07/10/30 00:46:45
便宜上だな
3:１３２人目の素数さん
07/10/30 00:55:30
3!=1*1*2*3
2!=1*1*2
1!=1*1
0!=1
とでも思っておけボケ
積なんだからまず最初に積の単位元1があるんだよ
0個の和は0とか納得するくせに
4:１３２人目の素数さん
07/10/30 00:58:35
n!=n*(n-1)! という漸化式が成り立つのは誰でも理解できるはず。
で、次にn=1 を代入すると 1!=1*0!となるので
0!=1
5:１３２人目の素数さん
07/10/30 00:59:14
(x-1)! = x!/x
より，
0! = 1!/1 = 1
6:１３２人目の素数さん
07/10/30 01:10:32
15秒で考えた糞スレ立て分類
A. 定義や基礎的な定理を疑うタイプ（1+1=2、負×負＝正など）
B. 問題自体はまともだが妙な事を言っている
C. 単発質問
D. 数学の存在意義を疑うタイプ（数学なんて社会で役に立たねーよ、など）
E. よくわからんが私怨系？（対象は個人だったり組織だったりコテハンだったり）
F. 単調作業系（2進数で数える、など）
G. 数学と関係ない
Aだな。
7:１３２人目の素数さん
07/10/30 01:19:55 BE:146405232-2BP(1)
>>2-5ありがとう、
0!=1は納得した。
0^0=1はまだ分らない。
>>6
Look for mail form of >>1
8:１３２人目の素数さん
07/10/30 01:31:54
0^0=1 は数式の表記を簡単にするため。
例えば、
f(x) = a(0)+a(1)x+a(2)*x^2+...+a(n)*x^n
をΣで書くとき、0^0=1と定義しておけば
f(x) = Σ[k=0,n] a(k)*x^k
と簡単にかけるが、0^0を定義してなければ
f(x) = a(0)+Σ[k=1,n] a(k)*x^k
と書かなければならない。
9:１３２人目の素数さん
07/10/30 01:44:38
>>7
ｘ>0 のとき x^x= exp( log(x^x))= exp( x log x)
よって、
lim_{x → +0} x^x = lim_{x → +0} exp( x log x) = e^0 =1
つまり、y=x^x (x>0) という関数の 0 での右側極限が１なので、
0^0 =1 と定義ずれば、y=x^x が x=0 でも連続になる。
ほとんどの教科書は、0!=1 や 0^0=1 などを約束としているが、
それにはそのようにしなくてならない、あるいは、そうした方が
都合がよい、というきちんとした理由がある。
本当はそういうことを本なり講義なりで説明すべきなんだけど、
分かっている人にとっては当たり前なので、中々気が付かない。
10:１３２人目の素数さん
07/10/30 02:14:16
>>7 こう考えた方がやさしいかな
関数 x^0 を考える。
これはxの簡単なべき関数なので連続関数であると考えるのが自然である。
x≠0 ならば x^0 = x^(1-1) = (x^1)/(x^1) = 1 なので、
x^0 を連続関数だと考えると 0^0=1 でなければならない。
11:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
07/10/30 10:04:01
１１といえばオーシャンズ１１
12:無知な高３が反論してみる
07/10/30 10:42:52
>>10
逆にy=0^xを考えると、
x>0のときy=0なので、0^0=0と考えるのが自然です。
>>9
lim_{x → +0} (x logx)=0 ってのが良くわかりません。-∞に発散しそうな気がするんですが…
その場合はe^(-∞)=0となります。
>>8
一応理解はしましたが、あくまで「便宜上」ですよね。だからまだ反論の余地はあるかと…
13:１３２人目の素数さん
07/10/30 13:10:25
ここは良スレだ。
14:１３２人目の素数さん
07/10/30 13:30:15
>>9
なるほど、初めて理論的な説明で納得しました。
確かに、数学ですから、それなりの理由があるわけですね。
15:１３２人目の素数さん
07/10/30 14:17:04
よく考えると 0^0 は極限のとり方で値が変わる：
lim[x→+0] x^x = 1
lim[x→+0] x^(-1/log x) = 1/e
lim[x→+0] x^(1/√(-log x)) = 0
ので、0^0=1 は論理的に納得するものではなく、
便宜上そうしたほうが都合がよいものだと納得するのがいいのかな。
16:１３２人目の素数さん
07/10/30 15:31:56
lim[a→0]a^正=0
lim[a→0]a^負=∞
lim[a→0]a^aは不定
>>1
理由はあるが理屈じゃなくて便宜
17:訂正
07/10/30 15:33:54
lim[a→+0]a^正=0
lim[a→+0]a^負=∞
lim[a→+0]a^aは不定
>>1
理由はあるが理屈じゃなくて便宜
18:１３２人目の素数さん
07/10/30 15:45:38
応用数学って結局何だ、何やってるんだ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:32番)
32:１３２人目の素数さん :2006/06/27(火) 02:05:28
厳密志向ではない数学のことを鷹揚数学という。
19:１３２人目の素数さん
07/10/30 15:52:09
>>15
確かに>>9の通り、底の"0"と、ベキの"0"を等価と見なせば 1 に収束するが・・・
それぞれの収束速度が違うなら極限は変わるわな。
但し書き付きの「 1 」が適当なのかも。
>>16>>17
m[a→0]a^a = 1 ですが・・・
20:１３２人目の素数さん
07/10/30 17:30:15
>>1>>9>>19
結論は、
0^0=1 は約束とうことだね。
0^0 は不定形だから極限は定まらないが、>>9のように考えましょう、
ということなのだろう。
21:１３２人目の素数さん
07/10/30 17:33:53
>>20
そもそも、a^0=1 (a:定数)だって、指数法則を満たすように、定義したんだからね。
22:１３２人目の素数さん
07/10/30 18:19:27 BE:292809762-2BP(1)
これは分りやすい
なんか納得できてきた
23:１３２人目の素数さん
07/10/30 21:19:18
実際に0^0が出てくるのは、たいていx^nの形。
xの方は実数だったり変数だったり環の元だったりするけど、
nの方は整数として0をとる。(例えば多項式をΣで書いたりとか)
そうすると、lim(x→0)x^0として0^0を考えた方が色んなところで便利。
lim(x→0)x^x=1だから、という納得はやめた方がいい。
24:１３２人目の素数さん
07/10/30 21:58:00
>>23
それは代数をしている奴の偏った見方。
多項式だけで物を考えるのは、酷すぎる。
y=x^x (x>0)という関数を x=0で連続に延長するのは、解析的に非常に自然なこと。
数学は分野によって定義や理解の仕方、考え方も違うから、どれがベストということはない。
しかし、数学の素晴らしいところは、どの考えを分野の採用しても説明できることだと思う。
25:１３２人目の素数さん
07/10/30 22:02:15
↑
訂正
誤）しかし、数学の素晴らしいところは、どの考えを分野の採用しても説明できることだと思う。
正）しかし、数学の素晴らしいところは、どの分野の考え方を採用しても説明できることだと思う。
26:三角関数
07/10/30 23:07:52
小学生のころの疑問だが、０/０=１じゃない？？
27:１３２人目の素数さん
07/10/30 23:12:36
>>26
不定形
28:１３２人目の素数さん
07/10/30 23:23:36
>>26
実数は可換体としての性質を持っている。そして実数体の
加法の単位元“０”は積の演算に関する逆元をもたない。
なぜなら環論の基本的な性質よりａ・０＝０（∀ａ∈Ｒ）
だからａ・０＝１＝積の単位元となる０の逆元ａは存在しない。
これより、０／０＝０・０＾（－１）というのはあり得ない
つまり、体論からでる自明な性質なのである。
29:１３２人目の素数さん
07/10/31 00:24:29
>>20
ペアノ算術を使った集合論的な観点からみることも出来るよ
30:１３２人目の素数さん
07/10/31 00:25:37
>1のセンスは悪くない。スレタイのような疑問を持つのは当然のことだ。
31:１３２人目の素数さん
07/10/31 20:59:47
>1のようなすなおじゃない子はおしおきだ
32:１３２人目の素数さん
07/10/31 21:26:00
アッー！
33:1stVirtue ◆.NHnubyYck
07/11/01 00:20:31
思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうがよい。
34:１３２人目の素数さん
07/11/01 03:53:05
集合論やカテゴリー論の立場なら0^0=1は証明できる定理になる
35:１３２人目の素数さん
07/11/01 13:29:55
数の０とカテゴリーの０を混同しちゃだめだろ
36:１３２人目の素数さん
07/11/02 04:09:34
別に構わんだろ
それが数学の良さ
37:23
07/11/02 13:17:20
>>24
「たいてい」って書いたのがまずかったのかもしれないけど。
>>24も言うとおり、定義や考え方は分野や利便性によりけりなので、
俺が挙げた例(多項式や冪級数)では、こういう考え方から「0^0=1」と置くと便利・自然ってことで。
上の方で、x^xという特別な関数の極限のみで結論づけてるようなのがあったからね。
× lim(x→0)x^x=1だから、という納得はやめた方がいい。
○ lim(x→0)x^x=1だから、という理由のみで納得するのはやめた方がいい。
38:１３２人目の素数さん
07/11/02 23:13:25
前も書いたんだが、もう一度いう。集合論の立場では
0＾0ってのは0から0への写像の全体の集合の基数のことだから
0から0への写像が空集合のみであることより0＾0＝1。
それで納得できないというのであればもはや何もいうまい。
39:１３２人目の素数さん
07/11/02 23:23:06
自分の言うことを誰も聞いてくれないので必死になってる
>>29, >>34, >>38 はﾐｼﾞﾒ
40:１３２人目の素数さん
07/11/03 01:06:29
>>38
集合論の心得がない者なので類題を聞くが
その立場での0/0は?
41:１３２人目の素数さん
07/11/03 03:07:59
>>40
集合論では集合A,BについてB^AはAからBへの写像全体の集合で、
0は空集合。1は1={0}だけど。
0/0はどういう演算のつもり？
42:１３２人目の素数さん
07/11/03 03:28:51
スマン、質問が不合理だった。質問終了。
もしか、集合論に"/"に当たる演算は無いのか?
…と思って集合論をググってみたら商集合なんてのが
見つかったが何か違いそうだ。数演算の感覚で聞いてしまった。
43:１３２人目の素数さん
07/11/03 03:50:49
集合論において
基数の算術と順序数の算術は別物である(たとえば基数の算術ではω+1＝ωだが順序数ではこれは成り立たない)、
自然数を扱うだけならそれらの加法乗法べき乗は一致するから問題ないが、無限基数を扱うときは注意が必要。
まったくスレ違いだがついでに話しておく。
44:１３２人目の素数さん
07/11/03 05:32:03
>>43
ｻﾝｸｽ。丁寧に説明して貰って嬉しくさえ思った。
45:１３２人目の素数さん
07/11/03 08:20:14
零環においては0^0=0だね
46:１３２人目の素数さん
07/11/03 12:30:33
>>37
>>>24も言うとおり、定義や考え方は分野や利便性によりけりなので、
>俺が挙げた例(多項式や冪級数)では、こういう考え方から「0^0=1」と置くと便利・自然ってことで。
0^0は不定形だから、極限の取り方によって値が異なる！
しかし、色々な都合上 0^0 =1 とすると都合が良いことが分かる。
（例は色々と出ているが、他にもあるだろう）
従って、
「0^0 = 1 と定義する」
ということにしていると思う。
逆に、0^0 ≠1 とすると、色々と不便なことが起こるが、矛盾は起こらない。
なら、0^0 =1 として記述をスッキリさせようということだろう。
47:１３２人目の素数さん
07/11/03 13:08:27
>>38
高校生や学部１回生が質問してきたら、お前はそう答えるのか？
集合論のことはよく知らないが、そんなので納得できる奴なんているのか？
48:１３２人目の素数さん
07/11/03 13:37:09
>>47は自分が納得できる回答を欲しているんならそれを聞けばいいのでは？
>>47が納得できないからと言って>>38は別に間違っているわけでもないし。
49:１３２人目の素数さん
07/11/03 15:19:59
>>45の零環においては0^0=0を圏論で説明すると
どうなるの？圏論に詳しいおじさんお願いします。
50:１３２人目の素数さん
07/11/03 20:30:15
零環においては1=0だね
51:１３２人目の素数さん
07/11/03 20:47:10
そうなんですけど、0^0を0から0への写像と思えば、
一つの{φ}が存在するわけですよね。
0^0はいわゆるファンクターカテゴリーですから、
0^0＝{φ}と0を同一視するのは問題ありでないですか？
52:50
07/11/03 20:55:36
すまん >>50 は圏論のレスじゃない
53:無知な俺に教えてくれ
07/11/03 22:54:04
未だ分からない。
>>46の言うように、
「0^0 = 1 」と定義できるものなの？便利だからという理由で？
0/0=不定とするように、0^0=不定とした方が
よほど納得ができるけど。
54:１３２人目の素数さん
07/11/04 05:44:01
>>46
定義するのは自由だよ。
定義の拡張は離散から連続へと進むのが自然で、0^x の極限を元に 0^0 の
話をするのは順序が不自然。まずは自然数(0も入れておく)で定義しよう。
これは空集合から空集合への写像の個数として 0^0=1 が自然だろう。
このとき指数法則も、積の作る半群として成立している。
( 0^(-1) は定義できないから、積について群と見ることは出来ない )
このため 0!=1 や 0C0=1 と同様、離散数学(数え上げ)での種々の公式が
0^0 も含めて成立してくれる。0^0=1 が不便な場面というのは見た事が無い。
むしろ 0^n が n=0 で例外的に1になるおかげで、計算が簡単になる場面には
何度も遭遇した。
一方 ?/0 に値を与えてしまうと、(ay)/x = a(y/x) すら成立しない。
極限としての 0^0 が不定だから 0^0 も定義できないと言う人も居るが、
これは 0^0=1 と定義する立場から言えば、単に f(x,y)=x^y (x≧0)という
関数が (x,y)=(0,0)で不連続というだけのことだ。しかも直線的に (0,0)
に近付ける限り、y軸上から近付ける場合を除いて 1 に収束する。
非直線的に近付ける場合、x>0 から近付けて x^y→1 にならないようにするには
log(x)y → 0 にならないようにする必要があり、これはxを exp(- 1/|y|)
くらい高速に0に近付ける必要がある。従って (x,y)=(t^(100),t) (t→+0)
のような近付け方でも、やっぱり x^y→1 になる。
一方 g(x,y)=y/x (x≠0) の (x,y)→(0,0) での極限はどうだろう。
55:１３２人目の素数さん
07/11/04 07:39:34
>>54 の中の >>46 はアンカーミス。>>53 でした。
56:53
07/11/04 09:23:19
>>54
丁寧な説明ありがとう御座います。
教科書を読んで勉強しなおします。
57:54
07/11/04 09:40:55
>>54
>定義の拡張は離散から連続へと進むのが自然で、
自分で書いておいて何だが、これじゃあ ζ(-1) が定義できないなw
58:１３２人目の素数さん
07/11/04 11:30:14
不定形としての0^05の類いの不定形、1^∞
59:１３２人目の素数さん
07/11/04 11:31:02
む?5、余計
60:１３２人目の素数さん
07/11/11 20:43:13
中途落ちスレ
0^0 Part 2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
初代はメモしとらんかった
61:１３２人目の素数さん
07/12/10 18:29:50
逆に、0乗が１にならない数ってあるの？
62:１３２人目の素数さん
07/12/10 20:02:14
無い、±∞でさえ｡
0の場合はこのスレの議題。スタンスごとに様々な値｡
0or1or不定
63:１３２人目の素数さん
07/12/11 12:52:23
>>62
無いと言ったり、スタンスごとに様々な値と言ったり、忙しいな
64:１３２人目の素数さん
07/12/11 15:15:08
>>1よ
何年もの前から
↓これがあるのは知っていてのスレ立てなのか？
激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
65:数学科志望の高校生
07/12/31 22:23:27
一般にN！は異なるN個のもの並べ方である。N=0の時は並べないという一通りのみである。∴0!=1
66:１３２人目の素数さん
07/12/31 22:42:45
＞N=0の時は並べないという一通りのみである。∴0!=1
この解釈はよろしくない。「並べない」という操作を1通りとしてカウントして
しまうのであれば、たとえばN＝1のとき、1個のものの並べ方は
・並べる
・並べない
の2通りとなり、1！＝2となってしまう。
67:１３２人目の素数さん
08/01/01 13:03:31
>>3（≠俺）
＞積なんだからまず最初に積の単位元1があるんだよ
で終了だと思ったが
便宜上とか約束とか定義とか抜かす奴は数学センス無し
小中学生で解る式の説明に極限やら対数やら持ち出す奴は蛸壺君
といいながら円の面積、球の体積、表面積、円錐の体積を小学生に説明する方法がわからん
（数学的にツッコミどころがない方法）
68:１３２人目の素数さん
08/01/01 13:56:35
0!=1は流石に納得しろよ
69:１３２人目の素数さん
08/01/01 15:30:23
>>7
look forじゃねえよ、みっともねえな
look atだ
70:１３２人目の素数さん
08/01/02 09:49:08
>>66 1個の時に並べないという選択は1個並べるという条件に反する。
71:紅谷おかめ
08/01/02 10:06:06
どうでも イイヨ
それより トランプ引いて スペードの エース出る 確立解るかな？
72:１３２人目の素数さん
08/01/02 23:59:50
何の定義もせずに (ほげ)^0=(単位元) を説明してくれ
73:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:05:47
中学生の範囲で0＾0＝1は説明できます
a^2*a^3=a^5
a^0*a^2=a^2
これは何の疑問もなくわかりますね？
2^0*2^2=2^2
つまり2^0をxと置くと、
x*2^2=2^2
4x=4
x=1
だからx^0は１です
74:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:16:03
>>73
ヴァカ者、早計じゃ
取り敢えず>>64氏提示のリンク先を見よ
75:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:17:14
>>74おっと申し訳ない
私の知識があまりにも浅かったようで、
76:１３２人目の素数さん
08/01/03 02:27:42
いやまぁしかし乙
77:αβγ
08/01/03 16:55:15
そもそも０^０なんて定義されてなぃよ。
一般にａ^０=１と言うのは,ａ^ｂとａ^(-ｂ)の積,つまりａ^ｂ×１/(ａ^ｂ)のこと。
だからａが０のときは定義できない。
78:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:39:29
>>77 は 嘘
79:１３２人目の素数さん
08/01/03 22:06:05
>>67&>>77
既出各氏レス引用で回答
>>62&>>68&>>74
0^0舐めんな
80:79:79改編
08/01/04 01:14:40
>>67&>>77
既出各氏レス引用で回答
【>>62&>>68&>>74】
詰まり0^0舐めんな
81:αβγ
08/01/04 23:43:35
このスレなんなの？
0^0を定義するスレなの？
ってかなぜ0^0=1って言う誤りをもっと指摘しないの？
82:１３２人目の素数さん
08/01/05 01:03:55
0!＝1 にすると
n!＝n(n-1)! が、n＝1 のときも成り立つ。
83:１３２人目の素数さん
08/01/05 01:14:31
0^0=0^(2-2)=0^2/0^2=0/0
84:１３２人目の素数さん
08/01/05 02:03:16
>>64が激しく無視されている件について
85:１３２人目の素数さん
08/01/05 04:54:51
ふんじゃあ抽出
Q.0^0 って幾つ? 0?1?
A.どちらでもありません。不定形と言って、未定義なのです｡
なぜなら、どんな値に定義しても、矛盾が生じるからです｡
lim[x→0](x^x) = 1 ですし、lim[x→0](x^(log{x}(e))) = e ですからね｡
未定義じゃなくて不定義だがな
86:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:52:24
.>>85 それは矛盾とは言わんだろ。
もともとは0で連続じゃないんだし。
87:85
08/01/05 16:17:17
>>86
そりゃ私ゃ承知済み
>>64リンク先の筆者がそう言う細かい言い回しに不備が
あると言うだけ
88:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:56:03
>>86
× もともとは0で連続じゃないんだし。
○ もともとは(0,0)で連続じゃないんだし。
89:１３２人目の素数さん
08/01/06 13:48:12
0^0を-1にするにはどう行けばいいですか
90:中卒
08/01/06 16:38:58
取り敢えず、無学者ながら
[x→0](x^(i*π*log{x}e))
91:中卒
08/01/06 16:47:28
あーもっと単純なのあった
[x→0]-x^x
92:１３２人目の素数さん
08/02/01 10:45:22
1/aが存在しないのに a^(-1) にあたるものを考える事もあるから 0 で割れないというのは 0^0 の値を与える上で本質ではない。
93:１３２人目の素数さん
08/02/17 20:53:12
kwsk