08/04/29 11:05:40
命題
X を正規空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
このとき、X 上の実数値連続関数 f_1, f_2, ..., f_n で
以下の条件を満たすものが存在する。
(1) 0 ≦ f_i ≦ 1, i = 1, 2, ..., n
(2) Supp(f_i) ⊂ U_i, i = 1, 2, ..., n
(3) 1 = f_1 + ... + f_n
証明
>>95より、開集合 V_1, ..., V_n で各 i で (V_i)~ ⊂ U_i となり
V_1, V_2, ..., V_n が X の被覆となるものが存在する。
X は正規空間だから各 i で (V_i)~ ⊂ W_i ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i となる
開集合 W_i がある。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、各 i で
連続関数 g_i : X → [0, 1] で
(V_i)~ の上で 1、X - W_i の上で 0 となるものが存在する。
Supp(g_i) ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i である。
g = g_1 + ... + g_n とおく。
V_1, V_2, ..., V_n は X の被覆であるから X の任意の点 x に対して
x ∈ V_i となる i がある。
g_i(x) = 1 であるから g(x) ≧ 1 である。
従って f_i = g_i/g とおけばよい。
証明終