07/10/07 14:07:18
>>464
一般に，任意の自然数mに対して，a[n]がmの倍数になるような自然数nが存在することを示せば，
m=10^2008 ととることにより題意を満たすnが存在することが示される。
まず，{a[n]}に第0項 a[0]=0 を付け加えても，漸化式
a[n+2]=a[n+1]+a[n] は n≧0 で成り立つ。
さて，任意の自然数mに対して，m^2+1個の組
(a[0],a[1]), (a[1],a[2]), (a[2],a[3]), ……, (a[m^2],a[m^2+1])
を考える。
一般に，整数を m で割った余りは 0～m-1 の m 通りしかないので，
整数の組(x,y)のそれぞれを m で割った余りの組み合わせは m^2 通りしかない。
よって，上記の m^2+1 個の数の組の中には，m で割った余りが両方とも等しいような数の組がある。
それを (a[j], a[j+1]) と (a[k], a[k+1]) とする。（0≦j＜k≦m^2）
a[j-1]=a[j+1]-a[j] と a[k-1]=a[k+1]-a[k] より，
(a[j-1],a[j]) と (a[k-1],a[k]) も m で割った余りが等しい組になっている。
これを繰り返すと，(a[0],a[1]) と (a[k-j],a[k-j+1]) も m で割った余りが等しいことが言える。
k-j>0 より k-j は自然数で，a[k-j]≡a[0]=0 (mod m) なので，
a[n] が m の倍数となる自然数 n が存在することが示された。
477:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/07 15:48:41
全実数xで定義された関数f(x)が，任意の実数x,yについて
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)
f(1)≠0
を満たす．pが有理数ならば，f(p)=pが成り立つことを示せ．
478:１３２人目の素数さん
07/10/07 16:45:57
f(x+y)=f(x)+f(y)・・・１
f(xy)=f(x)f(y) ・・・２とする
2より、f(1/x)=1/f(x)
２から、f(1)=f(1)^2
f(1)≠0より
ｆ(1)=1
以後、1式にx=ｎ（1,2,...)y=1を代入していくことで
ｆ(R)=R(R=自然数）を示すことができる。
また、f(0)=0は１より明らか。
f(-1)=-1より、f(R)=R（R=整数）と拡張される。
よって、p=m/nと置いたとき、
f(p)=f(m/n)=f(m)/f(n)=m/n=ｐ
証明終
479:１３２人目の素数さん
07/10/07 17:35:33
log(2+sinx)≧（sinx+1)/2
を示せ
480:１３２人目の素数さん
07/10/07 17:44:05
t=sin xと置換して微分して増減を調べ、端点を調べれば終了。
481:１３２人目の素類さん
07/10/07 17:47:50
n!が連続するn-3個の整数の積となるようなｎのうち、最大のものを求めよ。
482:１３２人目の素数さん
07/10/07 17:49:57
2log(2+sinx)≧（sinx+1)
log(2+sinx)^2≧（sinx+1)
(2+sinx)^2≧e^（sinx+1)
4+4sinx+(sinx)^2-e^(sinx+1)≧0
f(x)=4+4sinx+(sinx)^2-e^(sinx+1)とおくと
f'(x)=4cosx+2sinxcosx-(cosx)*e^(sinx+1)=cosx(4+2sinx-e^(sinx+1))
／（＾o^）＼
483:１３２人目の素数さん
07/10/07 17:59:58
>>479
f(t)=(t-1)/2
とすると1≦t＜3においては
f(t)≦logt
あとはt=2+sinxで終了
484:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:00:57
f(t)=log(2+t)-(t+1)/2 とおく（1≧|t|)
f'(t)=1/(t+2)-1/2=2/2(t+2)-1(t+2)/2(t+2)=(-t)／(t+2)
t=0のとき局地を持つ
f(0)=log2-1/2
／（＾o^）＼
485:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:06:22
待てよ、4>eだから
2>√e
log2>1/2じゃん！！！
証明終了！
486:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:07:10
>>484
その極値は極大値。端点での値より大きい。
487:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:08:55
／（＾o^）＼
488:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:19:38
馬鹿が釣れたｗ
489:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:19:59
エエエエエエエ‥
490:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:20:00
23.
491:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:39:19
>>488
馬鹿が釣れたｗ
492:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/07 18:42:33
先生はA君とB君に次のように言った．
「1以上13以下の自然数x,y(x≦y)を選び，A君にはxとyの積を，B君にはxとyの和を教えます．」
そして積，和をそれぞれ教えた．
教えられた積を見てA君は言った．
A「この情報だけではx,yは特定できません。」…発言(ア)
教えられた和を見てB君は言った．
B「この情報だけではx,yは特定できません．ただ，A君がx,yを絶対に特定できない，ということは分かります．」…発言(イ)
発言(イ)を聞いたA君は言った．
A「それならx,yは特定できました．」…発言(ウ)
発言(ウ)を聞いたB君は言った．
B「それならx,yは特定できました．」
以上の会話からx,yを特定せよ．
493:１３２人目の素数さん
07/10/07 19:21:54
アから素数ではない
イから２の倍数or３の倍数or５の倍数
つまり4,6,8,9,10
それぞれの数を掛けた表を作ると
4→16,24,32,36,40 （４＊４も含め、それぞれの数を掛けた）
6→36,48,54,60 （４の場合を除き、６＊６、も含めそれぞれの数を掛けた、以下同じ行動を繰り返す）
8→64,72,80
9→81,９０
１０→１００
特定できないという条件から、同じ数字の可能性が複数ないといけないから
36(4*9,6*6)であることが分かる。
これらの数の和は、13と12である。
素数でないという条件から、１３となる数の和の組み合わせは(4+9)のみである
１２となる数の和は(6+6)(4+8)である
発言ウから二通りは考えられないので組み合わせは4.9である。
494:１３２人目の素数さん
07/10/07 19:30:00
パクリばっか
495:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/07 19:41:55
>>493
不正解です
496:１３２人目の素数さん
07/10/07 19:43:11
MASUDAさん、最近、見たことあるような問題が多いのはなぜですか？
新作するのが面倒になってきました？
それとも偽者？
497:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/07 19:49:48
現在第3回東大・京大予想模試作ってる最中で，ここでの作問は休み中です．ですのでちょっと改題した問題の中で予備校出題時に正答率低いものメイン出してます．
ちなみにそんな簡単にトリップをパクれるわけがないでしょう．
498:１３２人目の素数さん
07/10/07 19:50:59
問題が溢れ返った現代において、見たことの無い問題をポンポン出すというのは
無理があるだろう(しかも、出題範囲は高校レベルの狭くて貧弱な範囲のみ)。
499:１３２人目の素数さん
07/10/07 19:54:29
MASUDAさんは今ここでは
型を知っていれば驚く程簡単に解けてしまう問題を意識的に出題しているように見える。
極端に言えば人によっては瞬殺のこんなタイプ。（ＭＡＳＵＤＡ氏のはこれほど簡単ではないが）
実数で定義された実数値連続関数f(x)は任意の実数xに対し f(x)=f(2x) を満たしている。
ｆ（ｘ）は定数関数であることを示せ。
500:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:05:37
型にはまらない問題がそんなポンポン作れたら苦労ないだろ
新作が東大京大で出題されれば他大学も追随して型ができあがる
10題に1題でも作れたらいい方
501:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:09:13
型にはまらない問題がここで出されたことってあったっけｗ
502:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:12:20
型にはまるとかはまらないじゃなくて
２ちゃんでも何度も出てる問題そのもの
503:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:26:38
MASUDAのが大学入試で出てるというなら分かるが2chで出てるか？
504:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:30:58
最近このスレ荒れてるな
前スレまでと全然違う
誰が問題出しても解答よりも文句が多い。その文句も毎回同じ。お前らのレベルで文句言わないでくれよ。
受験生の俺にしてみたらほとんど新作難問
505:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:31:24
>>492
２から２５までの和を考える。
で、５と７が和と分かるのだがもう面倒くさくなった。
506:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:38:18
>>492なんて範囲が違うのも入れれば４、５回は見てる
507:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:40:25
>>492
(x,y)=(1,4)
イの発言から、和は、素数＋１、適当な大きさ以上の素数＋２、素数＋３、素数＋４
等ではないことが判り、結果、和の可能性は、5,7のみに限定される。
5=1+4=2+3 （積は４または６)
7=1+6=2+5=3+4 （積は６、１０、１２）
以下は、詳細説明面倒（６が共通しているが、それをキーに1,4へ導かれる。）
508:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:42:08
>>492のタイプの問題は大学入試よりは中学入試で出題されることが多いとか見たことがある
俺は解けんけど
509:１３２人目の素数さん
07/10/07 20:59:47
>>508
灘中模試で出たことあるよ。
510:１３２人目の素数さん
07/10/07 21:01:57
>>507
漏れも1,4になった
もしx,yの範囲が13以下という制限ない場合(正整数全体)をとる場合もやぱ1,4になるんかな？
証明ができないんだけど
素数分布考えなきゃならん気が…
511:１３２人目の素数さん
07/10/07 21:17:10
nを2以上の整数，p,qは互いに素な自然数とする．以下の不等式が成り立つとき，qがとりえない自然数の個数をnを用いて表せ．
1/(n+1)＜p/q＜1/n
512:１３２人目の素数さん
07/10/07 21:19:02
>>510
昔範囲を広げて探索したことがあるけど、範囲を三桁にしたらもう一個くらい見つかったような気がする。
513:１３２人目の素数さん
07/10/07 21:58:13
>>497
そういえば作問コンテストは？
514:１３２人目の素数さん
07/10/07 23:26:06
通常の数学との等価性が十分であるとすれば、確かに致命的ミスには
なりませんが、それを保証するには厳密な検証が必要になります。今井氏は、
「自分の提唱する発想で再構成したほうが合理的、分かりやすい」という
主張をしてるんだと思いますが、標準の数学ほど厳密な検証を得ているとは
思えません。
このように一般性を欠くものであるため、受験の場で利用するには、
それらがスタンダードな数学と整合性があるものであることを、
すべてあらかじめ答案用紙に証明してから利用する必要があります。
この結論部分だけで、たとえ「正しい」ものであっても、受験の場での
利用はすべきでない、と言えると思います。
ただし、問題に当たる上での着想や、より深い学習のきっかけ程度に
とどめておくならば、害だけがあるものではないと思います。それでも、
旧課程の複素数内容+その分野の発展的内容程度は見てからに
したほうがいいでしょうけれど。
515:１３２人目の素数さん
07/10/08 00:56:35
>>492
1999 日本大学・医学部
で出題されてるね。
「数学を決める論証力」（東京出版）p94に載っている。
（ただし原題はもっとヒントつき）
ちなみに1≦x≦y≦6に限定した問題が中学入試で
1987 栄光学園
で出てる。
ちなみに1＜x＜y≦20にした問題がここにある。
URLﾘﾝｸ(www.usamts.org)
516:１３２人目の素数さん
07/10/08 02:10:14
>>512
チェビシェフの定理(n＜p＜2nってやつ)を使うと、範囲が全正整数でも(1,4)しかないような気がするんだが
517:１３２人目の素数さん
07/10/08 02:36:47
>>515
そんな昔の中学入試の問題知ってるなんて塾関係の方ですか？
それとも何かの問題集にでも載っていたのでしょうか？
518:１３２人目の素数さん
07/10/08 02:50:03
>>517
大数99年11月号の、日大の問題の解説にそう書いてありました。
確かに塾関係の者だけど、中学入試は詳しくありません。
519:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/08 04:01:19
nを負でない整数とする．a[n]=2008*2^nとして，1からa[n]までの全ての整数が，a[n]の異なる約数の和で表すことができるとき，nの満たすべき条件を求めよ．
520:１３２人目の素類さん
07/10/08 05:11:50
f(x)をxについて微分できる関数とするとき, 次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]nCk{f(nCk)-f(0)}^k
とくにf(x)=(x-α)(x-β)のとき, 問題の極限値はどうなるか。
521:１３２人目の素数さん
07/10/08 05:34:54
>>520
問題文あってる？
522:１３２人目の素数さん
07/10/08 05:39:09
>>521
といいますと？
523:１３２人目の素数さん
07/10/08 05:41:04
↑
真性馬鹿
524:１３２人目の素数さん
07/10/08 05:44:03
>>523
といいますと？！
525:１３２人目の素数さん
07/10/08 05:51:48
指摘するところはたくさんあるが、例えば、f(0)は何なのかが明記されていない。
それにしても彼女っていいな。付き合って二週間。昨日初めてデートしたｗ
526:１３２人目の素数さん
07/10/08 06:10:31
昨日初めてデートなのに付き合って二週間？
やってもないのに彼女ってやつですか？
527:１３２人目の素数さん
07/10/08 06:24:50
>>526
といいますと！？
（これしか無いもんで･･･）
528:１３２人目の素数さん
07/10/08 07:05:46
>>527
といいますと？
529:１３２人目の素数さん
07/10/08 07:52:35
馬鹿どもが釣れた(*^_^*)
530:１３２人目の素数さん
07/10/08 09:05:00
(^Д^)ギャハ!↑みなさん、この人のレスどう思いますか♪
なんてありきたりなんでしょうね♪
誰もが皆、一瞬つけてみたくなる発想のレスです♪
しかし、賢明な人はその自らの短絡的思考を野放しにする事を嫌がり、
こういうレスは控えます♪
しかし、この人はしてしまったのです(^^;ワラ
「誰もが思い付くような事」を堂々と♪
この人にとってこのレスは何なのでしょうか♪
このレスをしている間にも時間は刻々と 過ぎ去っているのです♪
正にこの人のした事は「無意味」「無駄」でしかありません♪
ああ・・・何ていう事でしょう(^^;ワラ
図星で泣いちゃうかも(^^;ワラ
531:１３２人目の素数さん
07/10/08 09:15:18
>>530
といいますと？?
532:１３２人目の素数さん
07/10/08 09:57:41
お前らくどい
533:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:27:41
>>532
といいますと！？
534:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:40:06
>>533
といいますとといいますと？
535:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:50:28
>>534
といいますとといいますとといいますと？（怒）
536:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:53:41
政治家かｗ
537:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:54:18
もうやめよう。
538:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:54:56
>>535
といいますと^4(爆)
539:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:58:35
やめろっていっんてんだろウゴルァァァァアヤヤヤヤ
540:１３２人目の素数さん
07/10/08 11:02:42
あやや
541:１３２人目の素数さん
07/10/08 12:29:12
半径１０の円の中に長径２、短径１の楕円を転がすときにできる、曲線で囲まれた
内側の図形を回転させてできる体積を求めなさいとか。
542:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:08:16
>>541
高校生が解けるわけない
543:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:10:47
プロの数学者でも解けないだろｗ
544:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:17:50
>>541
ん？回転体の体積の話？
545:１３３人目の素数さん
07/10/08 13:19:44
〔（10-2x4)÷2〕ｘ3/4πｒ^3
546:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:25:29
>>545
はぁ？
547:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:26:54
>>519
n≧5
548:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:33:01
>3
549:１３２人目の素数さん
07/10/08 13:40:09
>>548
何それ
550:１３２人目の素数さん
07/10/08 14:15:56
>>549
と言いますと？
551:１３２人目の素数さん
07/10/08 14:21:56
―――――――――ここまで俺の自演――――――――――――
552:１３２人目の素数さん
07/10/08 14:25:34
nを正の整数、kを整数として、f(n,k)を以下のように定める。
f(1,1)=1
f(n,k)=0 (k＜1またはn＜k)
f(n,k)=(n-k+1)f(n-1,k-1)+kf(n-1,k)
pを0以上の整数として
g(p) = lim[n→∞]Σ[k=1,n]k^p*(1/2)^(k-1)
h(p) = 2^(p+1)*Σ[k=1,p]f(p,k)(1/2)^(k-1)
とおくとき、g(p)=h(p)が成り立つことを示せ。
553:１３２人目の素数さん
07/10/08 14:42:30
ﾁﾝﾁﾝ。難問まだぁ （AA略）
554:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:20:26
そんなに簡単だと言うんなら略解でいいから書いてくれよ
受験生には何が何だか
555:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:29:18
受験生はすっこんでろ！
556:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:31:00
a(4)=2512^7.
1+2+4+8+16+32+64+128=255.
557:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:52:07
数列{a_n}(n=1,2,...)を以下のように定める。
a_1=p, a_2=q, a_3=r
a_(n+3)=(a_(n+2)+a_(n+1)+1)/a_n
任意のnについてもa_nが整数となるとき、考えられる(p,q,r)の組み合わせをすべて求めよ。
558:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:53:45
>>554
まあまあ、>>555が答えてくれるさ
余裕で分かってるみたいだし
559:１３２人目の素数さん
07/10/08 15:59:20
>>558
と言いますと？
560:１３２人目の素数さん
07/10/08 16:05:04
king来い
561:１３２人目の素数さん
07/10/08 16:08:08
>>556
実用数の問題と分かっても251を素数と分からないときついな、これ
2007も2008もどうも題材にしにくい
次に素数になるのはまだまだだいぶ先だし
562:１３２人目の素数さん
07/10/08 18:14:43
>557
a_4 = (r+q+1)/p,
a_5 = (a_4 +r+1)/q = a_4*(p+1)/q -1,
a_6 = (a_5 + a_4 +1)/r = a_4*a_0/q, {但し a_0=(p+q+1)/r}
a_7 = (a_6 + a_5 +1)/a_4 = (p+1+a_0)/q = a_0*(r+1)/q -1,
a_8 = (a_7 + a_6 +1)/a_5 = a_0*{(a_4 +r+1)/q}/a_5 = a_0,
より
a_n の周期は８なので、 a_4 ～ a_8 が整数ならOK.
なお、a_n*a_(n+4) の周期は２,
秋山 仁 + P.フランクル: 「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社(1991)
p.7～8
563:１３２人目の素数さん
07/10/08 18:37:47
>>562
すいませんがa_4からa_8までが整数となる条件の求め方が分からないので教えてください
564:562
07/10/08 20:06:28
>563
a_n*a_(n+4) = (p+q+1)(q+r+1)/(rp) (n:偶数)
= 1 + (p+1)(r+1)/q (n:奇数)
が両方とも整数であることが必要。
565:１３２人目の素数さん
07/10/08 21:54:59
僕は大阪環状線の駅を全部言えるよ！
566:１３２人目の素数さん
07/10/08 21:58:51
>>565
そうかいそうかい、で、各駅では他のどの線と接続できるか全部いえるか？
567:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:05:50
そういや今年の土曜丑の日に見つけた画像。
URLﾘﾝｸ(www.uploda.org)
切ねぇ(･ω･)
568:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:26:31
他所でここの問題を改ざんして出してみようぜ！！！
569:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/08 23:41:08
数列{a[n]},{b[n]}は以下の関係式を満たす(n=1,2,…)
a[n]={Σ[k=1,n](b[k]k^p)}/{Σ[k=1,n]k^q}
このとき，以下の条件が成り立つような0以上の整数の組(p,q)を全て求めよ．
条件『{a[n]}が等差数列であることと，{b[n]}が等差数列であることが，互いに必要十分となる．』
570:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:42:45
なんかだかなぁ。
もうちょっとピリっとするやつないのかなぁ。
もう解き方が気になって気になって夜も眠れないようなやつ。
571:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:44:30
>>570
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
572:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:53:32
>571
問題になっていない。
最初の・の2行目は何を言いたいのだ？
573:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:55:42
そんなに頭いいなら、こんなスレに張り付いてないで論文を読んで頑張ってください。
574:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:59:00
ここは問題を出題するスレなんだろう？
ぐちゃぐちゃ言わずにさっさと問題を出せや。
これじゃ暇潰しにもなりゃしねぇ。
575:１３２人目の素数さん
07/10/08 23:59:32
>>570
東大レベルじゃなくなると意味がないじゃん
576:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:00:45
>>575
いや東大レベルでいいんだ。問題プリーズ！
577:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:03:16
>>574
じゃあこれでも解いてろ
数列{a[n]}を以下のように定める。
a[1]=1
a[n+1]=a[1]a[2]…a[n]+1
このとき、適当なnについてa[n]を割り切る2007以下の素数は30個以下であることを示せ。
578:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:03:42
>>576
とりあえず>>569
579:１３２人目の素類さん
07/10/09 00:04:22
２つの異なる数a、bが集合{2,2^2,2^3,‥‥,2^25} から無作為に選ばれるとき、log[a]bが整数となる確率を求めよ
580:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:10:54
>>579
31/300
581:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:12:16
あー！！いらいらするな。
おまえら、それでも東大レベルのつもりか？
東大なめてないか？！
582:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:12:43
>>577
n=1とすれば、a[1]=1であり、これを割り切る2007以下の素数は0個。よって成り立つ。
583:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:14:43
a[1]=1,およびすべての自然数nに対して関係式
a[n]>0
(a[n+1])^3-3a[n+1]=a[n]
が成り立っている。このときlim[n→∞]3^2n・(2-a[n])を求めよ。
584:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:15:10
>>581
>>571
585:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:16:08
>>581
お前が東大を知らないだけ
東大はもっと簡単
586:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:18:10
いや、たぶん>>581は数学できないDQN
単なる嵐
587:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:19:29
おまえら、自分の出してる問題がちょっとでも難しいとｗ
なげかわしい。
588:581
07/10/09 00:20:25
馬鹿が釣れたｗ
589:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:25:10
じゃあ天才の>>587君よ、前レスで出たこの問題の難度は君から見たら東大レベルに値するかね？
空間に無数の点の集合Aがあり、どの2点間の距離も1以下である。このとき、任意の集合AについてもAを周および内部に含むことができるような立方体の一辺の長さの最小値を求めよ．
590:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:26:20
数列{a_n}(n=1,2,・・・)を次のように定める。
a_1=5,a_2=12,a_3=13
a_2n=(a_1+a_3+・・・+a_2n-1)/n (n>1)
a_2n+1=(a_2+a_4+・・・+a_2n)/n (n>1)
このときlim[n→∞]a_nを求めよ。
591:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:28:28
みんな数列好きだな
592:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:36:13
半径の８円の中に一辺の長さが２である正方形を敷き詰めたい。
正方形が重ならないように敷き詰めていくとき、正方形は最大いくつまで入るか？
593:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:40:57
ギリギリ範囲外っぽい問題に数オリ級の問題、と
煽られた奴は安直にこんな問題出すんだよな
東大レベルだよ東大レベル
594:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:56:14
８円
595:１３２人目の素数さん
07/10/09 00:59:23
>>588
スレと関係ないんだけどさ、俺「釣り」とか「釣り師」っていうのは、
釣り師 ↓
.
／| ←竿
○ ／ |
. （Vヽ／ |
＜＞ |
ﾞ'ﾞ":"''"''':'';;':,':;.:.,.,＿_|＿＿＿＿＿＿＿＿＿
|
餌（疑似餌）→.§ >ﾟ++< ～
の組み合わせだと思ってたんだけど、
最近自称釣り師がダイレクトで自分の本音を攻撃されて「釣れた！」とか
言ってるの多いよね。
これは、どっちかというと、
,～～～～～～ 、
|＼ （ 釣れたよ～・・・）
| ＼ ｀～～～v～～～´
し ＼
ﾞ'ﾞ":"''"''':'';;':,':;.:.,., ヽ○ノ
~~~~~|~~~~~~~￣￣￣￣￣￣￣
ト>ﾟ++<
ノ）
かと思うんだけど、どうよ？
596:１３２人目の素数さん
07/10/09 01:20:45
ラスボスはエストシーモア
597:１３２人目の素数さん
07/10/09 01:43:58
>>592
どうやればいいのか誰かおしえてくれ
こういうの苦手
>>590
過去問の誘導をカットしただけだろ
598:１３２人目の素数さん
07/10/09 02:07:50
>>574
出題するスレだから、出題されたものを考えるスレや
主題のリクエストに答えるスレじゃないんだ。
599:１３２人目の素数さん
07/10/09 02:09:40
>>595
ずいぶん気持ちよさそうじゃん。
600:１３２人目の素数さん
07/10/09 02:28:34
f(0)={}、x>0のとき、f(x)={r,f((x-r)/2)} (rはxを2で割った余り)
例えばf(1)={1},f(2)={0,1}
では、f(x)={1,1,0,0,0,1,1}になるようなxの値を求めよ。
601:１３２人目の素数さん
07/10/09 02:53:28
>583
a[n] = 2cos(π/(3^n)), なので π^2.
602:１３２人目の素数さん
07/10/09 09:06:18
>>587が>>589に答えられず逃亡ｗ
やっぱり数学できないDQNだったねｗ
603:１３２人目の素数さん
07/10/09 09:16:19
>>600
問題おかしくね？
604:１３２人目の素数さん
07/10/09 10:03:44
>>603
といいますと？
605:１３２人目の素数さん
07/10/09 11:48:28
>>600
なんかよくわからんな
606:１３２人目の素数さん
07/10/09 11:58:05
>>569
(p,q)=(1,0),(2,1)
607:１３２人目の素数さん
07/10/09 12:04:08
f(1)={1,{}}
f(2)={0,{1,{}}}
f(3)={1,{1,{}}}
f(4)={0,{0,{1,{}}}}
f(5)={1,{0,{1,{}}}}
f(6)={0,{1,{1,{}}}}
f(7)={1,{1,{1,{}}}}
608:１３２人目の素数さん
07/10/09 12:48:22
>>600
f(x)は xを二進数で表した時の下の桁からを並べた数列
（ただしそこから上というか後が全部0になったら終わり）
f(x)={1,1,0,0,0,1,1} ならば x= 2＾0+2＾1+2＾5+2＾6 = 1+2+32+64 = 99
f(x)={0,0,0,0,0,0,0,0,1} ならば x = 2＾8 = 256
609:１３２人目の素数さん
07/10/09 12:53:05
↓ここがまずくね？
f(x)={r,f((x-r)/2)} (rはxを2で割った余り)
f(x)=join ({r} , f((x-r)/2) ) (rはxを2で割った余り) (join（A,B)は数列の結合)
とでもすればいいのかな？
610:１３２人目の素数さん
07/10/09 13:01:44
小中高で完全に位取り記数法の内容は教科書から完全になくなった
かつては2進法とかを出しまくってた東大ももう出さないだろな
611:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/09 16:36:08
n,kは整数で，0＜n, 0≦k≦n-1を満たしている．空間にn個の定点Q[1],Q[2],…,Q[n]があり，これに対して2n+1個の点列P[0],P[1],P[2],…,P[2n]を以下のように定める．
(i) P[k]のQ[k+1]についての対称点をP[k+1]とする．
(ii) P[n+k]のQ[k+1]についての対称点をP[n+k+1]とする．
このとき，Q[1],Q[2],…,Q[n]をどのように置いてもP[0]とP[2n]が一致するためのnの満たすべき条件を求めよ．
612:１３２人目の素数さん
07/10/09 17:47:23
a[0]=1、および関係式
a[n]=√{1+(a[0]+a[1]+‥‥+a[n-1])^2} (n=1,2,3,‥‥)
で数列{a[n]}を定める。このとき、
linm[n→∞]2^(n+1)/a[n]
を求めよ。
613:１３２人目の素数さん
07/10/09 18:18:17
a,b,cを自然数とする。
a^(b^c)=4^(4^4)
となる自然数の組（a,b,c）は何通りあるか？
ただし、b≠1、とする。
614:１３２人目の素数さん
07/10/09 18:23:32
>>613
宮城教育大かどっかのそのまんま
615:１３２人目の素数さん
07/10/09 21:36:00
>>612
a[n]=sin(π/2^n)とおいて終了
616:１３２人目の素数さん
07/10/09 21:37:57
うわ違うｗｗｗｗｗ
a[n]=1/sin(π/2^(n+1))だった
∴ π
617:１３２人目の素数さん
07/10/09 22:35:34
>>613
今年の広中杯だっけ？
618:１３２人目の素数さん
07/10/09 23:16:28
>>617
中2までのジュニア広中杯
この程度の問題10問程度を2時間で解く
100点、99点、98点、97点、96点
が1人ずついるのには驚いた
619:１３２人目の素数さん
07/10/09 23:21:27
>>600
＞f(0)={}、x>0のとき、f(x)={r,f((x-r)/2)} (rはxを2で割った余り)
＞例えばf(1)={1},f(2)={0,1}
>>607
＞では、f(x)={1,1,0,0,0,1,1}になるようなxの値を求めよ。
集合の表記法では、同じ元は重複して書いても意味がなく
{1,1,0,0,0,1,1}＝{0,1}になってしまう。
620:１３２人目の素数さん
07/10/09 23:25:53
>>618
>>613は東大入試問題でも通用するな。
621:１３２人目の素数さん
07/10/10 00:28:44
>>590
題意より、a_n は (a_1+a_3)/2 と a_2 の加重平均だから
a_m = a_2 + {(a_1+a_3)/2 - a_2}*b_m,
とおく。これを与式に代入して
b_(2n-1) = 4 -2/(n-1) - 2∑[k=1,n-1] (1/k)^2,
b_(2n) = 4 -(2/n) - 2∑[k=1,n-1] (1/k)^2,
よって
b = Lim[m→∞) b_m = 4 -2ζ(2) = 4 - (π^2)/3 = 0.7101318663 0354712705 5169666707 95･･･
Lim[m→∞) a_m = a_2*(1-b) + {(a_1+a_3)/2}*b,
622:１３２人目の素数さん
07/10/10 12:59:13
(1)Σ[n.k=1]n^3=(Σ[n,k=1]n)^2を示せ
(2)Σ[n.k=1]n^(s+2)=(Σ[n,k=1]n^s)^2を示せ (s=1,2,3,・・・・)
を示せ
623:１３２人目の素数さん
07/10/10 18:27:52
>>622
はあ？
624:１３２人目の素数さん
07/10/10 21:42:09
>>623
気にすんな
625:１３２人目の素数さん
07/10/10 22:06:58
(1)Σ[n.k=1]n^3=(Σ[n,k=1]n)^2を示せ
(2)Σ[n.k=1]n^(s+2)=(Σ[n,k=1]n^s)^2を示せ (s=1,2,3,・・・・)
を示せ
626:１３２人目の素数さん
07/10/10 22:07:50
>>611
求める条件：nは奇数
nが偶数のときは配列によっては不可となる
627:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/10 22:50:25
[x]で実数xを越えない整数を表すものとする．a=(1+√5)/2として，集合A,Bを
A={[pa]|p=1,2,…}
B={[qa]+q|q=1,2,…}
と定める．
(1) A∩Bはどのような集合か．
(2) A∪Bはどのような集合か．
628:１３２人目の素数さん
07/10/10 22:51:43
つまらん
629:１３２人目の素数さん
07/10/11 02:30:42
>>625
(1)(左辺)=n^4=(n^2)^2=(右辺)
(2)s=1でのみ成立、他で不成立。
630:１３２人目の素数さん
07/10/12 01:48:57
>154
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
631:１３２人目の素数さん
07/10/12 21:20:10
赤福ﾜﾛｽｗ
632:１３２人目の素数さん
07/10/13 01:01:21
x^2+8x+10a+b=0(a≠0,ａ，ｂは整数）の解をp，q(|p|<|q|）とする。
を解こうとしたところ、定数項の10の位と1の位を
入れ替えてしまい解r,sを得た。(|r|<|s|）
|p|+2=|r|,|q|+2=|s|のとき
(1)a<0,b<0であることを示せ。
(2)a,bを求めよ。
633:１３２人目の素数さん
07/10/13 01:18:30
(1)muri
(2)muri
634:１３２人目の素数さん
07/10/13 10:25:20
「入試問題作成者がソレをばらすスレ」ってーのを作ってよ。
635:１３２人目の素数さん
07/10/13 10:36:02
muri
636:１３２人目の素数さん
07/10/13 19:48:20
馬鹿が釣れました
637:１３２人目の素数さん
07/10/13 20:22:07
>>174
I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = [ (1/6)x^3 +(1/8)(1-2x^2)sin(2x) -(x/4)cos(2x) ](x=0,π/2)
= π/8 + (π^3)/48 = 1.0386631792 0497040846 3586986807 9･･･,
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加である。
そこで、xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで〔系〕により
I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
I(n) > I(2)^(n-1) >1,
だから,
I(n+1) >I(n),
〔ヘルダーの不等式〕
(1/p)+(1/q)=1, p>1, q>1, a<u<b で f(u)≧0, g(u)≧0 ならば、
{∫[a,b] f(u)^p du}^(1/p)・{∫[a,b] g(u)^q du}^(1/q) ≧ ∫[a,b] f(u)g(u)du,
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
〔系〕
n>1 のとき I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
上の不等式に f(u) = s(u)^(n-1), g(u)=1, a=0, b=1, p=n/(n-1), q=n を代入する。(終)
638:１３２人目の素数さん
07/10/14 04:47:37
>>637同一人物？
150:１３２人目の素数さん[sage]
2007/10/13(土) 22:21:20
>149
(略解)
・n = 1 のとき
I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,
ゆえ n=1 のとき成立。
・n> 1 のとき
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで ヘルダーの不等式 により
{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
I(n) > I(2)^(n-1) > 1,
から
I(n+1) > I(n),
n> 1 のときも成立。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
東大入試作問者スレ１１
不等式への招待 第３章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
639:１３２人目の素数さん
07/10/14 07:33:17
>627
C = {1,2,･･･,n-1},
とおくと、#C = n. さらに,
A' = A∩C = {[pa] | p∈N, pa<n} = [n/a],
B' = B∩C = {[q(a+1)] | q∈N, q(a+1)<n},
とおく。
#A' = [n/a], #B' = [n/(a+1)], はどちらも広義単調増加。
題意より, 1/a + 1/(a+1) = (2a+1)/(a(a+1)) = 1,
∴ n/a + n/(a+1) = n,
∴ #A' + #B' = [n/a] + [n/(a+1)] = n-1 = #C,
∴ nを1づつ増やすと、A' と B' の一方が1だけ増え、他方は元のまま。
∴ A'∩B' = φ, A' U B' = C,
ここで n→∞ とすると,
A∩B = φ, AUB＝N.
640:639
07/10/14 07:37:25
>627
訂正しまつ。
C = {1,2,･･･,n-1},
とおくと、#C = n-1. さらに,
A' = A∩C = {[pa] | p∈N, pa<n},
B' = B∩C = {[q(a+1)] | q∈N, q(a+1)<n},
とおく。
641:１３２人目の素数さん
07/10/14 08:59:08
>613
(a,b,c) = (2,2,9) (2,2^3,3) (2,2^9,1)
(2^2,2,8) (2^2,2^2,4) (2^2,2^4,2) (2^2,2^8,1)
(2^4,2,7) (2^4,2^7,1)
(2^8,2,6) (2^8,2^2,3) (2^8,2^3,2) (2^8,2^6,1)
(2^16,2,5) (2^16,2^5,1)
(2^32,2,4) (2^32,2^2,2) (2^32,2^4,1)
(2^64,2,3) (2^64,2^3,1)
(2^128,2,2) (2^128,2^2,1)
(2^256,2,1)
より 23とおり?
642:１３２人目の素数さん
07/10/14 09:44:28
xy平面上の動点P(p,q)はp^q=q^pかつp＞qを満たしながら動く．点Pの軌跡を表す曲線Cの式をy=f(x)とするとき，e＜a,e＜bを満たす任意の実数a,bについても
f((a+b)/2)≦{f(a)+f(b)}/2
が成り立つことを示せ．
643:１３２人目の素数さん
07/10/14 15:27:14
ヘルダーの不等式で検索したらこんなページが。
URLﾘﾝｸ(www.nikonet.or.jp)
意外と面白かったな
644:１３２人目の素数さん
07/10/14 17:44:02
つまらん
645:１３２人目の素数さん
07/10/14 17:58:54
>>642
y=x^(1/x)のグラフを考えて、その凸性を考えれば自明な気がします。
答案にまとめるのもそれほど難しくないかも。大数ぽくかけばC*くらい
でしょうか。
不等号の向きが逆ぽい。
646:１３２人目の素数さん
07/10/14 18:13:10
>>645
激しく勘違いだ馬鹿者
問題ちゃんと嫁
647:１３２人目の素数さん
07/10/14 18:20:47
>>645はf(x)をx^(1/x)と勘違いしてるな。全く自明じゃないし、C*とかありえん。これはD#レベル。
648:１３２人目の素数さん
07/10/14 18:31:55
スミマセン。早とちりですた。
649:１３２人目の素数さん
07/10/14 20:20:30
645 名前：１３２人目の素数さん sage 投稿日：2007/10/14(日) 17:58:54 >>642
y=x^(1/x)のグラフを考えて、その凸性を考えれば自明な気がします。
答案にまとめるのもそれほど難しくないかも。大数ぽくかけばC*くらい
でしょうか。
不等号の向きが逆ぽい。
650:１３２人目の素数さん
07/10/14 23:47:11
>>648
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
651:１３２人目の素数さん
07/10/15 00:46:22
>>649-650
少し上にあるのにわざわざコピペして楽しいか？高校生程度相手に揚げ足とり
とは幼稚すぎる。厨房か高校生か？だとしたら数学勉強する前にもっと学ぶこ
とがある。
652:１３２人目の素数さん
07/10/15 00:48:55
>>651
おまいさんも2chに書き込む前に学ぶことがあるんじゃないのか？ﾌﾟｯ
653:１３２人目の素数さん
07/10/15 02:05:17
>>652
だな。
654:１３２人目の素数さん
07/10/15 02:25:22
>645を書いた頃
URLﾘﾝｸ(vista.undo.jp)
涙目で>651を書いた頃
URLﾘﾝｸ(vista.undo.jp)
655:１３２人目の素数さん
07/10/15 02:33:59
そろそろ、そっとしておいてやれよ。
656:１３２人目の素数さん
07/10/15 02:49:01
x[n]を実数としたとき
∑[k=1,n](x[k])^2･cosπ/n≧∑[k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1]
が成り立つことを示せ
657:１３２人目の素数さん
07/10/15 08:18:14
MASUDA必死だな
658:１３２人目の素数さん
07/10/15 09:31:40
どこにMASUDAがいんだよｗ
659:１３２人目の素数さん
07/10/15 09:45:52
>>658
660:１３２人目の素数さん
07/10/15 10:03:22
ますだは名無しとコテを使い分けるなってｗｗｗｗｗ
661:１３２人目の素数さん
07/10/15 10:13:38
10a+b=-48
a=-5
b=2
662:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/15 11:46:42
呼びましたか？
663:１３２人目の素数さん
07/10/15 11:51:04
別に。
664:１３２人目の素数さん
07/10/15 12:03:22
>>662
>>657=>>660は図星の指摘受けたらあんたの名前出して逃げてるだけ あんたは呼んでないからサイトへ帰れっ
665:１３２人目の素数さん
07/10/15 12:25:50
>>662
>>183への返事はまだ？
MASUDAが来るまで待ってさらに十日待ったぞ
666:１３２人目の素数さん
07/10/15 14:11:28
うるせぇ馬鹿
667:１３２人目の素数さん
07/10/15 14:13:06
やはり名無しか
668:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:46:06
∫(0→π/2)(cos x)^(n-2) sin(nx) dx を求めよ。
n は2以上の自然数。
669:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:56:38
2222^5555 + 5555^2222 は ７の倍数である事を示せ。
670:１３２人目の素数さん
07/10/15 16:30:32
すくなくとも、７回はかけてるだろう。
671:１３２人目の素数さん
07/10/15 17:24:23
ここもくだらん板になったもんだな
MASUDAは問題枯渇して大した問題出さない
名無しは東大とはほど遠い問題
難問が出たら解けないからと荒らしてごまかす
２つくらい前のスレからかなりレベル下がったね
672:β ◆aelgVCJ1hU
07/10/15 17:35:41
>>669
2222^5555 + 5555^2222
2222*2222*2222… + 5555*5555*5555…
1111^5555(2^5555)+1111^2222(5^2222)
1111^2222(5^2222+1111^3333*2^5555)
11 21 31…01
2222/10=X…2
5 5 5…5
3333/10=Y…3
2 4 8 2 4 8…2
5555/3=Z…2
21(5+31*4)=21*129=2709
これは7で割り切れる。
簡単じゃん？
673:１３２人目の素数さん
07/10/15 17:44:45
>>664、>>671
少し黙ってろ！
674:１３２人目の素数さん
07/10/15 18:10:01
>>673
攻撃されて火消しに必死ｗ
675:１３２人目の素数さん
07/10/15 18:11:18
やはりβ
期待どおりに零点
676:１３２人目の素数さん
07/10/15 18:46:34
nが7で割り切れない整数であるとき、フェルマーの小定理から
n^6≡1 (mod 7)
2222≡2 (mod 6)
5555≡5 (mod 6)
これと
2222≡3 (mod 7)
5555≡-3 (mod 7)
から
2222^5555+5555^2222≡3^5+(-3)^2≡252≡0 (mod 7)
677:１３２人目の素数さん
07/10/15 19:02:33
「宅間の公式」究極公式募集スレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
物理数学公式に優秀な方 力を披露してくださいお願いします！！
678:１３２人目の素数さん
07/10/15 19:20:25
nは0以上の整数として、下記で定まる数列の一般項及び収束値を求めよ。
a[0]=1,a[1]=-1/2,
a[2n+2]=2*a[2n+1]*a[2n]/(a[2n+1]+a[2n])
a[2n+3]=√(a[2n+2]*a[2n+1])
※入試レベルにするには、導入問題を入れるべきだが、ここでは省く。
679:１３２人目の素数さん
07/10/15 21:10:39
>>672
惨め
680:１３２人目の素数さん
07/10/15 21:22:10
βにレスするカス
681:１３２人目の素数さん
07/10/15 22:54:12
>656
ここら辺に解答…
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:196-197番)
線形代数/線型代数４
682:１３２人目の素数さん
07/10/16 00:23:43
>>676
高校範囲でおねがしします
683:１３２人目の素数さん
07/10/16 00:50:33
>668
生姜ねぇ･･･高校範囲でやるか･･･
∫cos(x)^(n-2)･sin(nx)dx = ∫ cos(x)^(n-2){cos(x)sin((n-1)x)+sin(x)cos((n-1)x)｝dx
= ∫{cos(x)^(n-1)･sin((n-1)x) + cos(x)^(n-2)sin(x)･cos((n-1)x)｝dx
= -(1/(n-1))∫{cos(x)^(n-1)･{cos((n-1)x)}' + {cos(x)^(n-1)}'･cos((n-1)x)｝dx
= -(1/(n-1)) cos(x)^(n-1)･cos((n-1)x) +c,
森口･宇田川･一松, ｢数学公式I｣ 岩波全書221, p.184 (1956)
684:１３２人目の素数さん
07/10/16 01:14:08
高広範囲じゃなかったら？
685:１３２人目の素数さん
07/10/16 01:45:12
2=cos(arccos(2))=2
686:１３２人目の素数さん
07/10/16 05:48:36
>678
a_(2n) = k*(2^n)tan(θ/(2^n)),
a_(2n+1) = k*(2^n)sin(θ/(2^n)),
ここに、1/k = √{(1/a_1)^2 - (1/a_0)^2} = √3, θ = 4π/3,
なお、これは下記の類題 （ a_(2n) = 1/A_n, a_(2n+1) = 1/B_n とおく）
高木, ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波 (1961) 練習問題 (1)-(2)
687:１３２人目の素数さん
07/10/16 11:01:12
>>686
解析概論に類題があるのは知らなかった。
>>678は元々は円に外接／内接する正ｎ角形の全周を、ｎ＝３，６，１２，．．．
と増やしていったとき、それらの間の関係式を数列に結びつけ、初項をいじった物だった
（図を用いて、相似関係を繰り返せば、中学生にも理解可能）
{2*tan(x/2)}=2*tan(x)*sin(x)/(tan(x)+sin(x))
sin(x)*{2*tan(x/2)}={2*sin(x/2)}^2
あるいは、
tan(x/2)=tan(x)*sin(x)/(tan(x)+sin(x))
のみの証明問題を誘導問題として想定
688:１３２人目の素数さん
07/10/16 11:57:26
算術幾何平均とかって楕円積分とかと関係して初等的に求めるのは大変だと思っていた。。
689:１３２人目の素数さん
07/10/17 01:09:11
>688
a_(2n+3) = √{a_(2n)a_(2n+1)}, なら 極限値は 4Ｋ(κ)／{π(A_0+B_0)},
ただし、A_0=1/a_0, B_0=1/a_1, κ=|A_0-B_0|／|A_0+B_0|, Ｋ()は第1種の完全楕円積分。
高木, ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波 (1961) 練習問題 (1)-(1)
690:１３２人目の素数さん
07/10/17 02:43:14
【今日の問題】
■10/16 C*** 整式・三角関数 ●未解決(#1)
1[益田]
f(x),g(x)は整式で，-∞＜t＜∞において，
f(sint)=g(cost)
が成り立つものとする．このとき，整式f(x)とg(x)はともに偶関数であり，次数が等しいことを示せ．
(京都府立医科大学)
2007-10-16 01:41
691:１３２人目の素数さん
07/10/17 09:08:31
f(-sint)=f(sin(-t))=g(cos(-t))=g(cost)=f(sint)
g(-cost)=g(cos(t+π))=f(sin(t+π))=f(-sint)=g(cost)
f'(x)/x, -g'(x)/x はより次数の小さな整式で、
f'(sint)/sint=-g'(cost)/cost となるので、帰納法。
692:１３２人目の素数さん
07/10/17 09:32:45
-1≦sint,cost≦1だから、それじゃ証明になっていない。
693:１３２人目の素数さん
07/10/17 14:30:06
,-,ｉｉ|||||||||||||||||ｉｉ､‐､
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,＿/ ｉ|||||||||||||||||||||||||ｉ ヽ＿,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
゛゛ｌｌｌｌ||||||||||/ ' ｉ|||||| |||||||||||||||||i ` ヾ|||||||||||ｌｌｌｌ""
゛ｌｌｌ/ ||||||| |||||||||||||||||| ,ｌｌｌｌ""
＼ ｌ|||||||||||||||||||||||||||ｌ ／ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
彡 ゛ｌｌ||||||||||||||||||ｌｌ" ミ |
＼＿ ゛゛Ｙ"" ＿_ノ | やれやれ…
| ］下ﾐ─-｡､_|_, ｡-―ﾃ「 ［ l | その程度ですか？
ゝ_,. lﾐミi＝´<_,.｀＝ｉ=ｦ ､__ﾉ ＜ 正直あなたには失望しましたよ
ヽlミ| 「‐､=ラ7 |ヲ'´ |
＿＿＿＿＿＿_ , へ ﾉ`i=､_ 二 _,=ｉゝ､_,へ､ ＿ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
i i i ￣| |―-＼￣∠-―| |￣ i i i
694:１３２人目の素数さん
07/10/17 21:55:29
■10/14 C*** 楕円 ●未解決(#1)
1[益田] [<編>]
半径1の円の周長をAとし，短半径1-a，長半径1+aの楕円の周長をBとする(aは0＜a＜2を満たす実数)．
このとき，AとBの大小比較をせよ．
(オリジナル)
※固有分野のため，出題されるとすれば京大になるでしょう．
落ち着いて考えれば難しくはない(Cレベル)のですが，某所で出題したところ，
あまりにも正答率が低かった問題です．
2007-10-14 09:52
695:１３２人目の素数さん
07/10/17 22:04:16
>>690
>>694
これは質問か？
いずれにせよ東大作問スレに過去問とか持ってくるな
ついでに>>694は前スレで出てる
696:１３２人目の素数さん
07/10/17 22:10:57
a>1の時、楕円の短半径が負になるが、「落ち着いて考えれば難しくはない」問題なのか？
697:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:13:24
>>696
益田の中で短半径と短軸がごちゃ混ぜになったんだろうな。
前スレで出されたときはa＜1になってたかどうかは知らんが、解答した奴はいなかったから、益田が言う某所ってこのスレのことか？
まあ前スレでは「楕円積分使わないと解けない」とほざいてた奴もいたのは確かだが。
698:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:44:17
楕円積分使わないと解けない
699:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:12:22
>>698
馬鹿発見ｗ
積分式にして比較してみろよｗ
700:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:14:54
楕円積分使わないと解けない
701:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:21:18
>>699
お前本当にやってみたんか？
702:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:27:35
トラックバック:URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
703:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:35:25
>>700-701
aの範囲が0＜a＜1であるかは別にして、>>699が「積分式で比較」とほぼ答えを言ってくれてるのになぜお前らは分からんのだ？お前らこそ本当に試したのか？
704:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:42:06
>>703
つまり積分（楕円積分）使わないと解けない
705:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:47:15
>>698に反論するなら使わん方法示さな
706:１３２人目の素数さん
07/10/18 00:49:09
A=∫[0,π/2]√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}dθ
B=∫[0,π/2]√{(1-a)^2*(cosθ)^2+(1+a)^2*(sinθ)^2}dθ
を比較すればおk。
このときのBは楕円積分。楕円積分の性質は使わないけどね。
707:１３２人目の素数さん
07/10/18 02:41:52
正直に言わせてもらうが、頭が悪い
708:１３２人目の素数さん
07/10/18 02:45:49
確かに。
楕円積分を知らずに>>699なんて書くとは。
709:１３２人目の素数さん
07/10/18 02:57:48
【今日の問題】
■10/18 C*** 極限 ●未解決(#1)
1[益田] NEW!
nを正の整数とする．2^k(k=1,2,…,n)のうち，最高位の数が1であるものの個数をa[n]で表す．
このとき，次の極限値を求めよ．
lim[n→∞]10^(a[n]/n)
2007-10-18 00:31
710:１３２人目の素数さん
07/10/18 04:03:33
>700
B = ∫[0,π/2] √{(1-a)^2*(cosθ)^2 + (1+a)^2*(sinθ)^2} dθ
= (1+a)∫[0,π/2] √{[(1-a)/(1+a)]^2･(cosθ)^2 + (sinθ)^2} dθ
= (1+a)∫[0,π/2] √{1 - [4a/(1+a)^2](cosθ)^2} dθ
= (1+a) E{2(√a)/(1+a)} (a^2 でマクローリン展開････)
= (π/2){1 + Σ[r=1,∞) [(2r-3)!!/(2r)!!]^2 a^(2r)}
≧ π/2.
711:１３２人目の素数さん
07/10/18 08:58:04
>>700
別にマクローリン展開せんでも…
712:１３２人目の素数さん
07/10/18 08:59:06
>>709
だから貼るなって
713:711
07/10/18 09:27:02
誤爆スマソ
× >>700
○ >>710
714:１３２人目の素数さん
07/10/19 03:39:01
>>713
それはアンカーミスと言う
誤爆というのは 落とすスレを間違えた時に使うのがよかろう
715:１３２人目の素数さん
07/10/19 08:29:17
誤爆ｽﾏｿｗ
716:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/10/19 15:50:16
異なるm個の素数p[1],p[2],…,p[m]がある．正の整数のうち，p[1],p[2],…,p[m]のいずれかで割り切れ，かつp[1],p[2],…,p[m]以外の素数では割り切れないものの個数をa[n]とする．また，
b[m]=(logp[1])(logp[2])…(logp[m])
とする．
このとき，以下の極限値をmを用いて表せ．
lim[n→∞]{a[n]b[m]/(logn)^m}
717:１３２人目の素数さん
07/10/19 20:22:44
計算が大変なだけでつまらん。
718:１３２人目の素数さん
07/10/19 20:36:38
>>717
別に計算は大変じゃないだろ
719:１３２人目の素数さん
07/10/19 20:43:05
MASUDAさんとこにまたIQ200君が現れたね。IQ300に増量してたけどｗ
数検１級受かってもいないのにあのIQはないなｗｗｗ
この板にたまにいるＤＱＮがIQ200君である予感
720:１３２人目の素数さん
07/10/19 20:49:21
IQと学力は関係ない。
721:１３２人目の素数さん
07/10/19 20:52:34
>>717
いつも「つまらん」しか言わんあんたはよほど頭がいいんだろうな。てわけで>>642を教えてくれ。さっぱり方針がたたん。あんたなら解けるだろ