08/11/02 00:19:27
同じ問題にいつまでもしつこく寄り集まってる様は面白くも楽しくもない
880:１３２人目の素数さん
08/11/02 00:35:01
>>879
君にはわからんだろうが
フェルマーの最終定理を面白いと感じるプロもたくさんいるのだよ。
881:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:21:23
フェルマーの最終定理は面白いだろ。
それはそうと問題投下。
サイコロを振って出た目が得点になるゲームがあります。
・サイコロは最高n回まで振れる。
・もう1回振るかどうかは振った後決めれる。
・最後に出た目が得点になる。
(i)サイコロを2回まで振っていいとき(n=2)、どのような作戦にすれば得点の期待値が最高になりますか？
(ii)サイコロを3回まで振っていいとき(n=3)、どのような作戦にすれば得点の期待値が最高になりますか？
882:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:23:53
ぱっと見は4以上が出たらやめる。
883:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:26:41
実は(ii)は1回目で4以下が出たらもう1回振ったほうが得。
884:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:27:01
(i)3以下だったら2回目を振る。
(ii)4以下だったら2回目を振る。2回目3以下だったら3回目を振る。
885:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:28:12
意外と大きくなるんだな期待値。
886:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:31:48
>>881 (1) サイコロを1回振ったときの目の期待値は3.5だから4以上出た時にやめればよい。
(2)二回まで振っていいときの期待値を求める。
(1)より出方は4,5,6のときはその値、1.2.3のときは
もう一度振り直すのだからその期待値3.5をとって考えればよい。
よって期待値は(4+5+6+10.5)/6=4.25
よって一回目に降ったときに5以上ならやめ、それ以下の目の場合は振り直し、
残りの2回は(1)のやりかたで降ればよい。
どこが面白い問題なのか。
887:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:38:03
5が出ても振った方が得になることはないんだな。
888:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:53:39
財布の中には、1000円入っています。
100円玉、50円玉、10円玉、5円玉、1円玉がそれぞれ何枚かづつ(1枚以上)入っていて、
それぞれの硬貨の枚数は1枚、5枚、6枚、15枚、25枚のどれかだと言う事が分かっています。
どの硬貨が何枚入っているでしょうか？
ただし硬貨の値段と枚数とは1対1に対応しているものとします。
889:１３２人目の素数さん
08/11/02 02:11:47
>>887
nを大きくすれば、どっかでなるだろ
890:１３２人目の素数さん
08/11/02 02:18:00
n=5で期待値が約5.13になるから、5回以上追加で振れるときは6以外が出たら振りなおしたほうがいいね
891:１３２人目の素数さん
08/11/02 02:19:37
ならねえだろ
892:１３２人目の素数さん
08/11/02 02:22:08
>>889
ならない。
893:１３２人目の素数さん
08/11/02 02:26:40
1回目期待値=7/2=3.5
2回目期待値=(3*7/2+4+5+6)/6=17/4=4.25
3回目期待値=(4*17/4+5+6)/6=14/3≒4.67
4回目期待値=(4*14/3+5+6)/6=89/18≒4.94
5回目期待値=(4*89/18+5+6)/6=277/54≒5.13
894:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:24:50
>>874
＞ 各人の帽子の色が独立同分布に従って決定されていて、
＞ その分布が偏っていたら、一番多い色を言うのがベストの戦略だよね。
「分布が偏っている」というのがわかっているということは、推論する手段があるということ。
＞ 逆に、ランダムに言う戦略が合理的であるためには、
＞ 全ての色が等確率で分布していないといけない。
そんなことはない。 「偏っている」という情報だけがあっても
どの色に偏ってるのかの情報がなければ、結局どの色が多いのかはわからない。
どうやら、「実際にそうなっていること」と「そうなっているという情報が与えられていること」の
区別が付いていないようだな。
895:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:25:44
>>875
>>863 >>864
896:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:29:14
前スレあたりからみるとずいぶんレベル落ちたな。
問題にも解答にも意外性も何もない。
897:１３２人目の素数さん
08/11/02 07:14:31
>>894
> > 逆に、ランダムに言う戦略が合理的であるためには、
> > 全ての色が等確率で分布していないといけない。
> そんなことはない。 「偏っている」という情報だけがあっても
> どの色に偏ってるのかの情報がなければ、結局どの色が多いのかはわからない。
「偏っている」という情報だけがある場合は、
「赤のみを選ぶ戦略」か「青のみを選ぶ戦略」か「白のみを選ぶ戦略」の
どれかが最良になるはずだよね（当然、どれが良いかは分からない）。
決して「等確率で選ぶ戦略」が最良（合理的）にはならないと思うのだけれど。
898:１３２人目の素数さん
08/11/02 07:59:11
>>897
ある一人を取り出したときに
* 「赤のみを選ぶ戦略」か「青のみを選ぶ戦略」か「白のみを選ぶ戦略」の
どれかをランダムに選ぶ。
* 「赤」「青」「白」のどれかをランダムに選ぶ。
これになにか違いがあるのか？
899:１３２人目の素数さん
08/11/02 08:27:25
＞ 決して「等確率で選ぶ戦略」が最良（合理的）にはならない
「他のどの戦略と比べても「等確率で選ぶ戦略」が良でないほうではない」
と厳密に言って欲しいってことじゃないのか？
AとBの大きいほう という言い方を 、等しいときには大きいほうはないという人がいる。
そのため「AとBの小さくないほう」という言い方がある。
900:１３２人目の素数さん
08/11/02 08:35:39
助かる確率は同じだが偏差(分布)は異なるといいたいのかと思ったが
最良ではないなんて言ってるところからするとそういうわけでもないらしいな。
901:１３２人目の素数さん
08/11/02 08:37:36
>>897
＞ 決して「等確率で選ぶ戦略」が最良（合理的）にはならないと思うのだけれど。
それが最良でないということは、他に最良な方法が、少なくとも1/3以上の期待値で
助かるという方法があるということ？
それとも、期待値は同じでも、どちらがよい戦略なのかを決める基準が別にあるという話か？
902:１３２人目の素数さん
08/11/02 12:06:29
>>901
・より良い戦略が存在する
・その戦略をとる基準が存在する
この二つは別ですよね。
903:１３２人目の素数さん
08/11/02 12:18:30
>>902
その戦略を取る基準が存在しない戦略は、ないのと同じだろ。
「各自が自分の帽子の色と同じ色の名を叫ぶ」
という戦略は生存率100％だが
これを最良の戦略だと認めるつもりか？
904:903
08/11/02 12:24:36
選ぶ基準が存在しない戦略は「良い戦略」ではないだろう。
良い戦略とは、少なくとも、成果を上がられるものでないとならん。
「良い戦略」の定義でもめるかもとは思ったが、まさかこんなもめ方をするとは思わなかった。
905:１３２人目の素数さん
08/11/02 12:31:28
>>897
「偏っているが色はわからない」という仮定の下で
その 「赤のみを選ぶ戦略」と「青のみを選ぶ戦略」と「白のみを選ぶ戦略」の
３つの戦略について、生存者の人数の期待値を、それぞれ計算してごらん。
906:１３２人目の素数さん
08/11/02 18:26:59
>>903
認めます。
>>905
どのように計算するのでしょう？
例えば、赤のみを選ぶ戦略の期待生存率（生存人数の期待値/全人数）は
赤の出る率に等しいのですが、「偏っている」という情報だけでは
この値は計算できないように見えます。
907:１３２人目の素数さん
08/11/02 18:38:18
今更だが>>53,54がわかりません
（2）ですが
Step4の「両方同じなら両方を反転して終了」で終了しない場合がありませんか？
たとえば
Step1,2,3を踏んで
お--------お
｜ ｜
｜ ｜
う---------？
ここで左上と右下を選び「？」が表だったとして両方を反転しても終了しませんよね？
私がどこで間違えているか教えて下さい
908:１３２人目の素数さん
08/11/02 20:25:35
>>907
step2が終わった時点でチャイムが鳴らなかったら、3個が表、1個が裏の状態になってるはず
さらに、step3が終了してもチャイムがならなかったら、2個が表、2個が裏の状態になってるはず
？が表であることはない
909:１３２人目の素数さん
08/11/02 20:52:09
>>908
なるほどありがとうございます
910:１３２人目の素数さん
08/11/03 13:59:59
906
＞ 認めます。
では、そのルールなら、この問題の最良の戦略も
もとの問題（事前相談アリ）の最良の戦略も
「各自が自分の帽子の色と同じ色の名を叫ぶ」 だな。
生存率は100％。
＞ どのように計算するのでしょう？
> 赤の出る率に等しいのですが、「偏っている」という情報だけでは
> この値は計算できないように見えます。
どう偏っているのかを確率的に扱えばよいのではないかな？
911:１３２人目の素数さん
08/11/16 20:25:49
次のような2人用ゲームを考える。
ルール：
ゲーム開始時において、集合Sを{0}（0のみからなる集合）とする。
各プレイヤーは自分の手番において、Sに含まれない自然数nを言う。
このとき集合{s+mn|s∈S,m∈N}を考え、これを改めてSとする。（Nは自然数{0,1,2,...}）
これを先手と後手で交互におこなう。
1を言うと負け。
先手、後手のいずれかに必勝法はあるか？
あるとすればどのような方法か？
912:１３２人目の素数さん
08/11/17 04:43:52
>>911
＞ 先手、後手のいずれかに必勝法はあるか？
ない。
∵Sに含まれない最小の素数が常に存在する。
913:１３２人目の素数さん
08/11/17 12:56:04
先手と後手が一回ずつ数を言った時点で
Sに含まれない自然数は有限個になるわけだけど。
その二数がn_1及びn_2ならばSに含まれない最大数は
n_1・n_2-n_1-n_2になるんだっけ。
ちょっと正整数だったか非負整数だったか覚えてないんで
微妙だけどだいたいこんな感じの式。
914:１３２人目の素数さん
08/11/17 13:06:20
え？なんか俺ルールを勘違いしているかな？
915:１３２人目の素数さん
08/11/17 13:48:40
全然まじめに考えていないが、1回ずつ数を言った時点で有限個に絞られるなら後手必勝なんじゃないか？と予想。
916:１３２人目の素数さん
08/11/17 21:05:00
S={0}.
s < 2.
S={0,2,4,6,8,10,...}.
g < 3.
S={0,2,3,4,5=2+3x1,6=6+3x0,7=4+3x1,...}.
s < 1.
g win.
917:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:19:58
>>913
> 先手と後手が一回ずつ数を言った時点で
> Sに含まれない自然数は有限個になるわけだけど。
先手が 4、後手が 2 と言ったら？
918:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:25:02
Nは自然数ではなく非負の整数な気が
919:１３２人目の素数さん
08/11/18 01:31:23
言葉の定義の話なら、０を含める流儀もあるとしか
920:１３２人目の素数さん
08/11/18 20:55:04
ぶるばき
921:１３２人目の素数さん
08/11/18 21:53:23
二百日。
922:１３２人目の素数さん
08/11/20 03:10:38
a,bが互いに素な整数のとき、任意の自然数nに対して
ax + by = n
は整数解を持つ。
とくに0≦x≦b-1を満たすように取る事ができる。
このときy = (n-ax)/b ≧ (n-a(b-1))/b
なので、n ≧ a(b-1)ならば、とくに(x,y)が非負の解を持つ。
このことは、今までに挙げられた中に互いに素な数が一組でもあるとき、Sの補集合が有限集合になることを意味している。
また、このゲームにおいて、
(ⅰ)2が挙げられたとき、Sは3を含まない。
(ⅱ)3が挙げられたとき、Sは2を含まない。
(ⅲ)2と3がともに挙げられた時点でSに含まれないのは1のみ
また、4以上の数が挙げられても2も3もSに含まれる事は無いので、両者は完全に見合いになっており、要するにこのゲームは
「相手に2か3を言わせたほうが勝ち」である。
例えば、{初手,二手目}={4,5}のときSの補集合={1,2,3,6,7,11}であり、
ここで先手が11を言えば{1,2,3,6,7}になる。
この6と7も見合いになっているのでこれは先手の勝ち。
一般に、もし先手があげた数が素数pだったら後手はpと素な数を言わざるを得ないので
そこでSに含まれない数の全体(有限)が必ず先手勝ちになるpがあるのか、
それともどんなpに対しても後手勝ちにできる二手目があるのかとか色々考えてみたけどよーわからん。
923:１３２人目の素数さん
08/11/20 07:23:50
>>911 計算したところまで
1手目 4 なら、2手目 6 で後手勝ち、
1手目 6 なら、2手目 4 で後手勝ち。
>>922 p=5 に限定しても分からないんだが
1手目 5 の直後、次のペアが見合いになってる。
(ペアの片方を2手目に言われたら、もう一方を3手目に言えば先手勝ちという意味)
(4,11), (6,19), (7,8), (9,31), (12,33), (13,37), …
例えば、2手目 6 なら、3手目 19 で先手勝ち、
2手目 19 なら、3手目 6 で先手勝ち。
924:１３２人目の素数さん
08/12/03 17:07:52
636
925:１３２人目の素数さん
08/12/03 18:57:30
378
926:１３２人目の素数さん
08/12/03 21:39:25
>>814
まったくわからない解説をしてくれ
927:１３２人目の素数さん
08/12/04 01:33:39
>>926
答を解説してしまっては考える楽しみがなくなってしまうと思うので
途中までというか、基本的な考え方を…
まず、ABは 十分論理的だと考える。
すると以下のような推論が成り立つ。
Aには２数の積を伝えた。
しかし Aは 「私には元の二つが何か分かりません。」 と言った。
ということは、Aに伝えられた数は、２素数の積ではなかったはずだ。
（もし伝えられた数が、ふたつの素数の積ならば、Aには２数がすぐにわかるから）
同じような理由で、伝えられた積は素数の３乗でもない。
それに対し、２数の和が伝えられたBは
「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」と言った。
まず、あなたに『も』と言ったのだから、Bにもわからないと言う事だ。
ということは、Bに伝えられた和は５や６ではない。
（もし５や６ならば、Bにはその２数がすぐにわかるから）
さらに、その和は二つの素数の和ではない。
（でなければ「あなたにも分からない」とは限らない）
などなど…こんなふうに推論を重ねていけばいい。
928:１３２人目の素数さん
08/12/04 05:03:19
>>814は素数じゃなくて自然数じゃないの？
929:１３２人目の素数さん
08/12/04 05:11:40
だから 0 と 2 だな
930:１３２人目の素数さん
08/12/04 06:21:29
>>928
2以上のな
931:１３２人目の素数さん
08/12/04 07:22:00
>>928
うーむ。
そういう返事がかえってくるとはさすがに予想していなかった。
>>814の２数は自然数。
だが、素数でないとは限らない。
二つの数が、両方共に素数でない事は、Aが最初に「わからない」といったから
初めて確定するんだが、それがわからないだろうか？
ある２以上の自然数ふたつを掛け合わせたものだといわれて
なにか数を言われたとき、それがふたつの素数の積だったら
元の二つの数はすぐわからるだろ？
たとえば７７を言われたら、元の２数は７と１１以外にありえない。
２以上の自然数のうち、それ以外のどんなふたつの数を掛けても
７７にはならないのだから。
だから、もしAに伝えられた数が、ふたつの素数の積だったら
Aは「わからない」とは言わずに「わかった」というはずなんだ。
Aが「わからな」いと言っている以上は、Aに伝えられた数は
ふたつの素数の積ではなかった、ということ。
932:928
08/12/04 17:53:59
>>931
ごめん。全然読めてなかった。
あと俺は>>926じゃないのであしからず。
933:１３２人目の素数さん
08/12/05 05:03:23
>>814
答えは3.4
934:↑
08/12/05 05:22:19
違かった。スルーしてくれ
935:１３２人目の素数さん
08/12/06 15:34:23
(1)
半径1の円を9個並べて、正方形に収めたい。
正方形の1辺の長さは6よりも小さくする事は出来ない事を証明せよ。
(2)
半径1の円をn個並べて正方形に収める時、正方形の1辺の長さの上限を与える式を作れ。
ただしnは十分に大きいものとする。
936:１３２人目の素数さん
08/12/09 16:20:46
>>814
なぜ３，４じゃいけないんだぁあ！
誰か３，４が否定される理由を詳しくおしえて～な
937:１３２人目の素数さん
08/12/09 16:42:25
>>936
おそらくの範疇で聞いてほしい。
Ｂは「あなたにも分からないと思ってましたよ」と言った。
もし、答えが３，４だとしたらＢに伝えられた自然数は７になる。
７から推測される２数は、２，５と３，４の二通りだ。
それらからＡに言い渡された自然数が１０か１２と推定できる。
もし１０だとしたらＡは答えを唯一２，５と判断できる。
それをＢは知ることができるから、Ａが分からないとは断言できない。
つまり「あなたにも分からないと思ってましたよ」という発言に反するのだ。
と、思うのだが……
938:１３２人目の素数さん
08/12/09 17:59:02
>>937
そのとおり。
>>936
納得した？
939:１３２人目の素数さん
08/12/09 18:52:43
Ａｈ～！
Ｏｈ！Ｙｅｓ！
Ｉ ｗａｓ ｗｒｏｎｇ！
ＴＨＡＮＫＳ！
ＨＡＨＡＨＡＨＡＨＡ！
940:１３２人目の素数さん
08/12/09 21:58:11
まって
やっぱさ
和を聞いた奴が７をきいていたとすると
２，５ ３，４
の二通りの持論をもっていったことになる
あったとき初めて
二数の組み合わせは互いに素の関係
ということがわかるから
やっぱ３，４でも題意成立だとおもっちゃたりしちゃりしちゃうんだが
941:１３２人目の素数さん
08/12/09 22:33:43
>>940
＞ 二数の組み合わせは互いに素の関係
そんなことはわかっていないが？
こちらで考える可能性「２，５」と「３，４」のうち
もし正解が「２，５」だったら、それは２つ共素数なので
相手はたちどころにわかってしまう。
だから相手の意見を聞く前から「あなたもわからない」とは思えないんだよ。
「もしかしたら、あいては即座に答えてしまうかなあ」と思うしかない。
さらに、相手が即座に答えられなければ、正解は「２，５」ではないのだから
「３，４」に決まってしまう。
だから、Aが最初にわからないといった後に
Bは「そうでしょうね…」とは言わず
「なるほどそれを聞いて、私にはわかりました。」と言う。
そしてAは「まいりました、わたしにはやっぱりわかりません」と答える。
Bがわかったときいても最初に「１２」と聞かされたAは 「２，６」なのか「３，４」なのかはわからないからだ。
942:１３２人目の素数さん
08/12/09 22:42:37
「３，４が正解だった場合は頭のいい二人が交わした会話はこうだったかもしれない。
A 「まいりました。
わたしがわからないと言ったとたんあなたはわかったというんでしょうね。
しかしそれでもわたしにはあなたの答を聞くまでわからない」
B 「そうなんです。
しかしわたしも、あなたがわからないというまでは
いきなりわかったといわれてしまうのではないかとひやひやしてたことも
わかっているんでしょう？」
943:１３２人目の素数さん
08/12/09 22:46:53
つまり
３，４
だったら
Ａがわからないちゅうことですか？
944:１３２人目の素数さん
08/12/09 22:52:26
積は12
A「私には元の二つが何か分かりません。」
和は7
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」←この時点でBは答えが分かる
A「ほほう、ならば分かりました。」
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」 ←故にこれはおかしい
945:１３２人目の素数さん
08/12/10 10:57:36
>>944
積は12
A「私には元の二つが何か分かりません。」
和は7
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」←この時点でBは答えが分かる
A「ほほう、ならば分かりました。」 ←これもおかしい、ここではAはわからない
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」 ←故にこれはおかしい
946:１３２人目の素数さん
08/12/11 01:47:25
元の二数をx,y(x≦y)とする
Aの初めの発言から、xとyのすくなくとも一つは合成数。
また、(z,w)をx+y=z+wを満たす二以上の自然数とする。ただしz≦w
二つ目のBの発言よりともに素数となる(z,w)の組は無い。
これを素数和表示不可能数と呼ぶ。
Bが聞いた数は素数和表示不可能数に違いない。
さて、全ての素数和表示不可能数はあきらかに「奇数の合成数+2」の形をしている。
逆に奇数合成数に2を足した数は素数和表示不可能。
(∵奇数合成数に2を足した数は奇数なので、二数の和に表すと少なくとも一方の和因子は偶数になる
その偶数が4以上なら合成数だし、2なら仮定より奇数和因子が合成数)
すると40以下の範囲では素数和表示不可能数は以下の七つ。
11,17,23,27,29,35,37
三つ目のAの発言より、xy＝ab(2≦a≦b)を満たすaとbの内、a+bが上記の素数和表示不可能な数になる組は一つそしてただ一つある。
例えばAが聞いた数が30だとすると、30=5*6=2*15より、11と17の両方を作れるので、Aはこの段階でもわからないというはず。
従ってAの聞いた数は30ではない。
947:１３２人目の素数さん
08/12/11 01:48:31
さて、ここでx+y=11だったとしよう。
在りうる可能性は2+9,3+8,4+7,5+6のいずれかでり
Aは18,24,28,30のどれかを聞いたはずである。
24を二数の積abに表す方法は2*12,3*8,4*6の三通りで、a+bが素数和表示不可能な数になるのは(a,b)=(3,8)のみ
しかし28を二数の積abに表す方法は2*14,4*7の二通りで(4,7)が唯一の素数和表示不可能な和を与える。
つまりAが聞いた数が24でも28でもAは「分かった」というはずであり、最後のBのセリフはありえない。
従ってx+yは11ではない。
同様に考えていくと、
x+y=17のとき：
xy∈{30,42,52,60,66,70,72}
x+y=23：
xy∈{42,60,76,90,102,112,120,126,130,132}
x+y=27:
xy∈{50,72,92,110,126,140,152,162,170,176,180,182}
x+y=29:
xy∈{54,78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210}
x+y=35：
xy∈{66,96,124,150,174,196,216,234,250,264,276,286,294,300,304,306}
x+y=37：
xy∈{70,102,132,160,186,210,232,252,270,286,300,312,322,330,336,340,342}
Aが「分かった」と言う数は、上記の各集合の内のどこかに一回だけ出てくる数である。
そこで重複して現れる数を削っていくと上から順に一番上だけが単元集合になる
(x,yがともに20以下と言う条件はAとBは知らないので厳密にはx+y=123までリストを作るべきだが
どうせこのリストの重複はそんなには起こらないので多分大丈夫)
その唯一残る数は52である。
即ちx+y=17のときにAが聞く可能性のある数たちのうち、Aが分かったと言う唯一の数が52であり、
x+yが他の値のときはそのような数は無い。
∴初めの二数は(4,13)
948:１３２人目の素数さん
08/12/13 18:40:20
>>935
まず内接円が半径1の正六角形を平面状に敷き詰める。
そのあと一つの円に注目してA1とし、A1に接する円の一つをA2とする。
A1の中心を頂点にもち、線分A1A2と辺を共有する一片xの正方形を書く。
正方形を適当な方向に距離√2だけ平行移動させ、A1と正方形が二点で接するようにする。
最後に、正方形の内部に収まらない円を消す。
以上の手続きで一片xの正方形に対して入る円をf(x)個とする。
具体的にはf(x)は以下のように考えて計算できる。
便宜上A1が正方形の左上、A2がA1の右にあるとする。
上から奇数段目には[x/2]個（ガウス記号）、偶数段目には[(x-1)/2]個の円が並び、
k段目の円の下端の高さは(√3)(k-2)+2
よって全部で[(x-2+2√3)/√3]段ある。
従って、
f(x) = Σ[k=1,[(x-2+2√3)/√3]]([x/2]((1+(-1)^(k+1))+[(x-1)/2](1+(-1)^k))/2)
以上により、与えられたnに対してf(x)≧nを満たすxの下限が可能な正方形の一辺の下限。