08/04/13 18:16:30
[以下の説明は、「証明」ではなく、あくまでも説明である。]
実数列a(n)はlim[n→∞]a(n)＝aを満たすとする。これは
lim[n→∞]｜a(n)－a｜＝0 と同値である。さて、不等式
｜a(n)－a｜≧1/2
について考える。実は、この不等式を満たすnは有限個しか存在しない。なぜなら、
もしそのようなnが無限に存在したとすると、そのようなnを小さい方から順番に
m1,m2,m3,…とおけば、｜a(mk)－a｜≧1/2 がk＝1,2,3,…に対して成り立つことになる。
するとlim[k→∞]｜a(mk)－a｜≧1/2となるが、lim[k→∞]mk＝＋∞だから
lim[k→∞]｜a(mk)－a｜＝0であり、これはlim[k→∞]｜a(mk)－a｜≧1/2に矛盾する。
以上より、｜a(mk)－a｜≧1/2を満たすnは有限個しかない。そこで、そのようなnの
最大値をMとおけば、n＞Mならば｜a(n)－a｜＜1/2が成り立つ。
この議論は、1/2という数に限ったことではなく、どんなε＞0に対しても、
あるMが存在して、n＞Mならば｜a(n)－a｜＜ε が成り立つ。