08/04/20 10:47:39
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ ∈ M(X, R), f ∈ K(X, C) のとき
|∫fdμ| ≦ ∫|f|d|μ|
証明
z = ∫fdμ とおく。
z = 0 のときは ζ = 1,
z ≠ 0 のときは, ζ = z~/|z| とおく。
いずれの場合も |ζ| = 1 で ζz は 0 または 1 である。
よって、∫ζfdμ = ζ∫fdμ ≧ 0
証明すべき不等式 |∫fdμ| ≦ ∫|f|d|μ| の両辺は f を ζf で
置き換えても変わらない。
よって、∫fdμ ≧ 0 と仮定してよい。
そのとき、>>6 より
|∫fdμ| = ∫fdμ = ∫Re(f)dμ ≦ ∫|Re(f)|d|μ| ≦ ∫|f|d|μ|
証明終
9:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/20 10:50:45
>>2, >>3, >>4, >>5, >>6, >>8 に名前を入れるのを忘れていた。
10:１３２人目の素数さん
08/04/20 11:58:39
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11:１３２人目の素数さん
08/04/20 11:59:30
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12:１３２人目の素数さん
08/04/20 12:00:49
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13:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/20 12:11:24
補題
X を局所コンパクト空間とする。
μ ∈ M(X, C) (過去スレ009の711), f ∈ K+(X, R) (過去スレ009の740)
のとき sup{|∫gdμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} は有限である。
証明
K = Supp(f) とする。
g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f なら Supp(g) ⊂ K である。
過去スレ009の705 より K だけで決まる定数 M(K) ＞ 0 が存在し、
|μ(g)| ≦ M(K)|g|_b となる。
ここで、|g|_b = sup{|g(x)|; x ∈ X} である。
|g|_b ≦ |f|_b であるから
|μ(g)| ≦ M(K)|g|_b ≦ M(K)|f|_b である。
証明終
14:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:09:50
137 ：名無しさん＠八周年：2008/04/20(日) 14:42:03 ID:krwyNNeK0
中国人留学生による福岡一家４人惨殺事件の実像 ：04/08/26 10:05 ID:WNXfIBqI
あまりにも残酷なので、報道では伏せられている。
一人が最初に風呂場の奥さんをレイプ。
他の二人が室内を物色中に長男を見つけて、即頚椎を折って殺害。
そして夫が帰ってくるまで暇つぶしに奥さんを「拷問」。その時、
カード等の暗礁番号を聞く。
「拷問」は、凌遅刑と呼ばれ、「順番に肉を刃物で切り取っていく」
というもの。死亡した時に最後に肉を切り取った人間には罰ゲームがある。
その罰ゲームとは、「幼い女の子を殺す役」。
そこで、最終的に奥さんに致命傷を与えた男が、○○ちゃんを殺すことに
なった。
帰ってきた夫の前で○○ちゃんを盾に金を出せと脅した。
なかなか金のありかを言わないので、夫の目の前で○○ちゃんを絞殺。
「俺は死んでもいいから、○○だけは助けてくれ」という必死の嘆願は
無視した。結局、金のありかを言わなかったので夫もそのまま絞め殺した。
妻と長男を殺された事実を中国人留学生から伝えられ、目に前で最愛の娘が
首を絞められて殺される絶望感はどんなものであっただろうか？
あまりにも無念だ。
これが特定の中国人留学生だけの話だと思ったら大間違い。
実は中国人の大部分が、日本人には何をしても構わないと教えられているのだ。
彼らのモラルからすれば日本人を殺して褒められることはあっても貶されることは無い。
15:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:54:17
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16:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:55:07
＿＿＿_
／_ノ ' ヽ_＼
／（≡） （≡）＼
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 女子高校生のお尻をなめるのって最高だお！
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／ ああっ、いいお！イク！イクお！！
／ ＼
↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
17:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:57:05
・累乗 x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数 log_[3](9)=2（底は3）
・積分 ∫[x=1,3] (e^(x+3))dx ・数列の和 Σ[k=1,n]A(k)
・分数 (a+b)/(c+d) （分子a+b､分母c+d） ・ベクトル AB↑ a↑
＿ 。
, '´ ヽ ／／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
! i iﾊﾙ）))〉 ／ | 上記のように書いてローマ数字や丸付き数字などを
i!iiﾘﾟ ヮﾟﾉij ／ ＜ 避けて頂けると助かりますわ。
li/([ｌ个j]Ｐ´ | また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。
ノﾉく＿ 〉ﾘ ー―――――――――
,し'ﾉ ※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします
他の記号（>>2-3にもあります）と過去ログ
URLﾘﾝｸ(members.at.infoseek.co.jp)
前のスレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
よくある質問
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（その他注意・関連リンクは>>2>>3>>4辺りを参照）
18:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:57:51
全順序集合 X=(X , ≦) に対して、次の τ はX上の位相であることを示せ。
τ = ｛U⊂X | ∀x∈U, ∃a,b∈X∪｛±∞｝ such that x∈(a,b)⊂U｝
ただし、(a,b)=｛y∈X | a<y<b｝、X∩｛±∞｝=φ、x∈X に対し -∞<x<+∞ とする。
τがX上の位相ならば次の3つの条件、
(O-1)φ,X∈τ
(O-2)U,V∈τ ⇒ U∩V∈τ
(O-3)U_λ∈τ (λ∈Λ) ⇒ ∪[λ∈Λ]U_λ∈τ
を満たすのでそれぞれ確かめたのですが、(O-1)のφ∈τがうまく示せません。
どなたかご教授ください。長文失礼しました。
19:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:58:31
放物線y=x^2上にx軸が1/2である点Pをとる。点Pにおける放物線の接線
をLとし、点Pを通りLと垂直な直線をmとする時、次の問いに答えよ。
(1)接線Lの方程式を求めよ。
(2)直線mの方程式を求めよ。
(3)直線mと放物線で囲まれる部分の面積を求めよ。
（どこかの模試）
20:１３２人目の素数さん
08/04/20 16:59:04
exp(iθ)=cosθ+isinθ は納得してる?
旧課程では高校数Bの複素数平面で導入される式なのだけど、
今の課程じゃ出てこないから。
納得できない。または初見である場合、
・テイラー展開、またはマクローリン展開は既習か
・↑がNoなら、数IIIの微積は既習か
・複素数平面に対してどの程度知ってるか
提示してください。答える側が説明に使える材料を決める関係。
21:１３２人目の素数さん
08/04/20 17:00:07
補題(>>756の拡張)
G を可換束群(>>761)とする。
P = { x ∈ G | x ≧ 0 } とおく。
x ∈ P, x' ∈ P, y ∈ P で
0 ≦ y ≦ x + x' とする。
このとき y = z + z', z ≦ x, z' ≦ x'
となる z ∈ P, z' ∈ P が存在する。
証明
z = inf(x, y) とおく。z ∈ P である。
y - x' ≦ x
y - x' ≦ y
よって y - x' ≦ inf(x, y) = z
即ち y - z ≦ x'
よって z' = y - z とすればよい。
証明終
22:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 21:26:20
>>8
>z ≠ 0 のときは, ζ = z~/|z| とおく。
z~ は z の共役複素数である。
23:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 21:33:15
>>8
>いずれの場合も |ζ| = 1 で ζz は 0 または 1 である。
いずれの場合も |ζ| = 1 で ζz は 0 または |z| である。
24:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 21:49:42
補題
z と w を任意の複素数とする。
|z + ζw| = |z| + |w| となる絶対値が１の複素数 ζ が存在する。
証明
zw = 0 のときは ζ として任意の絶対値が１の複素数をとればよい。
よって zw ≠ 0 と仮定する。
u = w/z とおく。
ζ = u~/|u| とおく。
ここで u~ は u の共役複素数である。
ζu = |u| である。
よって、
|z + ζw| = |z|(1 + ζ(w/z)| = |z|(1 + |w/z|) = |z| + |w|
証明終
25:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 22:12:57
補題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
f ∈ K+(X, R) (過去スレ009の740)のとき
L(f) = sup{|∫gdμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>13より L(f) は有限である。
f_1, f_2 ∈ K+(X, R) のとき L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
証明
g_1, g_2 ∈ K(X, C) で |g_1| ≦ f_1, |g_2| ≦ f_2 とする。
>>24 より |μ(g_1) + ζμ(g_1)| = |μ(g_1)| + |μ(g_2)| となる
絶対値が１の複素数 ζ が存在する。
|g_1 + ζ(g_1)| ≦ |g_1| + |g_2| ≦ f_1 + f_2 であるから
|μ(g_1) + ζμ(g_1)| ≦ L(f_1 + f_2) である。
ここで、|μ(g_1) + ζμ(g_1)| = |μ(g_1)| + |μ(g_2)| であるから
|μ(g_1)| + |μ(g_2)| ≦ L(f_1 + f_2) である。
よって、 L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
証明終
26:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 22:47:57
補題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
f_1, f_2 ∈ K+(X, R), g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f_1 + f_2 とする。
このとき g_1, g_2 ∈ K(X, C) で g = g_1 + g_2
|g_1| ≦ f_1, |g_2| ≦ f_2 となるものが存在する。
証明
i = 1, 2 に対して X 上の関数 g_i(x) を
f_1(x) + f_2(x) ≠ 0 のとき g_i(x) = g(x)(f_i(x))/(f_1(x) + f_2(x))
f_1(x) + f_2(x) = 0 のとき g_i(x) = 0
により定義する。
f_1(x) + f_2(x) ≠ 0 のとき g_i は x で連続である。
f_1(x) + f_2(x) = 0 とする。
|g| ≦ f_1 + f_2 だから g(x) = 0 である。
g は x で連続だから任意の ε ＞ 0 に対して x の近傍 U があり、
y ∈ U のとき |g(y)| ＜ ε である。
すべての y ∈ X に対して |g_i(y)| ≦ |g(y)| である。
よって y ∈ U のとき |g_i(y)| ＜ ε である。
即ち g_i は f_1(x) + f_2(x) = 0 となる x で連続である。
以上から g_i は X 上で連続である。
g_i(x) ≠ 0 なら f_i(x) ≠ 0 だから
Supp(g_i) ⊂ Supp(f_i) である。よって g_i ∈ K(X, C) である。
|g_i| ≦ |f_i|, g = g_1 + g_2 は明らかである。
証明終
27:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 22:59:29
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
L(f) = sup{|∫gdμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>13より L(f) は有限である。
f_1, f_2 ∈ K+(X, R) のとき L(f_1 + f_2) = L(f_1) + L(f_2) である。
証明
g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f_1 + f_2 とする。
>>26 より g_1, g_2 ∈ K(X, C) で g = g_1 + g_2
|g_1| ≦ f_1, |g_2| ≦ f_2 となるものが存在する。
|μ(g)| ≦ |μ(g_1)| + |μ(g_2)| ≦ L(f_1) + L(f_2) である。
よって L(f_1 + f_2) ≦ L(f_1) + L(f_2) である。
他方、>>25 より L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
よって L(f_1 + f_2) = L(f_1) + L(f_2) である。
証明終
28:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/21 23:20:35
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
L(f) = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>13より L(f) は有限である。
L は X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)に一意に拡張される。
証明
>>27と過去スレ009の826より L は K(X, R) 上の正値線形形式
(過去スレ009の822)に一意に拡張される。
過去スレ009の734よりこの正値線形形式は正値Radon測度である。
証明終
29:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 07:08:41
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の実Radon測度(過去スレ009の729) とする。
L(f) = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>28 より L は X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)に一意に拡張される。
このとき L = |μ| である。
証明
f ∈ K+(X, R) のとき、過去スレ009の848より
∫fd|μ| = sup{ ∫gdμ | |g| ≦ f, g ∈ K(X, R) }
よって ∫fd|μ| ≦ L(f) である。
即ち |μ| ≦ L である。
f ∈ K+(X, R), g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f のとき
>>8 より |∫gdμ| ≦ ∫|g|d|μ| ≦ ∫fd|μ|
よって L(f) ≦ ∫fd|μ| である。
即ち L ≦ |μ| である。
以上から L = |μ| である。
証明終
30:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 07:13:24
定義
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
L(f) = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>28 より L は X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)に一意に拡張される。
この正値Radon測度を |μ| と書く。
|μ| を μ の絶対値と言う 。
31:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 21:53:19
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
任意の f ∈ K(X, C) に対して
|∫f dμ| ≦ ∫|f| d|μ|
である。
ここで |μ| は μ の絶対値(>>30)である。
証明
|μ| の定義(>>30)より
∫|f| d|μ| = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ |f|, g ∈ K(X, C)} である。
よって
|∫f dμ| ≦ ∫|f| d|μ|
である。
証明終
32:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 21:59:12
訂正
>>30
>L(f) = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
任意の f ∈ K+(X, R) に対して
L(f) = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
33:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 22:05:04
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
任意の λ ∈ C に対して
|λμ| = |λ||μ|
である。
証明
任意の f ∈ K+(X, R) に対して
∫fd|λμ| = sup{ |∫g d(λμ)|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} である。
この右辺 = sup{ |λ||∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)}
= |λ|sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)}
= |λ|∫fd|μ|
よって |λμ| = |λ||μ| である。
証明終
34:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/22 22:14:46
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ, ν を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
|μ + ν| ≦ |μ| + |ν|
である。
証明
f ∈ K+(X, R) と g ∈ K(X, C), |g| ≦ f に対して
|∫g d(μ + ν)| = |∫g dμ + ∫g dν| ≦ |∫g dμ| + |∫g dν|
≦ ∫f d|μ| + ∫f d|ν| = ∫f d(|μ| + |ν|)
よって
∫f d|μ + ν| ≦ ∫f d(|μ| + |ν|)
よって
|μ + ν| ≦ |μ| + |ν|
証明終
35:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/24 20:31:18
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
f ∈ K(X, C) のとき μ~(f) = (μ(f~))~ である。
ここで μ~ は μ の共役(過去スレ009の728)である。
証明
過去スレ009の728より、μ_1 = Reμ, μ_2 = Imμ とおけば、
μ = μ_1 + iμ_2
μ~ μ_1 - iμ_2
である。
g = Re(f), h = Im(f) とおく。
f = g + ih, f~ = g - ih である。
μ_1(g - ih) = μ_1(g) - iμ_1(h)
iμ_2(g - ih) = i(μ_2(g) - iμ_2(h)) = iμ_2(g) + μ_2(h)
よって
μ(f~) = μ_1(g) + μ_2(h) + i(μ_2(g) - μ_1(h))
よって
(μ(f~))~ = μ_1(g) + μ_2(h) + i(μ_1(h) - μ_2(g))
他方、
μ_1(g + ih) = μ_1(g) + iμ_1(h)
-iμ_2(g + ih) = -iμ_2(g) + μ_2(h)
よって
μ~(f) = μ_1(g) + μ_2(h) + (μ_1(h) - μ_2(g))
以上から
μ~(f) = (μ(f~))~
証明終
36:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/25 07:34:23
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
|μ~| = |μ|
である。
ここで μ~ は μ の共役(過去スレ009の728)である。
証明
一方、|μ| の定義(>>30)より f ∈ K+(X, R) に対して
∫f d|μ| = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} である。
f ∈ K+(X, R) と g ∈ K(X, C), |g| ≦ f に対して
>>35 より μ~(g) = (μ(g~))~ である。
よって、|μ~(g)| = |μ(g~)| である。
|g| = |g~| であるから
∫f d|μ| = sup{ |∫g ~dμ|; |g~| ≦ f, g ∈ K(X, C)}
= sup{ |∫g~ dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)}
= sup{ |∫g dμ~|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)}
= ∫f d|μ~|
よって、|μ~| = |μ| である。
証明終
37:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/26 21:02:33
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
Re(μ) = (μ + μ~)/2
Im(μ) = (μ - μ~)/2i
である。
証明
過去スレ009の728より
μ = Re(μ) + iIm(μ)
μ~ = Re(μ) - iIm(μ)
である。
これから
μ + μ~ = 2Re(μ)
μ - μ~ = 2iIm(μ)
である。
よって、
Re(μ) = (μ + μ~)/2
Im(μ) = (μ - μ~)/2i
である。
証明終
38:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/26 21:16:27
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
|Re(μ)| ≦ |μ|
|Im(μ)| ≦ |μ|
|μ| ≦ |Re(μ)| + |Im(μ)|
である。
証明
>>37 より
Re(μ) = (μ + μ~)/2
Im(μ) = (μ - μ~)/2i
である。
>>33, >>34, >>36 より
|Re(μ)| ≦ (|μ| + |μ~|)/2 = (|μ| + |μ|)/2 = |μ|
|Im(μ)| ≦ (|μ| + |μ~|)/2 = (|μ| + |μ|)/2 = |μ|
過去スレ009の728より
μ = Re(μ) + iIm(μ)
よって >>34, >>33 より
|μ| ≦ |Re(μ)| + |iIm(μ)| = |Re(μ)| + |Im(μ)|
証明終
39:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/26 22:35:42
命題
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
h を X から C への連続写像とする。
μを X 上のRadon測度(過去スレ009の701)とする。
hμ を μ と h の積ととする(過去スレ009の713)。
|hμ| ≦ |h||μ|
である。
証明
f ∈ K+(X, R), g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f なら
∫gd(hμ) = ∫hgdμ である。
>>31 より
|∫gd(hμ)| ≦ ∫|hg|d|μ| ≦ ∫|h||g|d|μ| = ∫|g|d|h||μ|
≦ ∫fd|h||μ|
よって
∫fd|hμ| ≦ ∫fd|h||μ|
即ち
|hμ| ≦ |h||μ|
証明終
40:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/26 22:45:03
X を局所コンパクト空間とする。
過去スレ009の693の証明より K(X, C) の位相は一様収束の位相より細かい。
従って K(X, C) 上の線形形式 μ が一様収束の位相で連続であれば
μ は X 上のRadon測度である。
この事実は次の定義を導く。
41:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/26 22:46:40
定義
X を局所コンパクト空間とする。
X 上のRadon測度は K(X, C) の一様収束の位相で連続なとき有界であると言う。
42:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 08:22:59
定義
X を局所コンパクト空間とする。
K(X, C) の元 f に対して |f|_b = sup{|f(x)|; x ∈ X} とすれば、
| |_b は K(X, C) のノルムであり、K(X, C) は | |_b により
ノルム空間となる。
K(X, C) の一様収束の位相は | |_b により定義される。
| |_b をノルムとするノルム空間 K(X, C) の双対空間を M^1(X, C) と書く。
即ち M^1(X, C) は X 上の有界Radon測度全体のなす線形空間である。
μ ∈ M^1(X, C) に対して |μ|_b = sup{|μ(f)| ; f ∈ E, |f|_b ≦ 1 }
とおく。
過去スレ007の131より |μ|_b は M^1(X, C) のノルムとなる。
過去スレ009の64より、|μ|_b が定める位相は有界収束の位相
(過去スレ009の57)と一致する。
43:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 10:41:49
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μを K(X, C) 上の線形形式とする。
μが有界Radon測度(>>41) であるためには
X だけで決まる定数 M ＞ 0 が存在し、任意の f ∈ K(X, K) に対して
|μ(f)| ≦ M|f|_b となることが必要十分である。
ここで、|f|_b = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。
証明
過去スレ009の537 において H = {μ} とすれば本命題の主張が得られる。
44:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 14:25:52
>>43の主張は過去スレ007の134よりからも得られる。
ただし、過去スレ007の134の係数体 K は可換とは限らないと書いてあるが
これは間違いである。
K は可換でないと K-多重線形写像は定義されない。
45:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 14:42:33
訂正
>>43
>X だけで決まる定数 M ＞ 0 が存在し、任意の f ∈ K(X, K) に対して
X だけで決まる定数 M ＞ 0 が存在し、任意の f ∈ K(X, C) に対して
46:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 15:00:59
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
E から F への線形写像 f に対して
|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
とおく。
f が連続であるためには |f| が有限であることが必要十分である。
証明
過去スレ009の537において H = {f} とすれば f が連続であるためには、
f が次の条件を満たすことが必要十分である。
実数 M ＞ 0 が存在して、任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ M|x| となる。
したがって、f が連続なら |x| ≦ 1 のとき |f(x)| ≦ M となり
|f| ≦ M である。
逆に |f| が有限であるとする。
E の元 x ≠ 0 に対して x/|x| のノルムは１であるから
|f(x/|x|)| = (1/|x|)|f(x)| ≦ |f|
よって
|f(x)| ≦ |f||x|
この不等式は x = 0 のときも成り立つ。
|f| ＞ 0 のときは上から f は連続である。
|f| = 0 のときはこの不等式から f = 0 であるから f はやはり連続である。
証明終
47:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:10:23
なんだ？やっとsageを覚えたんじゃなかったのか？
48:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 15:11:44
訂正
>>42
>μ ∈ M^1(X, C) に対して |μ|_b = sup{|μ(f)| ; f ∈ E, |f|_b ≦ 1 }
>とおく。
μ ∈ M^1(X, C) に対して |μ|_b = sup{|μ(f)|; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1}
とおく。
49:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 15:13:19
定義
X を局所コンパクト空間とする。
μを X 上のRadon測度とする。
|μ|_b = sup{|μ(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 }
と書き、μ のノルムと言う。
|μ|_b は有限とは限らない。
50:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 15:20:52
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μを X 上のRadon測度とする。
μ が有界(>>41)であるためには |μ|_b (>>49)が有限であることが必要十分である。
証明
>>42 と >>46 より明らかである。
51:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:52:31
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52:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:53:04
桁数が多い根号の中の数が何の二乗であるかを知るにはどういう方法を使えばいいのでしょうか？
√(144)の場合は素因数分解をすれば2*2*2*2*3*3で12の二乗とすぐに分かります
たいていの場合はこの素因数分解をすれば分かりますが、根号の中の数が素数の場合は分かりません
そのような根号の中の数が素数の二乗である時、皆さんはどういう方法で"この素数の二乗である"と導いていますか？
自分は今のところ10*10=100,50*50=2500,100*100=10000,という簡単な値からだいたいの目星をつけて後はしらみ潰しに計算しています
でも何万桁とかいくと計算できません
すぐにわかる定理とかないのでしょうか？
お願いしますm(__)m
53:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:53:28
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54:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:54:26
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＼ `ー'´ ／ ああっ、いいお！イク！イクお！！
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↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
55:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:55:45
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56:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:56:32
E から F への線形写像 f に対して
|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
とおく。
f が連続であるためには |f| が有限であることが必要十分である。
証明
過去スレ009の537において H = {f} とすれば f が連続であるためには、
f が次の条件を満たすことが必要十分である。
実数 M ＞ 0 が存在して、任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ M|x| となる。
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／_ノ ' ヽ_＼
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↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
57:１３２人目の素数さん
08/04/27 15:59:40
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58:１３２人目の素数さん
08/04/27 16:00:07
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
過去スレ
#001
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#002
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#003
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#004
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#005
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#006
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
#007
URLﾘﾝｸ(science6.2ch.net)
59:１３２人目の素数さん
08/04/27 16:01:07
362 ：１３２人目の素数さん ：2008/03/25(火) 03:11:48
水泳部の人の事故死で、
学校側の責任を問われる内容で、
完全にワルモノ扱いだった
落合卓四郎だったとは驚き
なんで、筋肉馬鹿大学の学長なんか
やってるんだw
筋肉馬鹿どもばかりだから、
微分積分ができるだけで
神扱いで、学長に祭り上げられたのかw
363 ：１３２人目の素数さん ：2008/03/25(火) 03:12:31
落合氏に中島氏は教わったのだろ。
他に落合氏が教えた有名な人って誰がいるのだ？
364 ：１３２人目の素数さん ：2008/03/25(火) 03:15:05
>>363
斧さんとか古田さんとか？
365 ：１３２人目の素数さん ：2008/03/25(火) 03:20:06
何か案外立派なのがいるな。
実際はどうか分からんが、
落合氏の講義って余り評判良くなかったんだろ？
60:１３２人目の素数さん
08/04/27 16:03:02
封筒の問題をこのスレで最初に聞いたのは俺だが
結局解答は「よくわからん｣ということかい？
日本語版にはないんだが、英語版ウィキペディアでは
「この問題はまだコンセンサスを得られる解答に達していない」
みたいな文言があったから結構厄介な問題なのかもな。
提出されたのが比較的新しいみたいだし。
しかしこれだけはハッキリ聞いておきたい。
①封筒を開けた時、その金額が奇数の値であれば変えた方が得か
②金額が無限の設定でなければ(ex.上限が100万円)、額が低い時は変えた方が得で、
額が高い時は変えない方が得である、これは正しいか
③確率分布がわからないのでこの問題をシミュレートすることは不可能なのか
出来る限り分かりやすく理由を付けて、YES or NOで回答してもらえればありがたい。
61:１３２人目の素数さん
08/04/27 20:14:22
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62:１３２人目の素数さん
08/04/27 20:15:20
E から F への線形写像 f に対して
|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
とおく。
f が連続であるためには |f| が有限であることが必要十分である。
証明
過去スレ009の537において H = {f} とすれば f が連続であるためには、
f が次の条件を満たすことが必要十分である。
実数 M ＞ 0 が存在して、任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ M|x| となる。
＿＿＿_
／_ノ ' ヽ_＼
／（≡） （≡）＼
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 人妻のお尻をなめるのって最高だお！
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／ ああっ、いいお！イク！イクお！！
／ ＼
↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
63:１３２人目の素数さん
08/04/27 20:17:43
おれなんて３０行ぐらいの証明だって５回ｘ１０日ぐらいは
書かないと覚えられない。
おれはすげー馬鹿なんだと思っていた。
おれの教官はすげー頭よく見えてた。なんでもスラスラと証明を
書いてしまうから。
で、何度か勉強方法教えてくださいー！とお願いしたが、
がんとして教えてくれない。
昨年、やっと論文がacceptされたとき、教官はぼそっとおっしゃた。
「わたしはね、何度も何度も書いて、２０回も３０回も書いて考えて、
それでやっと覚えているのですよ。」
とおっしゃった。。。
そうか、教官も馬鹿だったのか、、、なんてことは考えなくて、
こんなスゲー人でも、なんども書いて覚えてんのか！
じゃ、おれみたいな馬鹿は１００万回ぐらい書かなきゃだめだな、
と思いました。
教官は留学から帰国してすぐに最年少でうちの大学の教授になった人。
そんな人でも。。。
64:１３２人目の素数さん
08/04/27 20:20:05
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65:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 20:21:07
命題
X をコンパクト空間とする。
X 上のRadon測度はすべて有界(>>41)である。
証明
過去スレ009の705と>>43より明らかである。
66:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 20:36:02
例
R を実数体とする。
各整数 n ≧ 1 に対して
K_n = [-n, n], U_n = (-n - 1, n + 1) とおく。
過去スレ007の706を K_n ⊂ U_n に適用すると、
連続関数 f_n : R → [0, 1] で
K_n の上で 1 で Supp(f_n) ⊂ [-n - 1, n + 1]となるものが存在する。
f_n ∈ K(R, C) であり、|f_n|_b = 1 である。
∫(-∞, +∞) f_n(x) dx ≧ ∫[-n, n] f_n(x) dx = 2n
よって >>43 より Lebesgue 測度(過去スレ009の710)は有界でない。
よって K(R, C) の位相は一様収束の位相より真に細かい。
即ち、過去スレ009の715の別証が得られた。
67:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/27 20:49:49
例
X を局所コンパクト空間とする。
a を X のある点とする。
δ_a を Dirac 測度(過去スレ009の708)とする。
f ∈ K(X, C) なら |δ_a(f)| ≦ |f|_b であるから >>43 より δ_a は
有界である。
K を a のコンパクト近傍とする。
過去スレ007の706より、 連続関数 f : X → [0, 1] で
K の上で 1 で f ∈ K(X, C) となるものが存在する。
|f|_b = 1 であり δ_a(f) = f(a) = 1 であるから
δ_a のノルム(>>49) |δ_a|_b は
|δ_a|_b = sup{|δ_a(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } = 1 である。
68:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:15:30
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69:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:16:13
界である。
K を a のコンパクト近傍とする。
過去スレ007の706より、 連続関数 f : X → [0, 1] で
K の上で 1 で f ∈ K(X, C) となるものが存在する。
|f|_b = 1 であり δ_a(f) = f(a) = 1 であるから
δ_a のノルム(>>49) |δ_a|_b は
|δ_a|_b = sup{|δ_a(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } = 1 である。
界である。
K を a のコンパクト近傍とする。
過去スレ007の706より、 連続関数 f : X → [0, 1] で
K の上で 1 で f ∈ K(X, C) となるものが存在する。
|f|_b = 1 であり δ_a(f) = f(a) = 1 であるから
δ_a のノルム(>>49) |δ_a|_b は
|δ_a|_b = sup{|δ_a(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } = 1 である。
70:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:17:42
おれなんて３０行ぐらいの証明だって５回ｘ１０日ぐらいは
書かないと覚えられない。
おれはすげー馬鹿なんだと思っていた。
おれの教官はすげー頭よく見えてた。なんでもスラスラと証明を
書いてしまうから。
で、何度か勉強方法教えてくださいー！とお願いしたが、
がんとして教えてくれない。
昨年、やっと論文がacceptされたとき、教官はぼそっとおっしゃた。
「わたしはね、何度も何度も書いて、２０回も３０回も書いて考えて、
それでやっと覚えているのですよ。」
とおっしゃった。。。
そうか、教官も馬鹿だったのか、、、なんてことは考えなくて、
こんなスゲー人でも、なんども書いて覚えてんのか！
71:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:18:49
父が不在の日になると、なぜか母の様子が変わってしまう。母は朝からそわ
そわとして落ち着きがなくなるのだ。
化粧もいつもより入念だし、服装も、父を送り出してから再び着替える事が多
くなった。父が居る時は楽そうなワンピース
などを着ているけど、着替えた母は、必ずといっていいくらいに、身体のライ
ンがくっきりと目立つ服装になる。
そんな日の母は、朝に付けたばかりの下着すら穿き代えているらしく、顔を
洗ったついでに覗く洗濯機の中には、
父が出かけた後に限って、まだ洗い立てのような下着が放り込んであるのだっ
た。
父を送り出した後に、母と、住み込み店員で夜学生のSさんと、小学生になっ
ていた私は居間で遅めの朝食を
取った。和食好みの父が不在の日は、いつもトーストにハムエッグというよう
な洋風メニューである。
居間では、三人が座る位置は決まっていた。 母と私は隣り合って、Sさんは
母の正面に座る。食事の間は、窓際にある
テレビのスイッチを入れる事は無い。 父が居る時は隣のテーブルを使うのだ
けど、父が不在の日は、朝食に限りソファーの
テーブルを使うのである。ソファーのテーブルは低くて使いにくいけど、それ
がいつもの習慣なのである。
72:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:19:40
母の座り方は父が居るときと違って、ゆったりと浅めに腰掛けている。そんな
母の膝頭あたりを、さっきからSさんがチラチラ
見ているの。 父が居るときにはぴったりと閉じられている母の膝頭は、リ
ラックスしているせいか、いくらか開き気味である。
気づかないふりをして観察していると、だんだんとSの視線は母の下半身を舐
め回すような感じになる。Sさんの視線は
母の下半身と乳房の間を交互に見ている。母がコーヒーカップを持って自分の
口元に運んだので、私は母の
横顔をチラリと見た。母は少し眠そうな目をしていて、その視線の先はSさん
の下半身あたりを彷徨っていた。一瞬の躊躇いの後に、
母の視線はSさんの股間のあたりに落ちた。母の膝を見ると、先ほどよりも開
きが大きくなっている。Sさんは母の「膝の間」を
見ていて、母もSさんの股間を見ている。
後日盗み見した母の日記に、この時の母の心理が記されている・・・・・・
母と住み込み店員S、二人の視線が交差した数十秒間は時間にすると短いかも
しれないが、母にとってそれは、これから始まる狂お
しい快楽への序曲であった。、母にしてみれば「あの人に悪い」と何度も思い
ながらも、四十女の肉体に満ちてくる淫蕩な欲望を押
しのける事が出来ずに葛藤させられていたのだろう。どんなに貞淑な妻を粧っ
たとしても、ぎりぎり最後の一線は
踏み留まったとしても、母にしてみれば、すでに肉体も精神も夫を裏切ってい
ると思えてならなかったのである。
73:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:20:30
「あの人に悪い・・あの人に悪い」と心の中で煩悶する母。その煩悶すら、押
し寄せる狂乱と喜悦を深める為にあるよ
うな気がしているのだ。母の欲望は、夫よりもSの肉体を欲していた。若くて
激しいSの性欲を思うと、夫では決して満たされない
快楽への欲望は高まるのである。母が秘めている欲望のダムは、清楚な風貌や
貞淑な外見に隠されてはいるが、父が不在だというだけ
で淫らな感情が流入し始めるようになっていた。母の淫乱な欲望のダム
は・・狂乱の奔流を待つばかりになっていた。
食事が終わったら、母はテーブルの食器を片付けた、台所に向かう母の尻
を、店員はねっとりとした視線で追いかけている。
母が戻ると、母は元の位置にさっきより浅く腰掛けた。 私の所からは母の姿
が斜めに見える。
私は、テレビのリモコンを取りに、店員が座っている方に回り込む。その
時、母は焦ったような顔をして・・急いで膝を閉じたように
見えた。
その時「今日は肩こりは無いですか」と店員は母に訊く・・母は、ほんの一瞬
ためらったような表情をしたけど 「少しだけ肩が張ってる
ような気がします」と、恥ずかしそうな顔をして小さな声で答えた。
「僕が肩たたきをしてあげる」と母に言ったら、店員は、「いいんだよ、僕が
やってあげるから**君は外で遊んできなさい」と言って、
素早く立ち上がる。「いいのよ、お母さんはSさんにお願いするわ」と母が続
けたけど、その言い方が恥ずかしそうだったのが気になった。
マッサージが始まっても、遊びに出なかったら、母もSさんもしきりに私の方
を気にする。何回も何回も私の方を見る。
母は、肩を柔らかく揉まれて気持ちいいのか、うっとりとした顔になっていた
けど、私を気にしているのがはっきりとわかる。
74:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:21:15
私がトイレに行って戻ると、母の様子は違っていた。 顔が紅潮して、何やら
切なそうに見える。 口は半開きになって、時折
溜息を吐き出している。すでに吐息は荒くなっているようだ。 母の肩から首
筋にかけてはピンク色に変色して、その部分を
Sさんは柔らかい感じで撫でている・・店員は、母のブラウスのボタンを一つ
外して、肩の部分を露出させる。
そして、その部分を丹念に撫で始めた。 母の下半身は、しきりに内股を擦り
合わせている。母の目は半分ぐらい閉じかかっていて、
時折思い出したかのように、母は湿り気のある吐息を吐き出すのであっ
た。「ここよりあの椅子の方がいいでしょ」とSさんは
近くにある籐椅子を指さす・・母は、よろよろとした足取りで籐椅子に向かっ
て歩き、腰を下ろした。
籐椅子には背もたれが無い。Sが移動するときに、Sさんの下半身が見えた。
あの部分が大きく膨らんで、ジャージを
突き破らんばかりになっていた。Sは母の胸ボタンをもう一つ外すと、さらに
母の肌は露出した。肩を撫でていた手が、前の方に
下りてきて、母の胸の上部あたりを撫で始める。 「うっ・・」母は小さな声
を出した。 よく見るとSさんの膨らんだ部分は、
時折母の背中を突くように触れる。 母はその度に表情を硬くするのがわか
る。指の動きはさらに柔らかになり、さするような感じで
母の肌に触れている。だんだんと触れる範囲が広くなって、今は指先がブラウ
スの前に隠れて見えない。母の胸は今や激しく
上下する。母は時折何かを噛み殺すような感じで、言葉にならない声を漏ら
す。Sさんの股間の膨らみは、今やはっきりと分かる
ような感じで母の背中を定期的に突いている。やがてその膨らみはぴったりと
母の背中に押し当てられた。
75:１３２人目の素数さん
08/04/28 06:22:12
母は呻くような声を
出した。母は私に向かって「マッサージは痛い時もあるの、痛さに耐えないと
肩こりが治らないのよ」と言い訳をした。
Sさんは前屈みになって、更に深く母のブラウスに手を入れた。、胸の膨らみ
あたりを撫でるように触り始めた・・
「ブラジャーが邪魔ですね」とSさんは母に言う・・母は困ったような顔をし
てたけど無言で・・・・よろよろと
部屋の外に出た・・やがて母は胸元を押さえながら戻って椅子に座る・・薄い
ブラウスから母の乳房が透けて見える。
Sは胸元を押さえている手を退けて、母の胸を触り始める・・母は、胸ボタン
をさらに一つ外してしまった。Sの手は母の膨らみを掴んで
捏ねるような動作を始めた・・たまらず母は声を出し始める。「あ～ん あ～
ん」と甘ったるい声を出す。Sさんの手が突きだした乳首を
捏ねるようにすると、母は厭厭するように顔を振る。激しく上半身を悶えさせ
た。そして・・
「これからマッサージは凄く痛くなるの」「痛いと声が出ちゃうから困ってし
まう」「**ちゃんが心配するといけないから８畳の
部屋に行くけど＊＊ちゃんは来ないでね」と母は息も絶え絶えな顔をして言う
のだった。「痛そうな声が聞こえても心配
しないでね」と母は苦しそうな声で言うのだった。
二人が畳の部屋に消えてすぐ・・ぐぐぐっっっ～ という押し殺した呻きが聞
こえた。私は気になって、部屋に近づいた、襖の端が少し開いてたので
覗くと、母は身体は斜めに傾けて後ろに位置するSに支えられていた。Sの手は
母の乳房を揉み続けている。母は泣きそうな顔で
下を向いている。部屋は意外と静かだが、下を向いた母は、一時もじっとして
いない。
Sは後ろから母の尻を両内股で挟み込んでいる。左手で母の上体を抱えて、右
手で乳房を執拗に揉んでいるのだ・・
76:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 08:11:03
例
R を実数体とする。
μを Lebesgue 測度(過去スレ009の710)とする。
g を K(R, C) の元で [0, ∞) に値をとるものとする。
μと g の積(過去スレ009の713) gμ を考える。
f ∈ K(R, C) のとき
|∫fd(gμ)| = |∫g(x)f(x)dx| ≦ |f|_b∫g(x)dx
従って >>43 より gμは有界である。
77:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 08:35:41
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μを X 上のRadon測度とする。
|μ|_b = sup{|μ|(f) ; 0 ≦ f ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
である。
証明
>>30 より
sup{|μ|(f) ; 0 ≦ f ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
= sup{sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)}; 0 ≦ f ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
= sup{|∫g dμ| ; |g| ≦ 1, g ∈ K(X, C)}
= |μ|_b
証明終
78:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 08:39:44
命題
X をコンパクト空間とする。
μを X 上のRadon測度とする。
|μ|_b = |μ|(1)
である。
証明
>>77 より明らかである。
79:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 08:49:36
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μを X 上の実Radon測度とする。
|μ|_b = sup{|μ(f)| ; |f| ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
である。
証明
>>77 より
|μ|_b = sup{|μ|(f) ; 0 ≦ f ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
過去スレ009の864より
|μ|(f) = sup{ μ(g) | |g| ≦ f, g ∈ K(X, R) }
よって
|μ|_b = sup{|μ(f)| ; |f| ≦ 1, f ∈ K(X, R)}
証明終
80:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 09:15:59
>>76
>|∫fd(gμ)| = |∫g(x)f(x)dx| ≦ |f|_b∫g(x)dx
>>8 より
|∫g(x)f(x)dx| ≦ ∫|g(x)f(x)|dx ≦ |f|_b∫g(x)dx
81:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 09:35:21
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μを X 上のRadon測度とする。
g を K(X, C) の元とする。
μと g の積(過去スレ009の713) gμ は有界である。
証明
任意の f ∈ K(X, C) に対して
|∫fd(gμ)| = |∫fgdμ| である。
>>31 より
|∫fgdμ| ≦ ∫|fg|d|μ| ≦ |f|_b∫|g|dμ
よって
|∫fd(gμ)| ≦ |f|_b∫|g|dμ
よって >>43 より gμは有界である。
証明終
82:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 09:45:39
>>76 は >>81 の特別な場合にすぎない。
83:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 20:36:13
命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の有界Radon測度全体のなす線形空間 M^1(X, C) (>>42)は
ノルム |μ|_b = sup{|μ(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } により
Banach空間となる。
証明
過去スレ007の144より明らかである。
84:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/28 20:58:25
>>83の補足説明。
過去スレ007の144の L(E; F) のノルムの定義は過去スレ007の137による。
即ち、f ∈ L(E; F) のとき
|f| = inf{M; M ≧ 0 で、すべての x ∈ E に対して |f(x)| ≦ M|x| }
過去スレ007の138より、
|f| = sup{|f(x)|/|x|; x ∈ E, x ≠ 0}
である。
K が実数体または複素数体のときは、x ∈ E, x ≠ 0 のとき
|f(x)|/|x| = f(x/|x|) であるから
|f| = sup{|f(x)|; |x| = 1, x ∈ E}
である。
これが
|f| = sup{|f(x)|; |x| ≦ 1, x ∈ E} に等しいことは容易にわかる。
このことは過去スレのどこかに書いてあるかもしれない。
因みにノルム空間の係数体 K として実数体または複素数体でないときも
考えるのは、後で p-進体を扱う場合に備えるためである。
85:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:01:35
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86:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:02:25
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87:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:02:52
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88:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:03:14
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89:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:03:40
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90:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:04:03
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91:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:05:18
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92:１３２人目の素数さん
08/04/29 01:05:40
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93:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:28:22
多様体上の積分論などでしばしば使われるテクニックに１の分割がある。
これにより大域的な積分の計算を局所的な積分の計算に還元出来る。
１の分割はRadon測度の理論でもよく使われるので、ここで述べておく。
ただし、最も簡単な場合である有限被覆の場合のみ扱う。
さしあたって、これで十分である。
94:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:40:14
補題
X を正規空間とする。
U_1, ..., U_n を X の開被覆とする。
このとき、開集合 V_1 で (V_1)~ ⊂ U_1 となり V_1, U_2, ..., U_n が
X の被覆となるものが存在する。
ここで、(V_1)~ は V_1 の閉包である。
証明
A = X - (U_2 ∪...∪ U_n) とおく。
A は閉集合で A ⊂ U_1 である。
X は正規空間だから A ⊂ V_1 ⊂ (V_1)~ ⊂ U_1 となる開集合 V_1 がある。
この V_1 が求めるものである。
証明終
95:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 10:45:34
命題
X を正規空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
このとき、開集合 V_1, ..., V_n で各 i で (V_i)~ ⊂ U_i となり
V_1, V_2, ..., V_n が X の被覆となるものが存在する。
証明
>>94を繰り返し使えばよい。
96:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:05:40
命題
X を正規空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
このとき、X 上の実数値連続関数 f_1, f_2, ..., f_n で
以下の条件を満たすものが存在する。
(1) 0 ≦ f_i ≦ 1, i = 1, 2, ..., n
(2) Supp(f_i) ⊂ U_i, i = 1, 2, ..., n
(3) 1 = f_1 + ... + f_n
証明
>>95より、開集合 V_1, ..., V_n で各 i で (V_i)~ ⊂ U_i となり
V_1, V_2, ..., V_n が X の被覆となるものが存在する。
X は正規空間だから各 i で (V_i)~ ⊂ W_i ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i となる
開集合 W_i がある。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、各 i で
連続関数 g_i : X → [0, 1] で
(V_i)~ の上で 1、X - W_i の上で 0 となるものが存在する。
Supp(g_i) ⊂ (W_i)~ ⊂ U_i である。
g = g_1 + ... + g_n とおく。
V_1, V_2, ..., V_n は X の被覆であるから X の任意の点 x に対して
x ∈ V_i となる i がある。
g_i(x) = 1 であるから g(x) ≧ 1 である。
従って f_i = g_i/g とおけばよい。
証明終
97:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:11:21
定義
X を位相空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
>>96の条件 (1), (2), (3) を満たす実数値連続関数の列
f_1, f_2, ..., f_n を有限開被覆 (U_i) に属す１の分割と言う。
98:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:14:27
コンパクト空間は正規であるから>>96が使える。
>>96を局所コンパクト空間に適用するために、局所コンパクト空間の
コンパクト化について述べる。
99:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:58:19
命題(Alexandroff)
X を局所コンパクト空間とする。
X に新たに一点 ω を追加した集合を
Y = X ∪ {ω} とする。
Y にある位相を定義することにより Y はコンパクト空間になり、
X の位相は Y の部分空間としての位相と一致するように出来る。
証明
Ω = {X の開集合全体} ∪ {Y - K ; K は X のコンパクト集合}
とする。
(K_λ), λ∈Λ を X のコンパクト集合の族としたとき
∪(Y - K_i) = Y - ∩K_i であり、∩K_i はコンパクト集合に含まれる
閉集合であるからコンパクトである。
よって、∪(Y - K_i) ∈ Ω である。
K_1, K_2 をX のコンパクト集合とする。
(Y - K_1)∩(Y - K_2) = Y - (K_1 ∪ K_2)
K_1 ∪ K_2 はコンパクトであるから
(Y - K_1)∩(Y - K_2) ∈ Ω である。
U を X の開集合とし、K を X のコンパクト集合とする。
U ∩ (Y - K) = U ∩ (X - K) は X の開集合である。
よって U ∩ (Y - K) ∈ Ω である。
以上から Ω は Y の位相を定義する。
K を X のコンパクト集合としたとき X ∩ (Y - K) = X - K であるから
X ∩ (Y - K) は X の開集合である。
よって、X の位相は Y の部分空間としての位相と一致する。
(続く)
100:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 11:59:03
>>99の続き。
X は局所コンパクトだから、任意の x ∈ X に対して
x のコンパクト近傍 K が存在する。
Y - K は ω の近傍であり K ∩ (Y - K) = φ である。
これから Y はHausdorff空間である。
(U_λ), λ∈Λ を Y の開被覆とする。
ω ∈ U_μとなるような μ ∈ Λ がある。
よって、U_μ = Y - K, K はコンパクトと書ける。
K はコンパクトだから Λ の有限部分集合 H があり
K ⊂ ∪{U_λ; λ ∈ H} となる。
Y = ∪{U_λ; λ ∈ H} ∪ U_μ である。
よって Y はコンパクトである。
証明終
101:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 12:05:12
>>99の命題の証明を見ると X が局所コンパクトであることは Y のHausdorff性の
証明だけに使われていることがわかる。
102:Kummer ◆g2BU0D6YN2
08/04/29 12:25:10
命題
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
V_1, V_2, ..., V_n を X の開集合で、
K ⊂ V_1 ∪ ... ∪ V_n とする。
このとき X から [0, 1] への連続関数 f_1, ..., f_n で
各i で Supp(f_i) ⊂ V_i
すべての x ∈ X で f_1(x) + ... + f_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき f_1(x) + ... + f_n(x) = 1 となるものが存在する。
証明
Y を X に一点 ω を添加したコンパクト空間とする(>>99)。
V_0 = Y - K とおけば V_0, V_1, ..., V_n は Y の有限開被覆である。
Y はコンパクトであるから正規空間である。
よって >>96 より V_0, V_1, ..., V_n に属す１の分割(>>97)
f_0, f_1, ..., f_n が存在する。
f_1, ..., f_n (の各 f_i を X へ制限したもの)が求めるものである。
証明終
103:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:09:55
E から F への線形写像 f に対して
|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
とおく。
f が連続であるためには |f| が有限であることが必要十分である。
証明
過去スレ009の537において H = {f} とすれば f が連続であるためには、
f が次の条件を満たすことが必要十分である。
実数 M ＞ 0 が存在して、任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ M|x| となる。
＿＿＿_
／_ノ ' ヽ_＼
／（≡） （≡）＼
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 女子高校生のお尻をなめるのって最高だお！
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／ ああっ、いいお！イク！イクお！！
／ ＼
↑ Kummer ◆g2BU0D6YN2
104:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:10:55
命題
X をハウスドルフ空間とする。
K を X の欺コンパクト集合とする。
V_1, V_2, ..., V_n を X の開集合で、
K ⊂ V_1 ∪ ... ∪ V_n とする。
このとき X から [0, 1] への連続関数 f_1, ..., f_n で
各i で Supp(f_i) ⊂ V_i
すべての x ∈ X で f_1(x) + ... + f_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき f_1(x) + ... + f_n(x) = 1 となるものが存在する。
105:１３２人目の素数さん
08/04/29 13:11:24
・累乗 x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数 log_[3](9)=2（底は3）
・積分 ∫[x=1,3] (e^(x+3))dx ・数列の和 Σ[k=1,n]A(k)
・分数 (a+b)/(c+d) （分子a+b､分母c+d） ・ベクトル AB↑ a↑
＿ 。
, '´ ヽ ／／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
! i iﾊﾙ）))〉 ／ | 上記のように書いてローマ数字や丸付き数字などを
i!iiﾘﾟ ヮﾟﾉij ／ ＜ 避けて頂けると助かりますわ。
li/([ｌ个j]Ｐ´ | また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。
ノﾉく＿ 〉ﾘ ー―――――――――
,し'ﾉ ※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします
他の記号（>>2-3にもあります）と過去ログ
URLﾘﾝｸ(members.at.infoseek.co.jp)
前のスレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
よくある質問
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（その他注意・関連リンクは>>2>>3>>4辺りを参照）
106:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:12:16
瀬尾佳美青山学院准教授の業績一覧です。
女を採用すると大変です。
・奨学金問題に絡め、光市被害者を「卒業したら間髪いれずに孕んでそのままぜんぜん働かず、
挙句の果てに平日の昼間から家でぶらぶらしていたため殺されちゃう」
・拉致問題で「「めぐみちゃん」はちゃんと育って、結婚までして、あまつさえ子供まで儲けています。
私の目から見ると信じられないくらい幸福です」 「いつまでもいつまでも「めぐみっちゃん」とか
不幸面してられるアンタが心底うらやましいよ」と被害者・家族を愚弄
・拉致被害者を「側溝に落ちた10円」にたとえる
・昭和天皇に「本心は戦争に反対だったのなら焼身自殺でもなんでもしていさめたらよかったですね」
・「子供の数と母親の教育レベルについては、統計的に有意な負の相関」
さらに「日本で人が５人ふえると、途上国で４０人ふえたのと同じだけ資源をくいゴミをだします」
・自殺した大臣にたいし「せっかく死んでくれた」などと死者に鞭打つ発言
・年収300万円の人間は「食べ残しの皮と種」
107:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:13:14
定義
X を位相空間とする。
U_1, U_2, ..., U_n を X の有限開被覆とする。
>>89の条件 (1), (2), (3) を満たす実数値連続関数の列
f_1, f_2, ..., f_n を有限開被覆 (U_i) に属す１の分割と言う。
108:Kummer ◇g2BU0D6YN2
08/04/29 13:14:40
命題
X をT_2-空間とする。
a を X のある点とする。
δ_a を Dirac 測度(過去スレ008の708)とする。
f ∈ K(X, C) なら |δ_a(f)| ≦ |f|_b であるから >>53 より δ_a は
有界である。
K を a のコンパクト近傍とする。
過去スレ007の706より、 連続関数 f : X → [0, 1] で
K の上で 1 で f ∈ K(X, C) となるものが存在する。
|f|_b = 1 であり δ_a(f) = f(a) = 1 であるから
δ_a のノルム(>>49) |δ_a|_b は
|δ_a|_b = sup{|δ_a(f)| ; f ∈ K(X, C), |f|_b ≦ 1 } = 1 である。