07/10/06 04:45:01
いかにも京大チックな気がしますが・・・
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ ( 3√3 )/2
439:１３２人目の素数さん
07/10/06 04:52:39
(1) 実数 x について、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
1 + x ≦ e^x ≦ 1 + x + x^2/2
(2) n を自然数とする。xy 平面において、y = e^(-x/n) 、y=x^n ( x ≧ 0 ) 、x = 0 で囲まれた領域を S(n) とおく。
このとき、極限 lim[n→∞] S(n) を求めよ。
440:１３２人目の素数さん
07/10/06 09:03:19
>>439はどっかの入試にほとんど同じ問題あったよ
441:１３２人目の素数さん
07/10/06 09:08:26
> 実数 x について、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
>
> e^x ≦ 1 + x + x^2/2
無理
442:１３２人目の素数さん
07/10/06 11:57:20
ほんとだ。ごめんなさい、>439は無視の方向で。
443:１３２人目の素数さん
07/10/06 12:44:32
>>439
宿題は質問スレに逝け！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
444:439
07/10/06 12:47:46
バカどもが釣れましたｗ
445:１３２人目の素数さん
07/10/06 13:27:10
>>444
釣りの意味が分かってないwww
446:１３２人目の素数さん
07/10/06 13:31:28
>>436
(2)のa,b,cは(1)の条件満たしてんのか？
>>437
mはどこだよ？
お前、あのMASUDAよりミス多いな
447:１３２人目の素数さん
07/10/06 13:40:09
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
>446
448:１３２人目の素数さん
07/10/06 14:31:21
446=baka
449:４４６
07/10/06 14:40:58
また馬鹿が釣れたｗｗｗ
450:１３２人目の素数さん
07/10/06 14:47:29
449=baka
451:１３２人目の素数さん
07/10/06 15:23:39
>>447-448
じゃあmについて説明してくれよ
452:１３２人目の素数さん
07/10/06 15:38:09
>>421-426
〔条件〕
P(t) は最高次の係数が 1 (monic) で既約な整多項式,
P(t)=0 の根 ξ, η, ζ,･･･ はすべて実数で、次式を満たすとする。
ξ > 1 > η > ζ > ･･･ > -1.
このとき、自然数mがあって、|η^m| + |ζ^m| + ･･･ < 1/10.
x=ξ^m, y=η^m, z=ζ^m, ･･･ とおくと
x^n + y^n + z^n + ･･･ は、根の基本対称式の整式だから、自然数. >>414
(例)
P(t) = t^2 -t -1, >>418-420
P(t) = t^2 -2nt +1, >>421
P(t) = t^2 -2pt + (p^2 -mq^2), >>424
453:１３２人目の素数さん
07/10/06 16:31:46
>436
(1) a+b-c>0, b+c-a>0, c+a-b>0,
(2) p+q = 1/(a+b) + 1/(b+c) ≧ 4/(a+c+2b) = 4/{3(a+c) -2(c+a-b)) = (4/3)r/{1-(2/3)(c+a-b)r} > (4/3)r{1+(2/3)(c+a-b)r},
>437
(1)
2 < n
2 < n
3 < n
････
n-1 < n
n = n
辺々掛ける。
(2) (x,y) = (2,2) (2,3)
454:452
07/10/06 16:49:43
>>421-426
〔条件〕
P(t) は最高次の係数が 1 (monic) で既約な整多項式,
P(t)=0 の根 ξ, η, ζ,･･･ は次式を満たすとする。
ξ > 1 > |η|, |ζ|, ･･･
455:１３２人目の素数さん
07/10/06 18:45:37
関数f(x)は0<x<1を満たすxについて、次のように定義される。
f(x)=(1+x)(1+x^4)(1+x^16))(1+x^64))(1+x^256)‥‥
このとき、f^(-1)(8/5f(3/8)の値を求めよ。
456:１３２人目の素数さん
07/10/06 18:55:40
a_0=1、a_1=1、a_n=a_(n-1)+a_(n-2) (n≧2)と定義されるとき、∑[n=1,∞]an/k^nを求めよ。
また、この級数が収束するのはどのようなときか述べよ。
457:１３２人目の素数さん
07/10/06 19:33:14
出題するときは益田みたいにトリップつけて出してほしい
458:１３２人目の素数さん
07/10/06 19:38:50
>>457
なんで？
459:１３２人目の素数さん
07/10/06 20:04:30
去年適当に作った作問者がいたからなぁ
今も何か電波っぽいのがいるからなぁ
460:１３２人目の素数さん
07/10/06 20:09:53
さて気になる正解はCMのあとで！
461:１３２人目の素数さん
07/10/06 20:14:30
このスレの雰囲気って嫌い
462:１３２人目の素数さん
07/10/06 20:16:46
>>438
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2}
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3),
(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3,
等号成立は sinθ = 1/√3 のとき。
463:１３２人目の素数さん
07/10/06 21:50:31
>456
a_n = F_(n+1) = {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/√5,
F_n はフィボナッチ数
φ = (1+√5)/2 ≒ 1.618034 は黄金比
和: (1/√5){(φ^2)/(k-φ) - 1/((1+kφ)φ)}
= {(1+φ^2)/(φ√5)}{φ+k(φ^2 -1)}/{(k-φ)(1+kφ)]}
= {(1+φ^2)/(φ√5)}{(k+1)φ +k(φ^2 -φ-1)}/{(k^2 -k-1)φ +k(1+φ-φ^2)}
= (k+1)/(k^2 -k-1), (← (1+φ^2)/φ=√5, 1+φ-φ^2=0)
収束するための条件: |k| > φ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
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