を示せ
(2)
0≦x,y≦1の任意の実数x,yに対して常に
|f(x)-f(y)|≦c|x-y|
が成り立つような１より小さい正の実数ｃが存在することを示せ
(3)
a=1/4、n=3のとき、方程式f(x)=x(0<x<1)の解の値を小数第4位まで求めよ
平均値の定理は高校生でもやると信じて出題
この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ
770:１３２人目の素数さん
08/08/14 03:16:50
>>769
f(x) = a*{n*x - (x^n) +1} ?
f(x) = a*{n*x - x^(n+1)} ?
771:１３２人目の素数さん
08/08/14 03:25:19
>>769
> この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ
勉強してみても >>769 のおっさんが期待してるものは
中々で出てこない悪寒。
772:１３２人目の素数さん
08/08/14 03:29:56
>>770
f(x) = a*{n*x - (x^n) +1}
（１）と（２）はお前らなら瞬殺のレベル
773:１３２人目の素数さん
08/08/14 03:51:14
問1 x>0,αは実数である。このとき、
x^αの定義を述べよ
問2 0<α,x≦1, x^α＞α^xなる領域を,x-α平面の(0.1]×(0.1]上に記せ。
774:１３２人目の素数さん
08/08/14 04:29:11
また勘違い君
775:１３２人目の素数さん
08/08/14 15:29:11
pを2より大きい素数、a、b、c、d、rをそれぞれpで割り切れない整数とし、次式を満たしている。
{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2
このときa+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+dの少なくとも2つがpで割り切れることを示せ。
ただし{x}は実数xの小数部分をあらわすものとする。
776:１３２人目の素数さん
08/08/14 17:04:51
>>775
p=7,a=b=c=2,d=1,r=2
が反例になる気が
777:１３２人目の素数さん
08/08/14 17:45:40
>>776
ですよね
778:１３２人目の素数さん
08/08/15 00:27:43
>>769 (3)
x^3 +x -1 =0
を解いて
x = {[1+√(31/27)]/2}^(1/3) - {[-1+√(31/27)]/2}^(1/3)
≒ 0.6823278038 2801932736 9483739711 0･･･
779:１３２人目の素数さん
08/08/15 01:04:51
>>769 (3)
ニュートン法を使うなら
(x^3 +x-1)/(x^b) =f(x),
b = 3/{3+(a + 1/a)} ≒ 0.5827620120 7378122237 8524483589 7･･･
が速いな。
780:１３２人目の素数さん
08/08/15 01:22:24
>>779
n次多項式ならニュートン法使えるし問題ないだろうな
元ネタは不動点定理かな
Ｓをバナッハ空間Ｘの中の空でない閉部分集合であるとする
このとき写像 Ｆ：Ｓ→Ｓ が縮小写像であれば，Ｓの中にＦ(x)=xとなる点xがただ一つ存在する
東大入試問題も何かしら元ネタあるんだろうがわからん
９８年の難問とやらはグラフ理論だったっけか
781:１３２人目の素数さん
08/08/15 18:30:52
zeusってやつ「東大・京大理学部生は有名中学の算数を解けるか？」ここにも問題出しててスルーされてるな
782:１３２人目の素数さん
08/08/15 19:37:08
グラフ理論っぽいのは見りゃわかるが、
具体的にグラフ理論の何という定理が元ネタなの？
これまでそういうこと書いたもの全く見たことないから、
単にグラフ理論の素養が無いもの同士が
「何となくグラフ理論っぽいよね」と言い合っているだけに思える。
783:１３２人目の素数さん
08/08/15 20:41:41
大数にグラフ理論・オートマンって書いてた気がする。実家にあるから今わからんが、明日帰省するので確認してみる。
784:１３２人目の素数さん
08/08/15 21:16:46
>>740は
おそらく意図していた問題文は
「六角形ABCDEFはどの辺の長さも1以下である。
このとき線分AD,BE,CFの少なくとも一つは長さが2以下であることを証明せよ」
だったと思われ。
で解答は背理法でAD,BE,CFが全て2より大とする。
まず「三角形PQRが∠P≧60ﾟのとき2QR≧PQ+PRとなる」ことを示す。
これは4QR^2≧4PQ^2-4PQ*PR+4PR^2=(PQ+PR)^2+3(PQ-PR)^2≧(PQ+PR)^2
から証明できる。
本問では直線AD,BE,CFからうまく二つ選べば、なす角(鋭角)が60ﾟ以上になるので
これをADとBEとすれば先ほど示したことから
2AB+2DE≧AD+BEとなる。
背理法の条件からAD+BE＞4となりAB+DE＞2となるが
これは辺の長さが1以下であることに矛盾。
以上から少なくとも一つは2以下になる。