10/01/24 00:03:57
>>367 ん？はじめましてｗどんな議論がお望みですか？
猫先生に構ってなかった頃はお粗末ではなかった所までは読んでくれたんですか？
どこまで理解できてますか？
369:neetubot
10/01/24 00:05:59
>>366 の2行目：k'次元表面
過去ログ見てたらすげぇいかれてるぜｗ 数学は楽しいなぁ
>>289 より、(n/n') Σ_{i=1…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T = \R_Q \R_Q^T
までは見つけた。
370:neetubot
10/01/24 13:10:33
>>366 の2行目：（(n-1)≧k≧0） （(n-1)≧k'≧0）
k次元点足複体\P'_k に対し、そのk'次元表面の重心全てを\P'_{a_k^k'}で表せば、
n次元単体のk次元点足重中k'次元面接超楕円面の半径行列\R_{a_k^k'}に対し、
\R_{a_k^k'} \R_{a_k^k'}^T = (n/n') Σ_{i=0…(n'-1)} (\p'_{i a_k^k'} - \p_G[\P'_{a_k^k'}]) (\p'_{i a_k^k'} - \p_G[\P'_{a_k^k'}])^T
= (n/n') \P'_{a_k^k'} (\E - (\1 \1^T)/(\1^T \1)) \P'_{a_k^k'}]^T = \P \X \P^T
となる。このサイクリックな式形からk'の値のみが違うこの超楕円面は全て相似になると推測する。厳密な計算はそのうち…
371:１３２人目の素数さん
10/01/24 14:22:48
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372:neetubot
10/01/24 17:53:33
盛大にAKB48を誤爆しましたねｗ
誰が好きなんですか？言われてもわかりませんが。
373:neetubot
10/01/24 20:47:07
k次元点足複体\P'_k に対し そのk'次元表面の重心全てを\P'_{a_k^k'}で表したとき、
\P'_{a_k^k'}の頂点の全てからの自乗距離が最小となる点\p_Xは、F'_G[\p_X]=
\sum_{i=0…n'-1} (\p'_{i a_k^k'}-\p_X)^T (\p'_{i a_k^k'}-\p_X) →最小となればよいので、
\p_X = \p_G[\P'_{a_k^k'}] = \p_G[\P'_k] であり、このときF'_G[ \p_G[\P'_k] ] = n' r_{a_k^k'}^2が最小値となる。
上記は、\P'_{a_k^k'}の全ての頂点は\p_G[\P'_k]からだいたい最小の自乗平均距離 r_{a_k^k'}
（統計学的に標準偏差も定義すれば r_{a_k^k'}±ε_{a_k^k'}）の位置にあると見込むことが出来る。
ということで、\P'_kの重心\p_G[\P'_k]を中心とし半径r_{a_k^k'}の超球を仮にk次元点足k'次元面重重均超球S_{a_k^k'}と呼ぶ。
点足複体の関係で美しい性質を持つと考えられる概念は今の所はこれぐらいです。不等式の玉手箱や～
374:neetubot
10/02/05 00:02:55
n次元単体\Pに対して（その同じ部分空間内の）点\p_a = \P \a（ただし、\1^T \a = 1）を使って
点足単体\P_A=\P \Aの点足単体\P \A \Aの点足単体\P \A \A …と無限回繰り返して
作られる点足無限単体は \P \A^∞ = \P \a \1^T と収束するはずなので、点足k回単体と同じ部分空間内の
どんな点\P \A^k \b / (\1^T \b)でも点足無限収束点は \P \a自身であると考えられる。
上記をふまえて、点反足k回単体 \P \A^(-k) に対してその同じ部分空間内の点\P \A^(-k) \b / (\1^T \b)
を定義したとき、点反足無限単体に対してこの点反足無限発散点\P \A^(-∞) \b / (\1^T \b)はどこに行くだろうか？
\A^Tを固有値分解（ひとつは固有値1に対する固有ベクトル\1とか）できれば求まる気がするんだけど…朝青龍…
375:neetubot
10/02/28 02:44:29
↑はまだ計算できてはいませんが、\P \A^(-∞) \bは\P \a と \P \b が通る直線の無限遠点だと思います。
ところで、全てのn次元単体は、n次元正単体を剪断拡縮・回転・平行移動して作られることから、
このスレではその座標行列である(n+1)×(n+1)アフィン変換行列（群？）全体の性質を調べていたようです。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:67番)
> URLﾘﾝｸ(anond.hatelabo.jp)
> 数学的には何もない空間は何次元になるんですか
というとても興味深いレスを発見し、このスレでもどこかで便宜上-1次元を使った
記憶もありますが、１次元増やして計算する斉次座標系というかアフィン変換で
n次元部分空間というかm次元ユークリッド空間全体考える時に垂直で常に存在する虚軸を
一本入れて常に1次元増やした系で計算するとうまくいきそうで、今ちょうど計算してます。
ということで、上記の質問に関して、何次元だろうが何もない空間は普通にいくらでもありますが、
美しく考えるためにどうしても必要だと思われる-1次元単体というものが何を表しているか
という質問だと思えば、何もない空間か無限遠全体の空間か虚軸方向も入れて何か定義するか
、特に先行研究に思い当たる節がないので、今自分で考えるところです、みたいな感じです。
まぁ、みなさんは興味ないかもしれませんが、n次元単体の重中k次元面接超楕円面の証明に
オイラー公式やリーマン球っぽく個人的趣味でどうしても虚軸方向を加味したいので、
まぁ、うまくできたらUPします。実数体でなく複素数体で考えたら、頭がフットーしそうだよおっっ（
376:neetubot
10/03/02 22:55:40
>>375 は別に虚軸じゃなくて、もととなるm次元ユークリッド空間の１軸からm軸まで
全てに垂直な実数の0軸を入れて考える、つまり、普通の斉次ベクトルで考えた方が、
複素数体に拡張するときにもいいと思うので、そうします。っていうかそっちのが計算しやすかった。
座標の斉次と違って計算に一時的にしか出てこないし、これが射影幾何学のように
分母になるための項だと言えるなら、そのときは私も斉次も同次も同じだと主張します。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:291番)
の二つの二次曲線の交点の問題ですが、二つの二次曲線をそれぞれ
線型化したときの係数ベクトルを \a=[a, b, c, d, e, f]^T, \a'=[a', b', c', d', e', f']と
すれば、二つの二次曲線両方の上に存在する点 \x=[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^T に
対し、次の自乗和の式 α(\a^T \x)^2 + α'(\a'^T \x)^2 がこのとき最小値0をとる。
ということで、上式の\xについての最小自乗法から(\a α \a^T + \a' α' \a'^T) \x = \0
となる \x で各成分が条件[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tを満たすものが最大4点あるらしいと…
これじゃ4次方程式どころじゃねぇ解けねぇ。という2ch復活記念カキコ
377:neetubot
10/03/02 23:01:47
最小自乗法じゃなくても連立方程式から [\a, \a']^T \x = \0
となる \x で各成分が条件[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tを満たす…と同じことでした。
意味もなく難しく言っちゃった。てへっ。しかし、以下同文です。
378:neetubot
10/03/07 22:33:44
連立方程式から [\a, \a']^T \x = \A^T \x = \0 より、固有値分解によって得られる
\Aに直交する\Bを介して \x = (\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T) \y = [\b_1, \b_2, \b_3, \b_4] \t
= [\s_1, …, \s_6]^T \t と表せば、[x^2, x y, y^2, x, y, 1] = [\s_1^T \t, …, \s_6^T \t] であるので、
直交行列\Bの4変数の座標\tに対して、下記の\tについての４式
\t^T \s_4 \s_4^T \t = \s_1^T \t
\t^T \s_4 \s_5^T \t = \s_2^T \t
\t^T \s_5 \s_5^T \t = \s_3^T \t
1 = \s_6^T \t
のような四元二次連立方程式を解くことに帰着できる。
と、ここまでです。この4式から、線型変換で一元四次方程式を解くことに帰着するか、
あわよくば非線型変換で四元一次連立方程式にでもなればと思ったのですが…
1 = \s_6^T \tはオフセット付3次元部分空間（アフィン空間？）だから、\tの解を3次元正単体の
アフィン変換で表すとしたら解が4通り出るのが謎としても、二次形式の拡大係数行列
自体のアフィン変換で単位超球や超平面に帰着するとかかな、難しいなー
379:１３２人目の素数さん
10/03/07 22:41:23
非線型は解法を知らないと難しいですから
たしか以前に、非線形連立を線型連立で解こうとしてましたよね？
380:neetubot
10/03/13 21:42:11
>>379 おっ、いつのまに、、知ってる方のようですのでお久しぶりです。
>>378 の件と思いますが、二次までなら線型化でいけると思いきや、
例えば二次曲線 \a^T \x = 0 で 座標 \x=[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tの点列から
一通り求まるような係数 \a=[a, b, c, d, e, f]^Tを当嵌するのは >>263-265 あたりでうまくいきましたが、
今回の件は、2つの二次曲線の係数 [\a, \a'] = \A から交わる点の座標を求めるということで、
\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T = \B \B^T と直交行列を求めれば >>378 の式形から
\x = \B \t / (\e_6^T \B \t) さらには \x = \B \C[\B^T \Λ \B] \1 / (\e_6^T \B \C[\B^T \Λ \B] \1)
のような形に導出できそうな気がしてます。
まとめると、線型化した座標の方の導出はそれ自身に条件が入るので難しいと思っている、ということです。
しかし、二次までの幾何学ということで、固有値問題などに帰着すれば美しい解法はあるもんだと思ってがんばってます。
>>379 さん、何か非線型な行列方程式の解放などご存知でしたらご助言頂けるとありがたいです。
381:１３２人目の素数さん
10/03/13 22:13:06
お聞きしたいのは私の方なんですが、そうですね…その行き詰まり方だとケーハミ定理の復習ですかね(affineも考えると3x3)。
線型と累乗を深く理解できるようになるでしょうね。
普通は3x3をちゃんと勉強することもないと思いますが…
382:neetubot
10/03/13 23:00:34
数学系質問掲示板について語るスレ２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:911番)
楕円面の族
2010年03月08日 12:13:44 KM
お願い致します。
x^2 + 2*y^2 + 3*z^2 + w^2 = 1, 3*x + 2*y + 3*z + 5*w = k
の交わりをx,y,z空間に正射影し、
(1)得られる曲面が楕円面になるkの範囲を定め
楕円面の主軸を求めよ。
(2)上の楕円面の族の包絡面を求めよ。
(3)楕円面が点に退化するようなkを求めよ。
という、4次元ユークリッド空間内で、3次元超楕円面と kで定まる3次元超平面
との共通部分（前者を後者で切った断面）をx,y,z空間に正射影したもの
（w=(k - 3*x - 2*y - 3*z)/5 を前者に代入しwの成分を消したもの）の問題を解きます。
(1)、後者をベクトル[x,y,z,w]=[3t,2t,3t,5t]の点を通りそのベクトルに直交する
3次元部分空間と考えれば、(3t)^2+2(2t)^2+3(3t)^2+(5t)^2 = 69 t^2 = 1より
-1/(√69) < t < 1/(√69) が求めるものなので、-47/(√69) < k < 47/(√69) ■
で共通部分が楕円面となるが、この楕円面の3つの軸はアレじゃないですか…
(2)、3次元超楕円面の周囲をくまなく3次元超平面で輪切りにしてx,y,z空間に正射影
してるだけなので、求める2次元楕円面は x^2 + 2*y^2 + 3*z^2 = 1 で表せる ■
(3)、(1)より k=±47/(√69) ■
ということで私は、全ての二次超曲面は、超球面を透視投影すれば得られると思って
ますが、まぁ同じことですが最近は、n次元ユークリッド空間内の(n-1)次元超球面を使って
直交する0軸方向に超球錘を作り、それをアフィン変換したものと元のn次元ユークリッド空間
との共通部分（断面）によって全ての二次超曲面が表せると考えた方が都合良さそう
と思いました。というのは、今後、二次超曲面と超平面の共通部分や最小最大距離を
考えるための備忘録として、ここに書きました。とりあえずゴメンナサイ
383:neetubot
10/03/13 23:14:23
>>381 コメント速いっすねー 私が遊んでる間に…
>>378 では\x = (\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T) \y = [\b_1, \b_2, \b_3, \b_4] \t / (\s_6^T \t)
とおいた瞬間に、普通に二次曲線同士の交点を求める四次方程式が
固有値分解をすることに帰着されたと私は信じたいので、あとは定数倍が関係ない
\t^T \s_4 \s_4^T \t = \t^T \s_6 \s_1^T \t
\t^T \s_4 \s_5^T \t = \t^T \s_6 \s_2^T \t
\t^T \s_5 \s_5^T \t = \t^T \s_6 \s_3^T \t
の3式を満たすように \tの3変数分を解けば、きれいな公式が作れる気がしてます。
いやほんとに \x = \B \C[\B^T \Λ \B] \1 / (\e_6^T \B \C[\B^T \Λ \B] \1)
の形で（\C[]を余因子行列として）6×6制約行列\Λに3変数分入って4通り導出できると
私は信じて疑わない！と言っていてもあとで式から覆ることが何度もあるこのスレ
384:１３２人目の素数さん
10/03/13 23:30:35
>>382
ガウス先生は複素数根の真意を悟った者がまた一人増えたので大喜びでしょうね。
385:neetubot
10/03/14 01:12:50
>> ケーハミ定理って略は初めて聞きました。n次元拡張もなら↓が詳しいです。
Cayley?Hamilton theorem
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
しかし、私的には使うと逆に式が長くなるという印象があり、ぶっちゃけ使い方よくわかりません。
というのも、固有値分解（特異値分解）は、ある部分空間に直交する部分空間
を求める場合などに、ソフトで出せる固有値と固有ベクトルとかのセットで出せば、
それが幾何学的に何を表しているか想像や図示できるような感じですが、
こと固有値を求めるための固有方程式（とそれを応用したケーハミ定理）については
幾何学的に全く想像ができないからです。
このスレでも、>>235 あたりで非斉次行列多項方程式を解くみたいな事やりましたが（！？）、
同じアフィン変換を何回もかけるとかじゃなく、n×n行列をn回かけるというような状況でもなく、
今回ただの二次形式なのでいける気がしてますが、今までにこれらをベクトルで定式化した
という話は聞いたことがないので、実際やれと言われたら地道に4次方程式解く方法で私もいくと思います。
>>384 複素数根の真意なんて滅相もございません。とりあえず二次超曲面と二次超曲面の共通部分考える
前に、二次超曲面と超平面の共通部分（たぶん二次超曲面）を考えたほうがいいとわかった、いい問題でした。
386:１３２人目の素数さん
10/03/14 07:27:52
>>385
A X + B = C #=>mat
X = A^-1 (C-B) #=>mat
A X A^1 = (C-B) A^1 #=>mat
(A X + B)(u) = C(v) #=>vec
387:neetubot
10/03/20 00:16:49
>>386 ？２つの二次曲線の交点のベクトル解の定式化ですか？
たぶん2次拡張座標の方を X = [x, y, 1]^T [x, y, 1] のように3×3行列化する
まだ私は考えたことがない方法のようでしたので、少し考えました。
まず、全ての二次曲線が [a_1, a_2, a_3] [x, y, 1]^T [x, y, 1] [a_4, a_5, a_6] = 0
の形で表すことができるかですが、[x, y, 1] A [x, y, 1]^T = [x, y, 1] [a_1, a_2, a_3]^T [a_4, a_5, a_6] [x, y, 1]^T
と分解できるためには拡大係数行列 A の階数が1でなければならないので無理でした。
また、Xを上三角行列などのよく見る形にしようとしても、係数の自由度が足りず
任意の二次曲線を表す形にはできませんでした。A X の形には9つの等式が必要で無理です。
ということで、座標から係数出すとき使った[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^T [x^2, x y, y^2, x, y, 1]を使うのか…
余計大変です。[x^2, x y, y^2]^T=\B_{上} \t と [x, y, 1]^T=\B_{下} \t で分けるんじゃね？
870 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/03/19(金) 00:15:37
>>833
>>842
長い間２元２次交点の難問に付き合っていただきありがとうございます。
ベクトル空間（体はC^1など）で考えていたのでその完全な証明は幾何ベクトルを使った証明で知っていましたが、
解法の１つとして、行列成分(行列式)として扱った場合の根（この場合は交点）の最適な配置場所がわかりませんでした。
行列による解法は別のアプローチを研究中ですが、余因子展開の方法もじっくり検討してみます。
また良い問題をありがとうございました。
俺も興味あるし、このスレで一緒に考えようぜっ！
とりあえず、四次方程式の解法・解の公式は↓が詳しいよ。
URLﾘﾝｸ(www.akamon-kai.co.jp)
388:neetubot
10/03/20 00:26:47
とりあえず、↓の人、超好きです。
分からない問題はここに書いてね３２９
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:842番)
842 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/03/18(木) 18:38:41
>>833
n*n行列で考える
xI_n-A_n = B_n = [
[x-2,-1,0,...,0]
[-1,x-2,-1,0,...,0]
[0,-1,x-2,-1,0,...,0]
...
[0,0,0,......,0,-1,x-2]]
を余因子で展開すると
|B_n| = (x-2)|B_{n-1}| - |B_{n-2}|, |B_1|=x-2, |B_2|=(x-2)^2-1
だからx-2=2cosθとおけば帰納的に|B_n|=(sin(n+1)θ)/sinθが得られ
A_nの固有値λ_kとその固有ベクトルu_kはλ_k=2+2cos(kπ/(n+1)),
u_k=t[sin(kπ/(n+1)),sin(2kπ/(n+1)),...,sin(nkπ/(n+1))]
(k=1,2,...,n)
n=4の場合の固有値は{2+2cos(kπ/5)|k=1,2,3,4}={(5±√5)/2,(3±√5)/2}
この行列、何か名前ついてなかったっけ？
(n+1)×(n+1)行列で考えたときどんな図形の座標を表すのかとか、
3次方程式を三倍角の公式に帰着するようにn次方程式をn倍角に…（それは無理か…）
とか興味深い行列！バンデルモンドだっけ？（適当）