★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問at MATH★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問 - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト450:１３２人目の素数さん 07/12/16 19:05:19 e^(1/4n)=tとしておくと>>446より t-1/t>1/2n →t/(t^2-1)<2n →t*(t^4n-1)/(t^2-1)<2n*(t^4n-1) →t*Σ[k=1,2n]t^(2k-2)<2n*(e-1) (等比数列の和の公式) →Σ[k=1,2n]t^(2k-1)/2n<e-1 →与不等式 451:１３２人目の素数さん 07/12/16 19:11:08 x=1/4nとすると 1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n = 1 + (e-1)x/sinh(x) よって、x ＞ 0 (x≦1/4) で x≦sinh(x)、つまり f(x)=sinh(x)-x ＞ 0 を示せばよい。 452:１３２人目の素数さん 07/12/16 19:30:37 >>442,451 exp(k/2n) - exp((k-1)/2n) = exp((2k-1)/4n){exp(x) - exp(-x)} (x=1/4n) = exp((2k-1)/4n)･2sinh(x), 辺々たして e - 1 = 2sinh(x)Σ[k=1,2n] e^((2k-1)/4n)), でつね。 平均値の定理より f(x) = x･cosh(ξ) -x = 2x･sinh(ξ/2)^2 > 0, 453:１３２人目の素数さん 07/12/16 19:34:19 原点(0,0)からnステップで格子点(x,y)に至るような経路の数をP_n(x,y) とする。 ただし、1ステップとは(x,y)にいるときに(x,y)→(x±1,y) or (x,y±1) のように移るものとする。 例 P_2(1,1)=2, P_2(0,0)=4 このときP_n(k,0) (0≦k≦n)は平方数になることを証明せよ。 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch