08/05/26 13:31:48
>>543
下手に演算子でやるより①は合成関数の2階微分、②は媒介変数表示の2階微分と考えたほうが良いよ
①dy/dt＝dy/dx・dx/dtをちょっとだけ利用
dy/dx=f'(x)、dx/dt=g'（ｔ） とすると
dy/dt＝dy/dx・dx/dt=f'(x)・g'（ｔ）=f'(g（t))・g'（ｔ） （x=g(t）より）
yのtでの二回微分はd/dt・（dy/dt）=d/dt・（dy/dx・dx/dt）=d｛f'(g（t))・g'（ｔ）｝/dt =f ''(g（t))・｛g'（ｔ）｝＾2 +f'(g（t))・g''（ｔ）=f ''(x)・｛g'（ｔ）｝＾2 +f'(x)・g''（ｔ）
②
dy/dx=（dy/dｔ）/（dx/dt）を大分利用
dx/dｔ=f'(t) dy/dｔ=g'(t)とすると
dy/dx=（dy/dｔ）/（dx/dt）=g'(t)/f'(t)
yのxでの二階微分はｄ/dx・（dy/dx） =ｄ/dt・（dy/dx）・（dｔ/dｘ）=ｄ｛g'(t)/f'(t)｝/dt・｛1/f'(t)｝ = ｛g''(t)f'(t)－g'(t)f''(t)｝/｛f'(t)｝＾2・｛1/f'(t)｝=｛g''(t)f'(t)－g'(t)f''(t)｝/｛f'(t)｝＾3