07/12/02 13:27:53
>>174-199
スレ違い
ここは作問スレ
お前ら雑談スレに逝け
201:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:32:32
基地外は頑張って自作自演してろよ
202:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:37:22
数学科卒だとかなんとか愉快な奴らだなｗ
数学科の専門的訓練とやらがいかなるものか教えてくれｗ
203:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:41:04
>>199
面倒なことを言い出す奴だな。
一個人に過ぎないマスダ氏の文にケチを付けるのは避けたいのだが。
大体俺が聞いてるのはマスダ氏のことではなく、
東大で出されたおかしな表現の問題というのは一体どういうものなのか？
ということなんだが。
どうも、そういう問題はないようですな。
204:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:25:20
都合の悪いものは全部スルーしちゃう自称訓練受けた人
205:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:34:44
>>204
都合が悪くてスルーしたものって何？
まぁ、答えられないでしょうけど。
206:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:35:41
MASUDAさんもコテになったり名無しになったり、お忙しい方ですねｗ
207:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:08:12
>>206
お前もう無差別乱射状態だなwww
何発かは当たってんのかもだけど、このタイミングは文章読まずに定期的に書いてるとしか思えんwww
おもろいからいいけど
208:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:37:13
益田のサイトおせーて
問題いっぱいあるんでしょ？
209:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:55:14
つURLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)
210:１３２人目の素数さん
07/12/02 16:25:51
㌧クス
211:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 16:48:25
nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
212:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:43:09
>>198
95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
数学的には「値」というのは、実数の集合への何らかの写像が定義されている場合に
出てくる言葉だと思うのだが。
積集合の元を「値」と表現するか？
「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
あらゆる(s, t)を代入して、それらすべての不等式を示さなきゃならないかのように読める。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
213:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:48:03
>>211
問題作成能力は素晴らしいと思いますが、やっぱり日本語は変。
S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
↓
S(x)はxの正の約数の総和を表し、f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする。
「f(x)でxを素因数分解した～」という表現は読む人の誤解を招くと思いませんか？
「3で7を割った余り～」とか「xでf(x)を微分した～」などに見られるように、
f(x)がxに対して何らかの作用をするかのように読めるのです。日本語として。
あと、「AはBを、Cは・・・・・・・・・・・を表すものとする」というような言い回しは、
「Bを」に対する述語がなかなか出てこないので不親切。
最後まで読まないと意味の分からない文は悪文です。
せめて前半を「～を、」で止めずに「～を表すものとし、f(x)でxを～」と書いてあれば、
「f(x)でx」も許容できるのですけど、「表す」という言葉を最後まで出さないせいで二重にまずい日本語になっています。
214:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:52:26
「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」
という文は、「ついても」という副詞句が「示せ」という動詞にしかかかり得ないという感覚がないのが問題です。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」
となっていれば、「ついても」を「成り立つ」にかけられるから意味が通じるのです。
修飾・被修飾の整合性は小学校レベルですよ。
215:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:10:30
>>212
> 95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
だから？
なんで俺 (>>198) へのレスなんだろう？しょうがないので返事するが、
> 「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
意味不明ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
変ですね。これが変だからといって >>189 のように「ついても」の「も」
を取るというのは、最悪の修正法ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
そうですね。
ヤレヤレ
216:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 22:27:12
>>215
最悪も何も「いかなる(s,t)についても」の問題文で“も”を削ったとは私は一言も言ってないんですけどね．“も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
「いかなる(s,t)についても」は第３回京大予想の問題のことを指摘されていると先ほど確認しました．あの問題文に関しては「が成り立つこと」が抜けていたので訂正いたしました．
217:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 22:28:35
ついでに>>211にも指摘がありましたので以下に訂正版を．
nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)はxの正の約数の総和を表し，f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
218:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:30:24
>>216
いわれるがまま、との印象も受けるが素直でよろしい。
これからも指摘を受けるたびに素直にさっさと修正するように。
219:215
07/12/02 22:32:36
>>212
ほら見ろ。
おまえが俺に変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）
220:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:32:40
>>218
ちょwww
素晴らしく上から目線www
221:215
07/12/02 22:33:15
間違えたｗ訂正。
>>212
ほら見ろ。
おまえの変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）
222:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:34:10
>>219
なんかお前の日本語も変になってるよwww
223:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:43:08
>>222
ははは。じゃ、おわびついでに書いておいてやろう。
>> 189
> 「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
あるいは
>>216
> “も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
これでいいというわけではない。そんな機械的に変換すれば OK という問題じゃないんだな。
そもそも >>215 で俺が「最悪」と書いた理由もわかってるのかは、かなり怪しいな。
224:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:54:42
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
225:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:57:49
東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
このスレしか見てない連中からしたら、全文書いて説明してないお前の理屈はワケがわからんぞ
226:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:05:36
しばらく平穏だったのに１日たって来てみたらこれか
発端の>>174見たら、このスレの問題にじゃなくmasudaのサイトに対する指摘じゃん
いい加減よそでやれよ。masudaスレでも立てればいいだろ
227:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:05:41
>>225
東大の問題は誰でも見ることができるのであって、
そんな怠慢な奴にまで親切にしてやる必要はまるでナッシング。
228:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:09:24
>>226
横レスですいません。
問題文を作成するにあたり、日本語表現をどうしたら良いか、については
常々悩まされる問題です。だから全くのスレ違いというわけではなく、
このスレの議論も興味深く読ませてもらってます。
他にもそういう人は多いかと思います。
229:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:13:33
>>227
だーかーらー、東大のは見たよ
益田のやつとの違いを教えてくれと言っとるんだ
230:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:14:02
>>228
実はおれもこっそり参考にさせてもらってたりしてｗ
問題文を簡潔に明瞭に書くって難しいんだよな。
書けないというのは問題の理解が甘いということだと自覚はしてるんだが。
231:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:19:09
>>229
横レスですまんが、
益田は自分で訂正入れてるわけだし、それを見たらわかるんじゃね？
そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件で
いつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
↓のようなあわてんぼうな勘違いをしてるのは、おまえだけではないかと。
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
232:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:22:19
>>231
>そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件でいつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
言ってるんだよ、>>198がな
233:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:30:19
東大「任意の○○について」
益田「任意の○○についても」
の見分けがつかん奴は益田と同レベル。
234:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:32:41
>>232
>>221 にも書いたけど、>>198 の具体的な話ついては益田も訂正を入れてるし、
解説がさんざんあるじゃん。数レス上も読めないと？ それとも理解できないの？
235:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:34:22
コテはコテでいいタイミングで燃料投下しよるし、
またコテの取り巻きは取り巻きでアフォぶりを発揮するし。
まさか、わざとやってるのかｗｗｗ
236:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:34:51
=========終了============
237:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:36:56
>>233
あのな、>>223を読めっつってんだよ
「も」を削ってもダメな理由を聞いてるわけ
横レスするなら読んでから書け
238:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:40:34
>234
あまり答えになってないと思うんだけどｗ
232→234が噛み合ってないしｗ
安価ミスか？
239:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:41:32
>>237
まぁ、そうカリカリするな。頭から湯気が出てるぞ。
お茶でも飲め。
その上でゆっくりレスを読み返せ。 >>223 のどこに
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
なんて趣旨のことが書いてあるんだろう。どこにもそんなことは書いてないように思うよ。
つまり『東大の「任意の○○について」はよい』なんてどこにも書いてないでしょ。
240:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 00:43:17
>>237
あの，そろそろ終わりにしませんか？問題がどんどん流れてしまいますし．
私は訂正したので解決しているのですが．
241:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:45:37
そうそう。
>>237 よ、あまりのバカっぷりに笑うに笑えないぞ。ということで
=========終了============
242:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:48:05
まさに >>235 の展開ｗｗｗ
でも正直 >>237 のおつむがかわいそうになってきた。
自分の言いたいことはまともに表現できてないみたいだし、
相手の言うことも理解できてないみたいだしｗｗｗ
243:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:50:16
ちょうど終了したところで、そろそろ>>165の答えがなぜ>>172になるのかの理由を教えてほしいんだけど
答えは予想つくけど論証がさっぱり分からん
244:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:52:07
>>237
「も」を削ったからそれで良いなんて言えないでしょ。常考。
245:１３２人目の素数さん
07/12/03 01:52:21
>>217
S(a[k])=2^n*a[k]になるから、あとは
完全数についてのEulerの定理と同様に示す。
246:１３２人目の素数さん
07/12/03 01:56:37
>>245
つS(4)=1+2+4=7
247:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 10:17:56
>>245
a[k]は完全数とは限りません．
また，S(a[k])=2^n*a[k]にもなりません．
248:１３２人目の素数さん
07/12/03 18:47:19
>>165
これ益田さんできたのですか？
ベクトル
反転
三角関数
どれも渋いことになるのだが。
ベクトル→内積から角度をもちだすがよくわからない
反転→ABCDをBCDに減らしてP,B,C,Dの４点で平面に帰着することができるが後の計算が煩雑すぎてわからない
三角関数→球の中心をOとして∠OIP=2I {I=A,B,C,D}とするとsinA*sinB*sinC*sinDの最大値を求めることになるが固定されたA,B,C,Dの関係式が複雑すぎて後の計算がほぼ不可能
249:１３２人目の素数さん
07/12/03 18:48:31
∠OIPではなく∠IOP
250:１３２人目の素数さん
07/12/03 19:52:44
>>248
三角関数持ち出すより幾何の方が解きやすいぞ
単位球とみなして、4点がすべてz≦1/3の領域にくるように球面を回転することができる
これを示せばあとは論証だけで解決できるんじゃない？
251:１３２人目の素数さん
07/12/03 20:26:33
>>250
>z≦1/3
これを示したところで長さの積が最大になるPの位置が特定できるとは思えないのですが。
幾何でやると
(i) 積の最大(=m)とは固定された点A、B、C、Dに対してPの位置の特定→具体的な値は求まらない
(ii)mを最小にするとは動くA、B、C、DのもとでPは(i)の状態→具体的な値を求める
そういえば１つ点をおとして３つの場合の積は上のほうで問題があったと思うけどそのあたりにヒントがあるんですかね。
252:１３２人目の素数さん
07/12/03 22:14:41
>>172に期待
253:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 22:36:59
>>251
A,B,C,Dが正四面体の4頂点をなすとき，AP*BP*CP*DPが最大になるのは，中心について点Aと対称な点にPを設定したときです．この最大値16√3/9がmの最小値になると予想して論証します．
つまり，この正四面体の状態からA,B,C,Dを動かしたときにAP*BP*CP*DPが16√3/9より大きくなるような点Pを設定できることを示せばいいわけです．
>>250がおっしゃっておられるように幾何で論証した方が楽です．座標から計算でいくと計算地獄になります．
なお，3点の場合の問題も出題しましたが，ヒントにはならないと思います．この問題のオリジナルは某数学者のもので，
『半径1の円周にn個の点列A[k](k=1,2,…,n)があるとき，Π[k=1,n]PA[k]≧2をみたす点Pを円周上に必ずとれることを示せ』
という問題でした．これの立体拡張版なわけですが，立体版では平面版に比べてはるかにややこしく，n個の点の場合については私は全く分かりません．私が分かったのは4≦nの場合まで．n=5ですらいまだにさっぱりです．n=5の場合が分かった方は教えて下さい．
254:１３２人目の素数さん
07/12/04 02:15:34
（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…
255:１３２人目の素数さん
07/12/04 10:01:41
>>254
＼(^o^)／馬鹿が釣れたw
256:１３２人目の素数さん
07/12/04 10:17:00
>255
またお前か
いつもながら意味がわからん
257:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/04 17:50:04
nは正の整数，xは実数とする．f(x)=x^2+x+1として
{f(x)}^n≦f(|x|^n)3^(n-1)
が常に成り立つことを示せ．
258:１３２人目の素数さん
07/12/04 19:19:16
>>257
x≧0で成り立つことを、チェビシェフの不等式と数学的帰納法で示して
x<0では
f(x)<f(|x|)から、x≧0で成り立つことを用いて示せる。
259:258
07/12/04 19:22:39
最終行は「0<f(x)<f(|x|)」でした。
260:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/05 12:25:13
>>258-259
御名答
261:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/05 12:26:36
rは0＜r＜1をみたす実数とする．xyz座標空間において以下のように表される領域をUとする．
|x|≦1
|y|≦1
|z|≦1
x^2+y^2≧r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≧r^2
この領域Uを立体とみなしたとき，その表面積S(r)の最大値を求めよ．
262:１３２人目の素数さん
07/12/05 14:43:58
マスコミは報道しないが…日本壊滅の危機！？
｢放置すると､日韓関係にﾋﾋﾞ｣ 外国人参政権付与､成立への流れ加速も…公明に各党同調､自民反対派は沈黙､首相次第か
オランダのイスラム原理主義みたいに…日本国内に韓国市が誕生する
URLﾘﾝｸ(search.yahoo.co.jp)
マスコミが報道しない外国人参政権のカラクリ！
URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
263:１３２人目の素数さん
07/12/06 00:43:17
(1) ∫[0,1]dx/(1+x^2) を求め、Σ[n=0,∞](-1)^n/(2n+1) =π/4 であることを示せ。(省略)
(2) lim[n→∞] n・(π/4-Σ[k=1,n](-1)^k/(2k+1)) を求めよ。
264:１３２人目の素数さん
07/12/06 01:23:57
>>263
(1)
成立しない
(2)
与式=lim[n→∞]n(π/4+π/4)=+∞
265:１３２人目の素数さん
07/12/06 01:52:23
>>264
？？？
266:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:15:29
>>263
出題者がまだ自分のミスに気づいてないな・・・
267:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:20:48
>>261
4/3*3.141592…*ｒ に限りなく近く少ない値って事かな？
268:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:36:07
>267
変数のrがなぜ入ってるんだ？
269:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:48:22
次の式が成り立つような自然数a,b,c,dを見つけよ
1/a + 1/b + 1/7 + 1/c + 1/d = 1
ただし、a<b<7<c<dとする
270:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:51:28
訂正
a<b<7<c<d<30とする
271:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:16:32
>>269
a=2 b=4 c=14 d=28
つまらん
272:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:33:24
つまりすぎてもつまらないという不思議
273:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:57:02
>>261
(30π+96√2)/(π+4√2)
274:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/06 14:21:20
sは正整数とする．ベクトル{p[n]↑}を以下のように定める．
p[1]↑=(1,s,1+s)
p[2]↑=(s,1+s,1+2s)
p[n+2]↑=p[n+1]↑+p[n]↑
(n=1,2,…)
(1) p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2=t(-1)^nがすべてのnについて成り立つとき，s,tのみたすべき条件を求めよ．
(2) xyz座標空間において，原点をOとして，点P[n]をOP[n]↑=p[n]↑となるように定める．このとき，線分OP[n]がx軸，y軸，z軸それぞれとのなす角の大きさをa[n],b[n],c[n]とする(0≦a[n]≦π/2,0≦b[n]≦π/2,0≦c[n]≦π/2)．
lim[n→∞](a[n]+b[n]+c[n])を求めよ．
275:１３２人目の素数さん
07/12/06 22:36:34
>274
p[n]↑ = (q[n-2], q[n-1], q[n] )
q[n] = F[n] + F[n+1]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = q[n]^2 - q[n+1]q[n-1],
276:１３２人目の素数さん
07/12/06 22:47:59
>274
p[n]↑ = (Q[n-1], Q[n], Q[n+1] )
Q[n] = F[n-1] + F[n]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = |Q[n+1]|^2 - Q[n]Q[n+2],
F[n]F[n+2] - |F[n+1]|^2 = (-1)^(n-1),
t = s^2 -s-1.
277:１３２人目の素数さん
07/12/07 09:28:14
>>274
(2)
細かい論証を省くと
lim[n→∞]a[n]=π/5
lim[n→∞]b[n]=π/3
lim[n→∞]c[n]=2π/5
なので求める極限値は14π/15
278:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/07 10:25:24
>>276-277
御名答
279:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/07 10:34:17
数列{a[n]}は
a[1]=1，a[2]=1，a[3]=2
a[n+3]=a[n+2]+2a[n+1]-a[n]
(n=1,2,…)
このとき，n≧2ならば，a[2n+1]は3つの正の平方数の和で必ず表せることを示せ．
※一般項を求める必要がないとはいえ，4項間なので高校生向けではないかもですが…
280:１３２人目の素数さん
07/12/07 14:47:26
漸化式を変形すると a[n+3]=5a[n+1]-6a[n-1]+a[n-3] となる。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z) という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された
281:１３２人目の素数さん
07/12/07 15:00:42
書き忘れたが、恒等式で使われている関数の変数はすべて、
x+yを次(左側)の関数のx、x+zを次の関数のｙ、yを次の関数のz という関係にある
282:１３２人目の素数さん
07/12/07 15:01:33
>>280
ちょwwwすげwww
283:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/08 00:59:03
正の整数からなる増加数列{a[n]}に対して，S[n]を
S[n]=Σ[k=1,n]{(-1)^k}/a[k]
と定める．n→∞のときS[n]は収束することを示せ．
284:１３２人目の素数さん
07/12/08 03:30:36
>283
S[2n] = Σ[k=1,2n-2]{(-1)^k}/a[k] = Σ[K=1,n-1] {-1/a[2K-1] +1/a[2K]} <0, 単調減少.
S[2n+1] = Σ[k=1,2n-1]{(-1)^k}/a[k] = -1/a[1] + Σ[K=1,n-1] {1/a[2K] -1/a[2K+1]} > -1/a[1], 単調増加.
∴ -1/a[1] < S[2n-1] < S[2n+1] < … < S[2n] < S[2n-2] < 0,
∴ S[2n], S[2n+1] はいづれも有界単調列なので, 収束する。
285:１３２人目の素数さん
07/12/08 09:41:04
>>284
すげーあやしい答えに見えるのは気のせい？
S[2n]とS[2n-1]が同じ極限値に収束することはこれで示されたことになるの？
286:１３２人目の素数さん
07/12/08 15:40:33
（√3）＾（√3） が無理数である事を示せ。
287:１３２人目の素数さん
07/12/08 17:24:01
>285
0 < S[2n] - S[2n-1] = 1/a[2n] →0, (n→0)
288:１３２人目の素数さん
07/12/08 18:14:23
>>279
b[n] = a[2n+1] －a[n+1]^2 －(a[n+2]-a[n+1])^2 －(a[n+1]-a[n])^2,
とおくと
b[1]=0, b[2]=0, b[3]=0,
また漸化式より
b[n+3] - 5b[n+2] + 6b[n+1] - a[n] = a[2n+7] - 5a[2n+5] + 6a[2n+3] - a[2n+1]
=0, >>280
ゆえ
b[n] =0.
289:１３２人目の素数さん
07/12/08 21:35:51
>>286
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
よって無理数
290:１３２人目の素数さん
07/12/08 21:49:15
>>285
交代級数の収束の話だろ常考
291:１３２人目の素数さん
07/12/08 22:59:31
>>290
常考ってなんだよ、(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
292:１３２人目の素数さん
07/12/08 23:08:28
常考が分らない香具師が紛れ込んでるな
293:１３２人目の素数さん
07/12/08 23:33:04
>288
右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。
α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)}, B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)}, C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},
(解法)
t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…
294:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/09 00:20:39
(1) m,nはm＜nをみたす正の整数とする．何回でも微分可能なxについての関数f(x)は
f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0をみたす．このとき
Σ[k=m,n]f(k)＜∫[m-1/2,n+1/2]f(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2) Σ[k=1,n]1/k-logn≧i/10をみたす整数iの最大値を求めよ．なお，必要ならば，自然対数の底eがe=2.718…であることを用いてもよい．
295:１３２人目の素数さん
07/12/09 00:44:02
誰か>>217を頼む
296:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:27:47
>>288
それを出すなら
【加法公式】
a[m+n+1] = a[m+1]a[n+1] + (a[m+2]-a[m+1])(a[n+2]-a[n+1]) + (a[m+1]-a[m])(a[n+1]-a[n]),
で生姜。
m=n の場合は >288 になる。
証明は >293 で。
297:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:58:36
（１） 連続するk個の整数の積はk ! で割り切れることを示せ。
（２） pは素数, 整数k≦(p+1)/2 のとき (p-(k+1))*(p-(k+2))*....*(p-(2k-1))≡0 (mod k ! ) を証明せよ。
298:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:07:51
>>290
>>287は余計だという指摘か？
299:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:16:12
>>294
(1) 平均値の定理より
f(x) = f(k) + (x-k)f '(ξ) = f(k) + (x-k){f '(k) + (ξ-k)f "(η)},
(x-k)(ξ-k) ≧0, f ">0 より
f(x) ≧ f(k) + (x-k)f '(k), （← x=kでの接線の上側にある, 下に凸）
両辺をxで積分すると
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx > f(k),
(2)
f(x)=1/x とおくと (1)より Σ[k=2,n] 1/k < log((2n+1)/3),
Σ[k=1,n] 1/k -log(n) < 1 + log((2n+1)/3n)
nが十分大きいときは
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) ≦ 1 + log(2/3) < 3/5 = 6/10,
∵ e^2 = (2.71828…)^2 = 7.389… < 7.59375 = (3/2)^5, log(2/3) < -2/5,
Σ[k=1,n] 1/k = 1/2 + Σ[k=1,n-1] (1/2){1/k + 1/(k+1)} + 1/(2n) > (1/2) + ∫[1,n] (1/x)dx = (1/2) +log(n),
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) > 1/2 = 5/10,
よって i=5
300:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:23:58
>>296
証明は>>293なんて使わなくても片方の変数固定すれば明らか。
301:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:25:28
>>290＝>>292＝あほ
302:１３２人目の素数さん
07/12/09 05:00:11
〔補題〕
k次積 n(n+1)……(n+k-1) は k!で割り切れる。
(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは明らか。
k>1 のとき
nについての帰納法による。
n=1 のときは明らか。
nを1だけずらして、差を考える。
(n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) = {(n+k)-n}(n+1)…(n+k-1) = k･(n+1)(n+2)…(n+k-1),
帰納法の仮定より、(k-1)次積 (n+1)(n+2)…(n+k-1) は (k-1)! で割り切れる。
∴ (n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) はk!で割り切れる。
nについての帰納法により、k次積 n(n+1)…(n+k-1) もk!で割り切れる。
nから始まるk次積を n(n+1)…(n+k-1) = (n)_k と書いて Pochhammerの記号 とか言うらしい。
303:302
07/12/09 05:13:51
>297 (1)
〔補題〕
0≦k≦n のとき k次積 n(n-1)……(n-k+1) は k!で割り切れる。
(略証)
n(n-1)…(n-k+1)/k! = n!/{(n-k)!k!} = C[n,k] とおく。
nについての帰納法による。
C[n+1,0] = C[n+1,n+1] =1.
1≦k≦n のとき
C[n+1,k] = C[n,k] + C[n,k-1] (← Pascalの3角形)
帰納法の仮定よりC[n,*]は自然数だから、C[n+1,k] も自然数。
304:１３２人目の素数さん
07/12/09 14:29:58
何で二回も証明してんだ
それも何十回も証明書かれてるものの
305:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/09 16:11:56
kは1≦kをみたす整数とする．整数nをk≦nの範囲で動かしたとき，二項係数C[n,k]が素数pで割り切れるようなnの集合をA[p,k]とする．
A[p,k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき必要十分条件を求めよ．
306:１３２人目の素数さん
07/12/09 22:59:16
>>297
（２）は下の(2)と同じですな。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:210番)
210 名前：MASUDA ◆wqlZAUTQF. [sage] 投稿日：2007/07/14(土) 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
307:１３２人目の素数さん
07/12/09 23:43:51
θを実数全体を動くとするとき
(sinθ)^3+(cosθ)^3
の最大値、最小値を求めよ
308:１３２人目の素数さん
07/12/09 23:56:43
sin1が無理数であることを示せ。
309:１３２人目の素数さん
07/12/10 00:33:06
>>307
アステロイドとx+y=kの交点調べて[-1,1]
>>308
京大のパクリ
310:１３２人目の素数さん
07/12/10 00:47:53
ん？
311:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:22:56
ﾏｼﾞな話ですが、東大受験生を家庭教師してます。
今年で新課程３年目ですが、そろそろ新課程色が出そうな気がします。
１次変換、微分方程式といった所はどうなんでしょう？
皆さんのご意見をお伺いしたいです。
312:311
07/12/10 08:24:07
× 今年で
○ 今度で
313:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:34:00
1次変換は出るかもな。
東大の傾向としては抽象的な性質を問うものよりも、
点を回転させて極限か面積・領域などと絡めるタイプだろう。
微分方程式は基本的に範囲外なのでまず出ない。
314:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:54:09
微分方程式は京大だけだろな。東大は範囲に忠実だし。
315:１３２人目の素数さん
07/12/10 21:57:57
微分方程式チックな問題って、後期の総合科目IだかIIだかではバリバリ出るんじゃマイカ
316:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:20:43
モノグラフの微分方程式で勉強した思ひ出
今の課程でも微分方程式を取り扱ってる問題集はほとんどないんだろうな
317:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:35:16
>>316
そーでもないよ。チャート式には微分方程式ある
318:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:41:26
>>309
>>308はsin1°ではなくてsin1
319:１３２人目の素数さん
07/12/11 00:53:03
微分方程式か．．．
僕が工房の頃は、線形２階定数係数くらいはやってた気がする。
数列の隣接３項間漸化式、行列のｎ乗計算と同じ解き方ができるんで
感動した記憶がある。
320:１３２人目の素数さん
07/12/11 01:05:12
安い感動・・・
321:296
07/12/11 01:14:52
>>300 念のため…
【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1～3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1～3, m=-1～1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1～3, m=-1～1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
322:１３２人目の素数さん
07/12/11 11:49:13
>>321
あとで演算子法に繋がる。
323:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/11 13:02:27
(1) a,bは正の実数とする．xyz座標空間に3点
P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．
324:１３２人目の素数さん
07/12/11 13:24:35
>>323
(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。
325:１３２人目の素数さん
07/12/12 09:20:25
>>308
eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た
ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね
326:１３２人目の素数さん
07/12/12 10:15:12
綺麗な誘導問題がついてこそ東大だよな
327:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/12 11:02:52
iを虚数単位√(-1)，a,bを正の整数とする．
(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．
328:１３２人目の素数さん
07/12/12 11:09:25
6173
329:１３２人目の素数さん
07/12/12 12:44:46
>>328
どう考えてもそんなにないだろwww
330:１３２人目の素数さん
07/12/12 15:08:48
∫[0→π]{(sin(nx))/sinx}^2 dx nは自然数
331:１３２人目の素数さん
07/12/12 15:18:35
∫[0→π/2]{(sin(2008x))/sinx}^2 dx=1004π
332:１３２人目の素数さん
07/12/12 16:00:27
Σ[k=0~n]C[3n,3k]を簡単にせよ。
333:１３２人目の素数さん
07/12/12 16:51:15
(2^{3n}+((1+√3i)/2)^{3n}+((1-√3i)/2)^{3n})/3 は簡単ですか？
334:１３２人目の素数さん
07/12/12 17:02:04
>>329
ばかます
335:１３２人目の素数さん
07/12/12 18:40:55
>>327
無限にあると思うが
336:１３２人目の素数さん
07/12/12 18:54:37
6173はどっからでてきたかわかんないけど
|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが
337:１３２人目の素数さん
07/12/12 21:19:47
馬鹿が釣れたｗ
338:１３２人目の素数さん
07/12/12 21:20:49
>>337
ばかます
339:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/12 21:48:00
>>336
確かに2はいらなかったですね．
340:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:02:01
99^100と100^99の大小を比較せよ。
文理共通問題を想定して作ってみたんだけど、どうかな？
難しすぎる？
341:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:07:41
おもしろくない。
342:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:12:08
>>341
解いてみてよ
343:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:30:35
>>340
ありふれた問題。 x^(1/x) の増減を調べればよい。
（０．９９）99，（１．０１）-101 の大小を比較せよ。
344:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:37:13
(0.99)99=98.01>(1.01)-101=-99.99
345:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:40:39
(logx)/xからすぐだせるよな
346:１３２人目の素数さん
07/12/13 01:14:34
>>344
失礼！コピペしたので修正し忘れた。
（０．９９）^99，（１．０１）^-101 の大小を比較せよ。
でした。
347:１３２人目の素数さん
07/12/13 08:40:23
tan(π/p) = √q - r
を満たす正の整数 ｐ、ｑ、ｒ を求めよ。
348:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:17:00
>>347
本当に全部分かってて出題してるの？
349:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 12:29:21
f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(r)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
350:１３２人目の素数さん
07/12/13 12:59:21
また出題ミスか？
351:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 14:13:22
打ち込みミスですな．訂正．
f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(q)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
352:１３２人目の素数さん
07/12/13 15:25:24
33/8
353:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 15:28:07
>>352
御名答
354:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 15:36:37
C[n,k]は二項係数とする．
(1) nは0以上の整数とする．0≦k≦nをみたす整数kに対して，C[2008+k,k]が奇数となる確率をp[n]とする．
lim[n→∞]p[n]を求めよ．
(2) mは正の整数とする．0≦k≦n≦mをみたす整数n,kに対して，C[n,k]が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[m→∞]q[m]=0を示せ．
355:１３２人目の素数さん
07/12/13 16:20:42
>>305
k=1
k≧2のとき
p^m＞kならば
「C[p^m，k]とC[(p^m)+1，k]がpで割り切れることをいう。」･･･※
「C[p^m，k]がpで割り切れること」･･･○
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
k=(p^u)*v(vはpで割り切れない)と書ける。
このとき、p^m＞(p^u)*v≧p^uよりm＞u
v*C[p^m，k]=p^(m-u)*C[(p^m)-1，k]
よってv*C[p^m，k]はpで割り切れる。
vとpは互いに素だからC[p^m，k]がpで割り切れる。
「C[(p^m)+1，k]がpで割り切れること」･･･●
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]
○よりC[p^m，k]とC[p^m，k-1]はpで割り切れるので
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]よりC[(p^m)+1，k]もpで割り切れる。
○と●より※はいえた。
※より、k≧2のときA[p，k]の要素が等差数列ならば、交差は1である。
よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
k=1ならばC[n,1]=nだから、A[p,1]={n|nはpで割り切れる}となるので明らかに正しい。
356:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:17:20
>>343 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
357:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:26:59
>>355
>>k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
は C(n,k) = (n/k)C(n-1,k-1) = (n/n-k)C(n-1,k) では？
358:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:59:07
>>356
名大にはそんな訳の分からんルールがあるのか。
359:１３２人目の素数さん
07/12/13 21:39:44
>>357
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k-1]
だった。スマソ
360:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 23:01:02
>>355，>>359
>よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
↑この部分がちょっとまずいですが…．初項がC[p^m,k]の可能性もありますから，別の例外を探す必要があります．
361:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 23:22:04
θは0＜θ＜πをみたす実数とする．半径1の円に内接する△ABCがあり∠A=θであるとき，△ABCの面積の最大値をθを用いて表せ．
362:１３２人目の素数さん
07/12/14 00:40:20
>>360
>>355のC[k，k]をC[p^m+k，k]に訂正します
C[p^m+k，k]={(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}
1≦h≦kとなるhを任意にとる
h=(p^t)s(sはpで割り切れない)とかける。
p^t≦h≦k＜p^mよりm＞k
p^m+h=(p^t){p^(m-t)+s}でp^(m-t)+sはpで割り切れないからp^m+hはp^tで割り切れるがp^(t+1)で割り切れない。
したがって、{(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}の
分子のp^m+hと分母のhでうまくpが約分され、C[p^m+k，k]はpで割り切れないことがわかる
363:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:08:26
>>361 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
364:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:13:25
数Ⅲ使わなくてもいいじゃん
365:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:16:27
>361
2点 B,C を円周上に ∠BOC=2θ を満たすように固定する。
題意より、点Aは 円周上であって直線BCに関してOと同じ側にある。
底辺の長さは BC=2sinθ,
△ABCの面積は S=(1/2)h*BC, hは底辺からのAの高さ。
面積Sが最大となるのは高さhが最大のときだから、2等辺3角形のとき。
h = 1 + cosθ,
S = (1+cosθ)sinθ,
366:１３２人目の素数さん
07/12/14 02:14:36
2つのグラフ y=cx^2+cx+1/24, x=cy^2+cy+1/24 が接するとき, cの値を求めよ。
367:１３２人目の素数さん
07/12/14 02:26:13
>366
y=xに対して対称だから、微分したのが１になって、さらに接するならばx=yになることから必要条件が導けて、それが十分性も満たすことが言えればおしまいな気がする。
計算してないけど、計算に何かテクニックが必要なの？
368:１３２人目の素数さん
07/12/14 03:27:19
>>330
sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/sin(x) = cos(-(n-1)x) + cos(-(n-3)x) + …… + cos((n-3)x) + cos((n-1)x),
{sin(nx)/sin(x)}^2 = n + 2Σ[k=1,n-1] (n-k)cos(2kx),
右辺を積分すれば第1項はnπ、第2項は0.
369:368
07/12/14 03:29:45
>>330
sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/{2sin(x)} = ……
だった……
370:１３２人目の素数さん
07/12/14 10:15:01
>>367 答え出してみて、以外に難しい。
371:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/14 10:46:05
C[n,k]は二項係数とする．
(1) i,mは0≦i≦mをみたす整数とする．二項係数C[2008+i,2008]が奇数となる確率をp[m]とするとき，
lim[m→∞]p[m]を求めよ．
(2) 二項係数C[n,k](0≦k≦n≦m)が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[n→∞]q[m]を求めよ．
372:１３２人目の素数さん
07/12/14 12:15:47
>>371
何が同様に確からしいか仮定されていないから答は
不定
373:１３２人目の素数さん
07/12/14 12:24:54
>>347
(p,q,r) = (1, n^2, n) , (4, (n+1)^2, n) , (8, 2, 1)
高校の範囲外。
一桁の自然数に限定すればぎりぎりｾｰﾌか？
374:１３２人目の素数さん
07/12/14 12:30:39
>>371
(1)
2008を2進数で表したときの1の個数は6個だから
1/2^6=1/64
(2)
0
375:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/14 17:12:46
n,pは正の整数，a[n],b[n]は以下の条件をみたす整数とする．
a[n]/2^n＜√(p^2+p+1/2)-p＜(a[n]+1)/2^n
b[1]=a[1]
b[n+1]=a[n+1]-2a[n]
(1) {b[n]}のとりうる値をすべて求めよ．
(2) b[2008]=1をみたすpは有限個であることを示せ．
376:１３２人目の素数さん
07/12/14 19:04:46
√(p^2+p+1/2)-p-1/2 < 1/4p
なので p > 2^2006 ならば b[2008]=0
377:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/14 20:48:51
m，nは正の整数とする．f(n)，g(n)を
f(n)=n^n*(n-1)^(n-1)*(n-2)*…*2^2*1^1
g(n)=(n!)^n
と定めるとき，
(mn)!f(m+n)g(m)g(n)/{f(n)f(m)g(m+n)}
は整数であることを示せ．
378:受験勉強中
07/12/14 21:26:58
はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
379:１３２人目の素数さん
07/12/14 21:41:40
>>378
答え：質問スレに行きなさい。
スレ違いだ。それともマルチか？
380:受験勉強中
07/12/14 21:57:17
すみません。初投稿でどこに質問を書いたらいいのかわからず・・・。
質問のほうに書いてみます。
381:受験勉強中
07/12/14 22:00:42
すみません。初投稿でどこに書いたらいいかわからず・・・。
とりあえず回答のもらえそうなところに書き込んでしまいました。
382:１３２人目の素数さん
07/12/14 23:50:53
ｎ、ｋを正の整数とする。
正四面体ＯＡＢＣに対し、ある頂点にいる動点Ｐは、同じ頂点にとどまることなく、
１秒ごとに他の３つの頂点に同じ確率で移動する。はじめ点Ｐは頂点Ａに存在する。
ｎ秒後に点Ｐが、頂点Ｏをｋ回通って、頂点Ａに戻る確率を求めよ。
ただし、２ｋ≦ｎとする。
383:１３２人目の素数さん
07/12/15 00:16:16
>>378 東北大の問題ですね.1994,5,611あたりでしょうか。類問は、これより難易度が下がりますが、横国, 早稲田で出てます。
参考書の例題にあるのではないでしょうか。
384:１３２人目の素数さん
07/12/15 00:48:21
はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
385:１３２人目の素数さん
07/12/15 01:05:03
コピペうざいよ
386:１３２人目の素数さん
07/12/15 01:27:43
>>366 ,370
y = f(x) = cx(x+1) + 1/24 と y=x の接点を (a,a) とすると、
a = f(a) = ca(a+1) + 1/24,
1 = f '(a) = c(2a+1),
よって a = (1-c)/(2c) により aを消すと,
0 = (1-c)^2 - c/6 = (2-3c)(3-2c)/6,
より
c=2/3, 接点(1/4,1/4)
c=3/2, 接点(-1/6,-1/6)
387:１３２人目の素数さん
07/12/15 02:10:50
>>386
接点がｘ＝ｙ上にあるとは限らない。
ｘ＝ｙ上にあるときでも傾きが１になるとは限らない。
388:１３２人目の素数さん
07/12/15 02:33:07
>387
そのときは、x軸とy軸を入れ替えてみる。
389:１３２人目の素数さん
07/12/15 06:55:10
（１）x,y平面の格子点上を確率1/4で東西南北に移動する酔歩をするとき
最初に原点にいるときに２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
（２）同様にx,yz空間の格子点上を確率1/6で東西南北上下に移動するとき
２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
390:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:00:14
387が必死な件
391:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:08:14
どこが？
392:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:20:09
間違いが指摘されると指摘した人をアンチだとか必死だとかいう人が必死なのでは
393:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:23:54
秋山仁化
394:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:26:45
「あれは、ナンシーですか？」
「いいえ、あれは、バスです」
395:１３２人目の素数さん
07/12/15 09:34:02
中学の頃習ったな、その英語の例文
396:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/15 09:54:41
>>387
ここ2ch
厳密な論証までやってる答案書く必要もない
明らかなことは省くのが普通
397:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/15 10:13:32
それにしても携帯からはうちこみにくい…てわけで出題です．
xy平面上でx^2/4+y^2≦1をみたす領域Aがあり，原点Oを中心としてAを反時計まわりにπ/3だけ回転させた領域をBとする．AとBが共有する領域の面積をSとしたとき，S＞4π/3を示せ．
398:Σ（０Д０）
07/12/15 10:43:29
>>394
相当な間違えですな
399:１３２人目の素数さん
07/12/15 10:44:16
>>396は名前消し忘れと見たｗｗ
400:１３２人目の素数さん
07/12/15 10:56:49
sin２乗θ＋sin２乗θtan２乗θ＝tan２乗θ を解きなさい。
401:１３２人目の素数さん
07/12/15 12:56:49
>>400
学校の宿題か？
402:１３２人目の素数さん
07/12/15 13:37:07
「乗」って火星人みたいだな。
403:１３２人目の素数さん
07/12/15 14:30:47
その感想も独特だな
404:１３２人目の素数さん
07/12/15 16:24:29
>>397
最終行の不等号の向きあってる？
405:１３２人目の素数さん
07/12/15 18:04:05
>397
楕円形領域Aを回す角を 2α とする。
Aの周とBの周の交点P,Qは直線 y=mx または y=-(1/m)x の上にある。ここに m=tanα.
P ( 2/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q ( -2m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
このままでは面積を出し難いので、x軸方向に(1/2)倍に圧縮してみる。
Aは半径1の円板になる。交点P,Qは
P' ( 1/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q' ( -m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
に移り OP'Q'は扇形になる。
S(OP'Q') = (1/2){arctan(-2/m) - arctan(2m)} = (1/2)arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(OPQ) = arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(A∩B) = 4arctan((2/3)(m + 1/m)),
さて 本題では α=π/6, m=1/√3 だから,
(2/3)(m + 1/m) = 8/(3√3) = 1.5396007178… < 1.5574077246… = tan(1),
S(OPQ) = arctan(8/(3√3)) < 1,
S(A∩B) < 4,
>404
逆向きかとｵﾓﾀ.
406:１３２人目の素数さん
07/12/15 23:20:56
x, y, z が実数のとき
x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が常に成立するための a, b, c の満たすべき必要十分条件を求めよ。
407:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:11:57
傾きが-1で接するcが存在することさえ気づかずに
>ここ2ch
>厳密な論証までやってる答案書く必要もない
>明らかなことは省くのが普通
なんて書いているということは
>>367=>>386=>>388=>>390=>>396=MASUDA ◆5cS5qOgH3M
ということだな
408:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:14:35
「あれは、名無しさんですか？」
「いいえ、あれは、MASUDAです」
409:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:28:19
>>406
z=0でも成り立つから
x^2+y^2+2axy≧0
x^2+y^2+2axy=(x+ay)^2+(1-a^2)y^2であり、
y^2≧0だから、1-a^2≧0 よって、-1≦a≦1
同様にして、-1≦a,b,c≦1
逆に-1≦a,b,c≦1であるとき、
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx≧x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|
≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx|
≧0
よって、-1≦a,b,c≦1が求める必要十分条件
410:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:31:36
出題者の>>407が必死な件
411:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:54:16
>>377
0がm個並んでいる状態から、一つを選んでプラス1するという操作を繰り返してnがm個並んでいる状態にする。
ただしm個の要素が常に小さい順(同じもあり)に並んでいなければならない。
以上のような操作の方法の場合の数が問題の関数なので、整数となるのは明らか。
412:１３２人目の素数さん
07/12/16 00:55:54
また名無しMASUDAか
>>409
x=y=z=a=b=c=-1のとき
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx=-3だから明らかに間違い
413:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:08:26
＞ x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx
|
恐れ入りました。
414:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:08:41
>>412
それで何が間違いだよwww
問題嫁www
415:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:12:52
-1/2≦a,b,c≦1/2 だろな。
416:414
07/12/16 01:14:07
>>406じゃなくて>>409への指摘か
スマソ、読み違えた
417:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:18:53
>>415
a=b=0,c=1でも成り立つからその条件だと不十分じゃね？
418:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/16 01:36:23
n，mは正の整数とする．2^nの各桁の和をa[n]と表す．n＞4^mならばa[n]≧mが成り立つことを示せ．
419:409
07/12/16 01:49:42
>>406
ごめん
巣で間違った
こんな感じ？
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx
≧3(x^2*y^2*z^2)^(1/3)+2axy+2byz+2czx
x^2=y^2=z^2のときに最小値をとることが必要十分なのでこれが≧0であればよい
これを求めると
a+b+c≧-3/2 かつ a-b-c≧-3/2 かつ -a+b-c≧-3/2 かつ -a-b+c≧-3/2
これでおｋ？
420:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:50:23
a^2 + b^2 + c^2 ≦ 1 + 2abc だね。
数Ｉ・Ａ の範囲か。
421:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:52:38
>>420
あれ？また俺間違ってる？
422:１３２人目の素数さん
07/12/16 01:54:41
ぬるぽ
423:１３２人目の素数さん
07/12/16 02:00:18
>>408
え？
MASDAって名無しとコテを使い分けてるの？
何のために？
424:１３２人目の素数さん
07/12/16 02:01:08
自演のために決まってる
425:１３２人目の素数さん
07/12/16 02:03:29
MASUDA
ますだって誰？
426:１３２人目の素数さん
07/12/16 02:16:53
（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…
427:１３２人目の素数さん
07/12/16 02:23:15
ここまで正解者なし
428:１３２人目の素数さん
07/12/16 06:20:58
>>406
a^2 +b^2 +c^2 ≦ 1 + 2abc ≦ 3,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:368-369番)
線形代数/線型代数４
429:１３２人目の素数さん
07/12/16 09:23:21
MASUDAさんて、人気お笑いコンビのますだおかだの岡田さんですか？
430:１３２人目の素数さん
07/12/16 09:50:41
不覚にもﾜﾛﾀ。
431:１３２人目の素数さん
07/12/16 10:16:13
なぜ岡田www
432:１３２人目の素数さん
07/12/16 10:18:55
>>429もMASUDA
433:１３２人目の素数さん
07/12/16 10:27:16
以下の質疑応答から益田を類推せよ
(出典は益田ホムペの掲示板)
■益田さんに質問(#2)
1[名無しさん]
数学とは関係ない質問なので、雑談掲示板に、スレを立てました。益田さん、できれば、全ての質問に答えてください。お願いします。
１）中学・高校・大学時代に、部活・サークルに所属してましたか？
２）塾・予備校以外で、習い事をしたことはありますか？
３）大学時代にやったバイトは？
４）得意科目は？苦手科目は？（５教科だけでなく、副教科も含む）
５）趣味・娯楽は？（ジャンルの指定なし）
６）萌えアニメ・二次元美少女に、興味ありますか？好きですか？
６）はオレの趣味なので、益田さんにとっては、変なことかもしれませんが、許してください…
2007-12-11 13:49
>>434につづく
434:１３２人目の素数さん
07/12/16 10:28:37
>>433のつづき
2 [益田]
聞いてどうするのか知りませんが．
１）
中高は卓球部でした．大学は軽音サークル(ドラムやってました)，バドミントンサークル，スキーサークルを転々としてましたね．
２）
バーテンダー修行を１年間本格的にやったことがあります．
３）
バイトは
予備校講師，バーテンダー，病院当直などをやってました．
４）
得意科目：数学，音楽，美術，政経
苦手科目：古文，漢文，英語
５）Ｆ１観戦，映画鑑賞，音楽鑑賞，グルメ，お酒(バー)，読書，バドミントン，バンド
６）
アニメ全般はジブリ作品以外全く見ません．
2007-12-11 14:15
435:１３２人目の素数さん
07/12/16 13:45:11
真実は専用スレで
436:１３２人目の素数さん
07/12/16 14:24:34
>>428 道具が大げさ杉。
判別式2回取るだけ。
437:406
07/12/16 14:38:47
>>419
(a, b, c, x, y, z) = (1, -1, -3/2, 1/2, 1/2, -1)
>>420
(a, b, c, x, y, z) = (9/4, 3/2, 3/2, -15/16, 1/2, 1/2)
>>428
用意した解答と違うんだが、反例が見つけられない。
でも369で |xI-A| = 0 が虚数根を持つ場合を考慮していないので多分違う。
438:420
07/12/16 14:45:56
>>437
｜a｜≦１、｜b｜≦１ （｜c｜≦１ ←なくても可） を忘れてた。
>>428と多分同値。
439:１３２人目の素数さん
07/12/16 14:51:22
>>437 実対称行列の固有値は実数。
440:406
07/12/16 14:55:23
>>438
正解
>>439
そうだったわｗ
じゃあ>>428とも同値か。
441:１３２人目の素数さん
07/12/16 15:09:57
R^2 内の部分集合
A=｛（x，y）｜a x＾2＋b xy＋c y＾2＋d＝0｝、B=｛（x，y）｜p x＾2＋q xy＋ｒ y＾2＋s＝0｝
に対して、A=B となる必要十分条件を求めよ。
442:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/16 16:16:05
nは正の整数，eは自然対数の底である．以下の不等式を示せ．
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}/2n＜e
443:１３２人目の素数さん
07/12/16 17:38:12
>>442
{1+1/(2n-1)}^2nが単調増加で極限がeになるから
{1+1/(2n-1)}^2n<e が導かれる。
あとはこれを式変形していくだけ。
444:１３２人目の素数さん
07/12/16 17:43:45
>443
それをどう式変形しろと・・・教えて
445:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/16 17:48:45
>>443
たぶんそれでは無理だと思いますが…何かうまいやり方でもあるんですか？
446:443
07/12/16 18:10:26
出題者がちゃんと見てるかテストしただけだから。
…はい、すいません嘘です問題勘違いしてました。
e^x+e^(-x)-2>0からx>0で
e^x-e^(-x)-2x>0になって
x=1/4nを代入した式の変形を施していく感じでどうでしょうか。
447:１３２人目の素数さん
07/12/16 18:43:33
>>442
左辺をf(n)としたらf(n)→eなわけだが
n=1の時点でf(1)=2.700512717はかなりの精度
オイラーの和公式でもないっぽい
益田さん、どやって見つけたの？
448:１３２人目の素数さん
07/12/16 18:45:47
シグマの前のかっこはどこで閉じてるの？
449:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/16 18:51:37
>>446
その方針は私の中になかったのでいろいろ変形してみましたが，私ではうまく変形しきれませんでした．
>>447
元ネタは凸不等式です．いろいろ変形してるうちに>>442が出来上がりました．
>>448
1個抜けておりました．
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n＜e
450:１３２人目の素数さん
07/12/16 19:05:19
e^(1/4n)=tとしておくと>>446より
t-1/t>1/2n
→t/(t^2-1)<2n
→t*(t^4n-1)/(t^2-1)<2n*(t^4n-1)
→t*Σ[k=1,2n]t^(2k-2)<2n*(e-1) (等比数列の和の公式)
→Σ[k=1,2n]t^(2k-1)/2n<e-1
→与不等式
451:１３２人目の素数さん
07/12/16 19:11:08
x=1/4nとすると
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n = 1 + (e-1)x/sinh(x)
よって、x ＞ 0 (x≦1/4) で x≦sinh(x)、つまり f(x)=sinh(x)-x ＞ 0 を示せばよい。
452:１３２人目の素数さん
07/12/16 19:30:37
>>442,451
exp(k/2n) - exp((k-1)/2n)
= exp((2k-1)/4n){exp(x) - exp(-x)} (x=1/4n)
= exp((2k-1)/4n)･2sinh(x),
辺々たして
e - 1 = 2sinh(x)Σ[k=1,2n] e^((2k-1)/4n)),
でつね。
平均値の定理より
f(x) = x･cosh(ξ) -x = 2x･sinh(ξ/2)^2 > 0,
453:１３２人目の素数さん
07/12/16 19:34:19
原点(0,0)からnステップで格子点(x,y)に至るような経路の数をP_n(x,y) とする。
ただし、1ステップとは(x,y)にいるときに(x,y)→(x±1,y) or (x,y±1) のように移るものとする。
例 P_2(1,1)=2, P_2(0,0)=4
このときP_n(k,0) (0≦k≦n)は平方数になることを証明せよ。
454:428
07/12/16 19:42:45
>>406
実対称（というかエルミット）のとき、>>439 と言うのを忘れてマスダ。
>>437
ところで容易した解凍というのが木になる…
455:１３２人目の素数さん
07/12/16 20:17:33
>>453
P_n(k,0) = C[n, (n-k)/2]^2とはなったけど、自信が無い。
というのは、P_3(1,0)の場合で検算したら、経路の数が8本しか見つけられなかった。
456:455
07/12/16 20:21:15
9本目が見つかった。自信が湧いた。
457:１３２人目の素数さん
07/12/16 23:28:56
>>454
>>436
458:１３２人目の素数さん
07/12/16 23:37:06
「2次形式の行列がPD」のどこが大げさなんだよｗ
459:１３２人目の素数さん
07/12/16 23:40:46
大学入試問題だぞw
減点覚悟ならいいがなw
460:１３２人目の素数さん
07/12/16 23:43:46
何がＰＤだよ、気取りやがって、このＥＤ野郎が。
461:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:00:05
1990 東北大でした。
462:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:03:05
>>410
>>407は出題者じゃないんだが出題者だったとして何があるの？
463:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:04:03
>>462
名無しのますだにレスするアホ
464:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:21:10
>>460
俺ED
傷ついた
責任取れ
465:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:21:56
責任とってマムシドリンク作ってくる
466:406
07/12/17 00:28:29
>>454
用意した解答は px^2 + 2qxy + ry^2 ≧ 0 の必要十分条件が
p ≧ 0, r ≧ 0, q^2 - pr ≦ 0 であることを証明して使う。
つまるところ>>436の言う判別式2回なんだが、
これを必要十分に正しく議論するのは高校生だと結構大変かと。
というかこれの証明だけで阪大くらいの入試問題にできると思う。
467:１３２人目の素数さん
07/12/17 00:44:29
>407 の指摘は、
傾きが-1で接する c = (13±√601)/12 が存在して、
c = (13+√601)/12 = 3.1262751120… のとき接点(b,b)
b = (-23-√601)/72 = -0.6599347408…,
c = (13-√601)/12 = -0.9596084453… のとき接点(b,b)
b= (-23+√601)/72 = 0.0210458520…,
468:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/17 01:17:53
xについての関数f(x)はf(x)＞0，f''(x)＞0をみたす．nは正の整数，p,qはp＜qをみたす実数として，a[n]を以下のように定める．
a[n]={(q-p)/2n}Σ[k=1,2n]f({(4n-2k+1)p+(2k-1)q}/4n)
このとき，
a[n]＜∫[p,q]f(x)dx
を示せ．
※>>442はこの不等式で(p,q)=(0,1)，f(x)=e^xとしたものです．
469:１３２人目の素数さん
07/12/17 03:00:56
>468
区間[p,q]を2n等分し、x[k] = {(2n-k)p + kq}/2n, とおく。 x[0] =p, x[2n] =q,
区間の中央を c[k] = (x[k-1]+x[k])/2 とする。 f,f 'の符号は問わない。
x≠c のとき、平均値の定理より
f(x) = f(c) + (x-c)f '(ξ), (x-c)(ξ-c)>0,
題意より f ">0 だから、再び平均値の定理より
(x-c){f '(ξ) - f '(c)} = (x-c)(ξ-c)f "(η) > 0,
∴ f(x) > f(c) + (x-c)f '(c), (x≠c)
両辺を x[k-1]～x[k] で積分すると、
∫[x[k-1],x[k]] f(x)dx > {x[k]-x[k-1]}f(c) = ((q-p)/2n)f(c),
k=1～2n まで辺々たす。
470:１３２人目の素数さん
07/12/17 10:41:32
>>453
地道に計算するとおそらく
P_n(x,y) = C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2] (x+y≡n (mod2)かつ|x|+|y|≦n)
=0 (上記のx,y以外)
となるようですが証明は簡単ですか？
471:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/17 13:15:09
xについての関数f(x)があり，f(x)＞0，f'(x)＞0，f''(x)＜0をみたす．a[n]とb[n]を以下のように定める．
a[n]=(1/n)Σ[k=1,k]f(k/n)
b[n]=∫[1/(2n),1+1/(2n)]f(x)dx
(1) lim[n→∞]n(a[n]-b[n])を求めよ．
(2) lim[n→∞](n^2)(a[n]-b[n])の収束・発散を調べよ．
472:１３２人目の素数さん
07/12/17 15:00:00
>>470
ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d).
473:１３２人目の素数さん
07/12/17 18:32:57
>>472
P_n(x,y)=P_(n-1)(x-1,y)+P_(n-1)(x,y-1)+P_(n-1)(x,y+1)+P_(n-1)(x+1,y)
と帰納法で一発ですね。
あと、C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2]となる単純な組合せ的な意味がある
はずなんですがわからない。。
474:１３２人目の素数さん
07/12/17 19:12:40
x,y≧0, n=x+y+2k として考えると、(n-x-y)/2=k, (n-x+y)/2=y+k.
x 軸の負の向きまたは y 軸の負の向きへ進む数は k となり、
x 軸の負の向きまたは y 軸の正の向きへ進む数は y+k となる。
n 個から k 個の部分集合 A をとり、n 個から y+k 個の部分集合 B を取ったとき、
A∩B のところでは x 軸の負の向き、A^c∩B のところでは y 軸の正の向き、
A∩B^c のところでは y 軸の負の向き、A^c∩B^c のところでは x 軸の正の向き
に進めば、(x,y) に到達する。
475:１３２人目の素数さん
07/12/17 21:00:00
a=(1/2,1/2).
b=(-1/2,1/2).
(-1,0)=-a+b.
(0,-1)=-a-b.
(0,1)=a+b.
(1,0)=a-b.
(x,y)=(x+y)a+(-x+y)b.
n=3.
1
3 3
3 9 3
1 9 9 1
3 9 3
3 3
1
1 3 3 1
3 9 9 3
3 9 9 3
1 3 3 1
476:１３２人目の素数さん
07/12/18 13:02:05
477:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/18 16:03:46
(1) a,bは正の整数とする．√a+√bが有理数ならばa=a'^2，b=b'^2をみたす正の整数の組(a',b')が必ず存在することを示せ．
(2) p,q,rは，どの2つも互いに素な正の整数とする．
√n+√{n+(3^p)(5^q)(7^r)}
が有理数となるような正の整数nの個数をp,q,rで表せ．
※どちらかというと京大向けですけどね．
478:１３２人目の素数さん
07/12/18 17:16:47
1辺が1の正方形の中に、n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする。
d_max(3) 及び d_max(4) を求めよ。
479:１３２人目の素数さん
07/12/18 21:26:42
d_max(3)=√6-√2
d_max(4)=1
480:１３２人目の素数さん
07/12/18 22:54:48
>>477
最近あった京大実戦よりはるかにむずいわけだが
481:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/18 23:09:58
>>480
最初は√n+√(n+45)にするつもりだったんですが，それだとこのスレの方々には易しかろうと思い，一般化させました．
482:１３２人目の素数さん
07/12/19 01:55:33
jien otu
483:１３２人目の素数さん
07/12/19 02:05:16
MASUDAはこんだけ叩かれてよく出題しつづけるよなwww
問題は面白いからありがたいけど、叩かれすぎて泣くなよwww
484:１３２人目の素数さん
07/12/19 07:42:18
うっせ馬鹿
485:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/19 09:57:35
>>483
ここはいい出題実験場ですしね．それに某氏に比べたら叩かれてるうちにも入りません．
486:１３２人目の素数さん
07/12/19 10:21:25
kingバカにすんな
487:１３２人目の素数さん
07/12/19 10:44:11
king信者うぜー
488:１３２人目の素数さん
07/12/19 10:49:37
でっていう
489:1stVirtue ◆.NHnubyYck
07/12/19 10:56:10
1stVirtue 学校入学試験作成者になったつもりのスレッド。
490:１３２人目の素数さん
07/12/19 11:18:54
思考盗聴される確率を求めよ
491:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/19 15:19:58
xyz座標空間に原点O(0,0,0)を内部(周を除く)に含む，中心(s,t,u)，半径rの球面Sがあり，球面Sとx軸，y軸，z軸との交点6つの座標をそれぞれ
(a[1],0,0)，(a[2],0,0)，
(0,a[3],0)，(0,a[4],0)，
(0,0,a[5])，(0,0,a[6])
とする．Σ[k=1,6](a[k])^2をr,s,t,uを用いて表せ．
492:１３２人目の素数さん
07/12/19 15:25:50
一辺の長さaの正四面体ABCDがあり，この四面体の体積が半分になるように平面αで四面体を切断したとき，
その切断面の面積の最小値m(a)，最大値M(a)を求めよ．
493:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/19 16:25:17
>>492
私のサイトの問題のコピペですね．
494:１３２人目の素数さん
07/12/19 20:18:23
>>490
kingは既にされているので100%
495:１３２人目の素数さん
07/12/19 21:09:43
>>477
(1)逆数も有理数となって√a-√bとなることを利用。
(2)2^□が含まれてないこと、p,q,rが全て偶数となることはないこと
から3^p*5^q*7^rの約数の半分個で、(p+1)(q+1)(r+1)/2
>>491
ただの計算問題？なんか不安だが
(3r^2-s^2-t^2-u^2)*2
496:１３２人目の素数さん
07/12/19 21:59:58
四面体OABCについて、OA=4√3、OB=1/θ、OC=1/θ、∠COA=∠AOB=∠BOC=θである。
この四面体の体積をVとするとき
lim[θ→0] V
を求めたい。以下の[解答]の続きを埋めよ。
[解答]なん
497:１３２人目の素数さん
07/12/19 22:05:29
正直こんなんが入試に出たら平均点5/120とか普通に出そう
498:１３２人目の素数さん
07/12/19 22:28:17
>>496
１
OA=4√3 はとって付けた感あり。
簡単杉。
499:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/20 01:18:29
pを3以上の素数とする．(2^n)/pの小数第1位を四捨五入したときの1の位の数をa[n]とする．任意のnに対して，a[n]=a[n+2(p-1)]が成り立つことを示せ．
500:１３２人目の素数さん
07/12/20 02:09:36
p≠5だよね
501:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/20 10:18:04
p≠5もでした．
502:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/20 18:55:52
平面に一辺の長さ1の正6角形が敷き詰められており，各正6角形の頂点を格子点，各正6角形の辺を格子辺とよぶ．格子辺とは格子点のみでしか交わらないような円の半径の最大値を求めよ．
503:１３２人目の素数さん
07/12/20 19:38:36
nは自然数，iは虚数単位√(-1)，C[n,k]は二項係数である．kは1≦kをみたす整数として固定し，nをk≦nの範囲で動かすとき，
{(1+i√3)/2}^C[n,k]
が実数となるようなすべてのnの集合をA[k]とする．A[k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき条件を求めよ
504:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/20 19:58:58
>>503
私のサイトからコピペするなとは言いませんが，何が目的ですか？もし分からないなら質問板に書き込んでは？
505:１３２人目の素数さん
07/12/20 20:34:44
>>499
フェルマーの小定理と、4^(偶数)≡1 mod5 からnが正整数の場合は示される。
>>502
√13
506:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/20 20:39:49
>>505
御名答．
507:１３２人目の素数さん
07/12/21 09:23:50
AB=1である長方形ABCDに対して,辺AD上に2点P,Qを∠PBC+∠QBC+∠DBC=π/4 をみたすようにとる。
線分AP,AQ,ADの長さが整数であるとき,線分の長さの和 AP+AQ+AD を求めよ.
ただし,点P,Q,Dはそれぞれ相異なる点とする.
508:１３２人目の素数さん
07/12/21 09:29:33
(1/9)^n の循環節の長さを求めよ。
509:１３２人目の素数さん
07/12/21 10:14:40
私、現役東大生の高島美紀子。
ミス東大で、大天才だから、当然エリートコース一直線よ！
東大に入れないような馬鹿は、生きてる価値ないから早く死になさい！
それから、私こじきも大嫌い！
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
2007年11月11日
こじき
インドの屋台グルメは基本カレー味でまずいので口にしないのですが、きのうカレーじゃないの見つけました
衣なしじゃがいもコロッケ
普通はカレーをつけて食べるからやっぱりカレーやねんけど、塩コショウで食べれば、擬似衣ついてないコロッケ！！
８ルピーだったので食べてみたんやけど、やっぱりしつこいから半分でもういらんと思って、捨てようかどーしようか迷ったけど、やっぱりもったいないからこじきに与えようと思って、こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら
拒否･･･
いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに
510:１３２人目の素数さん
07/12/21 10:20:13
コメント数ﾜﾛﾀｗ
東大生にもブログが公の場に公開されているという実感の持てない奴がいるんだな
511:１３２人目の素数さん
07/12/21 10:54:25
>509
高島美紀ってこんな女だったのかwww
クズすぐるwww
512:１３２人目の素数さん
07/12/21 11:49:06
>>508
10^n - 1 が 9^k で割り切れる最大数 k
513:１３２人目の素数さん
07/12/21 14:47:45
>>509
記事削除したみたいだね
URLﾘﾝｸ(blog.m.livedoor.jp)
514:１３２人目の素数さん
07/12/21 15:10:42
まあ心の貧しい人ってだけで
ケンタッキーやら吉野家やらバーミアンよりはマシだな
515:１３２人目の素数さん
07/12/21 20:50:32
高島美紀子
1985年生まれ
mixiネーム：ファンディングニソ
兵庫県西宮市出身
神戸女学院高校卒
東大文II後期合格
2004年ミス東大
19歳時に未成年飲酒(日記あり)
財務省内定
516:１３２人目の素数さん
07/12/21 21:30:10
nを自然数とする。
{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。
517:１３２人目の素数さん
07/12/22 13:23:15
三角形ＡＢＣが円Ｑに内接している。
Ａが右回りに動き、Ｂが左周りに動き、Ｃが右回りに三分の二、左回りに三分の二だけ
動くものとする。
このとき、三角形ＡＢＣの最大値と最小値を求めよ。
518:１３２人目の素数さん
07/12/22 13:24:11
任意の実数ａ，ｂ，ｃに対応して、それぞれ正三角形Ａ、Ｂ、Ｃを考える。
１<<a<<ｎ
1<<b<<３
1<<c<<ｍ
のとき、正三角形の面積の和、Ａ＋Ｂ，Ｂ＋Ｃ、Ｃ＋Ａのうち、
最大のものと、最小のものを求めよ。
519:１３２人目の素数さん
07/12/22 13:25:50
正方形ＡＢＣＤの中に、円Ｐ、Ｑ、Ｒがそれぞれ外接して
存在している。
正方形ＡＢＣＤが任意の実数の範囲で、拡大を続けているとする。
このとき、円Ｐ、Ｑ、Ｒの面積も拡大を続けるが、
この面積の拡大を止めるための必要十分条件を求めよ。
520:１３２人目の素数さん
07/12/22 14:02:23
放物線ｙ＝ｘ＾２上の点をＡ（ｍ、ｎ）、Ｂ（ｌ，ｋ）とする。
原点Ｏとの間にできる三角形をＯＡＢとする。
５００＜ｍ＜６００
７００＜ｎ＜８００
９００＜ｌ＜１０００
１１００＜ｋ＜１２００
とし、ｍ，ｎ，ｌ，ｋがこの範囲で任意の実数をとるとき、
角ＯＡＢが３０度、角ＡＯＢが６０度になるための
必要十分条件を求めよ。
521:１３２人目の素数さん
07/12/22 15:55:03
>>517-520
ますだとはまた違った頭痛のする問題文だな
522:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/22 23:14:27
AB=ACをみたす直角二等辺三角形ABCがある．線分BC上(端点を除く)の点をDとして，点Aから点Dに向けて粒子Pを発射する．発射された粒子Pは△ABCの各辺に衝突すると反射しながら直進しつづけ，点A,B,Cのいずれかに到達すると止まるものとする．
n回反射して点Cに到達するとき，nのとりえない正の整数値をすべて求めよ．
523:１３２人目の素数さん
07/12/22 23:55:33
>>507
X∈AD ⇒ cot(∠XBC) = AX,
tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = (AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ),
題意より tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = tan(π/4) = 1,
(AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ) = 1,
∴ (AP,AQ,AD) = (2,4,13) or (2,5,8).
* (3,3,7) は 題意により 不適。
【tanの加法公式】
tan(α+β+γ) = (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)/(1 - tanα･tanβ - tanβ･tanγ - tanγ･tanα)
= (cotβ･cotγ + cotγ･cotα + cotα･cotβ -1) / (cotα･cotβ･cotγ - cotγ - cotα - cotβ),
524:１３２人目の素数さん
07/12/23 00:58:30
>>522
反射の条件は？
525:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/23 01:13:24
このスレなら書かなくても分かるかと省略したのですが…．
光が鏡に反射するのと同じです．
526:１３２人目の素数さん
07/12/23 01:16:20
いや、確かにそうだが、問題として不完全だと指摘したまでだよ。
527:MATSUDA
07/12/23 02:29:52
〔507〕の続き
π = 4arctan(1/AP) + 4arctan(1/AQ) + 4arctan(1/AD),
を用いて, πの近似値を 小数点以下4桁目まで 求めよ。
〔参考〕
arctan(x) = ∫[0,x] dt/(1+t^2) = Σ[k=0,∞) {(-1)^k}∫[0,x] t^(2k)dt = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{1/(2k+1)}x^(2k+1),
528:MASUMI◇5cS5q0HgH3M
07/12/23 03:55:35
(n+1)^p-n^q=1をみたす1以上の整数n,p,qをすべて求めよ
529:１３２人目の素数さん
07/12/23 08:45:49
>528
制限付きカタラン予想
(n,p,q) = (2,2,3) (n,1,1) (1,1,q)
H.B.Yu による初等的な証明(1999) が↓にある。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:47-49番)
カタラン予想スレ
数セミ, Vol.３８, No.6, 通巻453号, 日本評論社 (1999/06)
530:１３２人目の素数さん
07/12/23 17:50:10
nを自然数とする。
{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。
531:１３２人目の素数さん
07/12/23 18:14:44
>>530
2回も出すなよｗ必死かｗ
背理法で瞬殺
てか同じ問題を大学入試で見たことある
532:１３２人目の素数さん
07/12/23 19:45:45
>>502
１つの正6角形の中心を原点(0,0)とする。各頂点は
r↑ = h*(1,0) + k*(-1/2,-(1/2)√3) +L*(-1/2,-(1/2)√3),
ただし h,k,Lは整数で、h+k+L は3で割り切れない。
r^2 = h^2 +k^2 +L^2 -hk -kL -Lh,
頂点を通る同心円の半径をrとすると、
r=1 (6点)
r=2 (6点)
r=√7 (12点)
r=√13 (12点)
r=4 (6点)と r=√19 (12点) … 不可
より
R=√13,
>>503
C[n,k] ≡ r (mod 6) とすると
(与式) = exp(iπ/3)^C[n,k] = exp(iπr/3),
533:１３２人目の素数さん
07/12/23 20:21:26
x^3+y^3=z^3を満たす自然数x、y、zが存在しないことを証明せよ。
534:１３２人目の素数さん
07/12/23 20:31:19
n≧2なる整数のとき
1+1/2+1/3+…1/n
が整数とならないことを示せ。
535:１３２人目の素数さん
07/12/23 21:07:15
>>534 n-1掛ける。
>>533 高校レベルで溶けるか？
536:１３２人目の素数さん
07/12/23 21:10:35
1合成関数の公式を証明せよ
2部分積分法が正しいことを証明せよ。
今の受験テクだけのゆとりだと正答率低そう。
537:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/23 22:00:12
実数x,y,zが，
x＞0，xyz=1
xy+3yz+zx=1
をみたすとき，y+zのとりうる値の範囲を求めよ．
>>536氏に便乗．
私のサイトでこれ出したら誤答続出でした．東大でこれを出題しても十分試験になりそうです．
538:１３２人目の素数さん
07/12/23 22:04:51
試験になるとかならないとかどうでもいい。
539:１３２人目の素数さん
07/12/23 22:27:33
>>538
「入試作問者になったつもりのスレ」
↑読める？ひらがなで書いた方がいいかしら？
ポアンカレとかフェルマー出してるのお前か？
540:１３２人目の素数さん
07/12/23 22:29:10
>>537 x>0 よりyz>0
xy+3yz+zx=1にx=1/yz代入
1/z+3yz+1/y=1
y+z+3y^2z^2=yz
y+z=yz(1-3yz)
yz>0よりy+zの範囲は
w(1-3w) (w>0)の値域に等しい。
よって、求める値の範囲は1/12以下
541:１３２人目の素数さん
07/12/23 22:38:59
>>540
y,zが実数にならない範囲を含んでる。
542:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/23 23:06:53
>>540
それ，典型的誤答例です．
543:１３２人目の素数さん
07/12/23 23:23:27
p=x/3>0, q=y+z として
f(w) = (w-p)(w-y)(w-z) = w^3 -(p+q)w^2 + w/3 -1/3
とおき、f(w)=0の三つの解が全て実数で、一つ以上は正の解を持つ。
544:１３２人目の素数さん
07/12/24 00:43:11
>534
{1,2,3,…,n} のうち、最も高い2-ベキを因数にもつものは、m = 2^[log(n)/log(2)] の1個だけである。(*)
∴ m以外の要素はすべて L = LCM(2,3,…,n)/2 を割り切るが、mはLを割り切らない。
∴ 与式に L を掛けると、 (L/m) + (整数),
* これが成立つのは2-ベキに限る。p-ベキでは(p-1)個まで許される。
545:１３２人目の素数さん
07/12/24 00:47:44
>>539
1合成関数の公式って何
546:１３２人目の素数さん
07/12/24 00:51:31
2と合わせると解析の話っぽいから合成関数の｢微分の｣公式かな？
正確にはわからんけど。
547:１３２人目の素数さん
07/12/24 00:51:32
合成関数の微分の公式ね。
f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)のこと。
548:１３２人目の素数さん
07/12/24 01:00:00
-2]
549:１３２人目の素数さん
07/12/24 01:07:07
>537
条件式より
y+z = (x-3)/(x^2),
yz = 1/x,
y,z∈R となる条件は、判別式
D = (1-x)(4x^2+3x+9)/(x^4) ≧ 0,
題意より x>0 だから 0<x≦1,
∴ y+z = (x-3)/(x^2) ≦ -2,
550:１３２人目の素数さん
07/12/24 01:18:46
>>539
いや俺はただ、「東大入試に出しても、解けない奴がいそう」な基本事項・基礎事項を挙げるのが
このスレの魅力ではないと言いたいだけだぞ。
東大ならではの気合いの入った問題を見たい。
合格者選抜がこのスレの目的ではないだろ。
551:549
07/12/24 01:19:33
>537
2次方程式
f(w) = w^2 - {(x-3)/x^2}w + (1/x) =0,
が実根をもつことを使いマスダ。
552:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/24 01:25:34
y+z≦-2が正解です．
553:１３２人目の素数さん
07/12/24 04:52:38
>>508
10^k-1 が 9^n で割り切れるような最小の k を求めればよい。
10^k-1 の各桁の和は 9k だから 9k = 9^n で k が最小。
∴ k = 9^(n-1) が (1/9)^n の循環節の長さ。
554:１３２人目の素数さん
07/12/24 05:53:33
>>553
全然違う
555:１３２人目の素数さん
07/12/24 13:32:59
増分について
u=f(x)
y=g(u)のとき
Δy=g(u+Δu)-g(u)
Δu=f(x+Δx)-f(x)
Δu≠0で考えると（これが0のときは高校範囲を超えるので略）
Δx→0⇒Δu→0⇒Δy→0であり
Δy/Δx=(Δy/Δu)*(Δu/Δx) この両辺の極限を取って…
556:１３２人目の素数さん
07/12/24 14:58:33
m,nは0以上の整数とする。
I[n]=∫[0,π/2](cosθ)^ndθ
J[n]=∫[0,∞]x^n*e^(-x^2)dx
とおく。ただし、∫[0,∞]f(x)dx=lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dxであるものとする。
Ⅰ I[n]をI[n-2]で表し、I[n]は減少数列であることを証明せよ。
Ⅱ lim[m→∞](√mC[2m,m])*(1/4)^mを求めよ。
Ⅲ J[n]をJ[0]で表せ。
Ⅳ ∫[0,∞]e^(-x^2)dxの値を求めよ。
557:１３２人目の素数さん
07/12/24 15:53:16
まだこの受験コンプスレあったのかよ
558:１３２人目の素数さん
07/12/24 15:55:43
>>556
ⅠとかⅡとかの出題の仕方が東大の理科っぽくていいな
559:泉 こなた
07/12/24 20:55:06
福田康夫
560:１３２人目の素数さん
07/12/24 22:25:17
お前ら
数学スレなのに
なんでイブに過疎ってんだよ
ちくしょーorz
561:１３２人目の素数さん
07/12/24 23:11:53
過疎？
でもそんなのかんけーねぇ！
562:１３２人目の素数さん
07/12/24 23:13:20
>>560
俺は一人です。
でもイブです。
563:１３２人目の素数さん
07/12/24 23:44:18
イブって言ったらブラックキャットだろ常考
564:１３２人目の素数さん
07/12/24 23:57:27
ここはイブこそ盛り上がるスレだろ
565:１３２人目の素数さん
07/12/25 00:24:59
実数と純虚数の和が何故計算できるのか自分なりに考えをまとめよ。
566:１３２人目の素数さん
07/12/25 00:48:38
何故できるも何も
複素数の和の規則をそう定めたんだからできるんじゃないの
567:１３２人目の素数さん
07/12/25 00:58:00
C→Cの写像としての複素数の和がwell-definedであることを述べるべきか。
568:１３２人目の素数さん
07/12/25 03:01:08
>>566
和の規則って何？
例えば 1+i の意味づけをしないといけないのでFA？
569:１３２人目の素数さん
07/12/25 09:19:54
和がC→Cの写像である訳無いだろこの馬鹿
570:東大
07/12/25 14:10:58
元ミス東大の高島氏が自信のブログ『あふじゃで研修中』にて「こじきのくせに」という差別的な
発言を書き込んだことからコメント欄が大炎上。気になる投稿内容はインドでのできごとを書いたもの。
下記がそのブログの記事内容だ。
こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら
拒否･･･
いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに
（※一部引用）
……元ミス東大とは思えない乱暴な文章とその内容。コメントにも以下のような批判が相次いでいる。
571:１３２人目の素数さん
07/12/25 14:25:05
>>568
そもそも実数があって、その２つの組(a,b),(c,d)に対して、
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)と定めたんだよ
(積は(a,b)･(c,d)=(ac-bd,ad+bc)と定義)
実数の和はwell-definedだから、この和というのが定義される
で、この組の第一成分を実部、第二成分を虚部ということにして、
(a,b)をa+ibと書くことにしたのが複素数
572:１３２人目の素数さん
07/12/25 18:43:49
そんな事はみんな知ってて書いてるんだよ。
要は同一視の部分をどう切り抜けるかだな。
573:１３２人目の素数さん
07/12/25 23:11:31
>>572
同一視なんて切り抜けるも何も自然な同型写像があるだろ
実数と純虚数の和は(a,0)+(0,b)だから普通に計算できるのは当たり前
この和がwell-definedなんだから何故もへったくれもない
糸冬 了
574:１３２人目の素数さん
07/12/25 23:15:23
どうも大学入試の範疇の話だと理解できてない奴がいる。
575:１３２人目の素数さん
07/12/25 23:53:55
結局どういうことなの？
答えきぼん
576:１３２人目の素数さん
07/12/25 23:55:12
レベルが落ちたな・・・ｗ
577:１３２人目の素数さん
07/12/26 00:01:51
>>565
>>567
>>572
>>574
>>576
じゃ、どういうことかしっかりと説明してもらおうかな
レベルがどうのとか理解できてないとか言ってるし
さぞかし立派な説明なんだろうな
期待してるぜ
578:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/26 00:03:01
p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す．
x+y+z=0
n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
n≦|x-p|≦2n，n≦|y-q|≦2n，n≦|z-r|≦2n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．
579:１３２人目の素数さん
07/12/26 00:06:05
>>577
ヒント：釣り
580:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/26 00:07:29
>>577
大学入試の答案であれば上の方々の説明で十分ですよ．教科書にはそれ以上のことは書いていません．
もっとつっこんだ答えを要求するのはスレ違いというものです．
581:１３２人目の素数さん
07/12/26 00:53:28
>>569
ごめん。
C×C→Cの写像？
582:１３２人目の素数さん
07/12/26 02:07:18
>556
I.
I[n] = ∫[0,π/2] (cosθ)^n dθ = ∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-1)}cosθ dθ
= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0～π/2) + (n-1)∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-2)}(sinθ)^2 dθ
= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0～π/2) + (n-1){I_(n-2) - I_n},
I[n] = {(n-1)/n}I_(n-2),
0 ≦ cosθ ≦ 1 より、単調減少。
I[0] = π/2, I[1] = 1,
II.
n*I[n-1]*I[n] = I[0]*I[1] = π/2 ゆえ
(√m)*I[2m] → (√π)/2,
I[2m] = (2m-1)!!/(2m)!! = (2m)!/((2m)!!)^2 = {(2m)!/(m!)^2}*(1/4)^m = C[2m,m]*(1/4)^m,
III.
x=√y とおいて、
J[n] = (1/2)∫[0,∞) y^((n-1)/2) exp(-y) dy = (1/2)Γ((n+1)/2),
J[2m+1] = (1/2)Γ(m+1) = (1/2)m!,
J[2m] = {(2m-1)!!/(2^m)}J[0],
IV.
J[0] = (√π)/2,
583:１３２人目の素数さん
07/12/26 03:03:14
>>578
x+y+z=0
n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
を満たすx,y,zの段階で6通りしかないので
求める極限は0
584:１３２人目の素数さん
07/12/26 05:25:52
>>534
で思い出したけどますださんのサイトにあったこの式の変形がうまく出来ないんですが。。
C(n,1)/1 - C(n,2)/2 + C(n,3)/3 - C(n,4)/4 + … + (-1)^(n-1)C(n,n)/n
= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C(n,r)/r
= Σ[r=1,n]1/r=1+1/2+1/3+..1/n=H(n)
585:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/26 10:23:55
>>583
あー，正解ですなあ．拡張したときの条件変え忘れてました．
586:１３２人目の素数さん
07/12/26 11:06:48
>>584
それ，式が違いますよ．
Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n
です．
587:１３２人目の素数さん
07/12/26 11:07:56
>>585
どんまい
588:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/26 11:08:24
名前忘れてました．>>586は私です．ちなみに>>584て私じゃなく投稿問題に出されてた問題だったような…．
589:１３２人目の素数さん
07/12/26 11:18:20
>>586
Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n は出来たのですが
>>588
裏技
URLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)
■13．調和数列和
【13-1】
C[n,1]/1 - C[n,2]/2 + C[n,3]/3 - C[n,4]/4 + … + (-1)^(n-1)C[n,n]/n
= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C[n,r]/r
= Σ[r=1,n]1/r
の方です。
590:１３２人目の素数さん
07/12/26 12:42:46
(x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割って積分。
591:１３２人目の素数さん
07/12/26 14:41:32
>>590
やってみました。
x^n=(x-1+1)^n =Σ[k=0,n] (x-1)^k *C(n,k)=1+Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
x^n-1=Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
両辺をx-1で割って
1+x+x^2+...+x^(n-1)=Σ[k=1,n] (x-1)^(k-1) *C(n,k)
両辺を積分して
c+x+x^2/2+...+x^n/n =Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)/k
x=1 を代入すると -c=H(n)
x=0 を代入して H(n)=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) *C(n,k)/k
592:１３２人目の素数さん
07/12/26 15:18:31
aを実数とする。
(ⅰ) (-1)a=-a (ⅱ) a0=0a=0
を証明せよ。
593:１３２人目の素数さん
07/12/26 15:28:43
>>592
だからさ、そういう問題は他でやれ、な。
594:１３２人目の素数さん
07/12/26 15:31:44
>>592 東大ｺﾝﾌﾟの馬鹿大生乙
595:１３２人目の素数さん
07/12/26 18:19:59
>>585
原題お願いします
596:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/26 18:55:31
>>595
p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す．
x+y+z=0
|x|≦n，|y|≦n，|z|≦n
|x-p|≦n，|y-q|≦n，|z-r|≦n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．
たぶんこれでいいはずです．
597:１３２人目の素数さん
07/12/26 21:05:25
次の和を簡単にせよ。
(1)Σ[r=0~n]{C[n,r]/(r+2)}
(2)Σ[r=1~n]{C[n,r]/r}
598:１３２人目の素数さん
07/12/26 21:09:54
sinπ+sin(π/2)+sin(π/4)+…+sin(π/2^(n-1))+…=?
599:１３２人目の素数さん
07/12/26 22:45:53
>>597
(1) x(1+x)^n を二項展開して両辺をx=0～1で定積分すれば
(1 + n*2^(n+1))/((n+1)(n+2))
(2) (x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割ってx=1～2で定積分すれば
Σ_[k=1,n](2^k-1)/k
600:１３２人目の素数さん
07/12/27 12:10:26
>>598
これ本当に求まるのか？
601:１３２人目の素数さん
07/12/27 12:16:57
(-1)*(-1)=1
を、納得できるように証明しなさい。
602:１３２人目の素数さん
07/12/27 12:29:01
>>601
(-1)(1+(-1))=(-1)*0=0
(-1)(1+(-1))=-1+(-1)(-1)
∴-1+(-1)(-1)=0
∴(-1)(-1)=1
603:ＺＥＵＳ
07/12/27 13:21:57
「音楽は感覚の数学であり、数学は理性の音楽である」
クラシックを聞きながら数学の問題を解くと良い。
604:１３２人目の素数さん
07/12/27 13:53:39
sin(π/180)は超越数か？
605:１３２人目の素数さん
07/12/27 13:56:17
他スレで聞け
606:１３２人目の素数さん
07/12/27 13:58:08
京大の出題方式をまねただけなのに…（´；ω；`）
答えはNOだとわかってるのに…
607:１３２人目の素数さん
07/12/27 14:03:08
スレタイ読んでから書き込め
超越数なんて高校で習うわけねえだろ
608:１３２人目の素数さん
07/12/27 14:17:29
ここの住民なら分かると思い省いただけですが
609:１３２人目の素数さん
07/12/27 14:30:23
何故このスレの住人はすぐ怒るんですか
短気は損気と言いますよ
610:１３２人目の素数さん
07/12/27 14:37:07
>>609
アホに付き合うほど暇じゃないんだよこっちは
611:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/27 15:52:24
pは素数とする．
(1) (p+1)^p-1はp^2で割り切れることを示せ．
(2) (p+1)^p-1がp^3で割り切れるようなpを全て求めよ．
612:１３２人目の素数さん
07/12/27 16:40:32
>>611
1(p+1)^p-1=∑n=1～p pCnp^n より、p^2 で割り切れる。
2 1のn=3～以降は全てp^3で割り切れる。∵nCp∈N
よって1項目+2項目=(1/2)p^2(p^2-p+2)がp^3で割り切れればいい。
(1/2)p^2(p^2-p+2)/p^3=(1/2)(p-1+2/p)∈Z
∴ p=2