08/04/29 01:03:14
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89:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:03:40
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90:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:04:03
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91:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:05:18
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92:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:05:40
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93:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:28:22
多様体上の積分論などでしばしば使われるテクニックに１の分割がある。
これにより大域的な積分の計算を局所的な積分の計算に還元出来る。
１の分割はRadon測度の理論でもよく使われるので、ここで述べておく。
ただし、最も簡単な場合である有限被覆の場合のみ扱う。
さしあたって、これで十分である。
94:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:40:14
補題
X を正規空間とする。
U_1, ..., U_n を X の開被覆とする。
このとき、開集合 V_1 で (V_1)~ ⊂ U_1 となり V_1, U_2, ..., U_n が
X の被覆となるものが存在する。
ここで、(V_1)~ は V_1 の閉包である。
証明
A = X - (U_2 ∪...∪ U_n) とおく。
A は閉集合で A ⊂ U_1 である。
X は正規空間だから A ⊂ V_1 ⊂ (V_1)~ ⊂ U_1 となる開集合 V_1 がある。
この V_1 が求めるものである。
証明終
95:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:45:34
命題
X を正規空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
このとき、開集合 V_1, ..., V_n で各 i で (V_i)~ ⊂ U_i となり
V_1, V_2, ..., V_n が X の被覆となるものが存在する。
証明
>>94を繰り返し使えばよい。
96:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:05:40
命題
X を正規空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
このとき、X 上の実数値連続関数 f_1, f_2, ..., f_n で
以下の条件を満たすものが存在する。
(1) 0 ≦ f_i ≦ 1, i = 1, 2, ..., n
(2) Supp(f_i) ⊂ U_i, i = 1, 2, ..., n
(3) 1 = f_1 + ... + f_n
証明
>>95より、開集合 V_1, ..., V_n で各 i で (V_i)~ ⊂ U_i となり
V_1, V_2, ..., V_n が X の被覆となるものが存在する。
X は正規空間だから各 i で (V_i)~ ⊂ W_i ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i となる
開集合 W_i がある。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、各 i で
連続関数 g_i : X → [0, 1] で
(V_i)~ の上で 1、X - W_i の上で 0 となるものが存在する。
Supp(g_i) ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i である。
g = g_1 + ... + g_n とおく。
V_1, V_2, ..., V_n は X の被覆であるから X の任意の点 x に対して
x ∈ V_i となる i がある。
g_i(x) = 1 であるから g(x) ≧ 1 である。
従って f_i = g_i/g とおけばよい。
証明終
97:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:11:21
定義
X を位相空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
>>96の条件 (1), (2), (3) を満たす実数値連続関数の列
f_1, f_2, ..., f_n を有限開被覆 (U_i) に属す１の分割と言う。
98:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:14:27
コンパクト空間は正規であるから>>96が使える。
>>96を局所コンパクト空間に適用するために、局所コンパクト空間の
コンパクト化について述べる。
99:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:58:19
命題(Alexandroff)
X を局所コンパクト空間とする。
X に新たに一点 ω を追加した集合を
Y = X ∪ {ω} とする。
Y にある位相を定義することにより Y はコンパクト空間になり、
X の位相は Y の部分空間としての位相と一致するように出来る。
証明
Ω = {X の開集合全体} ∪ {Y - K ; K は X のコンパクト集合}
とする。
(K_λ), λ∈Λ を X のコンパクト集合の族としたとき
∪(Y - K_i) = Y - ∩K_i であり、∩K_i はコンパクト集合に含まれる
閉集合であるからコンパクトである。
よって、∪(Y - K_i) ∈ Ω である。
K_1, K_2 をX のコンパクト集合とする。
(Y - K_1)∩(Y - K_2) = Y - (K_1 ∪ K_2)
K_1 ∪ K_2 はコンパクトであるから
(Y - K_1)∩(Y - K_2) ∈ Ω である。
U を X の開集合とし、K を X のコンパクト集合とする。
U ∩ (Y - K) = U ∩ (X - K) は X の開集合である。
よって U ∩ (Y - K) ∈ Ω である。
以上から Ω は Y の位相を定義する。
K を X のコンパクト集合としたとき X ∩ (Y - K) = X - K であるから
X ∩ (Y - K) は X の開集合である。
よって、X の位相は Y の部分空間としての位相と一致する。
(続く)
100:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:59:03
>>99の続き。
X は局所コンパクトだから、任意の x ∈ X に対して
x のコンパクト近傍 K が存在する。
Y - K は ω の近傍であり K ∩ (Y - K) = φ である。
これから Y はHausdorff空間である。
(U_λ), λ∈Λ を Y の開被覆とする。
ω ∈ U_μとなるような μ ∈ Λ がある。
よって、U_μ = Y - K, K はコンパクトと書ける。
K はコンパクトだから Λ の有限部分集合 H があり
K ⊂ ∪{U_λ; λ ∈ H} となる。
Y = ∪{U_λ; λ ∈ H} ∪ U_μ である。
よって Y はコンパクトである。
証明終
101:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 12:05:12
>>99の命題の証明を見ると X が局所コンパクトであることは Y のHausdorff性の
証明だけに使われていることがわかる。
102:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 12:25:10
命題
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
V_1, V_2, ..., V_n を X の開集合で、
K ⊂ V_1 ∪ ... ∪ V_n とする。
このとき X から [0, 1] への連続関数 f_1, ..., f_n で
各i で Supp(f_i) ⊂ V_i
すべての x ∈ X で f_1(x) + ... + f_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき f_1(x) + ... + f_n(x) = 1 となるものが存在する。
証明
Y を X に一点 ω を添加したコンパクト空間とする(>>99)。
V_0 = Y - K とおけば V_0, V_1, ..., V_n は Y の有限開被覆である。
Y はコンパクトであるから正規空間である。
よって >>96 より V_0, V_1, ..., V_n に属す１の分割(>>97)
f_0, f_1, ..., f_n が存在する。
f_1, ..., f_n (の各 f_i を X へ制限したもの)が求めるものである。
証明終
103:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:09:55
E から F への線形写像 f に対して
|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
とおく。
f が連続であるためには |f| が有限であることが必要十分である。
証明
過去スレ009の537において H = {f} とすれば f が連続であるためには、
f が次の条件を満たすことが必要十分である。
実数 M ＞ 0 が存在して、任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ M|x| となる。
＿＿＿_
／_ノ ' ヽ_＼
／（≡） （≡）＼
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 女子高校生のお尻をなめるのって最高だお！
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／ ああっ、いいお！イク！イクお！！
／ ＼
↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
104:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:10:55
命題
X をハウスドルフ空間とする。
K を X の欺コンパクト集合とする。
V_1, V_2, ..., V_n を X の開集合で、
K ⊂ V_1 ∪ ... ∪ V_n とする。
このとき X から [0, 1] への連続関数 f_1, ..., f_n で
各i で Supp(f_i) ⊂ V_i
すべての x ∈ X で f_1(x) + ... + f_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき f_1(x) + ... + f_n(x) = 1 となるものが存在する。
105:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:11:24
・累乗 x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数 log_[3](9)=2（底は3）
・積分 ∫[x=1,3] (e^(x+3))dx ・数列の和 Σ[k=1,n]A(k)
・分数 (a+b)/(c+d) （分子a+b､分母c+d） ・ベクトル AB↑ a↑
＿ 。
, '´ ヽ ／／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
! i iﾊﾙ）))〉 ／ | 上記のように書いてローマ数字や丸付き数字などを
i!iiﾘﾟ ヮﾟﾉij ／ ＜ 避けて頂けると助かりますわ。
li/([ｌ个j]Ｐ´ | また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。
ノﾉく＿ 〉ﾘ ー―――――――――
,し'ﾉ ※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします
他の記号（>>2-3にもあります）と過去ログ
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（その他注意・関連リンクは>>2>>3>>4辺りを参照）
106:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:12:16
瀬尾佳美青山学院准教授の業績一覧です。
女を採用すると大変です。
・奨学金問題に絡め、光市被害者を「卒業したら間髪いれずに孕んでそのままぜんぜん働かず、
挙句の果てに平日の昼間から家でぶらぶらしていたため殺されちゃう」
・拉致問題で「「めぐみちゃん」はちゃんと育って、結婚までして、あまつさえ子供まで儲けています。
私の目から見ると信じられないくらい幸福です」 「いつまでもいつまでも「めぐみっちゃん」とか
不幸面してられるアンタが心底うらやましいよ」と被害者・家族を愚弄
・拉致被害者を「側溝に落ちた10円」にたとえる
・昭和天皇に「本心は戦争に反対だったのなら焼身自殺でもなんでもしていさめたらよかったですね」
・「子供の数と母親の教育レベルについては、統計的に有意な負の相関」
さらに「日本で人が５人ふえると、途上国で４０人ふえたのと同じだけ資源をくいゴミをだします」
・自殺した大臣にたいし「せっかく死んでくれた」などと死者に鞭打つ発言
・年収300万円の人間は「食べ残しの皮と種」
107:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:13:14
定義
X を位相空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
>>89の条件 (1), (2), (3) を満たす実数値連続関数の列
f_1, f_2, ..., f_n を有限開被覆 (U_i) に属す１の分割と言う。
108:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:14:40
命題
X をT_2-空間とする。
a を X のある点とする。
δ_a を Dirac 測度(過去スレ008の708)とする。
f ∈ K(X, C) なら |δ_a(f)| ≦ |f|_b であるから >>53 より δ_a は
有界である。
K を a のコンパクト近傍とする。
過去スレ007の706より、 連続関数 f : X → [0, 1] で
K の上で 1 で f ∈ K(X, C) となるものが存在する。
|f|_b = 1 であり δ_a(f) = f(a) = 1 であるから
δ_a のノルム(>>49) |δ_a|_b は
|δ_a|_b = sup{|δ_a(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } = 1 である。