08/04/21 22:59:29
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
L(f) = sup{|∫gdμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>13より L(f) は有限である。
f_1, f_2 ∈ K+(X, R) のとき L(f_1 + f_2) = L(f_1) + L(f_2) である。
証明
g ∈ K(X, C) で |g| ≦ f_1 + f_2 とする。
>>26 より g_1, g_2 ∈ K(X, C) で g = g_1 + g_2
|g_1| ≦ f_1, |g_2| ≦ f_2 となるものが存在する。
|μ(g)| ≦ |μ(g_1)| + |μ(g_2)| ≦ L(f_1) + L(f_2) である。
よって L(f_1 + f_2) ≦ L(f_1) + L(f_2) である。
他方、>>25 より L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
よって L(f_1 + f_2) = L(f_1) + L(f_2) である。
証明終