08/04/20 10:47:39
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ ∈ M(X, R), f ∈ K(X, C) のとき
|∫fdμ| ≦ ∫|f|d|μ|
証明
z = ∫fdμ とおく。
z = 0 のときは ζ = 1,
z ≠ 0 のときは, ζ = z~/|z| とおく。
いずれの場合も |ζ| = 1 で ζz は 0 または 1 である。
よって、∫ζfdμ = ζ∫fdμ ≧ 0
証明すべき不等式 |∫fdμ| ≦ ∫|f|d|μ| の両辺は f を ζf で
置き換えても変わらない。
よって、∫fdμ ≧ 0 と仮定してよい。
そのとき、>>6 より
|∫fdμ| = ∫fdμ = ∫Re(f)dμ ≦ ∫|Re(f)|d|μ| ≦ ∫|f|d|μ|
証明終