08/01/21 04:02:53
＿ ......... __
,.ィ"／,. ィ'":.:.:.:＼:.:｀丶､
／ ／ ,:":.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ:.:.:.:.:.＼
／ ./ /:.:./:.:.:.:.:.:.:.|:.:ﾄ;.:.:l:.:.:.:.:.ヽヽ
／ / /:.:./:.:.:.:.:.:.:.:/:.:| ',:.:ト､:.:.!:.:.ｌ:.',
く ,' l:.:.:.:l:.:.:./:.:.://_/ .l:/ー-ヽ:.:| ',|
ヽ､.」 ｌ:.:.:.:.ｌ:.:.l_:／ﾌ ' /' ､,,,,,.ﾉ:./ ′MASUDAセンター国語の点数酷過ぎﾜﾛﾀwww
/:.:.{ !:.:.:.:.Vr ,,ｨ ′ ///ｲ}
/:.:.:.:{ ﾍ:.:.:.:＼=''"// _ ﾊ!
/:.:.:.:.:.{ ,ｲ_ヽT rr‐', ＜ノ , ' } ,､
/:.:.:.:.:.:..{ r-,.‐-.､＞､ヽヽヽ ..＿_／ } //
/:.:.:.:.:.:.:.:{ </: : : : :ヽ} ヽ、 ,ヽ,‐;.:.::{ } //
/:.:.:.:.:.:.::.:.{ {l: : : : : :.:.!{,〃ﾞYﾆ - _ュく{. } //
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,.':.:／:.:.:.:.:.:.:/ /:.:.:.:／ﾊ:/:.:.:.イ7/〈:､ !'.):.:. : : ｀ヽ/'､ヽ二-ﾌ´
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51:１３２人目の素数さん
08/01/21 11:05:19
>>50
お前AAの選び方が適当すぎる
台詞と合ってない
52:１３２人目の素数さん
08/01/21 12:15:37
(（ ⌒ ））＿☆ﾉﾉハヽ＿＿＿
（( （≡三（＿リﾉ‘ヮ‘ﾘ＿＿（）
（( ⌒ ）） （ ニつノ MASUDAセンター英語の点数酷過ぎﾜﾛﾀwww
(（ ) ,‐（＿ ￣ｌ
し―（＿_）
53:１３２人目の素数さん
08/01/21 14:16:41
>>52
それもなんか違うｗ
54:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/21 16:17:10
他に笑う方法がないならもう笑わなくてよい。
55:１３２人目の素数さん
08/01/21 17:30:09
あれ？king逮捕されたんじゃなかったのか？
56:１３２人目の素数さん
08/01/21 21:24:19
>>49
b[k,1],…,b[k,k] の最小公倍数を L[k] とする代わりに、
b[k,k]! を L[k] とすれば >>26 になりますね
57:１３２人目の素数さん
08/01/22 00:49:41
MASUDAのHPの日本数学オリンピック本選予想模試より
【3】
0以上の全ての実数xについて定義される関数f(x)は以下の条件をみたす．
f(0)=0
f(x)=x-f(f(x-1))
x≦y⇔f(x)≦f(y)
このとき，f(x)を求めよ．
58:１３２人目の素数さん
08/01/22 03:01:58
a=(√5-1)/2
n≦x≦n+1におけるf(x)は
・[(n+1)a]=[(n+2)a]のときf(x)=[(n+1)a]
・[(n+1)a]=[(n+2)a]-1のときf(x)=x+[(n+1)a]-n
59:１３２人目の素数さん
08/01/22 10:27:41
3つの条件を全て満たす関数fが存在したとする。
1番目の条件と2番目の条件から
f(1)=1-f(f(0))=1-f(0)=1
f(2)=2-f(f(1))=2-f(1)=1
すなわち
f(1)=f(2)=1
とくに
f(2)≦f(1) (何故ならば a=b⇒a≦b は真だから。a=f(2),b=f(1)としてみよ)
すると3番目の条件から
f(2)≦f(1)⇒2≦1
となり、不合理。したがって条件を満たすfは存在しない。
60:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:09:21
>>59
馬鹿か
f(1)とf(2)を持ち出した時点で1≦2は確定してるだろが
そこからなんでf(2)≦f(1)とかできるんだよ
61:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:16:41
(ﾟДﾟ )ﾊｧ?
62:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:36:55
>>57
xが自然数のときの点をいくつか取ってみたんだけどこんなの式で表せるの？
63:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:43:03
>>62
つ>>58
64:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:58:33
>>60
俺も>>59馬鹿じゃねーの、と思ったが
問題の条件x≦y⇔f(x)≦f(y) を考えると正しいな
設問が間違ってる、x≦y⇒f(x)≦f(y) にしなくてはならない
65:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:05:18
>>64
混乱してきた
xに具体的数値を代入した時点で条件からf(1)≦f(2)は確定すると思うんだが
66:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:08:53
>>65
池沼
67:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:42:54
>>60>>65
f(2)≦f(1)は「x≦y⇔f(x)≦f(y)」から導き出されたのではない。
68:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:04:36
x≦y⇒f(x)≦f(y)じゃ解けなかったりしてｗ
69:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:14:23
欠陥多すぎるができないことはない
70:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:34:28
MASUDAへ
1/21のB問題間違えてると思うんだが。
十分小さいABを取れば速攻で証明されない？
71:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:38:24
お前ら益田のとこ行ってやれ
益田益田うるさい
いつから益田スレになったんだよ
72:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:40:47
じゃおめーが面白い問題だせよ、無能がｗ
73:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:41:53
>>70
半円を白、半円を黒って意味じゃないんだろたぶん
74:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:46:41
>>73 どんな塗り方してもAB小さくすれば条件満たすABCDが存在するだろ
75:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:48:35
黒と白が一点のみからなってるとするとそうはいかない
76:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:50:43
稠密分布ならどんな近辺にも黒白存在するからそれはそれで自明じゃね？
つーか稠密分布なんて明らかに高校生には範囲外だ。
77:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:52:00
どんな近辺にも黒白存在するからといってABCDが存在するか？
78:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:54:22
益田厨UZEEEEEEEEEEEEE
79:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:55:03
>>78
お前の方がうざぇよ
80:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:59:42
>>79
日本語でおｋｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
81:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:14:09
馬鹿に馬鹿と言われた>59が不憫でなりません。
82:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:14:12
>>74
大学生には自明だが
高校生が自明とするのは無理だろ
83:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:16:38
なんで？
84:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:23:42
>>81
ホントそれ
このスレ馬鹿多すぎ
85:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:27:55
自分がその”馬鹿”である事に気づいていない、最高の馬鹿。
86:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:30:22
緻密性を説明できる一般の高校生なんてほとんどおらんさ
87:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:45:28
半径1の円に内接する三角形 ABC の面積を S とする。
(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S より小さいことを示せ。
88:１３２人目の素数さん
08/01/22 17:47:58
>>87
一般に△ABCにおいて、その辺a,b,c,及び面積S,外接円の半径Rには以下の関係が成り立つ。
abc=4SR (1)
(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きいとすると
(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3
∴sinAsinBsinC＞S
∴(a/2)(b/2)(c/2)＞S (正弦定理より)
∴S/2＞S ((1)より)
∴S＜0
これは不適。したがって(sin A)^3,(sin B)^3,(sin C)^3の少なくとも1つはSより小さい。 ■
89:１３２人目の素数さん
08/01/22 18:47:52
f[1](x)を1次以上の実数係数多項式とする。
f[k+1](x)=f[k](x)+f'[k](x) (k=1,2,3,・・・)
によってf[n](x)を定めるとき、
f[n](x)=0のすべての解が実数となる自然数nが存在することを証明せよ。
90:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/22 19:24:18
(1) f(x)でxの小数部分を表す．αは0＜α＜1をみたす無理数の定数である．nを正の整数として，
f(α),f(2α),…,f(nα)
の中で最小のものをm(n)とするとき，m(n)＞f(a)をみたすnより大きい整数aが存在することを示せ．
(2) 常用対数log2は無理数であることを示せ．
(3) 2^nの最高位より1つ下の位から連続して0が2008個ならぶような正の整数nが存在することを示せ．
91:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/22 19:25:39
>>90の(3)ですが，2^nは2009桁以上の整数と考えてください．
92:１３２人目の素数さん
08/01/22 19:33:51
やだよ
93:93
08/01/22 20:09:36
√9=3
94:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:21:58
>>90
(1)問題文あってる？
95:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:30:33
masudaは出直しだな。
96:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:41:23
>>94
たぶんf(aα)だよな
97:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:46:07
稠密を緻密とか言ってる>>86みたいな馬鹿はこのスレに来なくていいよ。
98:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:59:42
藁多
99:１３２人目の素数さん
08/01/23 00:01:07
今日は平日なのに、バカが大勢訪れたんだな。
100:１３２人目の素数さん
08/01/23 01:39:05
益田のサイト訪問者のセンター点数化け物揃いだな
東大行くにしてもあんなにいらないだろ
101:１３２人目の素数さん
08/01/23 02:38:03
>>87
面積と(sin A)^3の比較ってﾃﾞｨﾒﾝｼﾞｮﾝ的に違和感がある。
半径はＲとした方がいいよ。
さらに>>88を解答として想定したのなら
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
が必要十分条件じゃないから欠陥問題なるよ。
102:１３２人目の素数さん
08/01/23 08:47:02
えっ？
103:１３２人目の素数さん
08/01/23 10:10:19
>>101
何で欠陥問題になるの？頭大丈夫？
104:１３２人目の素数さん
08/01/23 14:09:03
>>103
xy>z^2ならばx>zかつy>zとは限らない。
一部を否定しても全体を否定した事にはならない。
この場合、全否定ができなければ題意が満たされない。
A+B+C=πで仮に成立してもそれを示す必要がある。
背理法は騙されたような気がする時があるが
実際騙されている事もある。
105:１３２人目の素数さん
08/01/23 15:45:18
>>104
>>88は解答としては正しい。多分お前の勘違いだろう。
背理法を理解してないのではないかな？
106:87
08/01/23 16:31:29
>>101
むしろそのディメンジョンの違和感こそ出題の狙いなんだが。
ただ、このセンスはむしろ京大的かもしれんね。
>>88は想定していた解答の1つだけど、大きな間違いはないよ。
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
が必要十分である必要はない。
強いて間違いを言うなら「どれも S より大きい」じゃなくて
「どれも S 以上」として以降の不等式を微修正する必要がある。
ちなみに別解も用意してある。
対称性から最小辺を BC として考えれば十分。
面積の公式より sin A = 2S/(AB*AC)
正弦定理より sin A = BC/2
∴ (sin A)^3 = (BC/2)^2 * 2S/(AB*AC)
= (BC/AB) * (BC/AC) * S/2
≦ S/2 ＜ S
107:１３２人目の素数さん
08/01/23 16:31:47
>>104
頭ﾀﾞｲｼﾞｮｳﾌﾞ?
108:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/23 16:57:45
円周を8等分する8個の点のそれぞれに8個の文字A,a,B,b,C,c,D,dを無作為に配置する．同じ大文字と小文字(Aとa，Bとbなど)が隣り合わない確率を求めよ．
109:１３２人目の素数さん
08/01/23 18:20:40
m,nは自然数とする
(1)∑[k=0,n]C[m,k]C[n,k]を求めよ
(2)∑[k=0,n](-1)^(m+k)C[m,k]C[n+k,k]を求めよ
110:１３２人目の素数さん
08/01/23 18:47:27
>109 (1)
(与式) = Σ[k=0,n] C[m,k]C[n,n-k] = {(1+x)^m･(1+n)^n の中のx^nの係数} = C[m+n,n].
ただし k>m ⇒ C[m,k] =0 とした。
111:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:10:41
>>106
＞ただ、このセンスはむしろ京大的かもしれんね。
京大＝106、共に性格が悪いと言う事かｗ
必要十分条件という表現は間違っていた。（表現自体が必要十分条件でなかったという自己矛盾OTZ）
しかし【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】であることは
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】であることの
必要条件であるが、十分条件ではない。
十分でない事を否定しても証明した事にはならない。
『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。
112:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:39:18
>>109訂正
(2)∑[k=0,m](-1)^(m+k)C[m,k]C[n+k,k]を求めよ
113:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:43:03
所詮受験数学なんて計算力とパターン暗記と記憶力だけで決まるのだろう。
114:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:43:28
>>111
キミはとことん頭が悪いんだね。
みんなスルーしてるのかな？
『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。
ここをもう一度よく読んでごらん。
115:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:51:24
超越数は無理数であることを証明しなさい。 １０点
116:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:53:50
有理数は一次方程式の解であるから
117:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:55:13
>>115
大学入試不適切問題のため全員合格
118:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:04:50
ｚ軸が複素数の球体（ｘ，ｙ，ｚｉ）でガウス曲率を計算してくれ ５点
119:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:10:54
>>114
読んだがなにか？
120:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:36:35
>>119
背理法は必要条件が否定できりゃOKだろ。
121:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:38:50
>>89って問題正しい？
122:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:52:48
>>120
それは
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】であることは
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】であることの
必要条件。
123:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:14:34
けっきょく>>８８って正しいんですか間違いなんですかどっちなんですか
124:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:23:28
きょうも馬鹿襲来か
125:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:26:18
>>120
>>122
勢いでカキコしたから意味不明OTZ
ａが有理数である事はａ=3/2であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
ａ=3/2である事はａが有理数であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？
126:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:28:28
この程度が分からないんなら正しいか正しくないか知ってもどうしようもないね
127:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:35:48
訂正
>>120
>>122は勢いでカキコしたから意味不明OTZ
改めて
ａが有理数である事はａ=3/2であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
ａ=3/2である事はａが有理数であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
それを踏まえ
『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。
と>>120を交えて返答請う。
余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？
128:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:52:38
横からスマンが
それは一つの例を挙げて「確認」しただけであって一般化した「証明」はされてない。
129:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:09:30
>>128
それこそ背理法
１つの例でも否定されれば否定証明の「証明」
130:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:15:00
>>128
それこそ背理法
１つの例でも否定されれば「証明」
131:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:26:19
論理の勉強すれば済む話じゃねーか
ここでも読んで少しは頭冷やせ
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
132:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:28:51
>>129
おいおい、落ち着けよ
例として挙げるが「フェルマー数は平方因子を持たない」ことをただ一つの例で証明する気かｗ
また、「オイラーの定数が、有理数であるか無理数であるかさえもわかっていない。」
↑のような未解決問題も「ただ一つの具体例」だけで証明できるとでも？
133:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:42:36
>>132
ややこしくて回りくどい市ねｗ
ただ>>129
log_3{5}≠3/2じゃないことは明らかだが
果たしてこれだけで「log_3{5}は有理数でない（＝無理数）」の証明になってると思うか？
134:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:48:53
>>88
と>>131-132が言ってるよ
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】を否定することを
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】を否定した事で証明する気かｗ
135:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:51:11
いい加減うざいぞ、そこのキチガイたち。
136:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:53:03
横からｽﾏｿ
半径aの円の内部の点をAとして 円周上に二点p qを <pAq=90 度となるようにとるとき p qにおける円の接線のこうてんの軌跡をもとめよ
137:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:53:24
>>88
√2が無理数の証明を√2≠3/2だけで証明する気かｗ
138:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:02:32
>>133
どっちがどっちの立場か解ってるかｗ
ぐじゃぐじゃになってきたから整理
>>128-130の抽象的言葉遊び消去
どっちがどっちの立場か解った上で具体的にいこう
139:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:05:02
>>88
>>133から
log_3{5}≠3/2じゃないことは明らかだが
果たしてこれだけで「log_3{5}は有理数でない（＝無理数）」の証明になってると思うか？
140:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:05:12
優越 したいんだ、優越。
アホとか市ねとか、 惨めだな。
淡々と行こうぜ。頭いいんだから。
141:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:09:14
>>140
「アホ」でスレ検索したが140のみだぞｗ
142:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:10:43
つうかさっきから>>88ｶﾜｲｿｽwwwwww
143:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:19:58
(P ⇒ Q) ≡ ￢(P ∧ (￢Q)) ： 背理法の原理
P ≡ 「三角形ABC」
Q ≡ 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S より小さい」
￢Q ≡ 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 は全て S 以上」
P ∧ (￢Q) は>>88より偽、従って P ⇒ Q は真
144:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:51:22
>>112
道具がちょっと大げさになってしまったけど……
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
145:１３２人目の素数さん
08/01/24 10:49:01
>>143
論点くらい嫁
146:１３２人目の素数さん
08/01/24 15:45:45
背理法は、数学が無矛盾の上に成り立っていることを担保にしたテクニック
背反である命題Ａ，Ｂがあるとする。
（ＡかＢの一方のみが成立する。共に成立、共に不成立と言うこともない。）
Ａが成立すると言うことを証明したいときは、仮にＢが成立するとし、理論
を展開し、矛盾が生じていることを示せばよい。
その際、『必要十分性を保って変形する必要は全くない。』 （※）
理論が破綻していることを示せばよいだけなのだから。
だから、>>101
> 【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
> 【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
> が必要十分条件じゃないから欠陥問題なるよ。
という指摘は、不当。
Ａ：(sinA)^3、(sinB)^3、(sinC)^3 のうち少なくとも一つはＳより小さい
Ｂ：(sinA)^3、(sinB)^3、(sinC)^3 のいずれもがＳ以上
Ａを証明したいが、背理法を利用するためＢを仮定、その理論展開の中で
「【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】 」が持ち出された。
それが、【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】という条件と
必要十分な関係でないからダメだ等というのは、（※）を理解していない。
147:87
08/01/24 16:16:34
なんでこんなに盛り上がってるんだｗ
前スレで行列の問題出したときもそうだけど、
俺の出す問題は意図しない所で盛り上がるな。
>>88の証明：
1. 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 は全て S 以上」と仮定する。
2. (sin A)^3 ≧ S, (sin B)^3 ≧ S, (sin C)^3 ≧ S ⇒ (sin A)^3 (sin B)^3
(sin C)^3 ≧ S^3
3. 矛盾する
4. 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S 以下」
【2. において (sin A)^3 (sin B)^3 (sin C)^3 ≧ S^3 ⇒
(sin A)^3 ≧ S, (sin B)^3 ≧ S, (sin C)^3 ≧ S が正しくないので証明は誤り。】
√2が無理数であることの証明：
1. 「√2は有理数 n/m」と仮定する。
2. √2 = n/m ⇒ 2 = (n/m)^2
3. 矛盾する
4. 「√2は無理数」
【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しくないので証明は誤り。】
こうですか！？わかりません！
148:１３２人目の素数さん
08/01/24 16:56:43
nを自然数、xを実数とする
(1)∑[k=0,n](-1)^kC[n,k](x-k)^nを求めよ
(2)∑[k=0,n]C[2k,k]C[2n-2k,n-k]を求めよ
149:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:13:34
>>148
それ、MASUDAのとこにあった問題まんまだな
150:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:34:55
>>148
マルチ
151:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:52:06
>>149
有名問題だからあっても不思議じゃないな
>>150
どこにあったか書けよ
ホントにあったとこで俺じゃないが
152:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:55:11
↑お前のティムポに手をあてて聞いてみろ
153:１３２人目の素数さん
08/01/24 18:18:33
なんだ書けないのか嘘つき
154:１３２人目の素数さん
08/01/24 19:40:11
>>146
いまごろ何言ってんだｗ
後から来たなら
全部読んでから発言しろ
155:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 20:32:58
a,b,cは0≦a≦b≦c＜1をみたす実数とする．また，S,A,B,Cを以下のように定める．
S=3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)
A=(3+a^2)a/(1+3a^2)
B=(3+b^2)b/(1+3b^2)
C=(3+c^2)c/(1+3c^2)
このとき，
A+B+C≦S＜1
が成り立つことを示せ．
156:１３２人目の素数さん
08/01/24 20:35:17
MASUDAさんは上の議論に参加されないのですか？
予備校講師の意見というのはこういうときありがたい
157:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:01:13
MASUDAさんは馬鹿を相手にするほど暇じゃないんだよ。
158:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:02:22
>>147=87
今回のスレは
>>57（MASUDAのHPの日本数学オリンピック本選予想模試より）
>>59（↑の解答からの引用）
のように「論理」で盛りあがるな
＞【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しくないので証明は誤り。】
前提条件で「n,mは（互いに素の）素数である」とあるから
【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しいので証明は正しい。】
159:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:18:52
MASUDAは集合論理の問題とか苦手そうｗ
160:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 21:20:10
>>156
議論も何も>>88におかしいところは全くないと思いますが．
背理法は，『Ｐ⇒Ｑ』と同値の命題『(Ｐ∩Ｑ~)~』が真，つまり『Ｐ∩Ｑ~』が成り立たないこと(Ｑを否定すると矛盾が生じる)を示すことにより『Ｐ⇒Ｑ』が正しいとする論法と私は理解しています．
必要十分まで考える必要はないはずです．
161:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:23:35
>>136
こうゆう消防でも問題自体は解る問題好きなんだが（しかも文が短いし）
東大向き？
求めるのは軌跡？軌道の範囲きゃな？
162:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:25:28
素直に教えてほしいっていえよ
163:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:47:42
>>160
>>111以降嫁
164:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:57:31
>>155
A+B+C≦S＜3の間違い？
165:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 22:15:18
>>164
そうですな．
166:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:30:37
そもそも>>101が背理法を理解していなかったのが原因
167:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:41:15
おまえらは数学板の住人なんだから、あんなくだらないことで
50もレス消費してはいけなかった。
168:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:50:04
>>155
1-S/3=(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca)>0 よりS＜3
以下でA+B+C≦Sを示す。
f(x)={e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}
g(x)=log√{(1+x)/(1-x)}
として、g(a)=s、g(b)=t、g(c)=uとすると
f(s)=a,f(t)=b,f(u)=c,f(3s)=A,f(3t)=B,f(3u)=C,f(s+t+u)=S/3 が言える。
またa,b,cが与えられた範囲を動くとき、s,t,uは0≦s≦t≦uのようになる。
したがって任意の非負実数s,t,uについて
f(3s)+f(3t)+f(3u)≦3f(s+t+u) …①
が成り立つことを示せばよい。
ここで、二階導関数を求めることでf(x)が上に凸であることがわかるので
Jensenの不等式から①が示される。よってA+B+C≦S
以上から題意の不等式が示された。
169:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:05:29
p,qを相異なる素数とする.{q^(p+q)-q}/{p^(p+q)-p} が整数となるような組(p,q)をすべて求めよ.
170:136です
08/01/24 23:13:15
答えは点Aをつかいます
ちなみに俺は現役なんですが同じ高校せいにとかせても誰もとけませんでした
新数学演習とかやってる人ならとけるかも？
てか今年理科一類足ぎりかも(笑) 今ひたすら信じて英数理やってます
171:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:14:13
ちなみに<は 角度をあらわしています
172:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:29:31
>>170
お前の学校レベルって…
173:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:29:50
そもそも>>88が背理法を理解していなかったのが原因
174:１３２人目の素数さん
08/01/25 03:34:14
>88 は正しい証明です。
175:１３２人目の素数さん
08/01/25 03:42:19
>>127
> 余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？
この余談も、書き手の必要条件、十分条件に対する理解の無さをしめしている。
この書き手は次を理解できないであろう。
x=-1 は x^2=1の「十分条件であるが、必要条件ではない」
176:１３２人目の素数さん
08/01/25 05:12:42
結局>>114が間違ってたのか？
177:１３２人目の素数さん
08/01/25 14:31:59
>>175
釣りのための余談に今更ひっかられても…逆に釣りか？
「数学的」理解と「直感的」違和感は違う。
「e^(iπ)=-1」は理解できても改めて式を見れば不思議である。
この場合、「不思議＝違和感＝数学の魅力」であるが
「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現はﾏｰｸｼｰﾄ試験用の造語であって数学的魅力は感じない。
数学的魅力は個人の好みであって、数学に限らず一般的に
「得意不得意」と「好き嫌い」と違う。
嗜好（思考）盗聴ネタはこれにて終了
178:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/25 18:38:58
nは正の整数とする．1または-1を並べた項数2nの数列a[1],a[2],…,a[2n]があり，
Σ[k=1,2n]a[k]=0
をみたす．このとき，1≦i≦2n-1，a[i]+a[i+1]=0をみたす整数iの個数の期待値をE[n]として，
極限値lim[n→∞]E[n]/n=1を示せ．
179:１３２人目の素数さん
08/01/25 21:49:05
>>178
E[n]=nですからわざわざ極限なんてとらないでもよくないですか？
180:１３２人目の素数さん
08/01/26 00:50:28
(1+2cosπ/9)^2008の整数部分を9で割った余りを求めよ
181:１３２人目の素数さん
08/01/26 13:59:45
>>148
(1)n!
(2)4^n
予想して帰納法でやればいい
182:１３２人目の素数さん
08/01/26 17:29:31
>>148
細かいことだが、C[0,0] を問題文の中で定義しとかないと入試範囲外。
183:１３２人目の素数さん
08/01/26 19:11:34
そうなの？
184:１３２人目の素数さん
08/01/26 19:42:23
0!=1は習うんじゃなかった？これを習えば
C[0,0]=0!/0!0!=1
185:１３２人目の素数さん
08/01/26 20:21:54
>>148 (1) 再掲
0≦m≦n かつ m≦k≦n とする。
C[n,k] k(k-1)…(k-m+1) = C[n,k] {k!/(k-m)!} = {(n!)/(k!･(n-k)!)}{k!/(k-m)!} = {n!/(n-m)!} C[n-m,k-m],
より
∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
= ∑[k=m,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
= {n!/(n-m)!} Σ[k=m,n] (-1)^k･C[n-m,k-m]
= {n!/(n-m)!}(-1)^m Σ[k'=0,n-m] (-1)^k'･C[n-m,k']
= {n!/(n-m)!}(-1)^m･(1-1)^(n-m)
= (-1)^n･n!δ_(m,n),
よって 0≦m≦n のとき
∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k^m = (-1)^n･n!δ_(m,n),
186:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/26 21:15:10
0!は扱いますが，高校範囲ではC[0,0]は扱いません．パスカルの三角形も２段目から．
187:アナーキスト コン
08/01/26 21:58:09
もっかい
書きます
半径一の円の内側の定点をAとする。円周上に二点P,Qを/_PAQ=90度となるようにするとき P Qにおける円の接線のコウテンの軌跡をもとめよ。
188:１３２人目の素数さん
08/01/26 21:59:58
>>49
L[k] = b[k,1]*b[k,2]* …… *b[k,k] にして見ますた…
〔補題〕
1≦i<j≦n ⇒ B[j]-B[i] = gcd(B[i], B[j]) (最大公約数)
となるn個の自然数 B[1] < B[2] < …… < B[n] が存在する。
漸化式
B[k-1] = B[k] - Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]}, (1<k≦n) …… (*)
B[k] - B[1] | B[1], (1<k≦n) …… (**)
を考える。
はじめに B'[n] =0 等とおき、 B'[n-1], … ,B'[1] を順次(*)で定める。
しかし、これは一般に条件(**)を満たさない。
ところで B[k] を或る定数だけ「平行移動」しても (*)には影響ないので
B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[k=2,n] {B'[k] - B'[1]},
とおく。これは
B[1] = Π[k=2,n] {B[k] - B[1]},
により (*),(**) を満たす。
B[k]-B[k-1] = Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]}, (1≦k≦n)
B[n]-B[n-1] | … | B[i]-B[i-1] | …… | B[2]-B[1] | B[1],
したがって
B[i] = {B[i]-B[i-1]} + {B[i-1]-B[i-2]} + …… + {B[2]-B[1]} + B[1]
= P * {B[i]-B[i-1]}
= PQ* {B[j]-B[i]}, ← (*)
B[j] = (PQ+1){B[j]-B[i]},
189:１３２人目の素数さん
08/01/26 22:16:25
ますだ死ね
190:１３２人目の素数さん
08/01/27 05:13:54
>>187
放置された理由を考える事
191:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:18:37
>>190
放置される理由が見当たらないんだが？
192:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:25:14
横レスだが、>>136と>>187では半径が変わってるぞ
193:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:34:11
ある品物は売れると１個について１００円の利益があり、
売れ残ると６００円の損失になると言う。
この品物をa個仕入れ、その１割が売れ残るとすると、
１個についていくらの利益が期待できますか？
194:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:38:47
宿題は自分でやれよカス
195:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:41:17
>>194
東大を冠したスレでも、答えられ無いカス乙ｗｗｗ
196:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:42:38
お前らがどれだけゆとりか確かめてやんよｗｗ
197:１３２人目の素数さん
08/01/27 11:55:32
>>193
答えは30円
そんな簡単な問題は東大入試に出ないだろ
小・中学生のためのスレに行けよ
aなんて要らないのに問題に入れるな
198:１３２人目の素数さん
08/01/27 12:40:47
>>197
出ないことを証明せよ。
199:１３２人目の素数さん
08/01/27 12:41:36
>>198
うっわつまんね
200:１３２人目の素数さん
08/01/27 13:53:56
どうせまた帝京馬鹿だろ
201:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/27 14:05:24
(1) nを正の整数として，自然対数の底eは
lim[n→∞](1+1/n)^n=e
により与えられる．e＜3を示せ．
(2) Σ[k=1,n]k3^(1/k)＞n(n+3)/2を示せ．
202:１３２人目の素数さん
08/01/27 15:53:12
>>201
うっわつまんね
203:１３２人目の素数さん
08/01/27 15:56:52
∑記号はもう食傷
整数も食傷
204:１３２人目の素数さん
08/01/27 16:48:25
MASUDAって慶應医学部落ちてたんだな
テラワロスｗ
205:１３２人目の素数さん
08/01/27 17:00:04
俺は京大理学部後期の数学理科オンリーの軽量入試で入学したことにﾜﾛﾀが。
どうやって医学部行ったの？
206:１３２人目の素数さん
08/01/27 17:01:03
>>205
再受験
このスレで大昔に既出
207:保守奔流 コン
08/01/27 17:16:07
>>187
円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1,
{x - a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}.
208:保守奔流 コン
08/01/27 17:17:44
>>187 訂正
円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1,
{x ＋ a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}.
209:１３２人目の素数さん
08/01/27 17:24:41
>>204
慶医落ちでテラワロスってお前・・どこ出身だよｗ
210:アナーキスト コン
08/01/27 17:36:23
208さん正解！私はパラメータでときましたが あなたはどうやって？
211:188
08/01/27 17:52:06
>188 の訂正
B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[j=2,n] {B'[j] - B'[1]},
212:１３２人目の素数さん
08/01/27 18:42:45
>>209
慶應理工だ
213:１３２人目の素数さん
08/01/27 18:43:39
>>209
トリニティー・アカデミー
214:１３２人目の素数さん
08/01/27 18:56:07
>>212
ちょｗｗおまｗｗ
215:１３２人目の素数さん
08/01/27 19:30:35
>201
示しますだ。
(1) (1+1/n)^n = Σ[k=0,n] C[n,k](1/n)^k
= Σ[k=0,n] n(n-1)…(n-k+1)(1/n)^k (1/k!)
= Σ[k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)……(1-(k-1)/n)(1/k!) …… nについて単調増加だお.
< Σ[k=0,n] (1/k!)
< 1 + Σ[k=1,n] 1/(2^(k-1)) (*)
= 1 + 2
= 3.
∵ k! = 2･3･4……k > 2･2･2……2 = 2^(k-1),
(2) (1)より、(1+1/n)^n はnについて単調増加だから
e > (1 + 1/k)^k,
3^(1/k) > e^(1/k) > (k+1)/k,
(与式) > Σ[k=1,n] (k+1) = n(n+3)/2.
216:１３２人目の素数さん
08/01/27 20:30:32
アナキースト コンって本物？
本物なら模試うp
217:１３２人目の素数さん
08/01/27 22:42:09
高一♂です。2.5時間かけて作りました。
もっと複雑にしようともしましたが、こっちが倒れそうなのでやめます。
頭の体操がてらにどぞ。（一瞬で解かれたら俺涙目）
a+b=k (1/2)+(1/a)+(1/b)=k を満たす。（a,b,k:実数）
このとき、abの取りうる範囲を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
08/01/27 22:47:06
>>217
適切なスレで聞き直しておいてやった。感謝しる！！！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:713番)
219:アナーキスト コン
08/01/27 22:57:06
明らかに偽名の人だから住所もでたらめ
ていうか偽名でうけてる人にききたいんだが、自分の住所正確に書いてるのか？
220:アナーキスト コン
08/01/27 22:59:10
ちなみに俺はあの文系の奴ではない
俺は理系
221:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:00:44
>>217
k≠1以外の全ての実数
222:アナーキスト コン
08/01/27 23:01:55
あと偽名はやめとくべき
電話かかってくるぞwww
223:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:02:04
>>221は書き間違えた kは1以外の全ての実数
224:217
08/01/27 23:07:44
sage忘れスマソ。
kの範囲ではなく、abの範囲ですよ。
kの範囲だとしても違います。
225:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:10:06
ああ、また書き間違えた、abの範囲が1以外の全ての実数
226:217
08/01/27 23:14:39
>>225
あとは、a,bが実数という条件を考慮すればおｋです。（判別式≧0）
227:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:28:37
>>226
k(2k^2-k-8)≧0 あと面倒なのでパス
228:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:32:43
細かい議論除くとab≠0,1って所か
229:217
08/01/27 23:35:33
では、答えを投下。
３次式が顔を覗かせますが、因数分解で回避出来ます。
【 ab＜0,(33-√65)/32≦ab＜1,1＜ab≦(33+√65)/32 】
230:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:37:46
「0^0 = 1」の証明は高校生にはどうだろう
2年ほど前からどこかで出さないかと思ってるんだが
231:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:48:24
0^0=1とは限らないけどな
色々な定義を与えて、どれも結果が異なって面白いねー
ぐらいじゃね？
232:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:48:28
lim[x->+0] x^x のこと？
どうやって計算させる？
233:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:52:33
>>231
「0^0≠1」のときってあるえるのか？
証明間違ってたのかもしれん、
ここにいるのが少し恥ずかしくなってきた
>>232
limを使って証明させればいける（いけた）！
……だったんだが、少し自信なくなってきた
234:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:54:25
>>233
つ0^x
235:１３２人目の素数さん
08/01/27 23:56:03
>>222
一昨年仮面中に東大実戦で偽名使ったがかかってこなかった。
236:１３２人目の素数さん
08/01/28 00:02:02
>>234
「0^0=1」か「0^0=0」かって話だよね
そうか…「0!=1」と同じくらいばかげた話だったか
付き合ってくれた人達ありがとう(´・ω・`)
237:１３２人目の素数さん
08/01/28 00:06:04
0^0は極限のとり方次第で好きな実数に収束させられた気がする
238:１３２人目の素数さん
08/01/28 00:09:12
>>237
それに踊らされてたのか
この時期になると2年間ﾜｸﾜｸしてたんだけどな
じゃあ、万が一出るとしても>>231みたいな出題方式だな
239:アナーキスト コン
08/01/28 00:20:29
うそだー(笑)
てか今年多分理科三類あしきりでおちるから来年理科一類で正しい住所書いてうけますwwwwそうすれば文理にアナーキスト コンwww
240:１３２人目の素数さん
08/01/28 00:21:39
>>238
すぐに例が思いつかなかったのでぐぐったら出てきた
まぁ参考程度にどうぞ
URLﾘﾝｸ(takeno.iee.niit.ac.jp)
241:１３２人目の素数さん
08/01/28 00:27:18
>>240
親切にありがとうございます。
飛んだら1回開いたことのあるページでした
何を学んだんだ、あの時の自分は。もうやだーー
242:１３２人目の素数さん
08/01/28 02:00:46
243:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/28 16:41:16
aは正の実数定数とする．xについての3次方程式
x^3-3ax^2+3(a^2-1)x-a^3-1=0
の正の実数解をg(a)と定める．このとき，任意の正の実数p,qおよび0＜t＜1をみたす実数tに対して
tg(p)+(1-t)g(q)≦g(tp+(1-t)q)
が成り立つことを示せ．
244:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/28 16:42:15
>>243は等号いりません．
245:１３２人目の素数さん
08/01/28 17:01:06
>>194
知能指数低そうな奴だな
246:１３２人目の素数さん
08/01/28 17:15:24
>>243
問題あってる？
247:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/28 22:02:44
>>246
どこか間違ってますか？
248:１３２人目の素数さん
08/01/28 22:19:06
>>201
東大の傾向を見れば、e<3の証明とか、log xやe^xの定義に従っての微分とかは今後出そう。
阪大は2003年に誘導つきで円周率が無理数であることの証明を出したとか。
249:１３２人目の素数さん
08/01/28 22:47:40
>>248
確かに、eの近似もπの近似もlog2の近似も出たし、
定義に従って公式を証明する問題も出た。
だからって、また出るかも、ってのはちょっと短絡的じゃないか。
「次に出る」ものを予想しなきゃ。次は何だ。
250:１３２人目の素数さん
08/01/28 22:56:04
ζ(2)とか？
251:１３２人目の素数さん
08/01/28 23:36:11
>>250
案外そういうのは東大はださない
252:１３２人目の素数さん
08/01/28 23:40:03
>>250 札幌医大で昔でた。
253:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/28 23:47:19
ゼータだすとしてもζ(3)の近似値あたりではないかと(阪大が近いのをだしてますが)．
ζ(2)とかζ(4)は値が有名ですから東大はむしろ敬遠しそうな気がします．
254:１３２人目の素数さん
08/01/29 00:28:19
>>253
ζ(3)の近似の問題おもしろそうなんで作問してください
255:１３２人目の素数さん
08/01/29 00:54:09
（１）（正ｐ角形の一つの内角）＋（正ｑ角形の一つの内角）＋（正ｒ角形の一つの内角）＝３６０度
となる（p,q,r）の組み合わせを全て求めよ。ただし、ｐ≦ｑ≦ｒとする。
（２）正ｐ角形、正ｑ角形、正ｒ角形の３種類のタイルがたくさんある。ただし、ｐ＜ｑ＜ｒで、タイルの辺長は全て同じ。
この３種類のタイルを、一つの頂点を共有し、重ならないように並べる（※）。
このようにして並べ、平面を覆い尽くせる（p,q,r）の組み合わせは？
（３）（２）のように並べた時、正ｒ角形のタイルが占める面積は全体のどれくらいか？
（※）
全ての頂点には、三種類のタイルの頂点が集まっている。
あるタイルの頂点が、他のタイルの辺上に来るようなこともない。
256:１３２人目の素数さん
08/01/29 09:00:00
>>240のように０＾０は不定形だから０＾０＝１ではないと書いている人は
０＾１も不定形であることに気づいていない。
257:１３２人目の素数さん
08/01/29 10:17:32
>>256
普通に0であることが証明できるが。
258:１３２人目の素数さん
08/01/29 10:30:01
ｘ＝ｅｘｐ（－ｔ－（ｔ＾２）ｉ）。
ｙ＝１＋（１／ｔ）ｉ。
ｔ－＞＋∞のときｌｉｍ（ｘ）＝０，ｌｉｍ（ｙ）＝１。
ｘ＾ｙ＝ｅｘｐ（（－１－ｔ＾２）ｉ）。
｜ｘ＾ｙ｜＝１なのでｌｉｍ（ｘ＾ｙ）＝０にならない。
259:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:02:13
正しいような。正しくないような。
260:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:19:07
正しいだろ。
そもそも複素数範囲ではx≦0で定義されないし。
261:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:46:54
(e^a)^b = e^(ab)
って計算が乱暴な気がする
例えば、a=2πi, b=1/2
262:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:47:17
じゃあこれは？
x=(1-√3)/(1+√3)、y=(1+√3)/(1-√3)のとき、
√{(x^y)/(y^x)}を求めよ。 1998つくば国際大
263:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:58:50
>>261
じゃあ0であることを証明してみろよ
264:１３２人目の素数さん
08/01/29 12:22:37
複素数の範囲だと x^y=exp(2πk/t-(1+t^2)i) となって
k = -[t]t ていう風にとれば x^y → 0 にはなるんだよな。
こう考えていいもんかどうかは知らんけど。
265:261
08/01/29 12:30:35
>>263
0^1=0 と主張した覚えはないが？
266:１３２人目の素数さん
08/01/29 12:41:36
>>257
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
まさか今さら別人だというつもりじゃないだろうな？
267:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:08:01
複素数の範囲では |x| > 0 に対して x^y = e^(ylogx) と定義される
これは、指数関数の周期性より、log の多価性に依らず一意に定まる
でもこれは x = 0 の場合を含んでいないから、x = 0 の場合は別に定義しなくてはならない
n を正整数とすれば 0^n = (0をn回かけたもの) = 0 と解釈するのが自然な気がする
268:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:10:12
任意の実数 p に対して
x(t) = exp(1/t+2π[t]i)
y(t) = 1 + i p/(2π[t])
と定義すると
lim[t→∞] x(t) = 1
lim[t→∞] y(t) = 1
x(t)^(y(t)) = exp((1/t + 2π[t]i)(1 + i p/(2π[t])))
= exp(1/t-p + i(2π[t]+p/( 2π[t]t)))
→ exp(-p)
で、1^1 が任意の値 p に収束するって言うのは ok?
269:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:22:13
x^y の定義に極限持ち込むのは変だろ常考
270:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:27:45
今のスレになって急に議論が増えたな
271:267
08/01/29 13:47:44
一意に定まらないよね、ごめんね
272:261
08/01/29 19:05:03
>>266
別人
273:１３２人目の素数さん
08/01/29 21:22:48
△ABC の外接円において、点 A の存在しない側の弧 BC の中点を D、
点 B の存在しない側の弧 CA の中点を E、点 C の存在しない側の弧 AB の中点を F とする。
△ABC と △DEF が合同となるための、 △ABC が満たすべき必要十分条件を求めよ。
274:１３２人目の素数さん
08/01/29 22:52:20
>>243
(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0,
x=g(a) が正の実数解ならば、
a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)),
ここに
h(b) = b - (3b+1)^(1/3),
は g(a) の逆関数である。
h(b) は単調増加, h '(b) >0 (b>0)
h(b) は下に凸, h "(b) >0 (b>0)
∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0,
275:１３２人目の素数さん
08/01/29 23:11:38
>>180
cos の3倍角公式より
4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2,
したがって
a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。
x^3 -3x^2 +1 =0,
他の2根をb,c とすると
b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238…
c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666…
いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき
a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n,
S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。
基本対称式は 根と係数の関係から、
s = a+b+c =3, t = ab+bc+ca =0, u = abc = -1,
S_0 =3, S_1 =s, S_2 = s^2 -3t, S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3),
nについての帰納法により
n≡0,1 (mod 6) のとき S_n ≡ 3 (mod 9)
n≡2,5 (mod 6) のとき S_n ≡ 0 (mod 9)
n≡3,4 (mod 6) のとき S_n ≡ 6 (mod 9)
S_2008 ≡ 6 (mod 9) より,
答え 5.
276:274
08/01/29 23:20:39
274の続き
g "(a) = －h "(b)/{h '(b)}^3 < 0 …… 上に凸.
よって、Jensenの定理より求める式を得ますだ。
277:１３２人目の素数さん
08/01/30 00:12:36
g''(a)が存在することを示せれば、
g(a)^3-3ag(a)^2+3(a^2-1)g(a)-a^3-1=0をaで2階微分し
g(a)>a+1をつかって、直接g''(a)<0がでますね。
278:１３２人目の素数さん
08/01/30 06:50:08
放物線y=ax^2+cは準線に平行に入射してきた光を一点に集束させることを証明せよ
ただし入射角は反射角に等しいことは用いてよい。
279:１３２人目の素数さん
08/01/30 07:08:10
準線に平行に入射する方法が分からない。
280:１３２人目の素数さん
08/01/30 07:09:59
そうか準線に垂直に入射だな
281:１３２人目の素数さん
08/01/30 09:05:57
そんな有名問題を東大が出すわけがない。
282:１３２人目の素数さん
08/01/30 09:57:47
>>274
よくこんなの思いつくな。でもこんな問題が入試ででたら誘導つきそう
283:１３２人目の素数さん
08/01/30 10:32:00
陰関数の二階導函数使えば一発やがな
284:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 10:58:10
>>282
幾何的に解く方法もありますし，そこまで難問じゃないですよ．
285:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 15:39:20
平面上に正三角形ABCがある．3本の線分AP,BP,CPの長さを3辺にもつ三角形が存在するとき，Pの存在領域を図示せよ(どのような範囲か説明してください)．
286:１３２人目の素数さん
08/01/30 17:29:20
外接円の円周上以外
287:１３２人目の素数さん
08/01/30 21:52:03
>286
外接円とその外部、と言いますだ。
288:１３２人目の素数さん
08/01/30 22:00:04
思いついたので書いてみます。どこかの大学で既出な気がしますが。
関数列f_n(x)を、次により定める。
f_0(x)=logx
f_n+1(x)=∫f_n(x)dx （ただし、積分定数は0とする）
f_nを求めよ。
289:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 22:31:43
nは正の整数とする．xy平面上にA(0,0),B(2^n,0),C(2^n,1),D(0,1)を4頂点とする長方形の紙がある．
この紙を直線x=2^(n-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
この新たにできた長方形を直線x=2^(n-2)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
このようにして，k回(k=1,2,…,n-1)折ってできた長方形をx=2^(n-k-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくっていく．
そして，n回折った後に紙を元通りに広げると，山型の折り目がついている箇所と谷型の折り目がついている箇所ができる．
(1) 谷型の折り目の個数をnで表せ．
(2) 3以上の任意のnにおいて，x=i,i+1,i+2,i+3(1≦i≦2^n-4)における折り目がすべて同じ形となるような整数iは存在しないことを示せ．
290:１３２人目の素数さん
08/01/30 23:03:46
本番で出たら、問題冊子のメモ部分が蛇腹な人が続出だな
291:１３２人目の素数さん
08/01/30 23:33:57
>>289
東大っぽくて面白いけど問題用紙折ったら答え分かっちゃうね
論証難しそうだけど
292:１３２人目の素数さん
08/01/31 01:09:07
>>289
こういう問題が好きだ。
ただ、ケチをつけると、紙を何回も何回も折るというのは非現実的で、
「無理だろｗ」って突っ込みたくなる。
「ただし、紙の厚みは無視でき、紙は何回でも折ることができるものとする。」
みたいな注意書きがつきそう。
293:１３２人目の素数さん
08/01/31 08:51:58
>>285
一般の三角形で計算しようとしたらわけわからない３痔曲線の地獄が待っていただけだった
294:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:39:57
>288
思いついたので解いてみます。どこかのスレで既出な気がしますが。
f_n(x) = (1/n!)(x^n){log(x) - (1 +1/2 + 1/3 + …… + 1/n)},
295:１３２人目の素数さん
08/02/01 00:24:23
みんな新数学演習やってるか？
296:１３２人目の素数さん
08/02/01 12:50:14
やったけどやる必要なかった気がする
297:１３２人目の素数さん
08/02/01 14:41:23
sin【A（n）】＝A（n＋1）、A(1)＝sin【θ】とするとき
limA(n) （n→∞）を求めよ。
298:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:11:39
>>297
0
宿題？
299:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:44:06
>298
証明は?
300:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:49:28
Integrate[{30-5*exp(-t)}^(-1.5),t]
の積分の解法を教えて下さい。。。
301:１３２人目の素数さん
08/02/01 16:34:43
>>299
|x|≧|sinx|を利用
下に有界
簡単杉で東大じゃでねー
302:１３２人目の素数さん
08/02/01 18:53:27
極限値が存在するから x = sin x って高校の範囲でやっていいんだっけ？
303:１３２人目の素数さん
08/02/01 19:06:23
ほぼ黙認状態じゃね？
大数も堂々と使ってるし
304:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:30:11
新数学演習の整数問題半分くらいじりきでとけないんだが(泣)
305:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:38:14
>>304
慣れだ慣れ。知識が増えてそれが繋がって新しい結果が生み出せる
306:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:57:43
>>289 ﾏﾀﾞｰ？
307:１３２人目の素数さん
08/02/01 21:49:23
ラマヌジャンの1729の証明って出来ますか？
308:１３２人目の素数さん
08/02/01 22:17:40
このスレの住人ができるはずがない・・・
Λ＿Λ . . . .: : : ::: : :: ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
/:彡ミ゛ヽ;）ー､ . . .: : : :::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::
/ :::/:: ヽ、ヽ、 ::i . .:: :.: ::: . :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
/ :::/;;: ヽ ヽ ::ｌ . :. :. .:: : :: :: :::::::: : ::::::::::::::::::
￣￣￣（_,ノ ￣￣￣ヽ､_ノ￣
309:１３２人目の素数さん
08/02/01 22:35:38
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 とかいう話？
310:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:02:54
それですそれ!!
証明って出来ますか？
因みに二通りの二つの立法の和で表せる最初の数らしいです。
311:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:32:29
計算オタクのラマヌジャンの証明をこの板のレベルに求めるかよ
312:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:36:21
91 = 6^3 + (-5)^3 = 4^3 + 3^3 は？
313:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:23:37
>>310正のがぬけてた
314:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:31:23
いろんな奴からきくんだが新数学演習完璧にしたら東大八割はいけるのかな？
まだｾｸｼｮﾝ3と1と2と15だけやってないんだが1をきょうやってて失望した(笑)
315:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:38:36
完璧にしたらたぶん8割いけるよ～
逆に言えば、8割取れたら、それは完璧にしたという証だｗ
316:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:43:34
>>314
俺も初めて見たときは泣きそうになった
317:１３２人目の素数さん
08/02/02 02:52:19
１＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２が平方数となる１以外の自然数ｎをすべて求めよ。
318:１３２人目の素数さん
08/02/02 19:09:36
新数演なんて難しいわけではないでしょ。
それに東大も後期はともかくとして前期はそれほど難しいわけではないだし、8割は余裕だろ
319:１３２人目の素数さん
08/02/03 02:09:22
『任意の自然数nがあるとき、それが奇数ならば2m-1（m≧1）をかけ1を足し、
偶数なら2で割る。この操作によって数列は有限回のうちに1に到達する。』
以上の命題がm≧3の時は成り立たないことを証明せよ。
320:１３２人目の素数さん
08/02/03 05:30:41
>>314
昔はもっと難しい新作理系なんらたってのがあった
当時新数学演習は標準レベル扱い
321:１３２人目の素数さん
08/02/03 13:55:14
>>300
1 - (1/6)exp(-t) = v^2 とおくと dt ={2v/(1-v^2)}dv,
(与式) = {1/(30√30)}∫2/{v^2(1-v^2)} dv
= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 2/(1-v^2)} dv
= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 1/(1+v) + 1/(1-v)} dv
= {1/(30√30)}{-2/v + log|(1+v)/(1-v)| } +c,
ここに v = √{1-(1/6)exp(-t)}.
322:１３２人目の素数さん
08/02/03 19:06:40
実際問題理Ⅲでなければ半分も取れたら受かる（他が普通にできればの話だが）
東大に限っては数学はそこまで重要ではない
京大東工大などでは理系の最重要科目なんですが
323:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:21:08
自分理科三類志望なんでwwちなみに国語がしんでますwww
324:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:22:13
新作理系なんたらってのは今うってないのですか？
325:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:29:31
>>319
それ、解決されている問題なのか？
326:１３２人目の素数さん
08/02/04 01:38:52
>>324
売ってません。
327:１３２人目の素数さん
08/02/04 11:23:08
>>307,309
fortranか何かでコードを書いて虱潰しに調べれば出来るのでは？
1から1728まで調べればいいのですから。
328:１３２人目の素数さん
08/02/04 18:17:53
悔しいけどそれで出来そうだね
329:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/04 18:30:03
n，p，qは正整数であり，p，q，pqは平方数ではないものとする．f(x)はxについてのn次の整数係数多項式であり，方程式f(x)=0は√p+√q+√(pq)を解にもつ．このとき，nの最小値を求めよ．
330:１３２人目の素数さん
08/02/04 21:26:03
>>327
自分の手でやってもたいして時間はかからない
331:１３２人目の素数さん
08/02/04 22:36:15
x^3+y^3 = z^3+w^3 の一般解を求めろっつうんじゃないの？
ラマンヌジャンはそこまでやってないだろうけど。
332:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:49:50
>>329
4次。理由も容易。馬鹿大クラス。
333:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:55:26
えー
334:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:30:00
>>329
x=√p+√q+√(pq)を根に持つ多項式の一つは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
従ってg(x)は有理数係数の一次式を因数に持たない・・・(*)
他方、g(x)は整数係数の四次の多項式である・・・(**)
(*)と(**)からn<4の候補はn=2のみ
しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
従ってn≧4となり、nの最小値は4である
335:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:30:41
>>332
実際東大ででたら今のゆとりは半数が論証できないと思われ
336:334
08/02/05 01:35:37
おっと、xの恒等式とみてf(x)=0とすればdeg f = 0 となるな（定義にも依るけど）
f(x)は任意の複素数αに対してf(α)=0となるから、nの最小値は0となるよ
337:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:39:55
>>336
方程式って書いてあるのに恒等式扱いってｗ
338:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:44:24
今月の問題 は返答くれないの？
339:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:47:21
>>337
恒等的に0って意味かとi.e.ゼロの多項式f
340:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:49:43
恒等式と多項式と方程式が文脈から判断できない337涙目ｗ
341:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:52:56
おまいら
それ以前にnは正整数だぞ
342:334
08/02/05 01:58:05
>>341
見逃してましたありがとうございます
>>337
日本語が不自由でごめんなさい
343:１３２人目の素数さん
08/02/05 02:22:24
＞g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
＞g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
間違い。
＞p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
＞しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
証明が必要。（整数整数？）
344:１３２人目の素数さん
08/02/05 02:42:16
>>343
指摘ありがとうございます
正しくは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x+1)^2
x=√(pq)±(√p+√q), -√(pq)±|√p-√q|
ですね。後半は、整数整数は整数係数の間違いで
証明は解と係数の関係から得られます
345:１３２人目の素数さん
08/02/05 04:18:33
普通、f(x-1)=0がx=(√p+1)(√q+1)を解にもつことを利用して解くんじゃないか。
346:１３２人目の素数さん
08/02/05 16:25:57
>>329
p=q=2の時、n=2
347:１３２人目の素数さん
08/02/05 17:18:14
pqは平方数じゃない
348:１３２人目の素数さん
08/02/05 18:34:52
問題読まないやつ多いな
349:１３２人目の素数さん
08/02/05 18:36:41
ゆとり
350:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/06 15:24:52
a，b，cを
a=x+y+z
b=x^2+y^2+z^2
c=x^3+y^3+z^3
と定める．絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
|a^3+6a-3ab+2c|＜3|a^2-b+2|
351:アナーキスト こん
08/02/07 02:18:12
ふつーに 解と係数の関係とたんてんの条件ででできるんじゃ？
あと理系の掲示板でみたんだがこれは恐らく入試にでるかもです
δX／δt=９X＋10yかつ
δy／δt=-３X-2yであるとき X yの方程式をもとめよ
352:１３２人目の素数さん
08/02/07 02:34:13
>>302-303
B(n) = 1/{A(n)}^2 とおいて、B(n)→∞ を示す。
|A(n)| < |A(n-1)| < …… < |A(2)| < |A(1)|≦1, (狭義の単調減少),
ところで
sin(x) < x -(1/6)x^3 +(1/120)x^5 < x -(19/120)x^3, (x>0)
sin(x)^2 < x^2 -(19/60)x^4 +(1/30)x^6 < x^2 -(17/60)x^4,
よって A(n)=a とおくと
B(n+1) - B(n) = 1/{sin(a)^2} -1/a^2
= {a^2 - sin(a)^2}/{a^2･sin(a)^2}
> {a^2 - sin(a)^2}/a^4
> 17/60,
B(n) > B(1) +(17/60)(n-1) →∞ (n→∞)
∴ A(n) → 0 (n→∞)
でいいかな？
353:１３２人目の素数さん
08/02/07 10:09:02
>>352
マクローリン使った不等式持ち出した時点で
高校生らしくなくなっちゃうな
354:１３２人目の素数さん
08/02/07 10:15:47
>>351
京大ではでても東大はでないな
355:１３２人目の素数さん
08/02/07 17:56:04
>>352
ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'ﾆ;v'ﾆ;､
ﾃﾞｯﾃｲｳ _,!ﾟ ) iﾟ ) .iヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r=､r=､ ／ ｀ヽ,. ┘ ヽ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
ﾃﾞｯﾃｲｳ ,､ ,､ .__{ﾟ _{ﾟ _} i ′′ }
, - (ﾟ(ﾟ )）> /´l r ｀'､_,ﾉi、 l、 ､ ,! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r-=、（ '' ,r'⌒ﾞｉ>_{ ) ヽ.＿___,ノ` 、 ! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
｀ﾞゝヽ､ヽー´ ,,ノ::｀`､ _.r（_ ﾉﾞ`ｰ. ヽ,.┬/ | /7 ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
にｰ `ヽ､_ ／::::::::ｨ"^ﾞﾘ-r _,,ﾉ ,. lー' /ﾆＹ二ヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ
,.、 ｀~iヽ､. ｀~`''"´ ﾞt （,,￣, frﾉ ｀ｧ-‐ /( ﾟ )( ﾟ ）ヽ
ゝヽ、__l::::ヽ｀iー- '''"´ﾞi, ヽ ヽ,/ / ／⌒｀´⌒ ＼ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
W..,,」:::::::::,->ヽi''"´::::ノ-ゝ ヽ､_ﾉｰ‐ﾃ-/ i | （-、 |
￣r＝=ミ__ｨ'{-‐ﾆ二...,-ゝ、'″ ／,/｀ヽl , ヽ＿＿＿ノ | ト- :、
lﾐ､ ／ f´ r''/'´ミ)ゝ^),ノ>''" ,:ｲ`ヽ | |r┬ー| l ,/;;;;;;;;;;;;｀ﾞ
! ヾ .il l l;;;ﾄ､つノ,ノ ／ ／:ﾄ-"∧ l | / /／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
. l ハ. l l;;;;i _,,.:イ / ／ ,ﾚ''";;;;;ヾ二,-;;´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
人 ヾﾆﾞi ヽ.l yt,;ヽ ﾞv'′ ,:ｨ" /;;;;;;;;;;;;;;r-'"´｀i,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'"::::ゝ､_ﾉ ﾞi_,/ l ヽ ﾞ':く´ _,,.〃_;;;;;;;;;;;;f´' ll;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
｀￣´ ／ l ヽ ヾ"／ ｀ﾞ''ーハ. l;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
／ l ﾞt `' ／^t;＼ ,,.ゝ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
356:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:07:26
πのやつがでたしそろそろ
eが2.7より大きいことを示せ
が出てもいいころ
357:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:33:09
e絡みは積分で何年か前の東大の第６問で出たな。2.7ではなかったけど
358:１３２人目の素数さん
08/02/07 20:58:10
マクローリンの式途中まで持ち出してやるしかないんじゃね
他になんか上手い方法あるの？
359:１３２人目の素数さん
08/02/07 21:40:09
>>350
示すべき不等式を整理すると
|xyz+x+y+z|<|xy+yz+zx+1|
を示せばよいことがわかる。
条件より(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)<0なので
{(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)}^2<{(x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)}^2
よって(xyz+x+y+z)^2<(xy+yz+zx+1)^2となるので
問題の不等式も示される
360:１３２人目の素数さん
08/02/07 23:01:28
>>358
sin(sinx)≦sinxより下に有界だから
sinα=αよりα=0
361:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/07 23:11:21
私も>>360と同じ答案にしますね．マクローリン使って挟むのは高校範囲外ではありませんが，誘導がない限りは使いません(逆に言えばこの問題は入試では誘導をつけるべき)．
362:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/07 23:11:57
nを正の整数として，f(n)を以下のように定める．
(i) nが奇数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*3*1
(ii) nが偶数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*4*2
このとき，以下の極限値を求めよ．
lim[n→∞]{f(3n)f(n)/(f(2n))^2}^(1/n)
363:１３２人目の素数さん
08/02/08 08:22:05
以下が正しければそれを証明し、誤っていれば反例を挙げよ。
a を正の実数として、関数 f:R→R が
f(0)=0,
0＜f(x)＜x (0＜x≦a)
を満たす。
数列 a[n] を
a[0]=a,
a[n+1]=f(a[n]) (n≧0)
で定義するとき、
lim[n→∞]a[n] = 0。
364:１３２人目の素数さん
08/02/08 09:47:19
>>363
f(x)を，
・0≦x≦1 のとき f(x)＝0
・1＜x≦2 のときは，1+2^(-n-1)＜x≦1+2^(-n) を満たす整数 n を用いて f(x)＝1+2^(-n-1)
・x＞2 のときは，f(x)＝2
と定義すると，f(0)=0，0＜f(x)＜x (x>0) を満たす。
a = 3/2（ = 1+2^(-1)）とおくと，
a[1] = 1+2^(-2)
a[2] = 1+2^(-3)
・・・
a[n] = 1+2^(-n-1)
となるので，lim[n→∞]a[n] = 1
365:１３２人目の素数さん
08/02/08 11:13:25
>>362
f(2k)=2^k k!、f(2k+1)=(2k+1)!/f(2k)
n = 2k の時
与式 = {(3k)!k!/(2k)!^2}^(1/(2k))
log(与式) = 1/(2k){Σ[i=1 to 3k] log(i) + Σ[i=1 to k] log(i) - 2Σ[i=1 to 2k] log(2i)}
→ 1/2 (∫[0,3]log x dx + ∫[0,1]log x dx + 2∫[0,2]log x dx)
= 1/2 log27/16
∴ 与式 = √27/4
nが奇数のときにも同様に計算。
こういう問題見るとStirlingの公式使いたくなるんだけど、
数行でさくっとStirlingの公式を導いて、答案で使うことってできないかなぁ。
366:１３２人目の素数さん
08/02/08 12:33:25
数行でサクッとは無理だな
367:１３２人目の素数さん
08/02/09 12:06:15
正五角形ABCDEの外接円の中心をOとする。
OP<OQ<OR<OS<OT<OAを満たす点P,Q,R,S,Tをそれぞれ
線分OA,OB,OC,OD,OE上のいずれかにとるとき、
五角形PQRSTの面積が最大になるのは
点P,Q,R,S,Tをどのように配置したときか。
368:１３２人目の素数さん
08/02/09 13:20:14
>>367
最大値は存在しないんじゃないの？
369:１３２人目の素数さん
08/02/09 14:26:55
高々30通りしかないから最大はあるだろ。
370:１３２人目の素数さん
08/02/09 16:34:22
等号成立がないから最大はないと思われ
371:１３２人目の素数さん
08/02/09 16:47:51
>>367
ゆ・と・り・お・つ
372:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/09 17:45:10
xyz座標空間に4点
O(0,0,0)，A(0,-1,-1)，B(1,0,-1)，C(0,1,0)
があり，直線OA上を点Pが，直線BC上を点Qが動く．m,nを実数定数として，点P,Qのそれぞれのx座標p,qが
m≦p≦m+1，n≦q≦n+1
をみたしながら動くとき，線分PQの動く領域の体積を求めよ．
373:１３２人目の素数さん
08/02/09 21:17:28
>>372
-1≦m≦0のとき∞
それ以外のとき0
374:１３２人目の素数さん
08/02/09 22:35:27
>>372
Pのx座標がpってPって直線OAはx=0のy-z平面上の点だからx=0じゃないのですか？
上記ｘ座標をｙ座標がっていうのならPQの動く図形は四面体になりますよね。
操作としては
１ Qを固定してPを動かすとPは長さ1の線分lとなり、端点をD,Eとする。
2 lとQを結ぶと△QDEとなりQを動かす。
あとは上記の設定したA,B,Cで計算して終わり。
375:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/10 00:15:56
失礼，x座標じゃなくy座標でした．
376:１３２人目の素数さん
08/02/10 01:20:33
益田のサイトの雑談掲示板が面白いことになってるｗ
377:１３２人目の素数さん
08/02/10 02:57:08
>>375
1/6
378:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:22:50
>>376
URLは何んだっけ？
379:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:34:04
もうそのスレッド削除されたよ。
380:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:50:52
どんな内容だったの？
381:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:04:32
2^6897689786890
382:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:42:27
>>380
斜め読みしかしてないけど
「数式が見づらいのでpdfとかで公開してくれ」
→携帯から見てる人も多いだろし、pdfだと見られない人がいるんじゃないかな。あと面倒そうだし。
「ドコモの新しいのはpdf対応してる」
→厚意で公開してるんだから、上から目線で要求しない方がいいよ
「おれは、早稲田志望で海外にそのうち移住するので、おまえらとは違うんだ」
→どん引き
こんなんだった
383:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:58:36
>>382
ちょｗｗｗ
早稲田志望ごときで東大志望者を上から目線てどんだけｗｗｗ
384:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:14:58
結局 >>360 の証明は間違ってんの？
それとも >>363 より仮定の強い(有名な)定理があるの？
385:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:29:55
>>384
f(x)=sinxなら正解だろ
有界単調減少数列
386:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:39:12
>>383
その後は
他のサイト訪問者に失礼だ
→「ネットは現実じゃないから何を言ってもいいはずだ」
益田：これ以上そういう発言を続けるなら書き込み禁止とＩＰ公開させていただく
→「ＩＰ複数所持してるから無駄だ」
益田：禁止措置とりました 複数所持してても無駄ですよ やってみな
以後早稲田君書き込みできず？
益田、何をした？
387:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:46:50
>>386
> 以後早稲田君書き込みできず？
> 益田、何をした？
携帯オオギリの今田こうじの口調が頭に浮かんでしまった ＞スレ汚し御免
388:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:02:55
>>385
>>364 の反例も有界単調減少だけど？
>>363 の別の反例
a=2
f(x)=x/2 (x≦1)
f(x)=(x+1)/2 (x>1)
389:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:07:30
どちらの反例も不連続関数
sinxは連続関数
390:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:50:16
＞sinxは連続関数
後出しにしても３テンポくらい遅い
>>303
大数は連続関数と断ってるの？
391:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:02:26
後出しって
sinα=αをどうやって出したと思ってたんだ
392:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:23:08
>>390
益田みたいな言い訳するなよｗ
事実の指摘に後出しも何もないだろｗ
393:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:41:39
sin(2x)=i
394:１３２人目の素数さん
08/02/10 17:57:00
nを正の整数の定数とし、[0,1]でf(x)を以下のように定義する。
・f(0)=f(1)=0
・0<x<1ではf(x)を、表\が出る確率がxのコインを2n回投げて表\がn回出る確率とする。
このとき
lim[n→∞]x^(-1/2)*f(1/2)/∫[0,1]f(x)dx
を求めよ。
395:１３２人目の素数さん
08/02/10 18:05:00
x^(-1/2)?
396:１３２人目の素数さん
08/02/10 18:23:57
n^(-1/2)でした…
397:１３２人目の素数さん
08/02/10 19:40:19
>>394
∞？
398:１３２人目の素数さん
08/02/10 20:09:01
>>385 = >>389 だとしたら、間抜けが後出ししてるように見える
399:１３２人目の素数さん
08/02/10 22:59:28
sinxの場合についての指摘に答えない件ｗ
400:１３２人目の素数さん
08/02/10 23:19:44
＞sinxの場合についての指摘
詳しく
401:１３２人目の素数さん
08/02/11 11:41:15
【調査】 「学歴ひけらかし」、ＯＬに嫌われる…「私の嫌いな大学ランキング」発表★７
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
１位．東京大学(176票)
２位．早稲田大学(138票)
３位．慶応義塾大学(89票)
４位．京都大学(29票)
５位．明治大学(25票)
東大・早慶のモテない度にワロタｗｗｗ
402:１３２人目の素数さん
08/02/11 12:28:54
>401
明治ってアンタ・・
どんだけＯＬって・・
403:１３２人目の素数さん
08/02/11 12:39:58
このスレのほとんどがＯＬに嫌われてるんだな…
まさか明治はおらんと思うがｗ
404:１３２人目の素数さん
08/02/11 14:09:18
ここに名前があがらない大学は歯牙にもかけないってことだろ。
405:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:46:28
>>404
そんな負け惜しみはいらないってｗ
406:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:51:48
東工大の方が絶対にもてないだろうに
407:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:11:53
東工大はひけらかしたりはしない
408:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:43:13
東工大って、どこだい
409:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:56:50
>>408
中国にあるﾆﾀﾞ〈｀∀´〉
410:１３２人目の素数さん
08/02/11 17:02:02
>>394
f(x) = C[2n,n] x^n (1-x)^n,
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] x^(2n)dx (← 部分積分をn回繰り返す)
= [ x^(2n+1) /(2n+1) ](x=0,1) = 1/(2n+1),
一方、スターリングより
f(1/2) = C[2n,n](1/4)^n ≒ {1/√(πn)}･{1 - 1/(8n)} ≒ 1/√(πn),
∴ (与式) → 2/√π (n→∞)
411:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/11 17:12:24
ひけらかすかどうかは相手によるのだ。
412:１３２人目の素数さん
08/02/11 18:44:50
n,mは自然数で、また1≦m≦nとする
初め持ち点は0点で次の試行を行う
じゃんけんに勝ったら1点、負けたら-1点、あいこになったら0点をもらう試行を行う
ただし途中(0回目の時点での場合は除く)で
持ち点が0点になったら、その時点で試行を終了する
これを3n回繰り返していくとき
持ち点が3m点になる確率を求めよ
413:１３２人目の素数さん
08/02/11 21:07:13
この四次元ヲタどもが
414:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/12 00:53:51
a,bはa＜bをみたす実数定数，f(x)，g(x)はxについての連続な関数である．このとき，以下のxについての方程式は，区間a≦x≦bに必ず実数解をもつことを示せ．
∫[a,b]f(x)g(t)dt=∫[a,b]f(t)g(x)dt
415:１３２人目の素数さん
08/02/12 02:35:50
>>414
∫[a,b]f(t)dt=p
∫[a,b]g(t)dt=qとする。
q*f(x)-p*g(x)=h(x)とすれば
∫[a,b]h(x)dx=qp-pq=0
なので平均値の定理？よりa≦c≦bでh(c)=0を満たす実数cが存在する。
つまり∫[a,b]f(c)g(t)dt-∫[a,b]f(t)g(c)dt=0となるので、題意は示された
416:１３２人目の素数さん
08/02/15 09:10:24
友達の友達はアルカイダ
417:１３２人目の素数さん
08/02/15 11:52:16
f(x)は連続で2を基本周期とする周期関数である.
f(a)=f(a+1)となる0≦a≦1をみたす実数aが存在することを示せ.
418:１３２人目の素数さん
08/02/15 12:42:43
>>417
宿題は宿題スレに
419:１３２人目の素数さん
08/02/15 12:45:17
【sin】高校生のための数学質問スレPART166【cos】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
こことかにどうぞ
420:１３２人目の素数さん
08/02/15 22:18:35
1からnまでかかれたカードが2枚ずつある
これを一列に並べるとき同じ数字が隣あう数の期待値を求めよ
421:１３２人目の素数さん
08/02/15 23:05:56
日本語でおｋ
422:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:18:37
>>412
カタラン数？
423:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:54:26
平均値の定理つかうだけだろ？
ぜんかしきたてて計算すると
P(n)=n＋1/2＾nだから
これにnをかける
424:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:54:54
すまんかんちがい
425:１３２人目の素数さん
08/02/16 21:36:12
>>365
数行でサクッとは無理だが…
n! = ∫[0,∞) exp(-x)･x^n dx = ∫[0,∞) f(x)dx, (オイラーの積分)
を使ったものを以下に示す。
まづ f(x) の極大点(x=n)の近くでは正確にしたいので、log(f(x))を x=n のまわりでテイラー展開する。
log(f(x)) = log(f(n)) -(x-n) + n･log(1 + (x-n)/n)
= log(f(n)) -(√n)y + n･log(1 + (y/√n)) (← y=(x-n)/√n: normalize)
= log(f(n)) -(1/2)y^2 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 +……
= log(g(y)),
n! = (√n)∫[-√n, ∞) g(y)dy,
ここに
g(y)= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･exp{ (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 + ……}
= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･{1 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 +[1/(18n) -1/(6n^2)]y^6 + …},
yの偶数乗の項は(-∞, ∞)の積分で近似し、yの奇数乗の項は無視しよう(*)。
I_(2k) = ∫(-∞, ∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = 2∫[0,∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = (2k-1)!!･I_0,
I_0 = I_2 = √(2π), I_4 = 3I_0, I_6 = 15I_0,
これを代入して、
n! ≒ g(0)√(2πn)･{1 +1/(12n) +…} = n^(n+1/2)･√(2π)･exp(-n +1/(12n) +…),
g(0) = f(n) = (n/e)^n,
(*) yの奇関数の積分では、[-√n, √n] の部分が消え、 [√n, ∞) の部分が残る。
∫exp(-(1/2)y^2)･y^3･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^2 +2) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n+2) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^5･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^4 +4y^2 +8) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^2 +4n+8) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^7･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^6 +6y^4 +24y^2 +48) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^3 +6n^2 +24n+48) << 1,
これらは、nが大きくなると迅速に減衰するので、無視できると思うよ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)スターリングの近似
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
426:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:02:29
原点からの距離が最大、最小となる曲線x^2+xy+y^2=1上の点をそれぞれ求めよ
427:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:06:39
>>426
そんな単純な計算問題は東大は出さないだろう
428:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:07:08
>417
g(x) = f(x+1) - f(x) とおく。
g(x) + g(x+1) = f(x+2) - f(x) = 0,
題意より f(x)が連続なので g(x)も連続。
もし g(b)≠0, 0≦b≦1 なるbがあったとすると、g(b)g(b+1)<0.
中間値の定理から、g(b+θ) =0, (0<θ<1)
b+θ =a とおく。
∴ f(a) = f(a+1) = f(a-1),
429:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:20:18
もっと東大らしいの頼む
430:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:40:00
n,kを正の整数とする. 正四面体OABCに対し,ある頂点にいる動点Pは,同じ頂点にとどまることなく,
1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する.はじめ点Pは頂点Aに存在する.
(1) n秒後に点Pが,頂点Oを1回だけ通って,頂点Aに戻る確率を求めよ.
(2) n秒後に点Pが,頂点Oをk回通って,頂点Aに戻る確率を求めよ. ただし,2k≦nとする.
431:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:43:57
>>420
そんな数Ｃの確率やってたら簡単に解けるのに数Ａだけでは難問の問題は出ない
432:１３２人目の素数さん
08/02/17 02:47:32
∫[0,π](e^-cosx)cos(sinx)dxを求めよ
433:１３２人目の素数さん
08/02/17 17:20:45
>432
求めますた。π.
434:１３２人目の素数さん
08/02/17 19:45:57
e^(-z)/zのz=0の留数しか思いつかん。
435:１３２人目の素数さん
08/02/17 20:11:50
１辺の長さが２であるような正方形と３であるような正方形を合計で２００９個過不足
無く敷き詰めて、新たに正方形を作る。
それぞれの個数の差が最も小さくなるようにするとき、
それぞれ何個ずつ敷き詰めればよいか求めよ。
ちょっと数オリっぽいけど。
436:１３２人目の素数さん
08/02/17 20:21:44
5+4
5-4=1
437:１３２人目の素数さん
08/02/17 23:45:00
113+248=361.
438:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:40:47
いかなる自然数ｎに対しても、座標平面上の円で、ちょうどｎ個の格子点をその内部(周を含む)に含むようなものが存在することを証明せよ．
どっちかと言うと京大風か??
439:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:45:50
サイコロをふって
一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ
440:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:56:50
>>439
×一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ
○一から六まですべてがでるまでふった時の回数の期待値をもとめよ
日本語でおｋ
441:１３２人目の素数さん
08/02/18 02:44:30
440やっぱ日本語悪かったかな？カキコしてて違和感したけど
442:１３２人目の素数さん
08/02/18 02:53:19
更に
×違和感したけど
○違和感あったけど
443:１３２人目の素数さん
08/02/18 03:26:52
サイコロを1から6のすべての目が少なくとも1回出るまで繰り返し振るとき、振る回数の期待値を求めよ。
「振った回数の期待値」という日本語はやめたほうがいい。
もう結果出てるのに期待値というのはいかにも不合理。
あとうるさいこと言うと、「すべての目が出る」というと、
「一度に1個しか目が出ないのに、1～6まですべての目が出るなんてありえません！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、より正確に言えば、
「1から6までの目が書かれており、それらが等確率で出るサイコロがある。
このサイコロを振って、そのたびに出た目を記録するという試行を繰り返す。
1から6の目がすべて少なくとも1回記録されるまでに、サイコロを振る回数の期待値を求めよ。」
かな。
444:１３２人目の素数さん
08/02/18 03:32:31
「1から6までの目」なんて書くと
「1と6の間には実数が稠密に分布しているのに、それらが書かれたサイコロなんて製作不能です！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、
「1から6までの自然数が各面に1つずつ書かれた」としないとな。
「各面に1つずつ」って言葉もいれておかないと、また厄介なことに・・・。
実数が稠密に書かれたサイコロとか、各面にいくつも数字が書かれたサイコロを作れば、
斬新な問題ができるかも知れんが。
445:１３２人目の素数さん
08/02/18 13:13:54
うんにゃ訂正ありがとう(-_-;)
ところでとけました？
446:１３２人目の素数さん
08/02/18 16:16:11
147/10ですか？和の期待値＝期待値の和というのを知っていれば瞬殺できますが、入試としてはどうなのでしょうかね。
447:１３２人目の素数さん
08/02/19 02:30:24
わるいどうやるんだ？
448:１３２人目の素数さん
08/02/19 14:34:19
ますだどうした???
449:１３２人目の素数さん
08/02/19 17:40:18
>>447
一回あたりｋ種類の平均値が6/kだから6Σ[1,k]1/k=6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10
450:１３２人目の素数さん
08/02/19 17:42:55
漸化式でもやってノート１ページ分表裏びっしり計算して147/10になったので間違いないかと
451:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:27:17
nは自然数とする.
2^nの最高位の数字が1になる確率を求めよ.
452:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:30:17
何が同様に確からしいか分からないからダメ。
453:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:04:07
一つ目が出る平均回数 6
二つ目が出る平均回数 6/5 (*注)
三つ目が出る平均回数 6/4=3/2
・・・
6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10
* 二つ目が出る確率は5/6
これは6回中5個でるから平均して6/5回
以下同様
454:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:37:15
>>452
じゃあ問題の書き方変えよう
nを自然数とする。n+1個の数
1,2,2^2,…,2^n
のうち,その最高位が1であるものの個数をN(n)とおく
lim[n→∞]N(n)/nを求めよ
455:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:53:10
去年は的中問題ありましたか？
456:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:59:59
>>454
log2使っていいのか？
457:１３２人目の素数さん
08/02/20 06:05:25
>>454
宿題スレにいけ
458:１３２人目の素数さん
08/02/20 11:57:54
>>443-444
(・∀・)ｲｲﾖ－ｲｲﾖ－
459:１３２人目の素数さん
08/02/20 13:25:39
>>456
はい
460:１３２人目の素数さん
08/02/22 16:24:16
コインを１５回投げて、オモテが３回以上連続しないパターンは何通りあるか。
461:１３２人目の素数さん
08/02/22 16:31:33
類題
１５段の階段を一歩１段もしくは２段で昇っていく。
一歩２段を３歩以上連続しない昇り方は何通りあるか。
462:１３２人目の素数さん
08/02/22 20:26:48
123
463:１３２人目の素数さん
08/02/22 22:33:22
コインを n 回投げて、オモテが３回以上連続しないパターンを a[n] 通りとすると、
a[0]=1, a[1]=2, a[2]=4,
a[n+3] = a[n+2] + a[n+1] + a[n]
が成立し、
a[15] = 10609
464:１３２人目の素数さん
08/02/23 01:55:09
>>463正解
階段の問題はどうかな？一歩２段を２歩以上連続しない昇り方、は京大か阪大で出たんだが、
これはそれに毛を生やした問題。
465:１３２人目の素数さん
08/02/23 02:07:29
A,B,C,D,E,Fの文字を次のルールに従い、左から右へ一列に並べて文字列を作る。
(1) A,B,C,D,Eはそれぞれ一回ずつ出てくる。
(2) A,B,C,D,Eは左から、この順番で出てくる。
(3) 作成する文字列は10文字の文字列である。
この時、作成可能な文字列は何通りあるか。
例）
ABFFCDFFFE
FAFBCFDFFE
など
466:１３２人目の素数さん
08/02/23 02:17:37
10C5=252通り
467:１３２人目の素数さん
08/02/23 06:08:30
>>465
さむっ
468:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:34:20
任意の自然数nに対し、それが奇数の場合5倍して1を足し、偶数の場合2で割る。
このようにしてできる数列の中で、有限回の内に項が1に到達する数列は有限か、無限か？
証明を付けて答えよ。
469:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:46:15
1マスが1cmの正方形な方眼紙の上に適当な閉曲線を書く
この閉曲線の面積をマス目の数を数えることによって測定する。
線がマスにかぶっている場所においては、
・見た目半分以上閉曲線に含まれているマスを0マス
・半分以上閉曲線の外に出ているマスを1マスとして数えることとします
この1と0に振り分ける数え方で面積をカウントしていき、最終的に発生する
誤差の大きさを相対でも絶対でも良いので見積もって根拠を述べよ
470:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:51:48
>>468
題意の数列を {a[n]} とおけば
任意の自然数 n に対して a[1] = 2^(n-1) なる数列に対して a[n] = 1 だから
題意を満たす数列は無限個ある。
471:１３２人目の素数さん
08/02/23 16:40:40
>>470
a[1] = 2^(n-1) に対して >>468 により数列{a_k} を決めると、
a[k] = 2^(n-k), (k=1,2,…,n)
a[k] = 16, {k=n+7m-11, mは自然数}
a[k] = 8, {k=n+7m-10, mは自然数}
a[k] = 4, {k=n+7m-9, mは自然数}
a[k] = 2, {k=n+7m-8, mは自然数}
a[k] = 1, {k=n+7m-7, mは自然数}
a[k] = 6, {k=n+7m-6, mは自然数}
a[k] = 3, {k=n+7m-5, mは自然数}
とくに
a[n] = a[n+7] = a[n+14] = … = 1.
だから有限回で1に到達する。ってことですね。
472:１３２人目の素数さん
08/02/23 22:52:12
>>454
底が何でも答かわらにょね
473:１３２人目の素数さん
08/02/24 05:34:08
点と直線の距離の公式d=～を導け
474:１３２人目の素数さん
08/02/24 06:47:58
点から直線に垂線を下ろして、
その線分のベクトルを直線の単位法線ベクトルに正射影すればいい。
475:１３２人目の素数さん
08/02/24 21:52:16
明日の本番
このスレから出ますように
476:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:29:35
いよいよ明日か。
じゃあ問題投下。
半径1の円 O に周の長さが L であるような三角形の集合を T[L] とする。
次の条件を満たすような L の満たすべき必要十分な条件を求めよ。
【条件】
O 内のどんな点 P を選んでも P を辺上（頂点含む）にもつ T[L] の要素が選べる。
477:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:30:33
>>476
受験生はもう寝ると思うぞ
478:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:39:14
>>476
なんかミスってる？
479:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:52:12
>>476
日本語が著しく破綻している。
お前には問題作りは無理だ。
480:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:53:37
すまん、日本語がおかしい上に問題が間違っていた。
半径1の円 O に内接した、周の長さが L であるような三角形の集合を T[L] とする。
T[L] が次の条件を満たすような L の満たすべき必要十分な条件を求めよ。
【条件】
O 内のどんな点 P を選んでも P を辺上（頂点含む）にもつ T[L] の要素が選べる。
481:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:53:43
わざわざ集合とか言う必然性がなさそうだし
482:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:05:51
中心通る場合考えると１辺が直径で
2<L≦2+2√2
どんな点でもそれとおる直径を１ッﾍﾟﾝにしてしまえば
上の範囲は実現される
483:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:06:37
4<L≦2+2√2
か
484:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:20:22
明日試験なのに見てる俺は・・・
485:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:21:44
未来の後輩か、頑張れ
486:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:06:28
男が5人と女が5人がいる。
各人が異性からランダムに1人選ぶとき、
互いに相手を指名するような男女が
少なくとも1組できるような確率を求めよ。
487:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:33:04
1400149/1953125かな
488:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:48:20
>>487
正解。
489:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:56:46
入試なら４人ずつで十分かもね
あるいはｎ人としてやらせるか
490:１３２人目の素数さん
08/02/25 19:08:54
問題はアップされてるね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
491:１３２人目の素数さん
08/02/25 19:32:05
解いてみるかな
492:１３２人目の素数さん
08/02/25 20:26:57
パッと見の独断と偏見。
【1】 B
【2】 C
【3】 B ((1)に配点をやるつもりなのか!?)
【4】 B
【5】 A
【6】 B
493:１３２人目の素数さん
08/02/25 20:30:26
益田の予想惜しかったな
正四面体じゃなくて正八面体の回転体積だ
494:１３２人目の素数さん
08/02/25 21:01:21
総じて最近東大の問題が全体的に易化している。
益田氏のは過去の難しかったころのと同じくらいだと思われ。
495:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/25 21:07:17
前期一本化で難化すると読んでましたが大はずれでした．
私でも150分で全問答え出せたので（計算ミスで1題落としましたが），受験生の平均も高いでしょうな．
496:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/25 21:08:58
第１問
座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2y)へ移す移動fを考え，点Pが移る行き先をf(P)と表す。fを用いて直線l[0]，l[1]，l[2]，…を以下のように定める。
・l[0]は直線3x+2y=1である。
・点Pがl[n]上を動くとき，f(P)が描く直線をl[n+1]とする(n=0，1，2，…)。
以下l[n]を1次式を用いてa[n]x+b[n]y=1と表す。
(1) a[n+1]，b[n+1]をa[n]，b[n]で表せ。
(2) 不等式a[n]x+b[n]y＞1が定める領域をD[n]とする。D[0]，D[1]，D[2]，…すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。
第２問
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき，次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を，等確率1/kで選び出し，それを違う色のカードにとりかえる。
次の問(1)，(2)に答えよ。
(1) 最初に白2枚，黒2枚，合計4枚のカードをもっているとき，操作（A)をn回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚，黒3枚，合計6枚のカードをもっているとき，操作（A)をn回繰り返した後に初めて，6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
第３問
(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり，それぞれの面の重心をG[1]，G[2]とする。G[1]，G[2]を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし八面体は内部も含むものとし，各辺の長さは1とする。
497:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/25 21:09:36
第４問
放物線y=x^2上に2点P，Qがある。線分PQの中点のy座標をhとする。
(1) 線分PQの長さLと傾きmで，hを表せ。
(2) Lを固定したとき，hがとりうる値の最小値を求めよ。
第５問
自然数nに対し，(10^n-1)/9=111…111を[n]で表す。たとえば[1]=1，[2]=11，[3]=111である。
(1) mを0以上の整数とする。[3^m]は3^mで割り切れるが，3^(m+1)では割り切れないことを示せ。
(2) nが27で割り切れることが，[n]が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
第６問
座標平面において，媒介変数tを用いて
x=cos2t
y=2sint
(0≦t≦2π)
と表される曲線が囲む面積を求めよ。
498:１３２人目の素数さん
08/02/25 21:12:36
正八面体の絵を描け・・・で点やるのかよ・・・
ちなみに正四面体の各辺の中点結んでやれば正八面体できるってことは半ば一般的知識(?)だから、
URLﾘﾝｸ(uproda11.2ch-library.com)
のように考えたらスマートな解答ができそう。