08/05/05 04:38:20
●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ～おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...] （上下付き１成分表示）
●行列 M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j] M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可） ●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)
●関数・数列：f(x), f[x] a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y) ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x| ●共役複素数：z~ ●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）
3:１３２人目の素数さん
08/05/05 04:38:38
●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨￢∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
4:１３２人目の素数さん
08/05/05 04:39:20
【関連スレッド】
雑談はここに書け！【３２】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(59桁略)9230
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
分からない問題はここに書いてね２８６
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
【業務連絡】
■レスの数が970ぐらいになったら新しいスレッドを立て、そちらには
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━━━━━━━━━━━━━━━
◆ わからない問題はここに書いてね ２４２ ◆
移転が完了致しましたわ♪ それでは皆様、遠慮なくお使い下さい。
━━━━━━━━━━━━━━━
5:１３２人目の素数さん
08/05/06 04:17:14
/ ／ ´ _ ! / ＼
i ／/ ／ 〉 / ／ ヽ 丶
! ／ ! （. ( ,>_ ／ ヽ ヽ
! ／ ｀ｰ´ ｀（_丿 ／ ! ｀、ヽ はてなようせいが５ゲットよ
ヾ ´ ／ !、 |､ ! i i ｀、
丶、 _ , ィl! ｉ! | ｉ.,|-ヽ ! | l 丶
｀ ｰr -r‐ , ‐|ｉ７ ｌ.!-! |' !ｉ | ﾊ | ! ! ヽ
/ ｌ |' ,-､-､ヽ l l! ﾚ i l|│ | ヽ
, - 、 / | |/ し';;;;i ヽﾉ ,-'"⌒`/ / ｲ） l, ＼
ヽ、 ヽ〈, - 、 ﾊ. | ヾ_::ﾉ , ／" .ﾚ ｉ ｌ＼ ＼ , -―- 、
｀Y ￣ﾞ､ ヽ .| ヽ!lヽ r‐―j /| / | ! ｀丶､（ __ ＼
／（ ￣ ヽ' | ! |｀ヽ､ _ 丶__ノ_. - " l / |! | ｀" ｀ヽ i
／- ´( ￣_)´ / l l-<´ ｀ T ´,!｀ヽ、ｉ / l /ｉ | ! |
／''´ `ir-‐ " |, -ヽ ! ｀l｀ ''-,ゝ､"＿＿ｿ./ | / ! ! ／⌒ヽ､.ﾉ !
| `T " ´! ヽﾞ、 "フ∥､ ｀> /' ＼ ! ./ l.! _＼ ＿ ノ
| | | >-／/ | l´ ヽ,/ ! (_ ）`´ ￣
| i| l─-, ｯ'" ヽ/ | !＿ ヽ ／／´
| !| ／ "´ ヽ￣ ー ─,-ゝ ／／
| ／ヽ、_／ ヽ {ヽ､, - ''"ヽ ＼／
／ ／￣ ー ,, ＿_ ＿_ﾉ 〉 〉 ＼
／ ／ ＼／ ／ ＼
6:１３２人目の素数さん
08/05/06 16:01:17
1002
7:１３２人目の素数さん
08/05/06 20:45:59
1003
8:１３２人目の素数さん
08/05/06 22:11:27
r=xi+yj+zk
（i j k は単位ベクトルです）
をｘについて偏微分するとiですか？
9:１３２人目の素数さん
08/05/06 23:37:21
そのとおりです
10:村越
08/05/07 00:37:35
わからない問題はここに書いてね241の>997に
>村越=文kei=アホ
と書いている人間がいるが、例え私が愚かであったとしても少なくとも私は「文kei」ではない。
私は未だ、「文kei」が楕円積分やリーマン面をやったという書き込みを見つけていない。
むしろ、どちらかと言えば「by文系」の微分形式を知らずに解析力学が分かるという主張を否定していた位だ。
「文kei」と「by文系」が同一人物かどうかは知らないが。
私は最初楕円関数の独立な2つの周期のうち片方が0(或いは∞)になって退化したものが指数関数、或いは三角関数である
ということに基づいて書き込みをした訳だが、
もしかして、私を即座に愚か者扱いしている人物はこのことをご存じないのか。
11:１３２人目の素数さん
08/05/07 00:40:08
∫[-∞,∞]exp(-ax^2)dx （aは定数）
この積分が解けません。どなたか詳しく教えていただけませんでしょうか？
12:１３２人目の素数さん
08/05/07 03:50:14
>>11
積分は解くものじゃなくて求めるもの
というのは置いておいて
a<0の場合は∞と答えておこう
13:村越
08/05/07 03:57:44
>>11
基本的な事柄：
定積分S_n=∫[0,π/2](sinx)^ndx、nは自然数、
に対して、
(1)、S_{2n}=((2n)!/{2^{2n}(n!)^2})*(π/2)、
S_{2n+1}=(2^{2n}(n!)^2)/(2n+1)!。
(2)、n→∞のときS_{2n+1}/S_{2n}→1。
(3)、n→∞のとき(√n)S_{2n+1}→(√π)/2。
これは1つの入試問題のようなもの。
順に追っていけば証明できる筈。
その中で用いるのは(2)と(3)だ。
14:村越
08/05/07 04:01:02
>>11
(>>13の続き)
f(x)=exp(-ax^2)は任意のxに対して正の値を取るxの実関数であって、偶関数である。
ここに、関数f(x)のグラフがxy平面上にあったとすると
与えられた広義積分Intはx軸とf(x)のグラフとで挟まれた部分の面積を表す。
よって、a≦0のときIntは+∞に発散する。
故に、a>0であることを仮定して良い。
今、y=(√a)xとする。すると、dy/dx=√aからdx=(1/√a)dy、及びy^2=ax^2であるから
Int=∫[-∞,∞]exp(-y^2)(1/√a)dy=(1/√a)∫[-∞,∞]exp(-y^2)dy、
即ちS=∫[-∞,∞]exp(-y^2)dyとおけば、Int=(1/√a)S。
よって広義積分Sについて考察すれば良い。
そこで広義積分Sを考える。
exp(-y^2)はyの偶関数であるから、
∫[-∞,0]exp(-y^2)dy=∫[0,∞]exp(-y^2)dy。 (4)
ここで、∫[0,∞]exp(-y^2)dyについて考える。
Taylorの公式により、exp(y)=1+y+(1/2)exp(θy)y^2、0<θ<1、であるから、
yが0ではないときexp(y)>1+yであって、
yをy^2或いは-y^2で置き換えれば、それぞれ、exp(y^2)>1+y^2、exp(-y^2)>1-y^2が得られる。
今導いた2つの不等式から
1-y^2<exp(-y^2)<1/(1+y^2)
が得られる。これより任意の自然数nに対して
(1-y^2)^n<exp(-ny^2)<1/(1+y^2)^n
であって、
∫[0,1](1-y^2)^ndy<∫[0,∞]exp(-ny^2)dy<∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy。 (5)
ここに、次の不等式に注意すると、これら3つの広義積分は収束する。
∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy≦∫[0,∞]{1/(1+y^2)}dy=π/2。
(続く)
15:村越
08/05/07 04:06:34
>>11
(>>14の続き)
ここで(2)の最右辺と最左辺の値を求める。
定積分S_n=∫[0,π/2](siny)^ndyを考える。
y=1/tant、=cottとおく。するとcottは区間(0,π/2]で単調減少かつ繰り返し微分可能なtの関数であって、
0≦cott<∞、 t→+0のときcott→∞、 cot(π/2)=0、 d(cott)/dt=-1/(sint)^2。
また、1+y^2=1+(cott)^2=1+(cost/sint)^2=1+(cost)^2/(sint)^2=1/(sint)^2。
よって、
∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy
=∫[π/2,0]{1/{1/(sint)^2}^n}*(-1/(sint)^2)dt
=-∫[π/2,0](sint)^{2n-2}dt=∫[0,π/2](sint)^{2n-2}dt
=S_{2n-2}。
即ち、∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy=S_{2n-2}
同様にして、y=cost、0≦t≦π/2、とおくと、
d(cost)/dt=-sint、 1-y^2=(sint)^2
であって、
∫[0,1](1-y^2)^ndy=∫[0,π/2](sint)^{2n+1}dt=S_{2n+1}。
一方、y=t/√nと変数の変換をすれば、
dy=(1/√n)dt、 ny^2=t^2
であって、
∫[0,∞]exp(-ny^2)dy=(1/√n)∫[0,∞]exp(-t^2)dt
であるから、(5)から
(√n)S_{2n+1}<∫[0,∞]exp(-y^2)dy<(√n)S_{2n-2}。
ここで、基本事項の(2)、(3)に着目すると、n→∞のとき(√n)S_{2n+1}、(√n)S_{2n-2}→π/2。
故に、∫[0,∞]exp(-y^2)dy=(√π)/2。
これと(4)とから、
S=∫[0,∞]exp(-y^2)dy+∫[-∞,0]exp(-y^2)dy=(√π)/2+(√π)/2=√π、
即ちS=√π。
従って、広義積分Int=(1/√a)Sは収束して、
Int=(1/√a)√π。 以上で回(解)答は終わった。
16:村越
08/05/07 04:12:10
訂正：>>15の1番上の
>ここで(2)の最右辺と最左辺の値を求める。
の「(2)」は>>14の下の方にある「(5)」の間違い。
17:１３２人目の素数さん
08/05/07 06:45:28
なげーよ
「広義積分」でググレって書けばいいじゃねーか
18:１３２人目の素数さん
08/05/07 08:33:03
lim(x→+0)x^xを求めよ
この問題教えて貰えませんか？
そのまま0を代入していいのでしょうか？
19:１３２人目の素数さん
08/05/07 08:54:11
知 ら な い わ ★
そ ん な 極 限 ♪
20:１３２人目の素数さん
08/05/07 08:57:07
0を代入したら
こ・わ・れちゃう♪
21:１３２人目の素数さん
08/05/07 09:31:09
>>18
まずlim_{x→+0}(log(x^x))＝lim_{x→+0}(xlogx)を求める。
その際、t=1/√xとおくと、
lim_{x→+0}(xlogx)＝lim_{t→+∞}((-2/t)(logt/t))＝0
よって、lim_{x→+0}(x^x)＝1
22:１３２人目の素数さん
08/05/07 11:13:15
lim[x→0]x^x=lim[x→0]e^{xlog(x)}
=lim[x→0]e^{log(x)/(1/x)}=e^{-∞/∞}の不定刑だからロピタルで、=lim[x→0]e^(-x)=1
23:19
08/05/07 18:33:36
>>20
ありがとｗｗ
24:１３２人目の素数さん
08/05/07 19:11:28
y=1/x+logxのグラフをかけ
y'=x-1/x^2
y''=2-x/x^3
ここまで解りましたが、増減表が書けません。解説お願いします
25:１３２人目の素数さん
08/05/07 19:14:27
>>24
>>1
26:１３２人目の素数さん
08/05/07 19:17:04
>>24
カッコはきちんと使おうな。
ところでなぜ微分はできて増減表が書けない？書き方を知らないのか？
増減表は何の目的で書くものだ？
27:１３２人目の素数さん
08/05/07 19:20:08
>>25
書き方がよく分かりません。
特に矢印（曲がっている矢印と直線の矢印の判別の仕方）
28:１３２人目の素数さん
08/05/07 19:26:29
曲がった方は今はいいからとりあえず直線の方だけで書いてみろ。
また、増減表とは文字通り関数の増減を調べるためのもの。
増減を調べてグラフの概形を描くために用いるもの。
29:１３２人目の素数さん
08/05/07 20:41:17
１トンは何キログラム？
30:１３２人目の素数さん
08/05/07 20:50:12
>>29
１００００ｋｇだおｗｗ
31:１３２人目の素数さん
08/05/07 20:50:28
>>29
1トンでぐぐれかす
32:１３２人目の素数さん
08/05/07 20:55:13
lim[x→a]{sin(x)-xin(a)}/sin(x-a)の極限値を求めなさい。
公式にlim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)}=f'(a)
というのがあったのでとりあえずf(x)=sin(x)とおいて
lim[x→a]{f(x)-f(a)}/f(x-a)
とやってみたのですが、分母のsin(x-a)をどう変形すればいいのかわかりません。
よろしくおねがいします。
33:１３２人目の素数さん
08/05/07 20:57:32
日本語がおかしいぞ
34:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:00:39
x-a=tなどとおけば、微分の定義式や三角関数の極限式が使える形になる。
35:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:13:21
lim[x→a]{sin(x)-sin(a)}/sin(x-a)=(0/0)=(ロピタル)=lim[x→a]cos(x)/cos(x-a)=cos(a)/cos(0)=cos(a)
36:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:16:10
>>35
ロピタルさん使うのは反則だろｗｗ
37:32
08/05/07 21:17:23
すみません、舌足らずでした。
lim[x→a]{sin(x)-xin(a)}/sin(x-a)の極限値を求めなさい。 という問題で
公式lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)}=f'(a) を使おうと思い、
f(x)=sin(x)とおいて
lim[x→a]{f(x)-f(a)}/f(x-a)
と変形してみたのですが、分母のsin(x-a)をどう処理すればいいのかわかりません。
やり方自体が間違っているのでしょうか。
38:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:17:55
ここは高校生の質問スレではないが何か？
39:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:22:17
>>38
そうだったな、スマソ
40:32
08/05/07 21:24:39
スレ違い、すみませんでした。
>>34
ありがとうございます。
やってみます。
>>35
ググってみます。
41:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:44:18
f(x)=sin(x)として分子と分母をx-aで割ると、
lim[x→a]{sin(x)-sin(a)}/(x-a)/{sin(x-a)/(x-a)}
=f'(a)/1=cos(a)
42:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:46:57
スレタイにもテンプレにも、小・中学生だとか高校生だとか制限がないんだから、
高校生でも問題ないだろう。苦情はスレを立てた本人に言いなよ。
そもそも後を引き継いで次スレを立てる時に、深く考えずにコピペ改変だけするからこういうことが起きるんだ。
43:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:47:25
次の方程式が示された範囲内に実数解をもつことを示せ。
ｅ^xlog(x)=１ (x＞0)
どなたかこの問題の解説をお願いします。
44:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:50:36
>>42
質問者が高校生だから教科書の範囲で教えてくれと断ればいいだけだろ。
大学以降で習うことを使ったほうが手早く解けることのほうが多いんだから。
45:１３２人目の素数さん
08/05/07 21:54:46
>>43
微分して増減表を書きたまえ
46:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:01:03
>>44
ああ、それはまったくもって正しいし賛成する。
それはそれとして考えなしにスレ立てることが問題なのさ。
結局スレ立てた本人が悪いんだよ、質問者みなが気の利く奴だとは限らないんだから。
くだらねえAA付きの>>1だとか、使いにくい表記方法の例だとか、意味もない関連スレだとか・・・。
47:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:04:23
>>24ですがやはり増減表が分かりません。
48:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:18:02
>>43
方程式をlog(x)=1/e^x として、
f(x)=log(x)、g(x)=1/e^x の2つのグラフの交点について考えるとe＞1より、
f(1)=0＜g(1)=1/e、f(e)=1＞g(e)=1/e^e → 1＜x＜e に解がある。
49:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:28:54
>>46
何かいい案があるなら950あたりで提案するか、自分でスレ立てるかしてくれ。
50:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:41:45
>>24
x＞0が定義域、f'(x)=(x-1)/x^2より(1,1)が最小値、
またx→+0でy→∞、x→∞でy=log(x)に近付く。後はだいたい分かると思う。
51:１３２人目の素数さん
08/05/07 22:50:44
提案なら過去スレでも何度かしてる
スレ立てはしようと思ったらいつのまにか考えなし君が立てていた
それを避けるために一日中パソコンの前に張り付いているわけにもいくまい
だから明らかなスレ違い質問でない限りもうこのスレでもいい
・・・もうこの話題はいいよな、さすがに俺のほうがスレ違いになってきたから
>>47
第一次導関数、つまりy' が0となるxを求める。微分は>>24でできているからあとはそのようなxを求めればいい。
第二次導関数を考えないなら、y' =0となるxを境にyの増加または減少が起こる。増減表の書き方はさすがに、
教科書を読めとしか言いようがない。ここで表を書くのも面倒だし、だいいち読みにくい。