08/02/22 14:46:47
Wikipedia の解説だけだとさっぱり気分が分からんね．
参考文献のほうには，かなり分かりやすく書いてある．
簡単のため整数で説明すると，整数 Z から有理数 Q を
構成するとき，普通は S = Z - {0} として，Z×S に同値関係を
[x,y] ～ [x',y'] iff ∃s ∈ S , s (xy' - yx') = 0
で入れるけど，これだと S に 0 が入ってないから 1/0 が定義されない．
そこで，Z×Z に次の同値関係を入れる：
[x,y] ～ [x',y'] iff ∃s,s' ∈ S, (sx,sy) = (s'x',s'y')
これに足し算掛け算を有理数と同じようにいれ，スラッシュを
/[x,y] = [y,x]
で定義たものが wheel of fractions with respect to S．
演算の結果だけ抽象化したのが wheel で，Wikipedia のようになる．
Z 上で wheel を構成すると色々と簡単になって，
たとえば [0,1] = [0,2] = ... や [1,0] = [2,0] = ... が成立する．
他，興味のありそうな計算結果としては，[0,0]を不定，[1,0] を ∞と思うと
[0,0] + [1,1] = [0,0] （不定 + 1 = 不定）
[1,0] + [1,1] = [1,0] （∞ + 1 = ∞）
[1,0] + [1,0] = [0,0] （∞ + ∞ = 不定）