07/11/04 05:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
2:１３２人目の素数さん
07/11/04 05:02:00
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
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★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:26:13
The conjecture, first noted by the ancient Greeks, asserts that among all closed containers in three dimensions that have two chambers with equal volume, a pair of round bubbles that meet at a flat face has the least total surface area.
4:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:32:58
ゴム板を引っ張ったときに蓄えられるポテンシャルエネルギーは？
バブルの形状は最小ポテンシャルエネルギーできまる。
5:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:36:40
２個のバブルを接触させると、総ポテンシャルエネルギーは変わる。
平面にバブルを接触させるとＰＥは０になる。
6:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:38:07
曲面のＰＥはｆｄＡ
7:１３２人目の素数さん
07/11/04 10:10:33
内圧がバブルの膜に均等にかかるので、膜の厚みは同じになるから、膜の体積が一定とすれば、
面積は最小になる。
8:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/04 10:57:05
pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(m,n)の組の個数をpを用いて表せ．
9:１３２人目の素数さん
07/11/04 11:27:39
前スレを使い切れよアホ
10:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
07/11/04 11:48:28
１０といえばジュード・ロウ
11:１３２人目の素数さん
07/11/07 17:19:43
前スレ1000到達あげ
12:１３２人目の素数さん
07/11/07 22:43:20
前スレ>>997 の残り問題↓
--------------------------------------------
a,b,cは素数で、次の3条件を満たす。
c＾b＋1 は a で割り切れる
a＾c＋1 は b で割り切れる
b＾a＋1 は c で割り切れる
これを満たす(a,b,c) の組を全て求めよ。
--------------------------------------------
13:１３２人目の素数さん
07/11/08 00:02:26
>>12
明らかに、a,b,cはどの二つをとっても異なる数である。
a,b,cの中で最小のものをaと置く。
明らかに、c^2b≡1 mod.a、c^b≡-1が成立し、c^(a-1)≡1 mod.aも成り立つ。
a,bの大小関係から、a-1はbを割り切らず、2bを割り切る事が分かる。
このため、a=2,3のいずれかが成立する。
a^c≡-1 mod.b、a^2c≡1 mod.b、a^(b-1)≡1 mod.bが成立する。
b,cは奇素数であるため、b-1とcは異なる数である。
また、a^x≡1 mod.bを満たす最小の自然数をmとおくこととする。
(1) b-1＜cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜c＜2cであることから、m=2が成立する。
ゆえに
(1-1) a=2の時
2^2=4≡1 mod.b 2＜bから、b=3が成立する。また、ここからc=5も導かれる。
(1-2) a=3の時
3^2=9≡1 mod.b 3＜bから、これを満たすbは存在しない。
14:１３２人目の素数さん
07/11/08 00:02:58
(2) c＜b-1＜2cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜2cであることから、m=2が成立する。以下略
(3) c＜b-1=2cの時
b^a=(2c+1)^a≡1 mod.cであることから、条件式に矛盾する。従ってｒｙ
(4) 2c＜b-1の時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることから、m=2または2cが成立する。
m=2の時は略。
m=2cの時は、b-1=2cnなる自然数nが存在する。このとき
b^a=(2cn+1)^a≡1 mod.cとなり、条件式に矛盾する。
以上より
a=2,b=3,c=5
15:１３２人目の素数さん
07/11/08 11:40:38
場合分けのしかたを変えてみるというのは思いつかんか
16:１３２人目の素数さん
07/11/08 13:17:17
{1, 2, 3, ..., 2n-1, 2n} の2n個の自然数をｎ個ずつに分けて
下記のように一方は大きい順に、もう一方は小さい順に並べるとする。
a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n
b_1 < b_2 < b_3 < ... < b_n
このときa_i(i=1,2...n)の選び方によらず
|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2.
となることを証明せよ。
17:１３２人目の素数さん
07/11/08 16:25:05
kを適当なn以下の正整数として、a_kとb_kがともにn以下となったとする。
このとき条件の不等式より、b_1～b_kとa_k～a_nのk+1個の正整数はすべてn以下となることになり矛盾
同様にa_kとb_kがともにn+1以上となったとしても矛盾が生じるので
a_kとb_kは一方がn以下でもう一方がn+1以上。
したがって証明すべき式について
(左辺)=(n+1～2nの和)-(1～nの和)
となり、この値は確かにn^2になる。
18:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:34:50
,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> nを自然数とする。p[1],p[2],…,p[n]を異なる素数とするとき、
ヾ;;l~ヽ -{ √p[1] + √p[2] + … + √p[n]が無理数であることを示せ。
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ /
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
19:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:37:09
,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ 自然数a,b,cはa^2-2b^2=c^2をみたしている。
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> (a + b√2)(3 - 2√2)^n = X[n] + Y[n]√2
ヾ;;l~ヽ -{ としたとき X[n]≦3c , Y[n]≦2c を同時にみたす自然数nが存在することを示せ。
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ /
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
20:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:41:30
,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ 自然数のうち，各位の数に少なくとも1が1つでも含まれているものを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ (1) mを正の整数とする．a[n]=10^(m-1)を満たすnをmで表せ．
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> (2) S[n],T[n]を以下のように定める．
ヾ;;l~ヽ -{ S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
/＼__,`,ｰ′ T[n]=1+2+3+…+a[n]
／ヽヽ /､,lヽ / n→∞のときのS[n]/T[n]の極限値を求めよ．
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
21:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:50:24
,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ nを正の整数とし、k=1,2,…,n において数列{a[n]}、{b[n]} を
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> a[k]=1/<n,k> 、b[k]=2^(k-n)
ヾ;;l~ヽ -{ で定める。ただし、<n,k>は二項係数を表す。このとき、
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ / Σ[k=1,n](a[k]-b[k])/k
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | / の値を求めよ。
l ∨ ヽ ヽ l l /
22:１３２人目の素数さん
07/11/10 19:31:14
>18
項数nについての帰納法による。
n=1 のとき
√p[1] を根とする、Z上既約な整多項式は x^2 -p[1],
2次だから無理数。
n=2 のとき
√p[1] + √p[2] を根とする、Z上既約な整多項式は x^4 -2(p[1]+p[2])x^2 +(p[1]-p[2])^2,
4次だから無理数。
n>2 のとき
√p[1] + √p[2] + ･･･ + √p[n-1] = a とおく。
aを根とする、Z上既約な整多項式をf(x)とする。係数の最大公約数は1とする。
帰納法の仮定より、f(x)は2次以上。
f(x+y)f(x-y) は x,yの整多項式で かつ yの偶函数だから、F(x,y^2) と書ける。
g(x) = F(x, p[n]) は a+√p[n] を根とする4次以上の整多項式。
従って、p[k]が互いに素であることを用いて g(x)がZ上既約であることを示せばよい。
23:１３２人目の素数さん
07/11/10 21:17:12
>19
与式と共軛な式は
(a-b√2)(3+2√2)^n = X[n] -Y[n]√2,
辺々掛けると
a^2 -2b^2 = X[n]^2 -2Y[n]^2,
c^2 = X[n]^2 - 2Y[n]^2,
点(X[n], Y[n]) は双曲線H: x^2 -2y^2 =c^2 上にある。
漸化式
X[n+1] = 3X[n] -4Y[n],
Y[n+1] = -2X[n] +3Y[n],
H上の各点を、線分(0,0)－(X[n],Y[n]) の勾配Mで区別しよう。（parametrize）
M[n] = Y[n] / X[n],
M[n+1] = (-2+3M[n])/(3-4M[n]) = f(M[n]),
また、点(X[n],Y[n]) は上記の双曲線上にあるから、|M| < 1/√2,
f(t) = (-2+3t)/(3-4t),
|t| < 1/√2 ⇒ f(t) = t - 2(1-2t^2)/(3-4t) < t,
∴ M[n] はnについて単調減少。
M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] をみたす n0 がある筈。
f(t) ≦ 0 ≦ t ⇒ -2/3 ≦ f(t) ≦ 0 ≦ t ≦ 2/3,
なので、-2/3 ≦ M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] ≦ 2/3,
、-2/3 ≦ Y[n0+1]/X[n0+1] ≦ 0 ≦ Y[n0]/X[n0] ≦ 2/3,
一方、(X[n],Y[n])は双曲線上にあるから
X[n]^2 -2Y[n]^2 = c^2,
これらより n0, n0+1 について求める式が成立つ。
（ |Y[n]| ≦ 2c ぢゃね？）
24:１３２人目の素数さん
07/11/11 00:53:49
>>21
URLﾘﾝｸ(proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp)
より，0
25:１３２人目の素数さん
07/11/11 01:20:03
xyz空間内に点P(2,2,1)を取る。
原点Oと点Pを両方とも内部に含む、直径の長さが3であるような球の存在しうる範囲をＡとしたとき
Ａの体積を求めよ。
26:１３２人目の素数さん
07/11/11 01:23:21
半径の長さが3、でした
27:１３２人目の素数さん
07/11/11 04:19:24
>21
A[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･C[n,k]}, B[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･2^(n-k)} とおく。
A[1] - B[1] = 1 -1 = 0,
2A[n] - A[n-1] = (2/n) + Σ[k=1,n-1] {2/C[n,k] - 1/C[n-1,k]}/k
= (2/n) + (1/n)Σ[k=1,n-1] {1/C[n-1,k-1] - 1/C[n-1,k]}
= (2/n) + (1/n){1/C[n-1,0] - 1/C[n-1,n-1]}
= 2/n,
2B[n] - B[n-1] = 2/n,
初期値と漸化式が一致する。よって
A[n] - B[n] =0,
28:１３２人目の素数さん
07/11/11 04:29:12
>24
見えないのはスルー
29:１３２人目の素数さん
07/11/11 05:19:58
>25
本問はOPのまわりに軸対称なので、OPをx'軸 とし、x'軸からの距離をρとする。
球の中心Cの存在領域は OC≦3 かつ CP≦3 の点Cで、
0≦x'≦3/2, ρ ≦ √{9 -(3-x')^2},
3/2≦x'≦3, ρ ≦ √(9 -x'^2),
したがって、Ａの境界面は
-3≦x'≦0, ρ(x') = √{36 -(3-x')^2},
0≦x'≦3, ρ(x') = (3/2)√3 + √{9 -(x'-3/2)^2},
3≦x'≦6, ρ(x') = √{36 -(3+x')^2},
よって
V(A) = π∫[-3,6] ρ(x')^2 dx'
= 45π + {65.25 + (9/2)(√3)π}π + 45π
= {155.25 + (9/2)(√3)π}π
= 179.736291･･･π,
30:１３２人目の素数さん
07/11/11 05:50:50
間違えた･･･
3≦x'≦6, ρ(x') = √(36 -x'^2),
31:23
07/11/11 06:51:13
>19 (補足)
M[n] はnについて単調減少であるが、もう少し詳しく見ると,
また f(t) = 1/{4(3-4t)} -3/4 は下に凸ゆえ
M[n+1]/M[n] = f(M[n])/M[n] < f(M[0])/M[0] = f(b/a)/(b/a) = r,
b/a < 1/√2 より r < 1,
M[n+1] ≦ M[0]*r^n,
∴ M[n] は（遅くとも）指数函数的に0に近づく。
∴ M[n0] < 2/3, M[n0+1] ≦0 を満たす n0 が存在する。
32:24
07/11/11 13:44:35
>>28
すまん。
>>21の問題は，
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)
の「不等式スレ2.html」の>>58の【問題D】(7)で既出の問題で，
解答はそのスレの494に挙がっていると言いたかったんだ。
元はハンガリー数学コンテストの問題のようです。
33:１３２人目の素数さん
07/11/11 19:19:42
>31
等比数列
L[n] = (X[n]+Y[n]√2)/(X[n]-Y[n]√2) = L[0]{(3-2√2)/(3+2√2)}^n,
使えば簡単ぢゃね?
公比 (3-2√2)/(3+2√2), 初項 L[0] = (a+b√2)/(a-b√2) >1 だお.
34:Zenw(トリップ忘れたー)
07/11/11 22:06:54
S[n]=1+a*cos(t)+a^2*cos(2*t)+…+a^k*cos(k*t)+…+a^n*cos(n*t)
とします。このときいかなるa,tをとっても limit[n,∞](S[n])=1/2 とは成りえないということを示して下さいな。
35:１３２人目の素数さん
07/11/12 03:31:19
>34
a･exp(it) = r (a≧0) とおく。
0≦a<1 のとき |r|<1,
Σ[k=0,n] r^k = [1-r^(n+1)]/(1-r) → 1/(1-r) より S[n] → Re{1/(1-r)} (n→∞)
ところで Re{1/(1-r)} -1/2 = {1/(1-r) + 1/(1-r~) -1}/2 = (1-|r|^2)/(2|1-r|^2),
Re{1/(1-r)} = 1/2 ⇔ |r|=1, r≠1 より 不適。
a=1 のとき
t＝2mπ のとき S[n] = n+1 で発散。
t≠2mπ のとき S[n] = {sin((n+1/2)t) - sin(-t/2)}/{2sin(t/2)}, により振動。
a> 1 のとき S[n]の各項はtの値の如何によらず発散するので、S[n]も発散。
36:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/12 22:27:43
半径1の球面S上に3点A，B，Cがあるとき，AP*BP*CP≧2√2をみたす点PをS上にとれることを示せ．
37:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:35:27
>>36
球の中心をOとし、Oを通り線分OA,OBの両方と垂直である直線(の一つ)をｌとする。
ｌと球面の交点二つをQ,Rとしたとき、線分AQ,AR,BQ,BRの長さは全て√2であり
線分QRは球の直径で長さは2となる。
(a)CがQまたはRと一致する場合
一致しないほうの点をPとすれば、AP*BP*CP=4となり題意を満たす。
(b)CがQともRとも一致しない場合
三角形CQRは線分QRを斜辺とする直角三角形なので、CQ^2+CR^2=QR^2=4
よってCQ^2とCR^2の少なくとも一方は2以上になるので、
Q,Rの内、Cとの距離の二乗が2以上になる方の点をPとすれば
CP≧√2よりAP*BP*CP≧2√2となり題意を満たす。
以上から条件を満たす点PをS上から取れることが示された。
38:１３２人目の素数さん
07/11/13 16:08:56
Σ[n=0,∞]Σ[k=0,∞]{1/2^(kn)}を求めよ
39:１３２人目の素数さん
07/11/13 21:41:31
テスト
40:１３２人目の素数さん
07/11/13 22:35:04
pが素数、nが2以上の自然数であるとき
(n^p-n)/p
が自然数となることを示せ。
41:１３２人目の素数さん
07/11/13 22:51:23
>>40
フェルマーの小定理を証明して終了
そんな問題が東大ででるわけないだろ
42:１３２人目の素数さん
07/11/13 23:18:44
>>41
俺は二項展開と帰納法で解いた。
でもそっちが普通だな。
スレ汚しスマソ。。
43:１３２人目の素数さん
07/11/16 23:44:46
>>38
Σ[n=1,∞) Σ[k=1,∞) (1/2)^(kn) = ∑[j=1,∞) #(Div_j) * (1/2)^j,
ここに Div_j = {i∈N; i|j} ････ jの約数全体の集合。
とりあえず小数点以下1300桁まで･･･ (n≧4320)
∑[j=1,n] #(Div_j) * (1/2)^j =
1.6066951524 1529176378 3301523190 9245804805 7967150575 6435778079 5536914184 2074348669 0565711801 6701555758
9704542906 3154413100 0905473205 0088619136 3162159598 9057099678 0731760334 6256346194 4121692714 7114387587
7005193100 8956417580 9164849488 0166136371 5771752977 8403281088 9796524656 7784762221 2339864747 1544551530
1807174540 3371224954 1188738074 1750277266 1691995085 5065362156 9266825419 8671854867 7094187723 2912300105
4754429354 9570799498 2855449593 7721328133 7880503447 1937248821 1788014451 2910386486 1412790295 7644018473
4626025794 6556679421 1866869210 3208760055 3859969659 4226232037 8135463745 9768663965 1836864973 5187266977
8689793827 7043447647 5719866503 4980184709 9711403207 2724203387 6544745083 6560451452 4850766198 8607647520
1723280505 7468943598 0233105785 9906645521 0311859824 2705010154 8067354670 5382305016 9058073602 1366065471
3624379559 3656218199 6499910622 9274370686 2401518286 4421747541 1749422319 3218244976 4238732222 6326994856
5866107727 8107675247 2383656368 9670654851 5143593606 6265493806 5480371471 9302294253 0536720456 8041283791
4863140938 7888919313 8579925461 1986244990 5318227203 9452532438 0805640846 7219399728 9902924487 2319144891
3588548279 0323024440 6785717022 1106725811 6469278702 6402061686 5214966881 5435415472 4698404504 3978572491
2018729197 1228065579 8250658840 6885877838 4655293838 8939978391 7703884034 9801837007 8873502484 8662923954
････
44:１３２人目の素数さん
07/11/19 22:20:52
>38
だからそんな問題出すなと何度言えば…… 後(ry
45:１３２人目の素数さん
07/11/20 09:30:00
>>44
一度も言ってないだろｗ
46:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 15:28:56
xy平面上の楕円Ｃ：x^2/4+y^2=1を，原点のまわりに反時計まわりに回転して得られる楕円をＤとする．ただし，回転角度は鋭角とする．
ＣとＤの第１象限における交点をPとし，PにおけるＣとＤの接線をそれぞれlとmとする．lとmのなす鋭角の最大値をθとするとき，tanθの値を求めよ．
47:１３２人目の素数さん
07/11/20 18:43:24
>>46
24/7
48:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 20:56:48
御名答
49:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:04:13
MASUDAも最近調子悪いな
50:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 22:07:19
サイトの予想問題作成でもう頭使いきりましたからねぇ．というより良問をポンポンは作れません．>>8なんか見向きもされてませんが．
51:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:14:16
ある条件内で、並んで品物を購入する時、それを購入できる確率を教えて下さい。
大人気商品の５個カバンがあります。
カバンの名前はそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。
カバンの人気順はＡ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ
それを求めて５０人が並んでいます。
購入方法は、抽選方式。
１番～５０番と書いてあるクジを、並んだ先着順にＢＯＸから順々に引いていきます。
１番のクジを引き当てた人は、１番目にカバンを購入できます。
２番のクジを引き当てた人は、２番目にカバンを購入できます・・・
６番以降のクジを引いてもカバンは買えませんが、当然優先的に他の商品を買うことができます。
このような条件の中・・・・
① １人で並んで５番目までのクジを引ける確率は？
② ２人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
③ ２人で並んで、２人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
④ ３人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑤ ３人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑥ ３人で並んで、３人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑦ ４人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑧ ４人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑨ ４人で並んで、その内３人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑩ ４人で並んで、４人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
長いですが、どなたか教えて下さいm(_ _)m
52:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:33:28
>>51
スレ違いだドアホ
質問スレに逝け
53:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 23:20:08
(1) x＞0のとき，√x＞logxを示せ．
(2) nは正の整数とする．{3^(n!)-1}/(2^m)が整数になるような整数mの最大値をMとする．
lim[n→∞]M/nを求めよ．
54:１３２人目の素数さん
07/11/21 00:58:02
>>8は前にp=13の場合で出されていた気が。
55:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 01:10:26
>>54
確かに私が13でだいぶ前に出しました．まあそれを一般化に改変してみただけですからね．
56:１３２人目の素数さん
07/11/21 01:15:57
>>55
前解いたときはひたすらしらみつぶす感じだったから、一般化のいい方法が思いつかない。
答えはちょうど半分の個数だと思うけど。
57:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:19:28
>>8
>>50
意味不明
58:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:22:08
>>57
国語力ないボクチンは帰って寝てなってｗ
59:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:23:06
また名無しになったか
60:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:54:39
やっぱMASUDAが来るとどっかからかアンチがわいて荒れるなｗ
問題アップはコテハンしない方が無難
61:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:57:58
間違いの指摘がなんでアンチになるんだ
62:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:01:49
自分(MASUDA)に対する間違いの指摘はアンチによる荒らしだから
63:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:06:01
>>60
問題がおかしいことにコテハンかどうかは関係ないが
なんでコテハンであることに結び付けようとするの？
64:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:41:57
粘着だからさ…
65:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:50:44
どこが？
66:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:56:44
ー-= 、 ,,...、 ／:;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
,::-''￣`:Y,,,、Y::::::::::::::::::∧:::::::i;:::::::::::::::i;::::::::::::::::::::::::::＼
/ ...:::::::::i" Y:::/::::::::::::/ ヽ;::::iヽ;;:::::::::::!;::::::::::i::::::::..i, ';
.i ..:;::::::::;;;/ `'='":/:::::::;i::::/ ヽ:::!,ヽ;;:::::::::::i;:::::::::|;::::::::|:::::::!,
.|::::;i:::::;// |::::::!:::::::;/::/ ヽ;::i ＼;;::::::!ヽ;:::::|;;:::::::|::::::::|
. i;:;|::;/ ! |::::::|::::::;/!::i ヽ:!, ＼;:::::|ヽ:::::|!;;::::::|:::::::|
＼/ ' !:::::;|::::;/ |:| ヽ! ヽ;::| ヽ::| 'i;:::::|:::::::| 等面四面体は東大生には大事だから覚えとかないといけないんだかんねっ
|::i::;;!;;:::i ｀|!' -ｰ ,,＿ '!, _,,>::!-'!:|´ |::::|::::::|
ﾉ1;;!;!;;;;! ! ,-'',´o::,` ` `=''o:',ヽ、! i:::i:::;::|
|/`!r-!, ./ i::::::::::::i i:::::::::::i. `, !::i;;;;i;:|
' | `)i ' ヽニノ ヽニノ ! /|!`i/V
ヽ `,} .::::::::.. .::::::.. !) /
,,、 `Ti :::::::: ' :::::::::: i,,=i7
ヽ ヽ Vヽ ｲ/ '
`, `, `_へ.、 rﾆｭ _,. t7 "
i ヽ ,-i':ヽ`''"ﾆi-ｰ .,,,,,,,. -t'´''''ﾌ⌒iヽ
,./-´｀'r-ｰ、r-' ヽ: ヾ´ ' ' ｀=/: :/ `、
! - '''ヽ=- } ヽ:.ヽ ／: :/ 'ヽ
} -'''｀Y |ヽ `:、`-ｰ、 ,.-': :／ _,,イ
>、-t-´` .ｲ: :'! ＼ `''+; ;'i ./: :／ _,.-'''´ /: :i
.|:.iゝ、 /i|: : :'!, ｀' ----┴-!--'ー-- ´ i /: : : |
|: Y |ﾉ:i: : : :! /⌒'- .,,/''ヽ| /: : : : :.!
67:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 09:39:58
>>60-61
指摘も何も，どこも間違ってませんが何か？
68:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 09:52:42
>>56
ちょうど半分とはどういうことですか？
69:１３２人目の素数さん
07/11/21 09:56:51
>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。
70:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 10:02:35
>>69
ですから，>>8やら>>50やらに間違いがあるというなら指摘してくださいと言ってるんですよ．
71:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:08:36
>>69
益田にとっちゃあ数学は道楽でしかないっぽいもんね。数学を専門にしてないしもう予備校講師じゃないし。
現役時のセンター国語が80台とかサイトで言ってたから国語力のなさはお墨付きｗ
72:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:17:43
誰々の国語力がどうだとか言ってるお前ら低レベルすぎwww
文系のおれから見たらお前ら全員国語力は馬鹿www
73:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:31:43
>整数m,nが存在するような(m,n)の組
74:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 10:36:43
pを3以上の素数とする．あっ，それは間違えてますね，見落としてました…．以下訂正
a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．
75:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 11:06:05
>>74
なんか間に文章入って変なことに…再度
pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．
76:１３２人目の素数さん
07/11/21 11:22:27
>>72
>国語力は馬鹿
?
77:１３２人目の素数さん
07/11/21 12:44:38
>>76
文系電波君の相手するなって
78:１３２人目の素数さん
07/11/21 16:23:10
>>75
x-1,x-2,…,x-(p-1)から
重複を許して2つ選ぶ方法の数と同数で
p(p-1)/2個。
79:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 17:42:33
>>78
不正解です
80:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 17:44:17
>>78
失敬、見間違えました，正解です．
81:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 19:00:54
x≧π/2をみたす実数xについての関数f(x)を
f(x)=∫[π/2,x]sint/t dt
とおく．このとき，f(x)≦f(π)を示せ．
82:１３２人目の素数さん
07/11/21 20:48:57
>>81
f'(x)=sinx/xであることから、f(x)はx=(2k-1)π（kは正整数）で極大値を取る。
したがってf{(2k-1)π}≧f{(2k+1)π}が示されれば、題意は示される。
つまり∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0を示せばよい。
∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/t dt
≦∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/(t-π) dt
＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[(2k-1)π,2kπ]sin(s+π)/s ds (t-π=sとした)
＝0
よって∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0が言えるのでf(x)はx=πで最大値を取る。
∴f(x)≦f(π)
83:Zenw ◆nQAc.NZenw
07/11/21 21:37:14
四面体OABCがあります。OA=a,OB=b,OC=cだし、∠AOB=α,∠BOC=β,∠COA=γ なんです。
このときの四面体OABCの体積をV1とします。
さて、四面体OA'B'C'があります。OA'=OA,OB'=OB,OC'=OCなんですが、∠AOB=β,∠BOC=γ,∠COA=αなんです。
このときの四面体OA'B'C'の体積をV2とします。
このときV1/V2を求めて下さい。
も し く は
四面体OABCがあります。OA=1,OB=2,OC=4,で↑OA.↑OB=1, ↑OB.↑OC=2, ↑OC.↑OA=-1です。
このときの四面体の体積を求めて下さい。
まいどまいど、しょーもない問題ですみません。
84:１３２人目の素数さん
07/11/21 21:59:36
>53 (1)
x≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
log(y) = ∫[1,y] (1/y')dy' ≦ ∫[1,y] dy' = y-1,
y = (1/e)√x とおくと
√x> (e/2)log(x) > log(x),
85:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 22:13:23
>>82
御名答
86:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 22:58:09
>>84
御名答．そういう解き方されるとは思ってませんでしたが．
ちなみに(1)は(2)の部分的な誘導です．
87:１３２人目の素数さん
07/11/22 16:27:12
>>53
(2)
n≧2ではMの値は｢(n!/2^kが整数となる整数kの最大値)+2｣
になって、求める極限値はたぶん1なんだろうけど、不等式評価の使いどころがわからん
88:１３２人目の素数さん
07/11/22 17:57:16
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
89:１３２人目の素数さん
07/11/22 17:58:31
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
90:１３２人目の素数さん
07/11/22 20:34:56
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
91:88 ◆D24s65nhoU
07/11/22 20:53:58
>>90
おい、リフレインするな偽者
92:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 21:22:50
a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t
93:１３２人目の素数さん
07/11/22 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et) となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。
問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。
94:１３２人目の素数さん
07/11/22 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,
95:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 23:21:40
>>93-94
御名答
96:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 23:27:07
xy平面上にある△ABCがあり，形を変えずに以下の条件を満たしながら動く．
(i) AB=1
(ii) 点Aはx軸上を(0,0)から(1,0)へ動く
(iii) 点Bはy軸上を(0,1)から(0,0)へ動く
このとき，点Cがある定点で動かないような△ABCは存在しないことを示せ．
97:１３２人目の素数さん
07/11/22 23:43:21
益田さん、自作模試のアーカイブ作ってくださいな。
解答つきで。
98: ◆nQAc.NZenw
07/11/23 00:26:21
問題を変えてみました。てか、こっち出そうとしてたら間違えたんですけどね。
四面体OABCに対してOA=1,OB=2,OC=4で、cos∠AOB=1/2、cos∠BOC=x、cos∠COA=y のとき、
この四面体の体積が１となるｘ、ｙの関係式を求めよう。
99:１３２人目の素数さん
07/11/23 11:37:59
>96
パラメータtをを次のようにおく。
A=(sin(t),0), B=(0,cos(t)), 0≦t≦π/2
△ABC上の各点の座標(x,y)は
x(t) = x(0)cos(t) + {1-y(0)}sin(t),
y(t) = x(0)sin(t) + y(0)cos(t),
∴ これらを一定にすることは不可能。
100:１３２人目の素数さん
07/11/23 12:59:03
>98
OA方向をy軸、△OABをxy-平面とする。
OA↑=(0,1,0), OB↑=(√3,1,0), OC↑=(X,Y,Z)
とおく。題意により
X√3 +Y = OB↑･OC↑ = 8x,
X = (8x-4y)/√3,
Y = OA↑･OC↑ = 4y,
Z = 3V/(△OAB) = 6V/{OA･OB･sin(∠AOB)} = (6/√3)V,
これらを
X^2 +Y^2 +Z^2 = OC^2 = 4^2,
に代入しる.
101:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/23 17:55:20
x,y,zは正の実数とする．
√x+√y+√z≦k√(2x+y+z)
が常に成り立つような実数kの最小値を求めよ．
102:１３２人目の素数さん
07/11/23 19:29:17
>>101
コーシーシュワルツを使って、√10/2
103:triclinic
07/11/24 02:13:21
>98
|OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, cos(∠BOC)=x, cos(∠COA)=y, cos(∠AOB)=z とおくと
V = (1/6)abc√(1-x^2 -y^2 -z^2 +2xyz),
>101
(5/2)(2x+y+z) - (√x+√y+√z)^2 = 4x +(3/2)y +(3/2)z -2√(xy) -2√(yz) -2√(zx)
= {2x +y/2 -2√(xy)} + {2x +z/2 -2√(xz)} + {y +z -2√(yz)}
= (1/2)(2√x -√y)^2 + (1/2)(2√x -√z)^2 + (√y -√z)^2 ≧0,
等号成立は 4x=y=z.
104:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 03:55:57
座標がすべて整数であり，かつすべての座標の和が奇数となる点をＫ点とよぶ．
xyz座標空間に一辺の長さが2の立方体があるとき，この立方体の内部にはＫ点が少なくとも1つ存在することを示せ．
105:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:11:35
>>104
半径1の球の内部にＫ点が少なくとも1つあることを示せばよい。
球の中心の座標を(a,b,c)とし、整数l,m,nが
l≦a＜l+1,m≦b＜m+1,n≦c＜n+1 を満たすようにする。
(Ⅰ)l+m+nが奇数のとき
球の内部に点(l,m,n),(l,m+1,n+1),(l+1,m,n+1),(l+1,m+1,n)のうち少なくとも1つが含まれる。
(Ⅱ)l+m+nが偶数のとき
球の内部に点(l+1,m,n),(l,m+1,n),(l,m,n+1),(l+1,m+1,n+1)のうち少なくとも1つが含まれる。
したがって一辺の長さが2の任意の立方体に対して、その立方体に内接する半径1の球がＫ点を含むので、題意は示された。
106:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 11:28:12
素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}
ちょっと前に作った失敗作です(極めて不親切な問題)．まあこーゆーのがお好きな方はどうぞ．
107:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 11:29:32
>>106を訂正
素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}/6
108:１３２人目の素数さん
07/11/24 21:24:17
>>107
うまいこと方針が立たないけど、n=1,2は明らかとして
5以上の素数の逆数の総和を、6で割った余りが±1の整数の逆数の総和で上から押さえて
log表示に持ち込むんかね？
109:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 01:50:11
>>108
その通りです．
110:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 01:50:53
nは正整数とする．1からnまでの整数が書かれたカードが2枚ずつ，計2n枚あり，これらをすべて用いて2枚ずつの組をつくったとき，すべての組で以下の条件をみたすものができる確率をP[n]とする．
条件『組になったカードに書かれた数a，bについて，|a-b|≦1』
このとき，
lim[n→∞]n(P[n])^(1/n)
を求めよ．
111:１３２人目の素数さん
07/11/25 10:08:17
215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/25(日) 09:04:09
n≧k≧2における自然数kについて、9^kと9^(k－1)の桁数が等しいときのkの個数をa_nで表す。
lim[n→∞]a_n/nを求めろ。
112:１３２人目の素数さん
07/11/25 10:55:15
>>111
log{10}9
113:１３２人目の素数さん
07/11/25 11:12:59
>>112
まちがえてるよ
114:１３２人目の素数さん
07/11/25 11:25:30
>>111
これ、神戸大学の問題そのまんまだよ
115:112
07/11/25 11:40:25
間違えた
1-log{10}9だな
116:１３２人目の素数さん
07/11/25 17:26:21
>107
p[1] = 2,
p[2] = 3,
p[2k+1] ≧ 6k-1,
p[2k+2] ≦ 6k+1,
1/p[2k+1] + 1/p[2k+2] ≦ 1/(6k-1) + 1/(6k+1)
= 12k/(36k^2 -1)
≦ 12k/(36k^2 -k)
= (1/3){1/(k -1/36)}
< (1/3)∫[k-1/2-1/36, k+1/2-1/36] (1/x)dx,
n=2m+1 または n=2m+2 とすると
(左辺) ≦ 1/2 + 1/3 + Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
< 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, m+1/2 -1/36] (1/x)dx
≦ 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, n/2 -1/36] (1/x)dx
= 5/6 + (1/3)log{ (n/2 -1/36)/(1/2 -1/36)}
= 5/6 + (1/3)log{C(n-1/18)}, C=18/17,
117:116
07/11/25 17:43:42
>116 を訂正
p[2k+2] ≧ 6k+1,
だった… ｽﾏｿ
ついでにCも改良…
Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
= 1/5 + 1/7 + Σ[k=2,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
< 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, m+1/2] (1/x)dx
≦ 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, n/2] (1/x)dx
= 1/5 + 1/7 + (1/3)log{(n/2)/(3/2 -1/72)}
= (1/3)log(Cn)
< (1/3)log(n),
C = exp(3(1/5 +1/7))/(3 -1/36) = 0.941069327… <1,
118:１３２人目の素数さん
07/11/25 19:13:53
>110
(k-1,k) と (k,k+1) とは共存しない。 （← k-1以下のカード、k+1以上のカードが何枚残るか考える.)
ということは、
(k,k) か (k,k+1) 2組
のいずれかということ。
119:１３２人目の素数さん
07/11/25 20:36:51
>>110
2n枚を2枚ずつn組に分ける場合の数をA(n)、その中で条件を満たすものの数をB(n)とすると
A(1)=B(1)=1,A(2)=B(2)=2
A(n+2)=(n+1)*A(n+1)+A(n),B(n+2)=B(n+1)+B(n)
が成り立つ。
こっから先はわからん。(√5+1)/2e とか？
120:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 20:40:44
>>118
nに具体的値が与えられていたらそのやり方でもいけますが，一般化されたこの問題ではかなりきついかと思います．
121:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:20:08
>>110について
P[n+2]とP[n+1],P[n]の関係式を出すと見通しがよくなります．
122:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:21:02
平面上に異なる5つの円がある．
半径2の円C[0]
半径1の円C[1]
半径pの円C[2]
半径qの円C[3]
半径rの円C[4]
この5つの円は以下の条件を満たす．
(条件1)C[1]はC[0]に内接する．
(条件2)C[2],C[3],C[4]はC[0]に内接かつC[1]に外接する．
(条件3)C[3]はC[2],C[4]に外接する．
(1) qをp,rを用いて表せ．
(2) p+rの最大値を求めよ．
123:１３２人目の素数さん
07/11/26 18:37:42
>>120
>>121
意味不明
124:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:47:37
>>123
どのあたりが意味不明と？
125:１３２人目の素数さん
07/11/26 18:58:51
>>124
だからいちいち日本語読めない奴の相手をするなと何度も言ってんだろが
いい加減スルーってもんを学習しろ
126:１３２人目の素数さん
07/11/26 19:19:40
>>121
P[n+2]=P[n+1]/(2n+3)+2P[n]/(4n^2+7n+3)
となったんだけど、この漸化式解けるの？
127:１３２人目の素数さん
07/11/26 21:15:23
>>122
円Ｃ[k]の中心をO[k]とし、円Ｃ[0]とＣ[1]の接点をＴとする。
∠O[1]ＴO[3]=αとして3*tanα=tとおく。反転を用いると
q=8/(t^2+8)、p,r=8/{(t±2)^2+8} となる。
(1)2/q=1/p+1/r-1を整理。
(2)t^2=8√3-12のときに最大値(√3+1)/2を得る。
受験では余弦定理からソディを導いてひたすら計算になりそうだけどムズすぎじゃね？
128:１３２人目の素数さん
07/11/26 22:57:07
>126
P[n] = Q[n]/{(2n-1)!!} を代入して
Q[n+2] = Q[n+1] + 2Q[n],
Q[n] = (1/3){2^(n-1)･(Q[1]+Q[2]) - (-1)^(n+1)･(Q[2]-2Q[1])} = (1/3){2^(n+1) - (-1)^(n+1)},
P[1]=P[2]=1, Q[1]=1, Q[2]=3.
129:128
07/11/27 01:26:37
>126
ぢゃないな……orz
130:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/27 02:08:24
>>126
解けますよ．
>>127
御名答．
座標平面持ち出せば計算量は増えますが，そこまで難しくはありませんよ．
131:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:04:06
ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾ｎ＋a１ｘ＾（ｎ-1）＋．．．＋aｎ｜とするとき、
｜ｘ｜≦１ で maxｆ（ｘ）≧（1/２）＾（ｎ-1） を示せ。
132:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:51:45
logW=-0.2556
W=?
さあおまいらに解けるか
133:１３２人目の素数さん
07/11/27 19:24:49
>>132
常用対数ならW=10^(-0.2556)
自然対数ならW=e^(-0.2556)
くだらん
134:１３２人目の素数さん
07/11/27 21:27:29
>>131
チェビシェフの定理そのまんま
135:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/27 21:30:17
nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
f[1](x)=1-|2x-1|
f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/n^2を求めよ．
136:Zeus（ゼウス）
07/11/27 21:46:03
「数列の最大・最小に関する問題を創り、解け」
「不等式と領域に関する問題を創り、解け」
「数列の連立漸化式に関する問題を創り、解け」
「空間内での点の軌跡に関する問題を創り、解け」
「ベクトルの線形計算に関する問題を創り、解け」
137:Zeus（ゼウス）
07/11/27 21:50:46
きみたち、数学オリンピックで金メダルとった人たちでしょう？
138:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:02:34
金メダルとった人間なんかこのスレどころか数学板にすらほとんどいないよ
いても１人か２人程度
139:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:40:10
>>137
予選Bランク止まりでした
140:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:49:31
>>136-137
自分の巣へ帰れ！
レスしてもらえないからって他スレに来るんじゃねぇ！
141:１３２人目の素数さん
07/11/27 23:13:22
>>139
お前すげえな
俺はCだったぜｗ
こんな俺でも旧帝数学科でやってけるんだよな
142:１３２人目の素数さん
07/11/27 23:43:51
>>135
最終行の分母はn^2ではなく2^nでは？
143:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 00:22:16
失礼，訂正しました
nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
f[1](x)=1-|2x-1|
f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/2^nを求めよ．
144:１３２人目の素数さん
07/11/28 09:30:17
重さｚグラムの立方体（縦１０ｃｍ・横１０ｃｍ・縦１０ｃｍ）がある。
その立方体の重さを、積分法で求めなさい。
（大学入試問題）
145:１３２人目の素数さん
07/11/28 10:13:38
>>138
そうか？
大学への数学では、毎年のように、灘高校から数学オリンピックで
金メダル取る人がいるけど。
146:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:00:35
>>145
はぁ？それとこのスレに金メダルがいるかいないかとどう関係あるんだ？
147:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:05:45
>>144
ゼウス持ってくんなカス
148:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:21:09
灘高校工作員乙ｗｗｗ
149:１３２人目の素数さん
07/11/28 16:35:19
{n(n+1)/4}^2＝n!
を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ
150:１３２人目の素数さん
07/11/28 16:47:32
すみません 間違いです↑ 正しくは
『{(n+1)/2}^ｎ＝n! を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ』
です。
151:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:01:28
>>143
細かい論証は省くと
x<0ではf[n](x)=x^3の解はx=-2^(n/2)
x≧1ではf[n](x)≦0＜x^3で解なし。
0≦x＜1ではf[n](x)=x^3はk/(2^n)≦x＜(k+1)/(2^n) (kは0≦k≦2^n-1)を満たす整数)
の2^n個の範囲にそれぞれ一つずつ解を持つ。
∴-2^(n/2)+Σ[k=0_2^n-1]k/(2^n)≦S[n]＜-2^(n/2)+Σ[k=1_2^n]k/(2^n)
よって-2^(-n/2)+(2^n-1)/2^(n+1)≦S[n]/(2^n)＜-2^(-n/2)+(2^n+1)/2^(n+1)
以上から求める極限値は1/2
152:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:02:45
>>145
意味不明
153:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:12:23
>>150
つn=1
154:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:12:31
>>150 n=1の時成り立つ。よって仮定は誤り。
155:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 17:54:58
>>151
御名答
156:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 18:01:16
各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈UかつBA∈Uとなる確率を求めよ．
157:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:02:18
>>110
答えまだー
158:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 18:02:26
また間違えました…訂正．
各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈VかつBA∈Vとなる確率を求めよ．
159:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:04:23
Ａ、Ｂ、Ｃの3人がそれぞれａ，ｂ，ｃ枚の白紙のカードを持っている。
（ａ，ｂ，ｃはすべて異なる自然数）これを初期状態と呼ぶことにする。
《3人の内、持っているカードが最も多い人が、残りの2人のうちどちらかに
自分の持っているカードを１枚渡す》・・・（※）
試行（※）をｎ回行ったとき
（1）初期状態と同じ状態になる確率を求めよ
（2）3人の持っているカードすべて（ａ＋ｂ＋ｃ枚）が元の所有者の手から
少なくとも一度は他に渡っている確率を求めよ。
160:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:13:58
>>159
枚数が同じになったらどうするんだ？
161:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:21:10
スマン
枚数が同じになっても、常に最高枚数の人がカードを配るという意味
例えばＡ、Ｂ、Ｃが3,3,2枚のカードを持っているとすると
ＡＢの両方が試行を行い、まとめて一回の試行と数える
162:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:30:11
>>157
つP[n]={2^(2n+1)+(-1)^n}/{3*(2n-1)!!}
あとは区分求積ででるはず
計算面倒だからあとは任せた
163:１３２人目の素数さん
07/11/29 01:45:59
誰か過去ログをhtml化してくれ
164:１３２人目の素数さん
07/11/29 02:30:21
>>163
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)
165:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/29 11:56:30
半径1の球面S上に4つの点A,B,C,Dがある．S上を点Pが動くとき，AP*BP*CP*DPの最大値をmとする．mの最小値を求めよ．
166:１３２人目の素数さん
07/11/29 22:46:43
>>158
どちらか少なくとも一方の積の成分に
3があるものの個数を求めて全体から引けばよい。
これは「縦に3つ1が並んでいる列がある要素」と「横に3つ1が並んでいる行がある要素」
の選び方の個数を求めればよいことになる。
↑の方針だと思うけど、確率の値がかなり汚くなるのは仕様？
167:１３２人目の素数さん
07/11/29 22:57:53
>>166
AB∈VかつBA∈Vだから条件それだけだと間違ってないか？
縦にも横にも1が並んでるやつを考える必要あるえ
168:166
07/11/29 23:22:53
>>167
いや、補集合の方をカウントしようとしてるから
ドモルガンの法則で「または」かなと。
169:１３２人目の素数さん
07/12/01 00:40:23
1 ：名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2007/11/29(木) 21:49:20.57 ID:KzHMp3d0O
俺＝コンビニ店員なｗ
まず自分好みのお客様が来たら
俺「温めますか？」
客「はい」
俺「お箸お付けしますか？」
客「はい」
俺「袋一緒でもよろしいですか？」
客「はい」
俺「ポイントカードお持ちですか？」
客「はい」
俺「僕と付き合って頂けますか？」
客「はい……え？」
俺「はい、って…言ったよね？」
客「…もぉ、しょうがないなぁ///」
俺「ｳﾋｮｰｗｗｗｗ」
170:１３２人目の素数さん
07/12/01 18:56:58
益田さんはいろいろな大学の予想模試を公開してますか
各大学の傾向教えて下さい
171:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/01 22:34:37
各大学の傾向…どの大学も一言ではとても説明しきれません．感覚的なものですから．あえて言い表すなら
東大：教育的
京大：発展的
といった感じですね．
172:１３２人目の素数さん
07/12/01 22:49:28
>>165
細かい論証は省くと
ABCDが正4面体のとき
m = 16/(3√3) ≒ 3.0792014356 7800407738 2126829343 8…
173:１３２人目の素数さん
07/12/02 01:38:50
>>172
答えがそうなることくらいはこのスレの住人なら誰でも分かる。
その論証が知りたい。
174:１３２人目の素数さん
07/12/02 02:57:00
益田さん。
お願いですから↓こういう表現はやめてもらえませんか。数学の専門訓練を受けた人間が見るとイライラするんです。
(x,y)のとりうる値の範囲をxy平面上に図示せよ．
175:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:01:07
じゃあどう表現するんですかー？
176:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:05:20
益田さんって数学の専門知識がないだけじゃなくて、日本語が不自由なんでしょうか？
数学科卒としてだけじゃなく、日本人としてイライラするんですけど。
s≧t≧1をみたすいかなる(s,t)についても，以下の不等式を示せ．
任意のf(x)についても
任意のa，bについても
3,3^2,3^3,3^4,…,3^100のうちで連続して3回同じ桁数
Xが6秒後まで動いたとき，k秒後(k=1,2,…,6)に放物線y=x^2上に点Xがあるようなkが少なくとも1つある確率を最大にするpを求めよ．
177:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:09:48
>>174
問題を解くと想定される人の99％はいらつかないと思うよ
178:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:19:51
>>177
論理が不自由だな。あんた。
179:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:33:57
安価間違えてるよ
180:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:35:52
>>174
おれはお前がどういう訓練を受けたかが気になるんだが。
181:１３２人目の素数さん
07/12/02 03:41:46
>>174
>>175
182:１３２人目の素数さん
07/12/02 04:03:11
>>174
何をいまさら…
183:１３２人目の素数さん
07/12/02 04:19:13
69:１３２人目の素数さん[]
2007/11/21(水) 09:56:51
>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。
こいつだな
184:１３２人目の素数さん
07/12/02 06:54:48
masudaのスレじゃないし、どうでもいい…
185:１３２人目の素数さん
07/12/02 09:52:05
>>174
>>176
いまさらだな。益田の国語力は前から言われてること
てか一部はおかしくないからお前が数学科ってのもあやしい
だいいちこのスレの問題じゃなく全部サイトの問題だろが
ならサイトの方に書き込んでこいやボケ
186:１３２人目の素数さん
07/12/02 09:56:45
あきらかに名無しのますだがいるぞｗ
187:１３２人目の素数さん
07/12/02 10:05:44
>専門的訓練を受けた
ここでそれは痛い台詞だなｗ
188:１３２人目の素数さん
07/12/02 10:14:56
>>186
日記見たらスケート狂MASUDAは今仙台にいるらしいよ
ここには来れんだろ
189:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 10:30:45
>>188
もう帰ってきてますよ．
>>176
問題文において修飾語が重なってしまう表現に関しては，私の国語力不足です．
「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
「３回同じ桁数になる～」の問題文は大数で用いられていた表現をそのまま転用させていただいたのですが…．
なお，指摘されている問題文はどうやらここの問題じゃなく全てサイトの問題について指摘されているようですので，ここではスレ違いになります．疑問点等ございましたらサイトの方にお願いします．
そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．
190:１３２人目の素数さん
07/12/02 10:44:38
>>189
レス長杉
>そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．
この一文だけでおk
191:１３２人目の素数さん
07/12/02 11:15:59
数学科の表現と大学入試での表現は根本的に違うらしい
数学科卒にとってはおかしいと思える表現が入試ではよく見かけるのはなぜなんだろね
受験生にはあまり関係ないんだろうけど
192:１３２人目の素数さん
07/12/02 11:25:05
コテつけたり名無しになったり忙しい人ですな
193:１３２人目の素数さん
07/12/02 11:41:35
> 数学科卒にとってはおかしいと思える表現が入試ではよく見かけるのはなぜなんだろね
例えば？
自分の勝手な印象で語らず、具体的に指摘したほうがいいと思いますよ。
194:１３２人目の素数さん
07/12/02 11:57:18
>>174
スレ違いだからここで追求するのもどうかと思うが
例えば上で益田が言ってる「任意の○○について」は「も」を削っても俺はおかしいと思う
でも東大ではこの表現が使用されてるんだよな
195:194
07/12/02 12:00:51
スマソ
全然違うとこに安価つけてた
× >>174
○ >>193
196:１３２人目の素数さん
07/12/02 12:13:29
>>194
だから、具体的に東大のどの問題ですか？
マスダ氏は大数についてコメントされてますが、それは入試ではないですし。
197:１３２人目の素数さん
07/12/02 12:28:22
95年前期２番
198:１３２人目の素数さん
07/12/02 12:53:08
95 年前期 2 番。
どのあたりが「数学科卒にとってはおかしいと思える表現」なんだろう。
日本語で日常的に用いられる表現としてはおかしい、というのであればともかく、
数学では普通に用いられる表現に思えるが。
だんだん、>>191 が一体どこの数学科を出たのか、というのが気になってきた。
199:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:14:13
>>198
なら>>176の指摘について一つ一つあんたの意見聞かせてよ
200:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:27:53
>>174-199
スレ違い
ここは作問スレ
お前ら雑談スレに逝け
201:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:32:32
基地外は頑張って自作自演してろよ
202:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:37:22
数学科卒だとかなんとか愉快な奴らだなｗ
数学科の専門的訓練とやらがいかなるものか教えてくれｗ
203:１３２人目の素数さん
07/12/02 13:41:04
>>199
面倒なことを言い出す奴だな。
一個人に過ぎないマスダ氏の文にケチを付けるのは避けたいのだが。
大体俺が聞いてるのはマスダ氏のことではなく、
東大で出されたおかしな表現の問題というのは一体どういうものなのか？
ということなんだが。
どうも、そういう問題はないようですな。
204:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:25:20
都合の悪いものは全部スルーしちゃう自称訓練受けた人
205:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:34:44
>>204
都合が悪くてスルーしたものって何？
まぁ、答えられないでしょうけど。
206:１３２人目の素数さん
07/12/02 14:35:41
MASUDAさんもコテになったり名無しになったり、お忙しい方ですねｗ
207:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:08:12
>>206
お前もう無差別乱射状態だなwww
何発かは当たってんのかもだけど、このタイミングは文章読まずに定期的に書いてるとしか思えんwww
おもろいからいいけど
208:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:37:13
益田のサイトおせーて
問題いっぱいあるんでしょ？
209:１３２人目の素数さん
07/12/02 15:55:14
つURLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)
210:１３２人目の素数さん
07/12/02 16:25:51
㌧クス
211:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 16:48:25
nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
212:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:43:09
>>198
95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
数学的には「値」というのは、実数の集合への何らかの写像が定義されている場合に
出てくる言葉だと思うのだが。
積集合の元を「値」と表現するか？
「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
あらゆる(s, t)を代入して、それらすべての不等式を示さなきゃならないかのように読める。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
213:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:48:03
>>211
問題作成能力は素晴らしいと思いますが、やっぱり日本語は変。
S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
↓
S(x)はxの正の約数の総和を表し、f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする。
「f(x)でxを素因数分解した～」という表現は読む人の誤解を招くと思いませんか？
「3で7を割った余り～」とか「xでf(x)を微分した～」などに見られるように、
f(x)がxに対して何らかの作用をするかのように読めるのです。日本語として。
あと、「AはBを、Cは・・・・・・・・・・・を表すものとする」というような言い回しは、
「Bを」に対する述語がなかなか出てこないので不親切。
最後まで読まないと意味の分からない文は悪文です。
せめて前半を「～を、」で止めずに「～を表すものとし、f(x)でxを～」と書いてあれば、
「f(x)でx」も許容できるのですけど、「表す」という言葉を最後まで出さないせいで二重にまずい日本語になっています。
214:１３２人目の素数さん
07/12/02 21:52:26
「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」
という文は、「ついても」という副詞句が「示せ」という動詞にしかかかり得ないという感覚がないのが問題です。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」
となっていれば、「ついても」を「成り立つ」にかけられるから意味が通じるのです。
修飾・被修飾の整合性は小学校レベルですよ。
215:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:10:30
>>212
> 95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
だから？
なんで俺 (>>198) へのレスなんだろう？しょうがないので返事するが、
> 「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
意味不明ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
変ですね。これが変だからといって >>189 のように「ついても」の「も」
を取るというのは、最悪の修正法ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
そうですね。
ヤレヤレ
216:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 22:27:12
>>215
最悪も何も「いかなる(s,t)についても」の問題文で“も”を削ったとは私は一言も言ってないんですけどね．“も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
「いかなる(s,t)についても」は第３回京大予想の問題のことを指摘されていると先ほど確認しました．あの問題文に関しては「が成り立つこと」が抜けていたので訂正いたしました．
217:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/02 22:28:35
ついでに>>211にも指摘がありましたので以下に訂正版を．
nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)はxの正の約数の総和を表し，f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
218:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:30:24
>>216
いわれるがまま、との印象も受けるが素直でよろしい。
これからも指摘を受けるたびに素直にさっさと修正するように。
219:215
07/12/02 22:32:36
>>212
ほら見ろ。
おまえが俺に変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）
220:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:32:40
>>218
ちょwww
素晴らしく上から目線www
221:215
07/12/02 22:33:15
間違えたｗ訂正。
>>212
ほら見ろ。
おまえの変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）
222:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:34:10
>>219
なんかお前の日本語も変になってるよwww
223:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:43:08
>>222
ははは。じゃ、おわびついでに書いておいてやろう。
>> 189
> 「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
あるいは
>>216
> “も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
これでいいというわけではない。そんな機械的に変換すれば OK という問題じゃないんだな。
そもそも >>215 で俺が「最悪」と書いた理由もわかってるのかは、かなり怪しいな。
224:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:54:42
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
225:１３２人目の素数さん
07/12/02 22:57:49
東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
このスレしか見てない連中からしたら、全文書いて説明してないお前の理屈はワケがわからんぞ
226:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:05:36
しばらく平穏だったのに１日たって来てみたらこれか
発端の>>174見たら、このスレの問題にじゃなくmasudaのサイトに対する指摘じゃん
いい加減よそでやれよ。masudaスレでも立てればいいだろ
227:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:05:41
>>225
東大の問題は誰でも見ることができるのであって、
そんな怠慢な奴にまで親切にしてやる必要はまるでナッシング。
228:１３２人目の素数さん
07/12/02 23:09:24
>>226
横レスですいません。
問題文を作成するにあたり、日本語表現をどうしたら良いか、については
常々悩まされる問題です。だから全くのスレ違いというわけではなく、
このスレの議論も興味深く読ませてもらってます。
他にもそういう人は多いかと思います。
229:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:13:33
>>227
だーかーらー、東大のは見たよ
益田のやつとの違いを教えてくれと言っとるんだ
230:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:14:02
>>228
実はおれもこっそり参考にさせてもらってたりしてｗ
問題文を簡潔に明瞭に書くって難しいんだよな。
書けないというのは問題の理解が甘いということだと自覚はしてるんだが。
231:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:19:09
>>229
横レスですまんが、
益田は自分で訂正入れてるわけだし、それを見たらわかるんじゃね？
そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件で
いつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
↓のようなあわてんぼうな勘違いをしてるのは、おまえだけではないかと。
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
232:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:22:19
>>231
>そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件でいつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
言ってるんだよ、>>198がな
233:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:30:19
東大「任意の○○について」
益田「任意の○○についても」
の見分けがつかん奴は益田と同レベル。
234:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:32:41
>>232
>>221 にも書いたけど、>>198 の具体的な話ついては益田も訂正を入れてるし、
解説がさんざんあるじゃん。数レス上も読めないと？ それとも理解できないの？
235:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:34:22
コテはコテでいいタイミングで燃料投下しよるし、
またコテの取り巻きは取り巻きでアフォぶりを発揮するし。
まさか、わざとやってるのかｗｗｗ
236:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:34:51
=========終了============
237:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:36:56
>>233
あのな、>>223を読めっつってんだよ
「も」を削ってもダメな理由を聞いてるわけ
横レスするなら読んでから書け
238:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:40:34
>234
あまり答えになってないと思うんだけどｗ
232→234が噛み合ってないしｗ
安価ミスか？
239:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:41:32
>>237
まぁ、そうカリカリするな。頭から湯気が出てるぞ。
お茶でも飲め。
その上でゆっくりレスを読み返せ。 >>223 のどこに
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
なんて趣旨のことが書いてあるんだろう。どこにもそんなことは書いてないように思うよ。
つまり『東大の「任意の○○について」はよい』なんてどこにも書いてないでしょ。
240:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 00:43:17
>>237
あの，そろそろ終わりにしませんか？問題がどんどん流れてしまいますし．
私は訂正したので解決しているのですが．
241:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:45:37
そうそう。
>>237 よ、あまりのバカっぷりに笑うに笑えないぞ。ということで
=========終了============
242:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:48:05
まさに >>235 の展開ｗｗｗ
でも正直 >>237 のおつむがかわいそうになってきた。
自分の言いたいことはまともに表現できてないみたいだし、
相手の言うことも理解できてないみたいだしｗｗｗ
243:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:50:16
ちょうど終了したところで、そろそろ>>165の答えがなぜ>>172になるのかの理由を教えてほしいんだけど
答えは予想つくけど論証がさっぱり分からん
244:１３２人目の素数さん
07/12/03 00:52:07
>>237
「も」を削ったからそれで良いなんて言えないでしょ。常考。
245:１３２人目の素数さん
07/12/03 01:52:21
>>217
S(a[k])=2^n*a[k]になるから、あとは
完全数についてのEulerの定理と同様に示す。
246:１３２人目の素数さん
07/12/03 01:56:37
>>245
つS(4)=1+2+4=7
247:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 10:17:56
>>245
a[k]は完全数とは限りません．
また，S(a[k])=2^n*a[k]にもなりません．
248:１３２人目の素数さん
07/12/03 18:47:19
>>165
これ益田さんできたのですか？
ベクトル
反転
三角関数
どれも渋いことになるのだが。
ベクトル→内積から角度をもちだすがよくわからない
反転→ABCDをBCDに減らしてP,B,C,Dの４点で平面に帰着することができるが後の計算が煩雑すぎてわからない
三角関数→球の中心をOとして∠OIP=2I {I=A,B,C,D}とするとsinA*sinB*sinC*sinDの最大値を求めることになるが固定されたA,B,C,Dの関係式が複雑すぎて後の計算がほぼ不可能
249:１３２人目の素数さん
07/12/03 18:48:31
∠OIPではなく∠IOP
250:１３２人目の素数さん
07/12/03 19:52:44
>>248
三角関数持ち出すより幾何の方が解きやすいぞ
単位球とみなして、4点がすべてz≦1/3の領域にくるように球面を回転することができる
これを示せばあとは論証だけで解決できるんじゃない？
251:１３２人目の素数さん
07/12/03 20:26:33
>>250
>z≦1/3
これを示したところで長さの積が最大になるPの位置が特定できるとは思えないのですが。
幾何でやると
(i) 積の最大(=m)とは固定された点A、B、C、Dに対してPの位置の特定→具体的な値は求まらない
(ii)mを最小にするとは動くA、B、C、DのもとでPは(i)の状態→具体的な値を求める
そういえば１つ点をおとして３つの場合の積は上のほうで問題があったと思うけどそのあたりにヒントがあるんですかね。
252:１３２人目の素数さん
07/12/03 22:14:41
>>172に期待
253:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/03 22:36:59
>>251
A,B,C,Dが正四面体の4頂点をなすとき，AP*BP*CP*DPが最大になるのは，中心について点Aと対称な点にPを設定したときです．この最大値16√3/9がmの最小値になると予想して論証します．
つまり，この正四面体の状態からA,B,C,Dを動かしたときにAP*BP*CP*DPが16√3/9より大きくなるような点Pを設定できることを示せばいいわけです．
>>250がおっしゃっておられるように幾何で論証した方が楽です．座標から計算でいくと計算地獄になります．
なお，3点の場合の問題も出題しましたが，ヒントにはならないと思います．この問題のオリジナルは某数学者のもので，
『半径1の円周にn個の点列A[k](k=1,2,…,n)があるとき，Π[k=1,n]PA[k]≧2をみたす点Pを円周上に必ずとれることを示せ』
という問題でした．これの立体拡張版なわけですが，立体版では平面版に比べてはるかにややこしく，n個の点の場合については私は全く分かりません．私が分かったのは4≦nの場合まで．n=5ですらいまだにさっぱりです．n=5の場合が分かった方は教えて下さい．
254:１３２人目の素数さん
07/12/04 02:15:34
（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…
255:１３２人目の素数さん
07/12/04 10:01:41
>>254
＼(^o^)／馬鹿が釣れたw
256:１３２人目の素数さん
07/12/04 10:17:00
>255
またお前か
いつもながら意味がわからん
257:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/04 17:50:04
nは正の整数，xは実数とする．f(x)=x^2+x+1として
{f(x)}^n≦f(|x|^n)3^(n-1)
が常に成り立つことを示せ．
258:１３２人目の素数さん
07/12/04 19:19:16
>>257
x≧0で成り立つことを、チェビシェフの不等式と数学的帰納法で示して
x<0では
f(x)<f(|x|)から、x≧0で成り立つことを用いて示せる。
259:258
07/12/04 19:22:39
最終行は「0<f(x)<f(|x|)」でした。
260:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/05 12:25:13
>>258-259
御名答
261:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/05 12:26:36
rは0＜r＜1をみたす実数とする．xyz座標空間において以下のように表される領域をUとする．
|x|≦1
|y|≦1
|z|≦1
x^2+y^2≧r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≧r^2
この領域Uを立体とみなしたとき，その表面積S(r)の最大値を求めよ．
262:１３２人目の素数さん
07/12/05 14:43:58
マスコミは報道しないが…日本壊滅の危機！？
｢放置すると､日韓関係にﾋﾋﾞ｣ 外国人参政権付与､成立への流れ加速も…公明に各党同調､自民反対派は沈黙､首相次第か
オランダのイスラム原理主義みたいに…日本国内に韓国市が誕生する
URLﾘﾝｸ(search.yahoo.co.jp)
マスコミが報道しない外国人参政権のカラクリ！
URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
263:１３２人目の素数さん
07/12/06 00:43:17
(1) ∫[0,1]dx/(1+x^2) を求め、Σ[n=0,∞](-1)^n/(2n+1) =π/4 であることを示せ。(省略)
(2) lim[n→∞] n・(π/4-Σ[k=1,n](-1)^k/(2k+1)) を求めよ。
264:１３２人目の素数さん
07/12/06 01:23:57
>>263
(1)
成立しない
(2)
与式=lim[n→∞]n(π/4+π/4)=+∞
265:１３２人目の素数さん
07/12/06 01:52:23
>>264
？？？
266:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:15:29
>>263
出題者がまだ自分のミスに気づいてないな・・・
267:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:20:48
>>261
4/3*3.141592…*ｒ に限りなく近く少ない値って事かな？
268:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:36:07
>267
変数のrがなぜ入ってるんだ？
269:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:48:22
次の式が成り立つような自然数a,b,c,dを見つけよ
1/a + 1/b + 1/7 + 1/c + 1/d = 1
ただし、a<b<7<c<dとする
270:１３２人目の素数さん
07/12/06 02:51:28
訂正
a<b<7<c<d<30とする
271:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:16:32
>>269
a=2 b=4 c=14 d=28
つまらん
272:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:33:24
つまりすぎてもつまらないという不思議
273:１３２人目の素数さん
07/12/06 03:57:02
>>261
(30π+96√2)/(π+4√2)
274:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/06 14:21:20
sは正整数とする．ベクトル{p[n]↑}を以下のように定める．
p[1]↑=(1,s,1+s)
p[2]↑=(s,1+s,1+2s)
p[n+2]↑=p[n+1]↑+p[n]↑
(n=1,2,…)
(1) p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2=t(-1)^nがすべてのnについて成り立つとき，s,tのみたすべき条件を求めよ．
(2) xyz座標空間において，原点をOとして，点P[n]をOP[n]↑=p[n]↑となるように定める．このとき，線分OP[n]がx軸，y軸，z軸それぞれとのなす角の大きさをa[n],b[n],c[n]とする(0≦a[n]≦π/2,0≦b[n]≦π/2,0≦c[n]≦π/2)．
lim[n→∞](a[n]+b[n]+c[n])を求めよ．
275:１３２人目の素数さん
07/12/06 22:36:34
>274
p[n]↑ = (q[n-2], q[n-1], q[n] )
q[n] = F[n] + F[n+1]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = q[n]^2 - q[n+1]q[n-1],
276:１３２人目の素数さん
07/12/06 22:47:59
>274
p[n]↑ = (Q[n-1], Q[n], Q[n+1] )
Q[n] = F[n-1] + F[n]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = |Q[n+1]|^2 - Q[n]Q[n+2],
F[n]F[n+2] - |F[n+1]|^2 = (-1)^(n-1),
t = s^2 -s-1.
277:１３２人目の素数さん
07/12/07 09:28:14
>>274
(2)
細かい論証を省くと
lim[n→∞]a[n]=π/5
lim[n→∞]b[n]=π/3
lim[n→∞]c[n]=2π/5
なので求める極限値は14π/15
278:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/07 10:25:24
>>276-277
御名答
279:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/07 10:34:17
数列{a[n]}は
a[1]=1，a[2]=1，a[3]=2
a[n+3]=a[n+2]+2a[n+1]-a[n]
(n=1,2,…)
このとき，n≧2ならば，a[2n+1]は3つの正の平方数の和で必ず表せることを示せ．
※一般項を求める必要がないとはいえ，4項間なので高校生向けではないかもですが…
280:１３２人目の素数さん
07/12/07 14:47:26
漸化式を変形すると a[n+3]=5a[n+1]-6a[n-1]+a[n-3] となる。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z) という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された
281:１３２人目の素数さん
07/12/07 15:00:42
書き忘れたが、恒等式で使われている関数の変数はすべて、
x+yを次(左側)の関数のx、x+zを次の関数のｙ、yを次の関数のz という関係にある
282:１３２人目の素数さん
07/12/07 15:01:33
>>280
ちょwwwすげwww
283:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/08 00:59:03
正の整数からなる増加数列{a[n]}に対して，S[n]を
S[n]=Σ[k=1,n]{(-1)^k}/a[k]
と定める．n→∞のときS[n]は収束することを示せ．
284:１３２人目の素数さん
07/12/08 03:30:36
>283
S[2n] = Σ[k=1,2n-2]{(-1)^k}/a[k] = Σ[K=1,n-1] {-1/a[2K-1] +1/a[2K]} <0, 単調減少.
S[2n+1] = Σ[k=1,2n-1]{(-1)^k}/a[k] = -1/a[1] + Σ[K=1,n-1] {1/a[2K] -1/a[2K+1]} > -1/a[1], 単調増加.
∴ -1/a[1] < S[2n-1] < S[2n+1] < … < S[2n] < S[2n-2] < 0,
∴ S[2n], S[2n+1] はいづれも有界単調列なので, 収束する。
285:１３２人目の素数さん
07/12/08 09:41:04
>>284
すげーあやしい答えに見えるのは気のせい？
S[2n]とS[2n-1]が同じ極限値に収束することはこれで示されたことになるの？
286:１３２人目の素数さん
07/12/08 15:40:33
（√3）＾（√3） が無理数である事を示せ。
287:１３２人目の素数さん
07/12/08 17:24:01
>285
0 < S[2n] - S[2n-1] = 1/a[2n] →0, (n→0)
288:１３２人目の素数さん
07/12/08 18:14:23
>>279
b[n] = a[2n+1] －a[n+1]^2 －(a[n+2]-a[n+1])^2 －(a[n+1]-a[n])^2,
とおくと
b[1]=0, b[2]=0, b[3]=0,
また漸化式より
b[n+3] - 5b[n+2] + 6b[n+1] - a[n] = a[2n+7] - 5a[2n+5] + 6a[2n+3] - a[2n+1]
=0, >>280
ゆえ
b[n] =0.
289:１３２人目の素数さん
07/12/08 21:35:51
>>286
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
よって無理数
290:１３２人目の素数さん
07/12/08 21:49:15
>>285
交代級数の収束の話だろ常考
291:１３２人目の素数さん
07/12/08 22:59:31
>>290
常考ってなんだよ、(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
292:１３２人目の素数さん
07/12/08 23:08:28
常考が分らない香具師が紛れ込んでるな
293:１３２人目の素数さん
07/12/08 23:33:04
>288
右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。
α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)}, B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)}, C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},
(解法)
t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…
294:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/09 00:20:39
(1) m,nはm＜nをみたす正の整数とする．何回でも微分可能なxについての関数f(x)は
f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0をみたす．このとき
Σ[k=m,n]f(k)＜∫[m-1/2,n+1/2]f(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2) Σ[k=1,n]1/k-logn≧i/10をみたす整数iの最大値を求めよ．なお，必要ならば，自然対数の底eがe=2.718…であることを用いてもよい．
295:１３２人目の素数さん
07/12/09 00:44:02
誰か>>217を頼む
296:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:27:47
>>288
それを出すなら
【加法公式】
a[m+n+1] = a[m+1]a[n+1] + (a[m+2]-a[m+1])(a[n+2]-a[n+1]) + (a[m+1]-a[m])(a[n+1]-a[n]),
で生姜。
m=n の場合は >288 になる。
証明は >293 で。
297:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:58:36
（１） 連続するk個の整数の積はk ! で割り切れることを示せ。
（２） pは素数, 整数k≦(p+1)/2 のとき (p-(k+1))*(p-(k+2))*....*(p-(2k-1))≡0 (mod k ! ) を証明せよ。
298:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:07:51
>>290
>>287は余計だという指摘か？
299:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:16:12
>>294
(1) 平均値の定理より
f(x) = f(k) + (x-k)f '(ξ) = f(k) + (x-k){f '(k) + (ξ-k)f "(η)},
(x-k)(ξ-k) ≧0, f ">0 より
f(x) ≧ f(k) + (x-k)f '(k), （← x=kでの接線の上側にある, 下に凸）
両辺をxで積分すると
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx > f(k),
(2)
f(x)=1/x とおくと (1)より Σ[k=2,n] 1/k < log((2n+1)/3),
Σ[k=1,n] 1/k -log(n) < 1 + log((2n+1)/3n)
nが十分大きいときは
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) ≦ 1 + log(2/3) < 3/5 = 6/10,
∵ e^2 = (2.71828…)^2 = 7.389… < 7.59375 = (3/2)^5, log(2/3) < -2/5,
Σ[k=1,n] 1/k = 1/2 + Σ[k=1,n-1] (1/2){1/k + 1/(k+1)} + 1/(2n) > (1/2) + ∫[1,n] (1/x)dx = (1/2) +log(n),
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) > 1/2 = 5/10,
よって i=5
300:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:23:58
>>296
証明は>>293なんて使わなくても片方の変数固定すれば明らか。
301:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:25:28
>>290＝>>292＝あほ
302:１３２人目の素数さん
07/12/09 05:00:11
〔補題〕
k次積 n(n+1)……(n+k-1) は k!で割り切れる。
(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは明らか。
k>1 のとき
nについての帰納法による。
n=1 のときは明らか。
nを1だけずらして、差を考える。
(n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) = {(n+k)-n}(n+1)…(n+k-1) = k･(n+1)(n+2)…(n+k-1),
帰納法の仮定より、(k-1)次積 (n+1)(n+2)…(n+k-1) は (k-1)! で割り切れる。
∴ (n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) はk!で割り切れる。
nについての帰納法により、k次積 n(n+1)…(n+k-1) もk!で割り切れる。
nから始まるk次積を n(n+1)…(n+k-1) = (n)_k と書いて Pochhammerの記号 とか言うらしい。
303:302
07/12/09 05:13:51
>297 (1)
〔補題〕
0≦k≦n のとき k次積 n(n-1)……(n-k+1) は k!で割り切れる。
(略証)
n(n-1)…(n-k+1)/k! = n!/{(n-k)!k!} = C[n,k] とおく。
nについての帰納法による。
C[n+1,0] = C[n+1,n+1] =1.
1≦k≦n のとき
C[n+1,k] = C[n,k] + C[n,k-1] (← Pascalの3角形)
帰納法の仮定よりC[n,*]は自然数だから、C[n+1,k] も自然数。
304:１３２人目の素数さん
07/12/09 14:29:58
何で二回も証明してんだ
それも何十回も証明書かれてるものの
305:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/09 16:11:56
kは1≦kをみたす整数とする．整数nをk≦nの範囲で動かしたとき，二項係数C[n,k]が素数pで割り切れるようなnの集合をA[p,k]とする．
A[p,k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき必要十分条件を求めよ．
306:１３２人目の素数さん
07/12/09 22:59:16
>>297
（２）は下の(2)と同じですな。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:210番)
210 名前：MASUDA ◆wqlZAUTQF. [sage] 投稿日：2007/07/14(土) 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
307:１３２人目の素数さん
07/12/09 23:43:51
θを実数全体を動くとするとき
(sinθ)^3+(cosθ)^3
の最大値、最小値を求めよ
308:１３２人目の素数さん
07/12/09 23:56:43
sin1が無理数であることを示せ。
309:１３２人目の素数さん
07/12/10 00:33:06
>>307
アステロイドとx+y=kの交点調べて[-1,1]
>>308
京大のパクリ
310:１３２人目の素数さん
07/12/10 00:47:53
ん？
311:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:22:56
ﾏｼﾞな話ですが、東大受験生を家庭教師してます。
今年で新課程３年目ですが、そろそろ新課程色が出そうな気がします。
１次変換、微分方程式といった所はどうなんでしょう？
皆さんのご意見をお伺いしたいです。
312:311
07/12/10 08:24:07
× 今年で
○ 今度で
313:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:34:00
1次変換は出るかもな。
東大の傾向としては抽象的な性質を問うものよりも、
点を回転させて極限か面積・領域などと絡めるタイプだろう。
微分方程式は基本的に範囲外なのでまず出ない。
314:１３２人目の素数さん
07/12/10 08:54:09
微分方程式は京大だけだろな。東大は範囲に忠実だし。
315:１３２人目の素数さん
07/12/10 21:57:57
微分方程式チックな問題って、後期の総合科目IだかIIだかではバリバリ出るんじゃマイカ
316:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:20:43
モノグラフの微分方程式で勉強した思ひ出
今の課程でも微分方程式を取り扱ってる問題集はほとんどないんだろうな
317:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:35:16
>>316
そーでもないよ。チャート式には微分方程式ある
318:１３２人目の素数さん
07/12/10 23:41:26
>>309
>>308はsin1°ではなくてsin1
319:１３２人目の素数さん
07/12/11 00:53:03
微分方程式か．．．
僕が工房の頃は、線形２階定数係数くらいはやってた気がする。
数列の隣接３項間漸化式、行列のｎ乗計算と同じ解き方ができるんで
感動した記憶がある。
320:１３２人目の素数さん
07/12/11 01:05:12
安い感動・・・
321:296
07/12/11 01:14:52
>>300 念のため…
【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1～3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1～3, m=-1～1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1～3, m=-1～1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
322:１３２人目の素数さん
07/12/11 11:49:13
>>321
あとで演算子法に繋がる。
323:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/11 13:02:27
(1) a,bは正の実数とする．xyz座標空間に3点
P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．
324:１３２人目の素数さん
07/12/11 13:24:35
>>323
(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。
325:１３２人目の素数さん
07/12/12 09:20:25
>>308
eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た
ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね
326:１３２人目の素数さん
07/12/12 10:15:12
綺麗な誘導問題がついてこそ東大だよな
327:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/12 11:02:52
iを虚数単位√(-1)，a,bを正の整数とする．
(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．
328:１３２人目の素数さん
07/12/12 11:09:25
6173
329:１３２人目の素数さん
07/12/12 12:44:46
>>328
どう考えてもそんなにないだろwww
330:１３２人目の素数さん
07/12/12 15:08:48
∫[0→π]{(sin(nx))/sinx}^2 dx nは自然数
331:１３２人目の素数さん
07/12/12 15:18:35
∫[0→π/2]{(sin(2008x))/sinx}^2 dx=1004π
332:１３２人目の素数さん
07/12/12 16:00:27
Σ[k=0~n]C[3n,3k]を簡単にせよ。
333:１３２人目の素数さん
07/12/12 16:51:15
(2^{3n}+((1+√3i)/2)^{3n}+((1-√3i)/2)^{3n})/3 は簡単ですか？
334:１３２人目の素数さん
07/12/12 17:02:04
>>329
ばかます
335:１３２人目の素数さん
07/12/12 18:40:55
>>327
無限にあると思うが
336:１３２人目の素数さん
07/12/12 18:54:37
6173はどっからでてきたかわかんないけど
|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが
337:１３２人目の素数さん
07/12/12 21:19:47
馬鹿が釣れたｗ
338:１３２人目の素数さん
07/12/12 21:20:49
>>337
ばかます
339:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/12 21:48:00
>>336
確かに2はいらなかったですね．
340:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:02:01
99^100と100^99の大小を比較せよ。
文理共通問題を想定して作ってみたんだけど、どうかな？
難しすぎる？
341:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:07:41
おもしろくない。
342:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:12:08
>>341
解いてみてよ
343:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:30:35
>>340
ありふれた問題。 x^(1/x) の増減を調べればよい。
（０．９９）99，（１．０１）-101 の大小を比較せよ。
344:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:37:13
(0.99)99=98.01>(1.01)-101=-99.99
345:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:40:39
(logx)/xからすぐだせるよな
346:１３２人目の素数さん
07/12/13 01:14:34
>>344
失礼！コピペしたので修正し忘れた。
（０．９９）^99，（１．０１）^-101 の大小を比較せよ。
でした。
347:１３２人目の素数さん
07/12/13 08:40:23
tan(π/p) = √q - r
を満たす正の整数 ｐ、ｑ、ｒ を求めよ。
348:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:17:00
>>347
本当に全部分かってて出題してるの？
349:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 12:29:21
f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(r)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
350:１３２人目の素数さん
07/12/13 12:59:21
また出題ミスか？
351:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 14:13:22
打ち込みミスですな．訂正．
f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(q)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
352:１３２人目の素数さん
07/12/13 15:25:24
33/8
353:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 15:28:07
>>352
御名答
354:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 15:36:37
C[n,k]は二項係数とする．
(1) nは0以上の整数とする．0≦k≦nをみたす整数kに対して，C[2008+k,k]が奇数となる確率をp[n]とする．
lim[n→∞]p[n]を求めよ．
(2) mは正の整数とする．0≦k≦n≦mをみたす整数n,kに対して，C[n,k]が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[m→∞]q[m]=0を示せ．
355:１３２人目の素数さん
07/12/13 16:20:42
>>305
k=1
k≧2のとき
p^m＞kならば
「C[p^m，k]とC[(p^m)+1，k]がpで割り切れることをいう。」･･･※
「C[p^m，k]がpで割り切れること」･･･○
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
k=(p^u)*v(vはpで割り切れない)と書ける。
このとき、p^m＞(p^u)*v≧p^uよりm＞u
v*C[p^m，k]=p^(m-u)*C[(p^m)-1，k]
よってv*C[p^m，k]はpで割り切れる。
vとpは互いに素だからC[p^m，k]がpで割り切れる。
「C[(p^m)+1，k]がpで割り切れること」･･･●
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]
○よりC[p^m，k]とC[p^m，k-1]はpで割り切れるので
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]よりC[(p^m)+1，k]もpで割り切れる。
○と●より※はいえた。
※より、k≧2のときA[p，k]の要素が等差数列ならば、交差は1である。
よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
k=1ならばC[n,1]=nだから、A[p,1]={n|nはpで割り切れる}となるので明らかに正しい。
356:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:17:20
>>343 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
357:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:26:59
>>355
>>k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
は C(n,k) = (n/k)C(n-1,k-1) = (n/n-k)C(n-1,k) では？
358:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:59:07
>>356
名大にはそんな訳の分からんルールがあるのか。
359:１３２人目の素数さん
07/12/13 21:39:44
>>357
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k-1]
だった。スマソ
360:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 23:01:02
>>355，>>359
>よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
↑この部分がちょっとまずいですが…．初項がC[p^m,k]の可能性もありますから，別の例外を探す必要があります．
361:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/13 23:22:04
θは0＜θ＜πをみたす実数とする．半径1の円に内接する△ABCがあり∠A=θであるとき，△ABCの面積の最大値をθを用いて表せ．
362:１３２人目の素数さん
07/12/14 00:40:20
>>360
>>355のC[k，k]をC[p^m+k，k]に訂正します
C[p^m+k，k]={(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}
1≦h≦kとなるhを任意にとる
h=(p^t)s(sはpで割り切れない)とかける。
p^t≦h≦k＜p^mよりm＞k
p^m+h=(p^t){p^(m-t)+s}でp^(m-t)+sはpで割り切れないからp^m+hはp^tで割り切れるがp^(t+1)で割り切れない。
したがって、{(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}の
分子のp^m+hと分母のhでうまくpが約分され、C[p^m+k，k]はpで割り切れないことがわかる
363:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:08:26
>>361 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
364:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:13:25
数Ⅲ使わなくてもいいじゃん
365:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:16:27
>361
2点 B,C を円周上に ∠BOC=2θ を満たすように固定する。
題意より、点Aは 円周上であって直線BCに関してOと同じ側にある。
底辺の長さは BC=2sinθ,
△ABCの面積は S=(1/2)h*BC, hは底辺からのAの高さ。
面積Sが最大となるのは高さhが最大のときだから、2等辺3角形のとき。
h = 1 + cosθ,
S = (1+cosθ)sinθ,