無限小解析

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49:（´_J`）
 08/03/31 12:32:29 
次の定理で移行の公理を T が S より多くの変数を持つ場合にまで拡張します． 
この定理は今後，ある性質を満たす超実数の存在を言いたいときに 
しばしば使われます． 
 
定義1.19  T を x_1 ,......, x_k ,......, x_n に関する式系とする． 
 T の部分実解とは k 個組 (c_1 ,......, c_k) で， 
 T の実解 (c_1 ,......, c_k ,......, c_n) へと延長出来るものを言う． 
部分超実解も同様に定義される．

50:（´_J`）
 08/03/31 12:32:54 
定理1.20(部分解定理)  S を x_1 ,......, x_k に関する式系， 
 T を x_1 ,......, x_k ,......, x_n に関する式系とする． 
以下は同値である． 
(i)  S の任意の実解は T の部分実解である． 
(ii)  S の任意の実解は T の部分超実解である． 
(iii)  S の任意の超実解は T の部分超実解である． 
 
証明 (i)⇒(iii)⇒(ii)⇒(i)の順に示す． 
記法の簡略化の為 S がただ一つの変数 x のみを持ち， 
 T が2変数 x , y のみを持つ場合について示す． 
一般の場合も全く同様に示せる． 
 
(i)⇒(iii) (i)を仮定する．任意の S の実解 x_0 に対して， 
 y_0 = f(x_0) を (x , y_0) が T の部分実解となるように定めると， 
　(1)　任意の S の実解は「 f(x) は定義されている」の解である． 
　(2)　任意の S ∪ { y = f(x)} の実解は， T の解である． 
移行の公理より，(1)，(2)は超実解の場合にも成り立つ 
従って(iii)が成り立つことが分かる． 
 
(iii)⇒(ii)は明らか． 
 
(ii)⇒(i) (ii)を仮定する． x_0 を S の実解とし， 
 x_0 が T の部分実解でなかったとしよう． 
 T(x_0 , y) を， T の式系の変数 x に実定数 x_0 を代入した式系とする． 
 T(x_0 , y) は実解を持たないので，系1.16>>44より T(x_0, y) は超実解を持たない． 
しかし(ii)及び x_0 が S の実解であるという仮定に反する． 
従って x_0 は S の部分実解．□

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