08/04/21 22:12:57
補題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
f ∈ K+(X, R) (過去スレ009の740)のとき
L(f) = sup{|∫gdμ|; |g| ≦ f, g ∈ K(X, C)} とおく。
>>13より L(f) は有限である。
f_1, f_2 ∈ K+(X, R) のとき L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
証明
g_1, g_2 ∈ K(X, C) で |g_1| ≦ f_1, |g_2| ≦ f_2 とする。
>>24 より |μ(g_1) + ζμ(g_1)| = |μ(g_1)| + |μ(g_2)| となる
絶対値が１の複素数 ζ が存在する。
|g_1 + ζ(g_1)| ≦ |g_1| + |g_2| ≦ f_1 + f_2 であるから
|μ(g_1) + ζμ(g_1)| ≦ L(f_1 + f_2) である。
ここで、|μ(g_1) + ζμ(g_1)| = |μ(g_1)| + |μ(g_2)| であるから
|μ(g_1)| + |μ(g_2)| ≦ L(f_1 + f_2) である。
よって、 L(f_1) + L(f_2) ≦ L(f_1 + f_2) である。
証明終