07/10/03 05:42:14
>>28です。
>>15と同様に極限の意味で考えてみましたが、
同時に代数的に考えると何かよく分からないものがあります。
それに関して以下に述べます。
f、gを以下で定義された関数とする：
f:I∋x → x^0∈R、
g:I∋x → 0^x∈R。
ここにRは実数直線（実数体であり１つのモノイド）、I=[0、∞)は区間である。
Rの元0^0が定義されているとする。（普通の定義では0^0=1となる。）
そして0^0の取り得る値は0または1であるとする。
（0^0=1が偽と仮定して改めて0^0について議論する場合、そう仮定するのが自然でしょう。）
すると、fの極限に関して
x→0のときf(x)→1であって、lim_{x→0}f(x)=f(0)=0^0=1。
一方、gの極限g(0)が存在すると仮定すると、
任意のε>0に対して或るδ(ε)>0が定まって
|x|<δならば|g(x)|=|0^0|<ε
だから、0^0=0である。
然るにこれは0^0=1に反し矛盾する。
よってg(0)は存在しない。
モノイドで考えるとg(0)は存在しないことが以上のように示せるんですけど、これでいいですか。
解析的に示そうとすると途端に簡単ではなくなるんですけど。
g(0)が存在しなければさしあたっては何も問題は生じないと思いますが、
もし私の議論が間違っていてg(0)が存在した場合、例の0^0の議論が意味をなします。
そして、代数的に考えず解析的に考えるためのヒントを下さい。
g(0)の存在性は一目微積分で議論出来そうなんですけど、何か難しいです。
それともg(0)の存在性の議論には何か高度な解析的手法が必要なのですか。